Solución de la Tercera Evaluación de la materia Teoría Electromagnética I - 2011 - 1S FIEC - ESPOL

1. ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LI TORAL
LITORAL
TEORÍA ELECTROMAGNÉT ICA I
ELECTROMAGNÉTICA
ING. JORGE ARAGUNDI R. ( ) ING. JORGE FLORES MAC
MACÍAS ( )
ING. CARLOS DEL POZO CAZAR ( ) ING. ALBERTO TAMA FRANCO (  )
TERCER EVALUACIÓN
TERCERA Fecha: martes 13 de septiembre del 2011
Alumno
Alumno: ______________________________________________________________________________ __
____________________________________________________________________________
Resumen de Calificaciones
Total Tercera
Estudiante Examen Deberes Lecciones
Evaluación
------------ ------------
Ing. Alberto Tama Franco
Profesor de la Materia Teoría Electromagnética I
FIEC
FIEC-ESPOL – 2011 – 1S
20

2. Primer Tema (30 puntos):
Un condensador de placas planas paralelas con una separación d tiene aplicado un
voltaje V entre las placas. Si una placa de vidrio de espesor d 2 y permitividad relativa  r 2
se inserta entre las placas, tal como se muestra en la siguiente figura. Calcular:
a) El voltaje y el campo eléctrico en cada medio (aire y vidrio). 20 puntos.
b) ¿Qué cree usted que le pasa a este condensador? Explique su respuesta. 10 puntos.
y
d  1  cm  d 2  0.20  cm 
d
V  29  kV   r 2  6.5
E1
Intensidad dieléctrica
E2 Aire 30, 000 V /cm 
Vidrio 29, 000 V /cm 
vidrio aire
r2 0 
E1   x 
x 0
d2
 
E2   x    x 
2  r 2 0
V
 
d2 d
V    E 2  dl2   E1  dl1
0 d2
d2 d
V    E 2 dl2 cos 180   E1 dl1 cos 180o
o
0 d2
d2 d
V 
0
E 2 dl2   E1 dl1
d2
d2 d
V E
0
2 dx   E1 dx
d2
   
d2 d
V dx   dx  d 2   d  d 2   E2 d 2  E1  d  d 2   V2  V1
 
0 r2 0

d2 0
 r 2 0 0
Ing. Alberto Tama Franco
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3.  d d  d2  V  0V
V   2     
  r 2 0 0  d2 d  d2 d2
  d  d2
 r 2 0 0 r2
 V V V
E1    E1  
 0 d2  d  d 0.2
 1  0.2 0.8308
r2 2
6.5
E1  1.2037 V  kV /cm   E1  34,907.4 V /cm 
 E 1.2037
E2   1  E2  V
 r 2 0  r 2 6.5
E2  0.1852 V  kV /cm   E2  5,370.4 V /cm 
V1  E1  d  d 2   1.2037 1  0.20 V  0.963 V  V1  27.927  kV 
V2  E 2 d  0.1852  0.20  V  0.037 V  V2  1.073  kV 
Cada material dieléctrico tiene un valor crítico de intensidad de campo eléctrico para el
cual el material dieléctrico pierde las propiedades de aislante y llega a comportarse como
conductor. Ese valor en particular de la intensidad de campo eléctrico para un material
dieléctrico es denominado “Fortaleza Dieléctrica”, “Ruptura Dieléctrica” o “Intensidad
Dieléctrica”.
Para el aire, el valor mínimo de intensidad de campo eléctrico para el cual en éste
material se produce la ruptura o avería dieléctrica es de 30  kV /cm . Por lo tanto, al
aplicársele 34.91  kV /cm  , se está ocasionandosele la pérdida de las propiedades como
aislador, comportándose como un conductor, evento que no ocurre en el vidrio.
Ing. Alberto Tama Franco
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4. Segundo Tema (40 puntos):
Se tiene una lámina conductora de ancho a y longitud infinita, paralela a ella hay una
espira rectangular, como muestra la figura. Calcular la inductancia mutua.
a
lámina espira
2a
a
2a
dB  P 
a
P
dr
dI 
r xr
x
0 dI I 0 I dr
dB  P   , donde: dI  dr  dB  P  
2  x  r  a 2 a  x  r 
0 I r  a dr
B  P 
2 a r 0  x  r 
; haciendo u  x  r  du  dr , se tendría que

0 I u  x  a du 0 I  x 
B  P  
2 a ux u 2 a  x  a 
 ln  

   B  P   dS   B  P  dS cos 0o
 
x 3a x 3 a
0 I  x  0 I  x 
 2a 2 a ln  x  a  2a dx  
x  

x 2 a
ln   dx
 xa 
0 I  x 3a x 3 a

   ln x dx   ln  x  a  dx 
  x2a x 2a 
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5. ax  b
Recordando que:  ln  ax  b  dx  a
ln  ax  b   x , se tendría lo siguiente:
0 I x 3a 0 I x 3a
  x ln x  x   x  a  ln  x  a   x 
  x 2 a    x ln x   x  a  ln  x  a   x 2 a
 

0 I
 3a ln 3a  2a ln 2a   3a  a  ln  3a  a    2a  a  ln  2a  a  
  
0 I
 3a ln 3a  2a ln 2a  2a ln 2a  a ln a 

  0 I a ln    
0 I   3a 3 a 
 a ln  3a   a ln  2a   a ln  2a   a ln a
3 2 2
      2a  

4

0 Ia  27 a 4  0 Ia  27 
 ln     ln  
  16 a

4

   16 
De donde se obtiene que:
0 a  27 
M 12  M 21  ln  
  16 
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6. Tercer Tema (30 puntos):
Un conductor de longitud L , tal como se muestra en la siguiente figura, rota a una
frecuencia f  rev /min  en un campo magnético radial B  B0 sen t  r . Calcule la
corriente en la espira cerrada con resistencia R e indique la dirección de la corriente en la
resistencia.
z
L  2  m f  1, 200  rev /min  B0  0.10 T 
a  0.2  m  R  100   
a
1
  rev  1  min 
   rev 
f  1, 200    60 seg  f  20  
R  min     seg 
L
2   2 f  40  rad /seg 
y
t
x
En el presente problema, existen 4 tramos en movimiento, pero sobre el único que se
produce fuerza electromotriz inducida, es sobre el tramo externo axial, que es paralelo al
segmento 1-2 (contenido por el eje z). Cada punto del referido tramo, se mueve a una
velocidad lineal que es tangencial a la trayectoria circular de radio a , dada por: v   a .
L
E   dl   v x B 
  E   dl v B cos 0 sen90   aB0 sen t

o o
 dl
c c 0
E   aLB0 sen t , donde:
E  aLB0 40  0.2  2  0.10
I  sen t  I sen 40 t
R R 100
I  5.027 102 sen 40 t  A
Cuando se toma la cresta positiva de la función sinusoidad del campo magnético, la
corriente eléctrica inducida circulará del punto 2 hacia el punto 1; su sentido se invertirá, en
el periodo de tiempo en que la cresta del campo magnético sea negativa.
Ing. Alberto Tama Franco
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