Algebra lineal puchaicela huaca luis patricio

Modalidad Abierta y a Distancia
ÁREA
BIOLÓGICA Y
BIOMÉDICA
Álgebra Lineal
Guía didáctica
CARRERA CICLO
Logística y Transporte
Tecnologías de la Información
Administracion de Empresas
Contabilidad y Auditoría
EconomÍa
Finanzas
2

Asesoría virtual
www.utpl.edu.ec
Departamento de Química y Ciencias Exactas
Sección Físico Química y Matemáticas
Álgebra Lineal
Guía didáctica
Autores:
Puchaicela Huaca Luis Patricio
Fernandez Arias Jose Miguel

ÁLGEBRA LINEAL
Guía didáctica
Puchaicela Huaca Luis Patricio
Fernandez Arias Jose Miguel
UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA
4.0, CC BY-NY-SA
Diagramación y diseño digital:
EDILOJA Cía. Ltda.
Telefax: 593-7-2611418
San Cayetano Alto s/n
www.ediloja.com.ec
edilojainfo@ediloja.com.ec
Loja-Ecuador
Primera edición
ISBN digital - 978-9942-25-361-3
La versión digital ha sido acreditada bajo la licencia Creative Commons 4.0, CC BY-NY-SA:
Reconocimiento-No comercial-Compartir igual; la cual permite: copiar, distribuir y comunicar
públicamente la obra, mientras se reconozca la autoría original, no se utilice con fines comerciales
y se permiten obras derivadas, siempre que mantenga la misma licencia al ser divulgada. https://
creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/deed.es
14 septiembre, 2018

2. Índice
2. Índice 4
3. Introducción 6
4. Bibliografía 8
4.1. Básica 8
4.2. Complementaria 8
5. Orientaciones generales para el estudio 10
6. Proceso de enseñanza-aprendizaje para el logro de competencias 13
PRIMER BIMESTRE
UNIDAD 1. ECUACIONES LINEALES 13
1.1. Ecuación lineal 13
1.2. Sistemas lineales 15
1.3. Solución de sistema de ecuaciones lineales 16
1.4. Sistema Lineal consistente 22
1.5. Sistemas lineales inconsistentes 26
Autoevaluación 1 30
UNIDAD 2. MATRICES 37
2.1. Matrices 37
2.2. Producto punto y multiplicación de matrices 40
2.3. Propiedades de las operaciones con matrices 43
2.4. Soluciones de sistemas de ecuaciones lineales 45
2.5. Resolución de sistemas lineales 47
2.6. La inversa de una matriz 50

UNIDAD 3. DETERMINANTES 57
3.1. Definición y propiedades 57
3.2. Desarrollo por cofactores 58
3.3. Aplicación de determinantes, inversa y resolución de sistemas
lineales 60
SEGUNDO BIMESTRE
UNIDAD 4. VECTORES EN Rn
68
4.1. Vectores R2
y R3
68
4.2. Longitud, distancia y producto punto entre vectores en R2
y R3
70
4.3. Vectores Rn
71
4.4. Producto cruz 73
UNIDAD 5. ESPACIOS VECTORIALES REALES 79
5.1. Espacios vectoriales 79
5.2. Subespacios 80
5.3. Espacio generado e independencia lineal 82
5.4. Base y dimensión 85
5.5. Rango y nulidad 88
7. Solucionario 97
8. Glosario 106
9. Referencias bibliográficas 108

6 Modalidad Abierta y a Distancia
Guía didáctica: Álgebra Lineal
3. Introducción
Álgebra Lineal es una asignatura de la unidad organizacional curricular de
diferentes campos de formación de la Modalidad Abierta y a Distancia de la
Universidad Técnica Particular de Loja (UTPL), es impartida a los estudiantes
que se encuentran cursando el segundo ciclo de la carrera de Tecnologías de la
Información con un total de 160 horas destinadas al proceso de aprendizaje de las
unidades de formación básica.
La necesidad de adquirir conocimientos de manera crítica y constructiva para
generar nuevas contribuciones científicas, requiere de una formación sólida en
ciencias fundamentales, tal es así que; álgebra lineal permite al futuro profesional
resolver situaciones cotidianas con mucho fundamento y criterio, estudiar esta
ciencia fundamental le permitirá analizar situaciones y plantearse las soluciones
adecuadas.
Muchos problemas que acontecen en la vida real tienen que ver con el
componente de álgebra lineal y sus aplicaciones. Existen problemas que pueden
modelarse mediante: ecuaciones, matrices, vectores, entre otros principios que
han sido incluidos para poder potenciar su formación.
La asignatura se ha formulado para que los estudiantes generen conocimiento,
desarrollen capacidad de aplicación, generen habilidades y destrezas en
las operaciones que conllevan la aplicación de fundamentos de álgebra
lineal; adicionalmente, se pretende despertar el interés por el desarrollo de
la fundamentación matemática y su aplicabilidad en el ejercicio de la carrera
profesional.
Las temáticas incluidas en la asignatura de álgebra lineal se las analizará en
cinco unidades de la siguiente manera: Primera unidad; sistemas de ecuaciones
lineales, aquí se realizará un acercamiento a los teoremas fundamentales del
álgebra lineal. Unidad dos; matrices complejidad de las ecuaciones alcanza

niveles complejos para la solución de problemas reales y los métodos de solución
de sistemas complejos. Unidad tres determinantes que abordará contenidos
específicos de solución de sistemas complejos de ecuaciones lineales. Unidad
cuatro se estudiará la temática de vectores, con estos contenidos se abordarán
aplicaciones de ciencias e ingenierías indispensables en el entendimiento de
fenómenos físicos ya que es indispensable comprender su valor y sentido. La
Unidad Cinco contendrá la temática de espacios vectoriales siendo necesario
comprender que las dimensiones en Rn van a representar eventos de la realidad
que van más allá de las dos dimensiones.
De todo este proceso de revisión de contenidos de cada uno de los temas
analizados el estudiante tendrá la posibilidad de ir encaminando sus
conocimientos asistido por el docente. Les invito a realizar su preparación
con mucho optimismo y recuerde que cuenta con su profesor para orientarle
y apoyarle cuando usted lo requiera, será un gusto acompañarle y facilitar su
aprendizaje.
¡Bienvenido!
No hay nada en la vida que no contenga sus lecciones. Si estás
vivo, siempre tendrás algo para aprender.
Benjamin Franklin

4. Bibliografía
4.1. Básica
Kolman, B. y Hill, D.R. (2013). Algebra lineal fundamentos y aplicaciones. Bogotá:
Pearson.
El texto básico, ofrece contenido preciso que se requiere para la asignatura
de álgebra lineal, ofrece recursos didácticos importantes, así como
aplicaciones que son indispensables en la formación profesional.
Fernández, J. y Puchaicela P. (2018). Guía didáctica de Álgebra Lineal. Loja,
Ecuador: Editorial Universidad Técnica Particular de Loja.
La guía didáctica ofrece un apoyo para el desarrollo de las unidades de
estudio y logro de competencias, orientando al estudiante en su estudio,
describiendo con detalle los contenidos y planteando actividades que
permiten al alumno profundizar los temas y determinar si su nivel de
aprendizaje es el requerido para la adquisición de competencias.
4.2. Complementaria
Anton, H. y Rorres, C. (2013). Introducción al Álgebra Lineal. México: Limusa
Wiley.
Ofrece información que el estudiante de álgebra lineal necesita para
cursar la asignatura, describe con ejemplos la metodología y desarrollo
de ejercicios en las diferentes unidades de estudio, propone ejercicios en
cada sección que le permitirán al estudiante afianzar su destreza en el
planteamiento y desarrollo de los problemas.

Grossman, S. y Flores, J. (2012). Álgebra Lineal. México: McGraw-Hill.
La descripción mesurada de las unidades y su estructuración permite al
lector la abstracción sistemática de los contenidos, ofrece una amplia gama
de ejercicios que hacen referencia a diferentes disciplinas y permite la
posibilidad de practicar aplicaciones del programa MATLAB.
Larson, R. & Falvo, D. (2010). Fundamentos de Álgebra Lineal. México: Cengage
Learning.
Aborda las unidades de la asignatura de forma detallada, en cada unidad
describe con ejemplos la aplicación de la parte teórica ofreciendo al
estudiante interpretar los conocimientos previa su aplicación.

5. Orientaciones generales para el estudio
El dominio de los temas y procesos de operaciones numéricas que se desarrollan
en la asignatura implican realizar una serie de actividades las cuales deben tener
disciplina en su cumplimiento. Para la asignatura de álgebra lineal el estudiante
deberá asignar el tiempo necesario y esforzarse a fin de cursar con éxito el
presente periodo académico y para esto damos las siguientes orientaciones:
▪
▪ Orientación 1: El alumno dispondrá de una fuente de estudio y consulta, el
texto básico, además se le brindará una guía didáctica que será el apoyo
y nexo entre profesor y estudiante a fin de que pueda aprovechar de mejor
manera la interpretación de los conocimientos y temas referidos en el texto
básico.
▪
▪ Orientación 2: Asigne el tiempo diario de estudio a los temas que constan en
el plan docente los contenidos se han distribuido por semanas por lo que,
es necesario que la dedicación, lectura y análisis de los temas los realice
proporcionalmente durante el tiempo establecido, a fin de que exista un
avance progresivo y no se acumulen los temas por revisar, siga el orden de
los temas que le facilitará la comprensión e interpretación de los contenidos.
▪
▪ Orientación 3: En cada tema analizado en la guía didáctica, se proponen
ejercicios por resolver y además al finalizar cada unidad, el estudiante
deberá desarrollar una autoevaluación, al verificar las respuestas en el
solucionario, el estudiante podrá interrogarse respecto a su avance y nivel
de las competencias adquiridas.
▪
▪ Orientación 4: Semanalmente se facilitarán tutorías a fin de solventar
inquietudes respecto a los contenidos del programa académico, puede
contactarse vía telefónica en el horario de tutoría, aproveche la oportunidad
de poder dirigirse a su tutor y solicitar la asesoría que usted requiera, recurra
al uso del Entorno Virtual de Aprendizaje (EVA) con todas sus herramientas

de interacción como: el chat, mensajería y la posibilidad de escribir al correo
electrónico.
▪
▪ Orientación 5: Es necesario que pueda tener acceso a internet
periódicamente ya que el profesor apoyará los contenidos semanalmente
mediante el Entorno Virtual de Aprendizaje (EVA), el cual servirá de
nexo entre profesor y alumno, además en el entorno se desarrollarán las
actividades síncronas y asíncronas las cuales serán calificadas, por lo que
es necesario que interactúe constantemente.
▪
▪ Orientación 6: El sistema de evaluación incluye las calificaciones de
dos bimestres, cada bimestre tendrá una tarea, una actividad síncrona,
una actividad asíncrona, evaluaciones parciales (cuestionarios) y una
evaluación presencial. Todas estas actividades tienen calificación y deben
ser agendadas por cada uno de los profesionales en formación para su
desarrollo adecuado cumpliendo con las fechas establecidas en el plan
docente.
▪
▪ Orientación 7: El puntaje mínimo para aprobar la asignatura es de 28/40
puntos, los cuales pueden obtenerse de forma acumulativa con todos los
elementos indicados anteriormente, en caso de que el estudiante no obtenga
la nota mínima deberá rendir una prueba final.
▪
▪ Orientación 8: Para facilidad del desarrollo sistemático de los contenidos
de la asignatura se tiene el plan docente y que guiará durante el semestre
el proceso de su formación. Se requiere que lo revise y pueda agendar las
actividades de formación.
▪
▪ Orientación 9: Se pide a todos los profesionales en formación desarrollar la
tarea de la asignatura de manera progresiva y así combinar adecuadamente
la revisión de contenidos con el desarrollo de ejercicios y completar la misma
en los tiempos estipulados por la institución para la subida de la tarea.

▪
▪ Orientación 10: En la guía didáctica constan imágenes relacionadas con
ciertas actividades sugeridas y que se requiere las desarrolle el estudiante,
así encontrará:
Al inicio de cada tema, usted debe realizar la lectura previa de un apartado
específico del texto básico, la actividad de lectura será fundamental para
poder orientar adecuadamente al estudiante y aplicar de forma detallada los
procesos en la resolución de ejercicios, se enfatizará en la guía didáctica lo
más importante de cada sección.
Al final de cada unidad revisada se proponen actividades con las cuales
deberá profundizar respecto al tema, y así adquirir las destrezas y
habilidades para el desarrollo de ejercicios.
Al final de cada unidad se propone una autoevaluación por lo que se
invita a realizarla para validar su nivel de aprendizaje y adquisición de
competencias, usted debe desarrollar las pruebas propuestas comparando
con las respuestas en el solucionario; además podrá evaluar si su nivel es el
adecuado o si necesita una mayor profundización en el estudio de los temas
tratados.

6. Proceso de enseñanza-aprendizaje para el logro de competencias
PRIMERBIMESTRE
UNIDAD 1. ECUACIONES LINEALES
1.1. Ecuación lineal
Al iniciar el estudio del presente tema es necesario que
previamente realice una lectura detallada de la primera
unidad del texto básico. En la sección 1.1 Sistemas lineales,
se indica conceptos referentes a ecuación lineal, sistema
de ecuaciones lineales, usted debe tener claro dichos
conceptos.
Una ecuación es considerada como una proposición en la cual se manifiesta la
igualdad de dos expresiones. Las dos expresiones conocidas como lados se
encuentran separadas por el signo igual, ejemplo de ecuaciones lineales son las
siguientes:
EJEMPLO 1 Ecuaciones lineales
5 = 2x + 3
x + 2y = 3
3x + y + z = 2
Cada ecuación se encuentra formada por al menos una variable, la cual puede
ser reemplazada por un número entero.

Primer bimestre
Una ecuación representada bajo la estructura ax = b, en la cual la variable b es
expresada en términos de la variable x y de a , puede ser denominada ecuación
lineal, generalmente los valores de a y b son dados y se debe determinar el valor
de x que satisfaga la ecuación y puede tomar cualquier valor, a,x y b, pueden
ser cualquier valor de los números reales o escalar. El valor de b puede ser
expresado en función de muchos otros términos del lado izquierdo, es decir una
ecuación lineal puede contener muchas variables, Ej:
EJEMPLO 2 Variables de una ecuación lineal
2x+ y= 3
3x + 2y + 5z = 7
2x + 4y -3z + w = 2
Una ecuación lineal representa a la gráfica de una recta y todas sus variables
tienen exponente 1, también es denominada ecuación de primer grado.
Dar solución a una ecuación lineal consiste en determinar los valores de la o las
variables x que satisfagan la ecuación, Ej:
Al resolver una ecuación lineal con una incógnita se pueden presentar tres
circunstancias:
a. La ecuación ax = b, tiene solución única cuando a no es 0, ejemplo si b = 4 y
a = 2, entonces x = 2
b. Tener un infinito de soluciones cuando a=b=0, cualquier valor para x
satisface la ecuación
c. No tener solución si a=0 y b no es igual a 0, cualquier valor de x multiplicado
por a=0, dará 0 que es diferente a b= cualquier número real diferente de
cero.

Primer bimestre
Es pertinente definir de manera generalizada a una ecuación lineal de n variables
x1
, x2,
x3,….
xn
a una que tiene la siguiente estructura:
a1
x1
+ a2
x2
+ a3
x3
+…… an
xn
= b
Donde los coeficientes a1
,a2,
a3,
…..,an
y el término b son valores constantes y
pueden ser cualquier número o escalar.
1.2. Sistemas lineales
Un sistema lineal en su concepto básico no es más que un conjunto finito de
ecuaciones lineales las cuales poseen variables comunes, se designa como m al
número de ecuaciones y n al número de incógnitas que posean las ecuaciones
que forman parte del sistema lineal, Ej:
EJEMPLO 3 Número de ecuaciones lineales e incógnitas
Si t
m=2, n= 3
m=3, n =2
m=2, n=2
m=2, n=4
En conclusión, se podría denotar un sistema lineal mediante la siguiente
estructura:

Primer bimestre
: : : : : :
Donde los subíndices de a indican, el primero el número de ecuación y el segundo
al tipo de variable a la que corresponde dicho coeficiente, Ej:
a23
, es el coeficiente ubicado en la ecuación 2 y variable x3
.
1.3. Solución de sistema de ecuaciones lineales
Dar solución a un sistema lineal es determinar el valor de las variables comunes
que poseen las ecuaciones que forman el sistema lineal, es decir es determinar
los valores de x1
, x2,
x3
…… xn
, que satisfagan cada ecuación del sistema lineal,
por ejemplo ponemos dos sistemas de ecuaciones que puede analizarlos:
EJEMPLO 4 Sistemas de ecuaciones lineales con dos y tres incógnitas
(1) sistema de dos incógnitas
(2) sistema de tres incógnitas
En (1) la solución del sistema sería x =1, y =2, y en (2) la solución es x =3, y =2,
z=1, remplazando los valores de las incógnitas se obtendría:
(1)
(2)
Más adelante iremos revisando como cada uno de los sistemas pueden adoptar
un procedimiento de su resolución paso a paso.

Primer bimestre
1.3.1. Sistema lineal equivalente y operaciones fundamentales
Si comparamos los siguientes sistemas de ecuaciones lineales aparentemente
son diferentes:
EJEMPLO 5 Sistemas lineales equivalentes
Sistema inicial Sistema final
à(3)
Sin embargo, si analizamos que en cada uno los valores de las variables luego
de realizar todas las operaciones son los mismos, es decir para las variables x=3,
y=2 y z=1 son la misma solución en ambos sistemas, podemos denominarlos
sistemas equivalentes y podríamos deducir que el sistema (4) puede provenir
del sistema (3) o el (3) del (4) realizando algunos procedimientos que se basan en
las siguientes operaciones fundamentales:
1. Intercambiar dos ecuaciones
2. Multiplicar una ecuación por cualquier número excepto el cero
3. Sumar una ecuación una o varias veces a otra
Analicemos en los siguientes pasos, como el sistema (3) pudo convertirse en el
sistema (4) aplicando las operaciones fundamentales:
1. Partamos del sistema (3), e intercambiamos las ecuaciones 1 por la 3:
(3) à

Primer bimestre
2. Al sistema resultante, multipliquemos la ecuación 2 por ½ que es un valor
arbitrario para obtener otro sistema de ecuaciones diferente y obtendremos:
*1/2 à
3. En el sistema resultante, a la ecuación 3, vamos a sumarle 2 veces la
ecuación 2, o que sería lo mismo sumarle a la ecuación 3, la ecuación 2
multiplicada por 2
*2à
4. Ahora sumando la ecuación 2 multiplicada previamente por 2 a la 3
à (4)
Todos los pasos anteriores nos llevaron a transformar de (3) a (4)
(3) à (4)
1.3.2. Solución de un sistema lineal
En sistemas lineales de dos variables se pueden aplicar varios métodos como
el de sustitución, igualación y eliminación de variables, para sistemas de más
variables el método más práctico y aplicado es el de eliminación de variables, el
cual será utilizado en el presente tema.
Al resolver un sistema lineal se realiza una serie de operaciones fundamentales
cuyo objetivo es transformar las ecuaciones para llegar a un sistema equivalente

Primer bimestre
en el cual se ha eliminado variables de las ecuaciones, es necesario obtener en
al menos una de las ecuaciones una expresión en función de una sola de las
variables, y al despejarla nos permita sustituirla en el resto de las ecuaciones
transformadas del sistema.
EJEMPLO 6 Solución de un sistema lineal
(5)
Dado el sistema (5), lo que trataremos es iniciar eliminando la variable x del
sistema, para lo cual un proceso general es eliminar la variable x de la ecuación 3
y 2 mediante operaciones con la ecuación 1
1. Restar a la ecuación 3, 3/2 la ecuación 1
La ecuación 1, 2x + 4y – 6z=8 por 3/2 resulta, 3x +6y – 9z = 12, por lo tanto
si a la ecuación 3 restamos 3/2 la ecuación 1, obtendremos:
Por lo cual el sistema resultante será:
2. A la ecuación 2 del nuevo sistema le restamos la ecuación 1, es decir 2x +
3y +z = 13, menos 2x + 4y -6z = 8, resulta

Primer bimestre
Como se podrá observar, ahora el sistema (5), se ha transformado de tal
manera que las ecuaciones 2 y 3 poseen dos variables.
Ahora el objetivo será eliminar la variable y, para lo cual trabajaremos
con las ecuaciones 2 y 3 en las cuales ya se ha eliminado la variable x,
repetiremos el paso 1 aplicado ahora a la variable y, es decir eliminaremos
la variable y de la ecuación 3, mediante operaciones con la ecuación 2
3. A la ecuación 3, restarle 7 veces la ecuación 2
La ecuación 2, -y + 7z = 5 por 7 resulta, -7y + 49z = 35, por lo tanto al
restarle a la ecuación 3, 7 veces la 2, obtendremos:
(6)
Nos encontramos que la ecuación 3 del sistema original (5), posee
únicamente la variable z, la cual al despejarla obtendremos su valor, z= 1.
Obtenido el valor de z, el resto del proceso consiste en aplicar sustituciones
regresivas, es decir el valor de z sustituirlo en la ecuación 2 del sistema (6)
para obtener el valor de la variable y, y luego obtenidos los valores de z y de
y, los reemplazamos en la ecuación 1 del sistema (6), obteniéndose todos
los valores de las variables del sistema.
4. Sustituimos el valor de z=1 en la ecuación 2 de (6):
-y +7(1) = 5
y= 7-5
y =2
5. Sustituimos los valores de z y de y en la ecuación 1 del sistema (6)
2x + 4(2) – 6(1) = 8
x = (8-8+6)/2
x = 3

Primer bimestre
Por lo tanto la solución del sistema (5) es, x= 3, y = 2, z= 1
No importa el número de variables que posea el sistema, el proceso de
eliminación aplicado, se realiza para suprimir todas las variables posibles
hasta obtener un sistema equivalente con al menos una ecuación en
función de una sola variable que será despejada para solucionar el resto de
variables del sistema.
En el proceso las operaciones fundamentales aplicadas pueden utilizarse de
diferente orden o forma, no alterarán la respuesta siempre y cuando se las
aplique adecuadamente, un proceso generalmente utilizado es transformar
el coeficiente de la variable x de la primer ecuación en 1, para luego facilitar
la operaciones al ser aplicada al resto de ecuaciones, Ej:
(5)
1. Dividir la ecuación 1 para el coeficiente de x de la propia ecuación, es
decir dividirla para 2
2. En el sistema formado, restar a la ecuación 2, dos veces la ecuación 1
y a la 3 tres veces la ecuación 1
Ahora se trabajará las ecuaciones 2 y 3 del sistema resultante, como
se puede observar el coeficiente de y en la segunda ecuación es
1 negativo, podemos dejarlo como está y operar, con otros valores

Primer bimestre
es conveniente repetir el paso 1 transformando el coeficiente de y
a 1 positivo, lo cual es factible dividiendo la ecuación para el propio
coeficiente de y, es decir que en este caso es -1.
3. Dividir la ecuación 2 para -1
à
4. Sumar a la ecuación 3, siete veces la ecuación 2
à
Por lo tanto z=1, y al sustituir su valor en la ecuación 2, obtendremos
el valor de y = 2, ambos valores z y el de y, al ser sustituidos en la
ecuación nos permitirá obtener el valor de x = 3.
1.4. Sistema Lineal consistente
Al resolver un sistema lineal, nos podemos encontrar con las situaciones en que
el sistema pueda tener solución única, infinitas soluciones o no tener solución,
a los dos primeros casos se los denomina consistentes y al tercer caso como
inconsistente.
1.4.1. Sistema lineal consistente determinado
Un sistema lineal compatible determinado es un sistema que tiene solución, y
dicha solución es única, en el siguiente sistema de dos variables analizaremos el
presente caso:

Primer bimestre
EJEMPLO 7 Sistema lineal solución única
Al resolverlo, podremos determinar que los valores de x y de y para que el
sistema tenga solución son 1 y 2 respectivamente, no existiendo más valores que
pueda tomarse como solución del sistema, podemos deducir que es un sistema
con solución única.
Gráficamente un sistema de dos variables con dos ecuaciones como en
el sistema anterior, la solución única pude ser representado en un espacio
bidimensional como en la figura 1 (a), es decir con un único punto S con
coordenada (1,2) de intersección entre las rectas L1
y L2
que representan las
ecuaciones del sistema lineal. En un sistema de tres variables y tres ecuaciones
con solución única, la representación gráfica es el espacio tridimensional con
tres planos con intersección en un punto S con coordenadas x,y,z el cual es la
solución del sistema, como se indica en la figura 1(b).
Figura 1(a). Sistema lineal con dos incógnitas, solución única Figura 1(b). Sistema
lineal con tres incógnitas, solución única

Primer bimestre
1.4.2. Sistema lineal consistente indeterminado
En ciertos casos puede suceder que al resolver sistemas, las soluciones puedan
ser infinitas.
EJEMPLO 8 Sistema lineal con infinitas soluciones
Al aplicar operaciones fundamentales y restar 2 veces la ecuación a la dos
obtendremos:
Si otorgamos cualquier valor de x y de y en la segunda ecuación, la igualdad
siempre se cumplirá, por lo cual nos encontramos con un sistema que posee
infinitas soluciones, analizaremos el presente caso para un sistema de 3
variables:
Restamos dos veces la ecuación 1 a la 2, y tres veces la ecuación 1 a la 3,
obteniendo
Debemos tomar en cuenta la ecuación 3, y al otorgar cualquier valor a las
variables x,y,z, una vez más nos encontramos con un sistema de infinitas
soluciones, es decir consistente indeterminado.

Primer bimestre
Plantearemos otro tipo de ejercicio en el cual puede darse la circunstancia de
tener una infinidad de soluciones
Al restar dos veces la ecuación 1 a la ecuación 2 obtenemos.
Como siempre debemos analizar la última ecuación y nos encontramos con la
situación de que para dar solución a la ecuación 2, podemos asignar cualquier
valor a z, (z puede ser cualquier número de los reales) y obtendremos un valor
para y, obtenidos dichos valores reemplazarlos en la ecuación 1, por lo que los
valores de x y de y estarán en función del valor que se le asigne a z, es decir:
z = µ soluciones, cualquier valor de los reales
y = (3z+3)/5, despejado en la ecuación 2
x= 4-3y+z = 4-[3(3z+3)/5]+z, despejado de la ecuación 1
La representación gráfica en un sistema consistente indeterminado de 2 variables
sería la de dos líneas rectas superpuestas, es decir con intersección en una
infinidad de puntos, infinitas soluciones como se indica en la figura 2(a). Para un
sistema de 3 variables gráficamente puede suceder la intersección de tres planos
que se corten en una recta como el de la figura 2(b) aunque pueden darse otras
alternativas para este tipo de sistemas.

Primer bimestre
Figura 2(a). Sistema lineal con dos incógnitas, infinitas soluciones
Figura 2(b). Sistema lineal con tres incógnitas, infinitas soluciones
1.5. Sistemas lineales inconsistentes
Aquellos sistemas que no poseen valores comunes de sus variables para que las
ecuaciones que lo forman se cumplan, son denominados sistemas sin solución o
inconsistentes.

Primer bimestre
EJEMPLO 9 Sistema lineal sin solución
Al resolverlo, restamos dos veces la ecuación 1 a la 2
Si analizamos la segunda ecuación, para cualquier valor que tome x o y que
multiplicaran a 0, no admite una solución igual a 3, es decir 0 ≠ 3.
A continuación, proponemos otro ejemplo para el caso de sistemas inconsistentes
de dos variables
Podemos restar a la ecuación 3 la ecuación 2
En la ecuación 1 dividir dicha ecuación para el coeficiente de x, es decir 2
Restamos tres veces la ecuación 1 a la ecuación 2

Primer bimestre
Luego sumar dos veces la ecuación 2 a la 3
Como se observa en la ecuación 3, no puede darse la igualdad, es un sistema
inconsistente y aunque en la segunda ecuación tenemos despejado el valor y =
-5 y con el se podría obtener el valor de x = 5 en la ecuación 1, al sustituir en el
sistema original comprobaremos que no es factible dicha solución para el sistema
original, si la ecuación terminara como 0x + 0y = 0, en ese caso si podría tener
solución.
En un sistema de 3 variables puede darse la misma situación:
Restamos dos veces la ecuación 1 a la ecuación 2, y tres veces la ecuación 1 a la
3, obteniéndose
En la ecuación 3, cualquier valor asignado a las variables no resolvería la
igualdad.
La representación gráfica para un sistema incompatible, denominado
inconsistente o sin solución de dos y tres incógnitas sería como se los representa
en las figuras 3(a) y 3(b), dos líneas sin punto de intersección para un sistema de
dos variables y 3 planos sin cortarse o sin coincidir los tres en una recta para un
sistema de tres variables.

Primer bimestre
Figura 3(a). Sistema lineal con dos incógnitas, sin solución
Figura 3(b). Sistema lineal con tres incógnitas, sin solución

Primer bimestre
Autoevaluación 1
A continuación, se propone algunos ejercicios y actividades respecto al tema
de ecuaciones lineales, sistemas de ecuaciones lineales y formas de resolución
de los sistemas de ecuaciones lineales; esto le permitirán confirmar y afianzar
sus conocimientos. Adicionalmente usted encontrará al final el solucionario a las
preguntas propuestas.
Fundamentos
1. Escriba en el paréntesis respectivo las letras V o F, según sean verdaderos o
falsos los siguientes enunciados
a. ( ) Una ecuación de la forma y = mx que expresa la variable y
en función de la variable x y la constante m, dicha ecuación
puede ser denominada ecuación lineal.
b. ( ) La representación gráfica de una ecuación lineal
corresponde a una parábola.
c. ( ) Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de m
ecuaciones, cada una de ellas con n incógnitas.
d. ( ) En la ecuación a1
x1
+ a2
x2
+ a3
x3
+ ... + an
xn
= b, los
elementos a1,
a2,
a3
... an
se denominan variables.
e. ( ) Los sistemas lineales compatibles pueden no tener solución
o pueden tener solución única.
f. ( ) Los sistemas lineales pueden no tener solución, o pueden
tener solución única o infinita.

Primer bimestre
2. En las siguientes expresiones, la que corresponde a una función lineal es:
a. x1
+ 2x2
+ 3x3
= b
b. a1
x1
2
+ a2
x2
+ a3
x3
3
= b
c. 3x2
+ 5y + z = b
3. Relacione las alternativas que gráficamente pueden presentar un sistema de
ecuaciones lineales con dos incógnitas:
Alternativa Descripción gráfica
1. Solución única a. las rectas no se intersecan, no existe
punto común.
2. Sin solución b. las rectas se intersecan exactamente en
un solo punto
3. Infinitas soluciones c. las restas coinciden una con otra en
toda su extensión
4. Relacione la denominación que se adjudica a un sistema lineal respecto a la
resolución:
Denominación Resolución
1. Consistente a. El sistema no posee solución
2. Inconsistente b. El sistema tiene una solución o infinitas
soluciones
c. el sistema siempre presenta infinitas
soluciones
5. En la representación gráfica de un sistema de ecuaciones lineales que no
tiene solución, las líneas rectas:
a. Tienen infinitos puntos de intersección.
b. Tienen un único punto de intersección.
c. No tienen puntos de intersección.

Primer bimestre
6. En la representación gráfica de un sistema lineal que tiene infinitas
soluciones, las rectas:
a. Tienen infinitos puntos de intersección
b. Tienen un único punto de intersección
c. No tienen puntos de intersección
7. En la representación gráfica de un sistema lineal que tiene solución única,
las rectas:
a. Tienen infinitos puntos de intersección
b. Tienen un único punto de intersección
c. No tienen puntos de intersección
8. Una solución de un sistema lineal, son los valores de las variables para los
cuales:
a. Todas las ecuaciones del sistema se satisfacen
b. Todas las ecuaciones del sistema no se satisfacen
c. Al menos una de las ecuaciones del sistema se satisface
Ejercicios de aplicación
9. En el siguiente sistema lineal realizar la o las operaciones solicitadas, cada
paso se aplicará al sistema resultante anterior:
a. Multiplicar por 2 la ecuación 1
b. Intercambiar la ecuación 1 por 3
c. Adicionar a la ecuación 3, dos veces la ecuación 1
d. multiplicar por 3 la ecuación 2

Primer bimestre
e. Restar 1/3 veces la ecuación 2 a la ecuación 1
f. Sumar las ecuaciones 1 y 2 a la ecuación 3
g. Restar la ecuación 3 a la ecuación 2
h. Sumar 2 veces la ecuación 1 y una vez la ecuación 2 a la ecuación 3
i. Intercambiar las ecuaciones 1 y 2
j. Restar a la ecuación 1, las ecuaciones 2 y 3
10. Indique qué operación u operaciones fundamentales se han realizado para
obtener el segundo sistema lineal indicado.
a.
à
b.
à
c.
à
d. à
e. à
f. à
11. En el siguiente sistema lineal realizar la o las operaciones solicitadas, cada
paso se aplicará al sistema resultante anterior:

Primer bimestre
a. Intercambiar la ecuación 1 y 3
b. Dividir la primera ecuación para el coeficiente de x
c. Sumar a la ecuación 2, dos veces la ecuación 1 y a la 3 restar tres
veces la ecuación 1
d. Dividir la ecuación 2 para el coeficiente de y
e. Restar a la ecuación 3, 10 veces la ecuación 2
f. Despejar el valor de z
g. Reemplazar el valor de z en la segunda ecuación, despejar y
h. Reemplazar los valores de y y de z en la ecuación 1, despejar el valor
de x
12. Resolver y determinar si los sistemas son consistentes o inconsistentes,
indicar si el sistema tiene solución única, infinitas soluciones o no tiene
solución.
a.
b.
c.
d.
e.
f.

Primer bimestre
g.
h.
i.
j.
k.
l.
m.
Retroalimentación general para la solución de la autoevaluación
Es importante que desarrolle la autoevaluación haciendo una revisión de la
literatura como de los ejercicios propuestos, los mismos que muestran con
claridad la forma en cómo se resuelven paso a paso.

Primer bimestre
A continuación, algunas consideraciones para la resolución de los ejercicios
▪
▪ Es indispensable revisar las propiedades de los exponentes en la
determinación del grado de una ecuación para determinar si es lineal o no.
▪
▪ Considerar que m representa el número de ecuaciones lineales y n el
número de incógnitas o variables presentes en un sistema.
▪
▪ Si se tiene un único punto de intersección entre las rectas estas tendrán
una única solución, si estas rectas están superpuestas se tendrán infinitas
soluciones. Si las rectas no se cruzan en ningún punto en el espacio
evidentemente no se tendrá ninguna solución al sistema de ecuaciones.
▪
▪ Para el desarrollo de los ejercicios se debe tener presente que existe
consistencia cuando el sistema presenta al menos una solución,
inconsistencia cuando no existe solución.
▪
▪ Se pueden aplicar diversas metodologías en la solución de un sistema
de ecuaciones aplicando operaciones fundamentales entre ellas hasta
encontrar la solución definitiva.

Primer bimestre
UNIDAD 2. MATRICES
2.1. Matrices
Es necesario antes de iniciar, que realice un repaso del
texto básico en la sección 1.2 Matrices, analizar cuando
existe igualdad de matrices, la adición, multiplicación por un
escalar y transpuesta de una matriz.
Los sistemas lineales pueden ser expresados mediante una forma matricial,
ya sea escribiendo únicamente los coeficientes de las variables (matriz
de coeficientes) encerrados en corchetes, o también incluir sus términos
independientes (matriz aumentada):
EJEMPLO 1 Matriz aumentada
Sistema de ecuaciones lineales
Forma matriz aumentada
Una matriz de orden mxn es un arreglo rectangular de números con m filas y n
columnas, se denota con una letra mayúscula y sus elementos con minúsculas:
Una matriz está constituida por elementos aij
, i indica el
número de fila y j el número de columna en la cual está
ubicado. En la matriz A, el elemento a12
, se encuentra
ubicado en fila 1 y columna 2, i = 1, j = 2.

Primer bimestre
El tamaño (orden o dimensión) de una matriz dependerá del número de filas y
columnas que posea, ejemplo:
La matriz A es de tamaño 3x3, es decir tiene 3 filas y 3
columnas, el elemento a32
es el 5, ubicado en la tercer fila y
columna 2.
La matriz B es de tamaño 3x2, tres filas y 2 columnas, el
elemento a21
es el 12, ubicado en la segunda fila, primera
columna.
Recordemos ciertos términos o componentes principales de una matriz:
Columna
Fila Diagonal
Pueden existir matrices formadas por una sola fila o una sola columna,
denominándose matriz fila y matriz columna respectivamente.
EJEMPLO 2 Operaciones de matrices
Ahora luego de la lectura previa y puesto que tiene claro el proceso de las
operaciones con matrices, es necesario ver sus aplicaciones.
c =3
Dadas las matrices A, B y el escalar c, realicemos las operaciones de adición,
resta, multiplicación por escalar y transpuesta:
En la adición, se debe realizar la adición del elemento aij
de A con el elemento aij
de B

Primer bimestre
Para la resta, se debe realizar la sustracción del elemento aij
de A con el elemento
aij
de B
En la multiplicación por un escalar, se tiene que multiplicar cada elemento aij
de la
matriz por el escalar
Para la obtención de la transpuesta de una matriz, cada elemento aij
de la matriz
A, se ubica como elemento aji
de AT
.
Tenga en cuenta algunos aspectos del presente contenido, para
las operaciones de adición de matrices es necesario que las
matrices tengan el mismo tamaño u orden mxn, la multiplicación
de una matriz por un escalar resulta de multiplicar cada elemento
aij
de la matriz por el escalar y que la transpuesta de una matriz A
(AT
), resulta de ubicar las filas de la matriz A como columnas en AT
y las columnas de A como filas en AT
.

Primer bimestre
Es necesario que aplique sus conocimientos y desarrolle
ejercicios planteados de la sección 1.2 Matrices del texto
base.
2.2. Producto punto y multiplicación de matrices
La aplicación y desarrollo de ejercicios del presente tema
requieren que previamente se analice de forma detallada en
el texto básico el contenido de la sección 1.3 Producto punto
y multiplicación de matrices, realice una lectura comprensiva
antes de introducirse al estudio en la guía.
Una multiplicación de dos matrices A y B, es una operación en la que se desarrolla
la suma de productos al combinar una fila de la matriz A con una columna de la
matriz B, la fila de A debe contener el mismo número de elementos que posee
la columna de B, se operan los elementos respetando el orden de ubicación, el
primer elemento de la fila de A multiplicado por el primer elemento de la columna
de B, más el producto del segundo elemento de la fila de A por el segundo
elemento de la columna de B, se continúa dicho proceso hasta agotar los
elementos, cada fila de A se opera con cada columna de B.
EJEMPLO 3 Multiplicación de matrices
Con vectores a y b, obtener el producto punto:
, a.b=(1.2) + (2.3)+(3.4)=2+6+12=20
Con matrices A y B, ontener el produco AB

Primer bimestre
Al multiplicar la matriz A por B tenemos:
Nótese que para formar la primera fila de la matriz resultante (AB) se operó la fila
primera de A por cada una de las columnas de B, este proceso se continúa para
cada una de las filas de A.
Recuerde que para poder realizar una multiplicación de matrices
es necesario que el número de columnas de la matriz A, sea del
mismo número de las filas de B.
A
B
= AB
m x n n x p m x p
Los valores de m y p determinan el tamaño de la matriz resultante.
m x n n x p m x p
Los valores de m y p dan el tamaño de la matriz resultante.
Otra forma de realizarse la multiplicación de matrices AB, es basado en la
operación de una combinación lineal como se indica en el ejemplo 15 de la
sección 1.3 Producto punto y multiplicación de matrices del texto básico.
Si AB=C, cada columna de C es el resultado de sumar los productos de cada
columna de A por los elementos de cada columna de B según corresponda.

Primer bimestre
EJEMPLO 4 Multiplicación de matrices con combinación lineal
Una aplicación especial de las matrices es que pueden ayudarnos a expresar
sistemas lineales basados en la operación de multiplicación.
EJEMPLO 5 Sistema lineal expresado en forma matricial
Sea el sistema lineal
Podemos sustituir las ecuaciones lineales por ecuaciones matriciales sencillas,
tomando en cuenta que dos matrices son iguales si y solo si sus elementos
correspondientes son iguales.

Primer bimestre
La matriz mxn del primer miembro puede ser escrita como:
Tomando en cuenta que las variables x, son valores escritos como un vector
columna, si se designan dichas matrices por A, x y b, respectivamente, el sistema
lineal original ha sido remplazado por la ecuación matricial sencilla Ax = b (Ax = 0
en un sistema homogéneo), A es la matriz de coeficientes, y la matriz aumentada
del sistema resulta de adjuntar b a A como última columna de A.
Una opción para el cálculo del producto de matrices es el procedimiento analizado
con el tema “Partición de matrices” en la página 29 del texto básico, el proceso
básicamente consiste en dividir las matrices formando sub matrices para luego
operarlas con el proceso básico de multiplicación.
Es tiempo de practicar y resolver ejercicios del tema,
desarrolle los problemas planteados en el texto básico al
final de la sección 1.3 Producto punto y multiplicación de
matrices.
2.3. Propiedades de las operaciones con matrices
Lea de forma detallada el texto básico en la sección 1.4
Propiedades de las operaciones con matrices, para la
adición, multiplicación de matrices, multiplicación por escalar
y transpuestas.

Primer bimestre
La operación de matrices puede ser facilitada en ciertos casos si se aplica las
propiedades, podemos citar las siguientes para las diferentes operaciones:
Suma, dadas las matrices A, B, C y D de mxn:
a. A+B = B+A
b. A+(B+C) = (A+B)+C
c. A+0 =A, la matriz 0 nula o cero se denomina neutro aditivo de mxn
d. A +(-A) = 0, -A es inverso aditivo o negativo de A
Multiplicación, dadas las matrices A, B, C de tamaños apropiados:
a. A(BC) = (AB)C
b. A(B+C)=AB + AC
c. (A+B)C = Ac + BC
d. IA = AI = A, I matriz identidad
Multiplicación por un escalar, si r y s son números reales y A y B matrices,
entonces:
a. r(sA) = (rs)A
b. (r+s)A = rA + sA
c. r(A+B) = rA + rB
d. A(rB) = r(AB) = (rA)B
EJEMPLO 6 Aplicación de las propiedades
A continuación, se ofrece un ejemplo de aplicación de las propiedades, partiendo
de la primera propiedad indicada para la suma, se puede aplicar las propiedades
de similar manera al resto de propiedades indicadas en el presente tema:
Sea y

Primer bimestre
+ =
Aplicando la propiedad conmutativa de la suma de matrices se puede reducir el
proceso a:
Tomar en cuenta que
Una vez revisado los temas solicitados, es momento
de aplicar lo aprendido, desarrolle algunos ejercicios
propuestos del texto básico al final de la sección 1.4
Propiedades de las operaciones con matrices.
2.4. Soluciones de sistemas de ecuaciones lineales
Iniciamos un nuevo tema, es adecuado que realice una
lectura comprensiva previa del texto básico, lea el contenido
de la sección 1.6 Soluciones de sistemas de ecuaciones
lineales, debe tener claro los procesos para resolver
sistemas lineales.
Una matriz se encuentra en forma escalonada reducida si cumple con ciertas
características o propiedades las cuales se describen en la definición de la página
62 sección 1.6 Soluciones de sistemas de ecuaciones lineales, es necesario que
las lea y las tenga presentes para el desarrollo de ejercicios. En los ejemplos 1
y 2 de la sección mencionada anteriormente, puede notarse las características y
ejemplos de matrices que cumplen y no cumplen con la forma escalonada por filas
(o renglones) y forma escalonada reducida por filas.

Primer bimestre
Existen 3 operaciones elementales que se pueden realizar en las filas (o
columnas) de una matriz, las cuales usted como estudiante debe conocerlas para
poder aplicarlas satisfactoriamente:
1. Intercambiar dos filas (o renglones)
2. Multiplicar o dividir una fila por un número diferente de cero
3. Sumar o restar a una fila, otra fila multiplicada por un número diferente de
cero
Todas estas operaciones nos permiten transformar una matriz en otra matriz
denominada equivalente, con lo cual si la matriz es una matriz aumentada que
representa un sistema lineal, el sistema no se altera y las variables mantendrán la
misma solución.
EJEMPLO 7 Operaciones elementales aplicadas en una matriz
Paso 1. Dado que en la primera fila (f1) el valor es uno, nos sirve y no
realizaremos intercambio de ecuaciones, (en caso de no ser uno y no querer
intercambiar filas podemos a la fila donde se encuentra el elemento a11
dividirla
para a11
) utilizamos este elemento (pivote) para tratar de eliminar los componentes
que están en la segunda (f2) y tercera fila (f3) debajo del pivote, a la segunda fila
le restaremos 2 veces la primera y a la tercera fila (o renglón) le restaremos 3
veces la primera:
f2à f2-2f1
f3 f3-3f1

Primer bimestre
Paso 2. Ahora trabajamos con el primer elemento no nulo de f2, que es 3 (pivote),
dividimos la fila 2 para 3 (debemos transformar a 1 siempre al elemento utilizado
como pivote), luego adicionamos 4 veces f2 a f3:
f2 à f2/3
f3àf3+4f2
Paso 3. Finalmente multiplicamos la fila 3 (-11/3 nuevo pivote) por -3/11 para
transformarlo a 1.
f3àf3*(-3/11)
(2)
Ha quedado la matriz A transformada a una forma escalonada por renglones.
Es necesario tener práctica en la aplicación de las
operaciones elementales de fila para transformar a una
forma escalonada, realice ejercicios propuestos al final de la
sección 1.6 Soluciones de sistemas de ecuaciones lineales.
2.5. Resolución de sistemas lineales
Es factible utilizar la forma escalonada para resolver un sistema lineal, en el
ejemplo anterior (7), dada la matriz A (1), el sistema lineal original puede ser
expresado en un sistema matricial similar a (1).

Primer bimestre
EJEMPLO 8 Resolución de sistemas mediante Gauss
(3)
La matriz A constituye la matriz aumentada del sistema lineal original (fundamento
explicado en texto básico en la sección 1.2 Matrices), si analizamos al final del
proceso de transformación a la forma escalonada de A, es decir la matriz (2),
podemos determinar en la tercera fila directamente el valor de la variable z (z =3).

x y z
(2)
Realizando un proceso de sustitución hacia atrás podemos despejar la variable y,
también x:
En la segunda fila de (2)
0 1 1/3 : -1, Tomando en cuenta la variable representada sería:
0x + 1y + 1z/3 = -1
Despejamos y:
y = -1 - z/3
Reemplazamos el valor de z (z =3), por lo que:
y = -2
Luego en la primera fila de (2):
1 1 1 : 2
Reemplazando las variables:
x+y+z=2
Despejamos x:
x=2-y-z
Reemplazamos el valor de y como el de z, por lo que x = 1

Primer bimestre
Lo realizado en el ejemplo 7, transformar la matriz adjunta a una matriz
escalonada por renglón constituye el proceso de eliminación Gaussiana para
resolver sistemas lineales. Otro método nos indica que es factible resolver los
sistemas lineales transformando las matrices a la forma escalonada reducida
mediante el proceso de Gauss-Jordan, el cual se basa al inicio en el proceso de
Gauss y luego se eliminan los componentes que se encuentran por arriba de los
elementos pivote de cada fila utilizando las operaciones elementales de fila o
renglón.
EJEMPLO 8 Resolución de sistemas mediante Gauss-Jordan
En el ejemplo anterior, si trabajamos en el sistema lineal (3), por el método de
Gauss, obtenemos (2):
(3)
(2)
Ahora realizaremos el mismo proceso en reversa, en la matriz (2) utilizamos
como pivote el elemento a33
, trataremos mediante las operaciones elementales de
eliminar (convertir a cero) los elementos que se encuentran en las filas superiores
de dicho elemento, es decir eliminar a23
= 1/3 de la fila 2 y a13
= 1 de la fila 1,
utilizando la fila tres:
f1à f1 - f3, y en f2à f2 - f3/3

Primer bimestre
Luego utilizamos como pivote al elemento a22
= 1, y eliminamos con dicho
elemento al elemento a12
= 1, por lo que debemos restar f2 a f1.
f1àf1-f2
(4)
Por lo que comparando la matriz final (4), con las variables en el sistema lineal
original, sería la siguiente expresión:
Como se puede observar con el método Gauss-Jordan se obtiene directamente
los valores de las variables del sistema lineal, para sistemas homogéneos se
pueden presentar siempre una solución trivial o infinitas soluciones, refiérase a los
ejemplos 13, 14 y 15 de la sección 1.6. del texto básico.
Realizar adecuadamente un proceso de eliminación para
resolver sistemas lineales por el método de Gauss-Jordan
requiere mucha práctica, le invito a resolver ejercicios
planteados al final de la sección 1.6 Soluciones de sistemas
de ecuaciones lineales, aplicando dicha metodología.
2.6. La inversa de una matriz
Los conocimientos de matriz inversa son fundamentales en
álgebra lineal, es necesario profundizar respecto al tema por
lo cual debe realizar lectura del texto básico en la sección
1.7 La inversa de una matriz.

Primer bimestre
Una matriz invertible (no singular) A es una matriz de orden nxn (cuadrada) para
la cual existe una matriz B de orden nxn tal que AB =BA = Inxn
, B sería la matriz
inversa de A (B=A-1
). Si A no cumple dicha propiedad, es una matriz no invertible
llamada también singular.
Recuerde que un requisito fundamental para determinar la matriz inversa de A, es
que A sea una matriz de orden nxn, es decir una matriz cuadrada.
Para poder determinar la inversa de una matriz Anxn
, su aplicación puede
realizarse adjuntando una matriz identidad Inxn
y operar mediante la forma
escalonada reducida para transformar la matriz A en una matriz identidad I y la
matriz inicial I será transformada en la inversa de A, ejemplo:
EJEMPLO 9 Obtención de la inversa de una matriz
Siendo A= , vamos a determinar A-1
:
Paso 1. Adjuntamos la matriz identidad Inxn
y operamos
f2à f2-2f1 y f3àf3-f1
f3àf3+2f1
f3àf3/-1
f1àf1-3f3 y f2àf2+3f3

Primer bimestre
f1àf1-2f2
Si en la última fila se obtuviera una expresión del tipo 0 0 0: 5 -2
-1, una fila nula para I, implica que la matriz no tiene inversa.
Por lo tanto ahora tenemos una expresión IA-1
, lo que implica que AA-1
= I
=
Es de notar que al realizar las operaciones elementales de fila, la matriz inicial se
convierte en otra matriz a la cual se denomina equivalente, mientras se continúe
realizando operaciones elementales en una matriz siempre se obtendrá una
matriz equivalente a la matriz inicial.
Una de las principales aplicaciones de la matriz inversa es la resolución de
sistemas lineales, dicha aplicación pude usted observarla en los ejemplos 7, 8 y 9
de la sección 1.7 del texto básico.
Es hora de aplicar lo aprendido del presente contenido,
aplique sus conocimientos y aumente su destreza
resolviendo los ejercicios propuestos de la sección 1.7 del
texto básico
Se sugiere como opcional revisar los temas de matrices
elementales en la sección 1.5 del texto complementario de
autoría de Anton y factorización LU en la sección 1.8 del
texto de los autores Kolman y Hill. Los temas pueden ser
analizados de igual manera en las secciones 2.6 y 2.7 del
texto de Grossman y Flores.

Primer bimestre
Autoevaluación 2
A continuación, se propone algunos ejercicios y actividades respecto al tema
de matrices, operaciones con matrices y casos especiales; esto le permitirán
confirmar y afianzar sus conocimientos. Adicionalmente usted encontrará al final
el solucionario a las preguntas de la autoevaluación.
1. Indique con una V (verdadero) o F (falso) las siguientes expresiones:
a. ( ) Un sistema lineal es el conjunto de ecuaciones lineales.
b. ( ) Resolver un sistema lineal es determinar los valores de
las variables que al sustituirlos satisfacen en todas las
ecuaciones.
c. ( ) Todos los sistemas lineales son consistentes.
d. ( ) Un sistema lineal puede tener una única solución, infinitas
soluciones o no tener solución.
e. ( ) La matriz de orden mxn es aquella formada por n filas.
f. ( ) Una matriz es igual a otra cuando sus elementos de la
diagonal principal son iguales.
g. ( ) El resultado de multiplicar una matriz fila (1xm) por una
matriz columna (mx1), resulta una matriz de orden mxm.
h. ( ) Según las propiedades de la multiplicación de matrices AB =
BA
i. ( ) Una matriz B es matriz inversa de A, si AB = A.

Primer bimestre
j. ( ) La forma escalonada por renglón implica transformar a 1, el
elemento pivote de cada fila.
k. ( ) Un operación elemental por renglón implica sumar una
constante diferente de cero a cada elemento de un renglón.
l. ( ) El método Gauss-Jordan implica transformar una matriz a
una forma escalonada reducida.
m. ( ) La matriz , no está en la forma escalonada por
renglón debido a que el primer elemento diferente de cero en
el segundo renglón no es 1.
n. ( ) Dado que A.A-1=I, siendo , la matriz B
es la inversa de A.
o. ( ) Si el último renglón de una matriz tiene todos sus elementos
nulos luego de su transformación, significa que es una matriz
no singular.
p. ( ) Una matriz equivalente no necesita haberle realizado
previamente una operación fundamental de renglón.
2. Por eliminación de variables determine los valores de x, y, z.
a.

Primer bimestre
b.
3. Realice la multiplicación matricial AB, AC y BC.
, ,
4. Por el método de Gauss-Jordan determine si es factible las soluciones de los
siguientes sistemas lineales:
a.
b.
c.
5. Determine la inversa de la matriz si existe.
a.
b.
c.

Primer bimestre
A continuación, algunas consideraciones para la resolución de los ejercicios.
▪
▪ Considerar que la ley de la cancelación no se aplica en la multiplicación de
matrices por lo que AxB¹BxA
▪
▪ Si un producto AxB es la matriz cero, en general, no se puede inducir a la
conclusión de que A=0 o B=0
▪
▪ La manera mas rápida de calcular un producto es aplicando las leyes
fundamentales de potenciación o radicación según el caso del producto
propuesto, para esto debe comprender efectivamente como es su
representación.
▪
▪ En las operaciones con matrices debe recordar la ley de los signos para su
uso correcto en la solución de los problemas.
Ha desarrollado su segunda autoevaluación, seguro que lo realizó
con éxito, ¡Felicitaciones! con la misma dedicación y esmero le
invito a continuar con el resto de unidades.
Es tiempo de iniciar el desarrollo de la tarea, mantenga contacto
en el EVA y cualquier inquietud respecto a los contenidos
consúltelos a su profesor tutor vía correo electrónico o vía
telefónica según horario establecido para las tutorías.

Primer bimestre
UNIDAD 3. DETERMINANTES
Comenzaremos la nueva unidad, es necesario que el tema
a tratar lo estudie previamente del texto básico, por lo cual
deberá realizar una lectura comprensiva del texto básico de
las secciones 3.1 Definición y propiedades y 3.2 Desarrollo
por cofactores y aplicaciones.
3.1. Definición y propiedades
En esta unidad analizaremos la función determinante, que asocia un número real
f(x) con un matriz cuadrada X, entre las aplicaciones más importantes que se
operan con determinantes está la obtención de inversa y resolución de sistemas
lineales.
En los ejemplos 4, 5, 6 y 7 de la sección 3.1 Definición y propiedades se puede
apreciar el proceso de obtención del valor del determinante para matrices de
orden 1x1, 2x2 y 3x3, para matrices de mayor tamaño es necesario realizar otros
procesos.
EJEMPLO 1 Obtención del valor del determinante por Sarrus
Apliquemos los procesos analizados para obtener el valor del determinante de la
siguiente matriz de orden 3x3, por el método denominado de Sarrus:
Podemos construir una expresión a la cual le adicionamos la columna 1 y la
columna 2 a la derecha de la columna 3.

Primer bimestre
Luego obtenemos el producto de los elementos ubicados en las diagonales, y los
adicionamos o restamos según la diagonal a la cual correspondan, el producto de
los elementos de las diagonales que van de izquierda a derecha son sumados y
en las diagonales de derecha a izquierda restados.
det(A) = (3)(-4)(-2) + (1)(3)(5) + (0)(-2)(4) - (0)(-4)(5) - (3)(3)(4) - (1)(-2)(-2)
det(A) = 24 + 15 + 0 – 0 – 36– 4
det(A) = -1
En la sección 3.1 Definición y propiedades, se indican las
propiedades de los determinantes, desarrolle ejercicios
propuestos al final de dicha sección del texto básico
respecto a obtención del valor del determinante y aplicación
de propiedades.
3.2. Desarrollo por cofactores
Luego de su lectura de la sección 3.2 del texto básico, podrá notar que para
obtener el valor del determinante de una matriz de orden mayor a tres, puede
realizarse aplicando determinantes de submatrices (menores) de la matriz inicial
para obtener los cofactores y con lo cual se reduce el proceso a sumar el valor
de los cofactores de una sola fila o una sola columna para obtener el valor del
determinante de la matriz inicial.
EJEMPLO 2 Obtención del determinante por cofactores
Dada la matriz:

Primer bimestre
Obtendremos el valor de los menores para una fila o columna, en este caso
trabajaremos para la primera columna, el menor se produce al obtener el
determinante de la submatriz resultante de eliminar en la matriz A, la fila y
columna que le corresponde al elemento que vamos a operar.
det (M11
) = = -2,
La submatriz del elemento ubicado en a11
, fue formada al suprimir la fila 1
y columna 1 a las cuales corresponden el elemento a11
, repetimos dicho
proceso para todos los elementos de la fila o columna escogida, en este caso
trabajaremos con la primera columna.
det (M21
) = = 0
det (M31
) = = 0
det (M41
) = = 2
Luego obtenemos los valores de los cofactores (C) mediante Aij
= (-1)i+j
det(Mij
):
A11
= (-1)1+1
(-2) =-2
A21
= (-1)2+1
(0) = 0

Primer bimestre
A31
= (-1)3+1
(0) = 0
A41
= (-1)4+1
(2) = -2
Luego se obtiene el valor del determinante como la sumatoria de cada cofactor Aij
por el elemento aij
de la matriz inicial correspondiente:
a11
A11
= (1)(-2) = -2
a21
A21
= (3)(0) = 0
a31
A31
= (1)(0) = 0
a41
A41
= (2)(-2) = -4
det(A) = -2 + 0 + 0 -4
det(A) = -6
Es necesario practicar el nuevo método aplicado para
obtención del determinante, en el texto básico al final de
la sección 3.2 Desarrollo por cofactores y aplicaciones,
se proponen algunos ejercicios donde podrá practicar el
método para obtener menores y obtener el determinante.
3.3. Aplicación de determinantes, inversa y resolución de sistemas
lineales
Si ya realizó la lectura de la sección 3.2 del texto básico notará que obtener
los cofactores de los elementos de la matriz A, permitirá formar la matriz de
cofactores, la transpuesta de la matriz de cofactores forma la matriz adjunta de
A (adjA). La inversa de A se puede definir como el cociente entre su adjunta y el
valor del determinante de A:

Primer bimestre
EJEMPLO 3 Obtención de la inversa por mediante determinantes
Paso 1. Obtenemos el valor de su determinante según el proceso analizado
en las secciones 3.1 o 3.2 de la presente guía didáctica, por lo que el valor del
determinante es 64.
Paso 2. Formamos la matriz de los menores, basados en el proceso realizado en
el ejercicio anterior de la sección 2.2
det (M11
) = = 12 det (M12
) = = -6 det (M13
) = = -16
det (M21
) = = -4 det (M22
) = = 2 det (M23
) = = -16
det (M31
) = = 12 det (M32
) = = 10 det (M33
) = = 16
Paso 3. Luego obtenemos la matriz de cofactores (Cij
) mediante Aij
= (-1)i+j
det(Mij
),
para A11
= (-1)1+1
(12) = 12, para A12
= (-1)1+2
(-6) = 6,continuamos dicho proceso
hasta el A33.
C=
Su transpuesta, es la adjunta de A:
Paso 4. Aplicamos la fórmula para obtener la inversa en función de su adjunta y el
valor del determinante:

Primer bimestre
La utilización de determinantes para resolver sistemas lineales es factible usando
la regla de Cramer, si usted ya realizó la lectura de la sección 3.2 Desarrollo por
cofactores y aplicaciones apreciará que el proceso es factible en sistemas en los
cuales el determinante de la matriz de coeficientes es diferente de cero, cuando el
sistema posee solución única.
EJEMPLO 4 Resolución de sistemas lineales aplicando determinantes
Recuerde que el sistema puede ser escrito en forma matricial Ax = b, donde b =
.
Paso 1. Estructuramos las matrices necesitadas para la regla de Cramer:
Matriz de coeficientes.

Primer bimestre
Matriz A1,
formada al reemplazar la columna de la variable x1
de la matriz de
coeficientes por b.
Matriz A2,
de la matriz de
coeficientes por b.
Matriz A3,
de la matriz de
coeficientes por b.
Paso 2. Obtenemos el valor del determinante de cada matriz obtenida en el paso
anterior:
det(A) = 44 det(A1
) = -40 det(A2
) = 72 det(A3
) = 152
Paso 3. Aplicamos la regla de Cramer

Primer bimestre
Determinar la inversa de una matriz y resolver sistemas
lineales empleando determinantes seguro que ahora le
resulta más fácil, aumente su destreza resolviendo ejercicios
planteados en la sección 3.2 Desarrollo por cofactores y
aplicaciones.

Primer bimestre
Autoevaluación 3
Es tiempo de comprobar sus conocimientos de la tercera unidad, estoy seguro
que ahora le resultará más fácil resolver los problemas planteados en la siguiente
autoevaluación con el éxito esperado, recuerde que en el solucionario podrá
comparar sus respuestas.
a. ( ) En una matriz de orden 1x1, el valor su determinante será el
valor correspondiente a a11.
b. ( ) Si , el det(A) = a11
a12
- a21
a22
c. ( ) Si , el det(A) = det(AT).
d. ( ) , y es el resultado de intercambiar las
fila, entonces det(A) = det(B).
e. ( ) A es una matriz cuadrada que posee una fila nula, por lo cual
el valor del determinante no existe.
f. ( ) El cofactor de 3 en la matriz es -8
g. ( ) El cofactor Aij de aij es definido como Aij
=(-1)(i+j)
det(Mij
)
h. ( ) Si A tiene inversa, entonces aplicando determinantes y su
adjunta es factible

Primer bimestre
i. ( ) En un sistema lineal es factible obtener el valor de x1
,
conociendo el determinante de la matriz de coeficientes (A)
y el determinante de la matriz A1 obtenida de reemplazar
la columna de la variable x1
en A por los términos
independientes del sistema lineal (b).
j. ( ) Es factible utilizar la regla de Cramer cuando existe solución
única del sistema de ecuaciones lineales.
Ejercicios de Aplicación
2. Si , determine para a11
y para a32
, sus respetivos menor (M) y
cofactor.
3. Obtenga el valor del determinante de la matriz A, aplicando desarrollo de
cofactores, obtenga la adjunta y finalmente obtenga la inversa.
4. Resuelva el sistema lineal aplicando la regla de Cramer

Primer bimestre
▪
▪ Recordar que un matriz cuadrada A es invertible si y solo si determinante de
A¹0
▪
▪ En algunos ejercicios requerirá tener presente las propiedades de los
determinantes para poder contestar adecuadamente.
▪
▪ El determinante de una matriz 1x1 es: det(x)=x
▪
▪ Si una matriz A tiene una fila de ceros pues entonces |A|=0
Ha desarrollado la tercera autoevaluación ¡Felicitaciones!. Su
constancia y esfuerzo seguro le han permitido realizar con
éxito esta prueba, si existió alguna dificultad, es momento de
profundizar un poco más los temas analizados y solucionar las
inquietudes que han surgido.
Hemos concluido los temas del primer bimestre.
¡FELICITACIONES!
No olvide que realizar la tarea es impostergable, no deje pasar el
tiempo de envío, no espere para realizarla dicha actividad el último
día, es mejor que entregue la evaluación con anterioridad.

SEGUNDOBIMESTRE
UNIDAD 4. VECTORES EN Rn
deberá realizar una lectura comprensiva del texto básico de
las secciones 4.1 Vectores en el plano y 4.2. n-vectores.
4.1. Vectores R2
y R3
Existen muchas cantidades que su magnitud describen aspectos físicos como
área, masa, longitud, a dichas cantidades se las denomina escalares, existen
cantidades que se determinan cuando se especifica magnitud y dirección, a
dichas cantidades se las denomina vectores, su aplicación como ejemplo lo
tenemos al describir dirección y velocidad del viento, fuerza, desplazamiento.
Cuando queremos representar un punto en el plano nos servimos del sistema de
coordenadas cartesianas, basados en dos ejes, el x, y el eje y, todo punto con
coordenadas x, y, es denotado como P(x,y) o (x,y), todos los puntos de este tipo
son denotados por R2
.
Figura 1. Representación de un punto en el plano (R2
).

Segundo bimestre
Un vector columna puede ser expresado como una matriz de 2x1, con
componentes x, y, los cuales son números reales, a la matriz se la asocia como
un segmento de línea recta con un punto inicial en el origen y punto final P(x,y),
el segmento de línea recorre de 0 a P y es denotado como , O es llamado cola
(punto inicial) y P cabeza (punto terminal).
Convencionalmente con coordenadas para la cola de O(0,0) y cabeza de
P(x,y), pueden ser asociados dichos componentes con la matriz , por lo que un
vector en el plano es una matriz de 2x1.
Existen características esenciales para un vector como su dirección y
longitud, puede que el vector no inicie desde el punto O (0,0), en ese caso sus
componentes son el resultado de establecer la diferencia entre los puntos inicial
y final, P y Q, ejemplo: Si P (2,3) y Q(5, 7), constituyen los puntos inicial y final
respectivamente del vector , la obtención de los componentes se establece
mediante la resta del punto inicial al final, por lo que el componente x = 5-2, y el
componente y = 7-3, por lo que = .
Los vectores en el espacio tridimensional pueden expresarse por ternas de
números reales, mediante un sistema de coordenadas rectangulares, en
dicho sistema existirá punto cero denominado origen O (0,0,0) y tres rectas
perpendiculares entre sí denominadas ejes de coordenadas que pasan por el
origen, identificados como x,y,z.
Un vector en el espacio R3
, es una matriz 3x1, o vector x = , donde x, y, z, son
números reales llamados componentes del vector x.

Segundo bimestre
Figura 2. Representación de un punto en el plano (R3
).
4.2. Longitud, distancia y producto punto entre vectores en R2
y R3
La longitud de un vector, denominada también magnitud, y la distancia
entre vectores, pueden ser obtenidas tomando como base la aplicación
del teorema de Pitágoras, si v es el vector , entonces su magnitud es
, y la distancia entre dos puntos o vectores v y u, estará dada por
, la misma base sería para R3
, aumentándose
una de los componentes.
EJEMPLO 1 Operaciones de vectores en R2
y R3
,
,
, u ,
, ,

Segundo bimestre
En el texto básico sección 4.1 Vectores en el plano, se ofrece
información respecto a operaciones con vectores, analice y
resuelva ejercicios respecto a suma de vectores y multiplicación
por escalar de un vector.
El producto punto entre dos vectores, puede ser relacionado con el ángulo entre
los vectores y resulta de la suma de los productos de los componentes (R2
o R3
)
según su orden de ubicación en el vector.
EJEMPLO 2 Producto punto en R3
u.v= ‖u‖‖v‖ cos
u.v=u1
v1
+ u2
v2
+ u3
v3
u=(2,-3,1)y, p=(1,-2,3)
u.p = 2.1 + (-3)(-2) + 1.3 = 11
Realice la lectura del presente tema en el texto básico, analice
cuándo los vectores pueden ser ortogonales entre sí, en que
consiste un vector unitario y las propiedades del producto punto
en R2
y R3
.
En el texto básico al final de la sección 4.1 Vectores en el
plano, se propone problemas referentes al presente tema,
realice ejercicios para determinar magnitud, distancia y el
producto punto entre vectores en R2
.
4.3. Vectores Rn
Un n-vector es una matriz de nx1
u =

Segundo bimestre
Muchos conceptos y propiedades son similares a los ya analizados en el tema
anterior en R2
y R3
.
Se solicita revisar en el texto básico las propiedades de las
operaciones para vectores en Rn
indicadas en el teorema 4.2
sección 4.2 n-vectores.
Sean los vectores u= u1
,u2
,…..,un
y el vector v= v1
,v_2
,…..,v_n
y c un escalar
entonces:
La igualdad en n-vectores se da si cada componente es igual, es decir u = v, si
u1
= v1
, u2
= v2
…..un
=vn
.
Ejemplo:
Sea u= (2,1,3,4) y v= (2,1,3,4), entonces u=v
La suma estará dada por: u + v = (u1
+ v1
, u2
+ v2
,…..,un
+ vn
)
Ejemplo:
Sea u= (2,1,3,4) y v= (1,1,3,4), entonces u+v= (3,2,6,8)
La multiplicación por escalar, cu
= cu1
,cu2
,….., cun
Ejemplo:
Sea c= 3 y u= (2,1,3,4), entonces cu= (6,2,9,2)

Segundo bimestre
▪
▪ La magnitud de v,
Ejemplo:
Sea u= (2,1,3,4),
▪
▪ La distancia entre dos puntos o vectores v y u,
Ejemplo:
Sea u= (2,1,3,4) y v= (1,1,3,4), entonces
= 1
▪
▪ Producto punto,
Ejemplo:
Sea u= (2,1,3,4) y v= (1,1,3,4), entonces u.v = (2.1)+(1.1) + (3.3) + (4.4) = 28
Es tiempo adecuado para que practique y realice
operaciones de adición, multiplicación por escalar entre
otras de vectores en R3
y Rn
al final de la sección 4.2
n-vectores, se proponen problemas de los presentes temas.
4.4. Producto cruz
Tratar el presenta tema requiere que previamente revise
el texto básico en la sección 5.1 Producto cruz en R3
, en
la cual se registra los contenidos importantes referente a
producto cruz, operación que se realiza en R3
.

Segundo bimestre
La operación de producto cruz se realiza entre 2 vectores en el espacio R3
y su
resultado es un vector perpendicular a los que le dan origen. Su cálculo requiere
la aplicación de determinantes y pueden utilizarse la forma de vector unitario
estándar.
Figura 3. Vectores unitarios estándar
EJEMPLO 3 Producto cruz

Segundo bimestre
El cálculo puede realizarse sin el uso de la nomenclatura de los vectores unitarios:
uxv = (3,5,7)
EJEMPLO 4 Vectores ortogonales y producto cruz cero
Existen ciertas propiedades en vectores en R3
, si dos vectores son ortogonales su
producto punto es cero, y el producto cruz de un mismo vector es el vector nulo 0.
u=(1,-2,1), uxv = (3, 5, 7)
u.(uxv) = (1, -2, 1).(3, 5, 7)
= 1.3 + (-2)5 + 1.7
= 3-10 +7 = 0
uxu = = (0,0,0)
Aumente su pericia para obtener el producto cruz entre
vectores, del texto básico desarrolle los ejercicios
planteados al final de la sección 5.1 del texto básico
Producto cruz en R3
.
Una unidad más culminada, estoy seguro que lo realizó con
éxito, felicitaciones, es hora de aplicar lo aprendido, desarrolle
la autoevaluación 4 y si existen dudas refiérase al texto básico y
solucionario para solventar sus inquietudes.

Segundo bimestre
Autoevaluación 4
Hay que validar nuestros conocimientos de la cuarta unidad, estoy seguro que
ahora le resultará más fácil resolver los problemas planteados en la siguiente
autoevaluación con el éxito esperado, recuerde que en el solucionario podrá
comparar sus respuestas.
a. ( ) El segmento de recta dirigido que se extiende desde el punto
P al punto Q en R2 es denotado por .
b. ( ) Dos segmentos de rectas son equivalentes si tienen la
misma magnitud y dirección.
c. ( ) Un vector v en R2, es un par ordenado de números reales
(a, b), los números a y b se denominan componentes del
vector v.
d. ( ) El vector cero en R2 es el vector (0,0).
e. ( ) v = (a, b), entonces
f. ( ) La adición de vectores u = (1,-2,5) y v=(3,2,-1) en R3 se
realiza operando (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3), por lo que u+v
= (4,0,4).
g. ( ) Dos vectores son ortogonales si y sólo si su producto escalar
es cero.
h. ( ) La distancia entre los puntos (1,2,3) y (3,5,-1) es

Segundo bimestre
i. ( ) (i + 3k –j).(k-4j+2i) =9.
j. ( ) (i –j +2k)x(2i+3j-4k) =-2i +8j + 5k.
2. Si a = (2,3,4), b=(1,-2,5) y el escalar c = 2 determine:
a. c.a =
b. a + b =
c. a.b =
d. llall =
e. axb =
▪
▪ Un vector se forma cuando un punto se desplaza una distancia dada en una
dirección dada.
▪
▪ Es conveniente recordar que se puede tener un vector [0,0] también llamado
vector cero.
▪
▪ Si se tiene vectores en R3
entonces tendrá tres coordenadas cada punto en
el plano cartesiano.

Segundo bimestre
▪
▪ Para resolver vectores en Rn
hay que recordar la aritmética de los números
reales ya que no se podrán dibujar para las explicaciones.
▪
▪ Siempre es importante revisar las propiedades algebraicas (distributiva,
asociativa, conmutativa) de los vectores en R2,
R3,
Rn
respectivamente para
resolver los ejercicios.

Segundo bimestre
UNIDAD 5. ESPACIOS VECTORIALES REALES
deberá realizar una lectura comprensiva de la sección 6.1
Espacios vectoriales.
5.1. Espacios vectoriales
Un espacio vectorial es considerado una terna conformada por un conjunto V de
vectores y dos operaciones, suma y multiplicación (por escalar) que satisfacen
ciertas propiedades (es necesario que analice las propiedades indicadas en
el texto básico en la definición 1 de la sección 6.1 Espacios vectoriales), a
continuación, analizaremos algunos ejemplos respecto a espacios vectoriales.
EJEMPLO 1 Espacio vectorial Rn
Sea V = Rn
=
Analicemos la propiedad uÅv=vÅu, cada vector en Rn
es una matriz de nx1(o
vector columna) por lo que la suma de x + y debe ser una matriz de nx1, si
analizamos la suma de dos matrices de orden nx1 siguen manteniendo el mismo
orden nx1, por lo que cumplen con la propiedad de la suma, entonces V se dice
que es cerrado bajo la suma, podemos interpretar de la misma manera en la
propiedad uÅ(uÅw)=(uÅv)Åw
La propiedad uÅ0=0Åu=u, podemos analizarla haciendo , también se
cumple ya que si sumamos 0 + x, la respuesta será x, lo mismo sucederá para
cualquier matriz de orden nx1, la propiedad uÅ-u=0, es factible si establecemos

Segundo bimestre
, por lo cual, x-x = 0, el resto de propiedades se obtienen de la
definición de suma de vectores (matrices) y son aplicables, por lo que se puede
definir en el presente ejemplo que las matrices nx1 si forman un espacio vectorial.
EJEMPLO 2 Espacio vectorial trivial
Sea , es decir V, consiste solo en el número 0, podemos demostrar que
0+0 = 0, 1.0=0, 0+(0+0)=0, se puede advertir que en todas las operaciones de
las propiedades dará como resultado 0, por lo que se concluye que V, si es un
espacio vectorial, a este espacio se lo suele denominar trivial.
EJEMPLO 3 Conjunto que no es espacio vectorial
Sea , V consiste únicamente del número 1, si aplicamos las propiedades
se puede apreciar que no es un espacio vectorial, ya que 1+1=2, 2 no pertenece a
V, V está formado únicamente por el número 1.
Afirme sus conocimientos con más ejemplos indicados en
el texto básico, aumente su destreza en el tema realizando
ejercicios planteados al final de la sección 6.1 Espacios
vectoriales.
5.2. Subespacios
Haber estudiado y conocer del tema anterior le ayudará a
dominar el presente contenido, además es necesario que
revise la sección 6.2. Subespacios
El concepto de subespacio hace referencia a un subconjunto W no vacío que
pertenece al conjunto V, si W es un espacio vectorial y cumple las operaciones
en V. Todo espacio vectorial tiene al menos dos subespacios, él mismo y el
subespacio {0} que consta únicamente el vector cero.

Segundo bimestre
Consideremos que un subconjunto puede ser considerado subespacio si cumple
las siguientes condiciones:
▪
▪ Si u y v pertenecen a H, entonces u + v pertenece a H
▪
▪ Si u pertenece a H, entonces cu pertenece a H para todo número o escalar
c.
EJEMPLO 4 Subespacio trivial
Para cualquier espacio vectorial V, ya analizado anteriormente el subconjunto {0}
que consiste en el vector cero, podríamos decir que es únicamente un subespacio
ya que 0 + 0 = 0, y c 0=0 para todo número real c, por lo que constituye una
subespacio trivial.
EJEMPLO 5 Subespacio de R2
Sea H = {(x,y): y = mx}, dado a que H es un espacio vectorial en R2
, entonces H
es un subespacio de R2
, recuerde que un espacio vectorial es subespacio de él
mismo.
EJEMPLO 6 R sin subespacio propio
Sea S un subespacio de R, si S {0}, S tiene en su contenido elementos diferentes
de cero, se podrían dar muchas propiedades como que c + d (diferentes a cero)
pertenecen a S, pero un subespacio debe contener el elemento 0, y la condición
es de que 0 no está incluido en el subconjunto de S, por lo que en el caso
presente el R no tendría subespacio propio.
EJEMPLO 7 Subespacio propio de Mnn
Sea Mnn
(las matrices de nxn), y sea S = {B Mnn
: B es invertible}, entonces S no es
un subespacio, debido a que la matriz cero de nxn no está en H, recuerden que
una matriz invertible cumple el concepto de AB =I, si A o B son cero no se podrá
obtener I, la matriz identidad.

Segundo bimestre
En el texto básico en la sección 6.2 Subespacios, se ofrecen
más ejemplos analícelos previamente para que desarrolle
algunos de los ejercicios propuestos al final de dicha
sección.
5.3. Espacio generado e independencia lineal
En la sección 6.3 Independencia lineal, se describe con
detalle el presente tema, realizar una lectura comprensiva
del mismo en el texto básico antes de continuar.
Un espacio vectorial V puede contener una infinidad de vectores, un vector de V
puede ser expresado como una combinación lineal de vectores de tal conjunto,
cuando un vector puede ser representado por medio de una combinación de
otro u otros vectores se dice que son vectores linealmente dependientes, caso
contrario se denominan linealmente independientes.
Los vectores v1
, v2
,…….vk
de un espacio vectorial V, generan a V, si cada vector
en V, es una combinación lineal de v1
, v2
,…….vk.
Para determinar si los vectores
v1
, v2
,…….vk
generan el espacio vectorial V se selecciona un vector arbitrario v
de V y luego se determina si v es una combinación lineal de los vectores dados.
En caso de serlo, los vectores dados generan a V; si no lo es, resulta que los
vectores dados no generan a V.
EJEMPLO 8 Espacio generado por dos vectores en R3
Sea , , sea , debemos determinar si existen
constantes tales que:
.

Segundo bimestre
Tomando como base esto podemos establecer el siguiente sistema lineal:
Dado a que existen dos incógnitas y tres ecuaciones, el sistema tiene solución,
si se elige cualquier número para a1
y para a2
existe solución, por lo que v1
y v2
generan a v, generan a R3
.
EJEMPLO 9 Tres vectores que no generan R3
Determinar si , , generan el espacio vectorial
R3
.
Una vez más debemos determinar si existen constantes tales que:
Es decir:
Debido a lo cual obtenemos el sistema lineal:

Segundo bimestre
Al establecer la matriz de coeficientes:
Podemos notar que no existe solución al sistema, det(A)=0, por lo que v1
, v2
y
v3
no generan a v. La dependencia e independencia entre vectores puede ser
determinada mediante:
Si , no todas son iguales a cero, entonces los vectores son
linealmente dependientes, por el contrario si (es decir
son todos iguales a cero) es la única combinación lineal de los vectores para
que su resultado sea el vector cero, en ese caso son vectores linealmente
independientes.
EJEMPLO 10 Tres vectores linealmente dependientes
Sea , , , sea
, entonces , lo que indica que los vectores analizados son
linealmente dependientes.
EJEMPLO 11 Tres polinomios linealmente dependientes
Los polinomios p1
= 1-x, p2
= 5+3x-2x2
, y p3
= 1+3x-x2
, al establecer 3p1 – p2 + 2p3
= 0, concluimos que son linealmente dependientes.
EJEMPLO 12 Tres vectores linealmente independientes
Si i=(1,0,0), j=(0,1,0) y k=(0,0,1) en R3
, si establecemos c1
i + c2
j + c3
k=0, o de
manera equivalente (c1
, c2
, c3
)=(0,0,0), debido a que c1
=0, c2
=0, c3
=0, por lo que le
conjunto S= es linealmente independiente.

Segundo bimestre
Si requiere más análisis de los temas, revise los ejemplos en
la sección 6.3 Independencia lineal, luego desarrolle algunos
de los ejercicios propuestos al final de la sección.
5.4. Base y dimensión
El presente tema requiere la lectura comprensiva del texto
básico en la sección 6.4 Bases y dimensión, se sugiere
realizar su lectura antes de continuar.
Para que un conjunto de vectores v1
, v2
…vn
formen una base debe darse dos
condiciones:
1. Generan a V
2. Son linealmente independientes
EJEMPLO 13 Vectores unitarios que forman una base
En el ejemplo anterior i= (1, 0,0), j= (0, 1, 0) y k= (0, 0,1) en R3
, establecimos que
S= , es un conjunto linealmente independiente, analicemos si generan V,
pues dado que cualquier vector v = (a, b, c) en R3
se puede escribir como:
v= (a,b,c)= a(1,0,0) + b(0,1,0) + c(0,0,1) = ai+bj+ck
Por lo que S es una base para R3
, se denomina base estándar de R3
, se concluye
que las coordenadas de v respecto a la base estándar son a, b, c, de modo que
(v) = (a,b,c).
EJEMPLO 14 Tres vectores que forman una base en R3
Sea , , , demostremos si el conjunto S=
,es una base para R3
.

Segundo bimestre
Un vector arbitrario , puede ser expresado como
de los vectores de en S, es decir:
Igualando los componentes:
Estableciendo la matriz de coeficientes obtenemos:
Y su det(A) = -1
Si , se comprueba también que , por lo que
existe independencia, como también existe solución al sistema, por tanto S es una
base para R3
.
Puede demostrarse que un conjunto de vectores forman una
base estableciendo que , existiendo una única
solución , lo cual mostraría que son linealmente independientes.
La dimensión es el máximo número de vectores independientes que podamos
tener en un espacio o subespacio, el cual puede ser de dimensión finita si existe
un subconjunto finito de V que es una base para V, en caso contrario puede ser
de dimensión infinita, es de notar que si es una base para un
espacio vectorial V, entonces cada vector en V, se puede escribir de una y sólo
una forma como combinación lineal de los vectores en S.

Segundo bimestre
EJEMPLO 15 Base y dimensión en R4
Analicemos si de los siguientes vectores, todos ellos son una base para R4
,
determinemos la base y dimensión:
,
Al operar la matriz aumentada y reducirla a la forma escalonada reducida, se
obtiene:
Por lo que la dimensión estará dada por el número de vectores independientes
(número de elementos de la base), en el presente caso sería los vectores
(que constituyen la base para R4
), v2
es dependiente de v1
por lo que
no se debe contar y si se analiza por lo que v5
no puede ser parte
de la base.
EJEMPLO 16 Base y dimensión en R2

Segundo bimestre
La dimensión sería 2, formada por los vectores v1
y v2
independientes que
constituyen una base en R2
, nótese que en los ejemplos la dimensión coincide con
el número de filas no nulas.
Es necesario que refuerce con ejemplos y ejercicios de la
sección 6.4 Bases y dimensión, para una mejor comprensión
del tema.
5.5. Rango y nulidad
Para iniciar el estudio del presente tema se requiere que
previamente realice lectura comprensiva en el texto básico
de la sección 6.6. El rango de una matriz y sus aplicaciones.
Una manera de determinar la base es el espacio fila de un conjunto de vectores,
lo cual es en función de determinar el número de filas no nulas luego de realizar
la forma escalonada reducida a un grupo de vectores fila , tal
como se indica en el ejemplo 1 de la sección 6.6 del texto básico.
Según como se aplica en el espacio fila o columna, la dimensión en el espacio fila
se denomina rango fila y la dimensión en el espacio columna se denomina rango
columna, el rango fila y rango columna de una matriz mxn son iguales y se denota
como rango de A.
La nulidad corresponde a la dimensión del espacio solución, es el número de
constantes arbitrarias presentes en la solución del sistema, de tal manera que en
una matriz Amxn
el rango de A más la nulidad de A siempre es n.

Segundo bimestre
EJEMPLO 17 Rango y nulidad
Analicemos estos conceptos y procedimientos basados en el ejercicio del ejemplo
1 de la sección 6.5.
Dados los vectores:
,
Vamos a obtener el rango y dimensión.
Establecemos:
(a)
Son 5 vectores que al formar la matriz de coeficientes, estableciendo A:0, al
reducir mediante Gauss-Jordan, obtenemos:
A:0

Por lo que la base estará dada por los vectores independientes: 1 2 y 4, el número
de vectores constituyen la dimensión, es decir 3 (igual al número de filas no
nulas), la dimensión fila es igual a la dimensión columna, es decir el rango de la
matriz es 3.

Segundo bimestre
El número de vectores para el espacio solución del sistema será la nulidad,
determinemos la nulidad:
(b)
La solución será:
Por lo que asignando términos, , entonces
los vectores que constituyen la solución es de la forma:
Si multiplicamos por cualquier valor para t y s, en los vectores y , y
reemplazamos en las filas de (b) se dará siempre la solución del sistema.
Con va,

Segundo bimestre
Comprobemos para la primera fila
1(-1)+0(1)+2(0)+0(-2)+1(1) = 0
0=0
Se cumple igual para todas las filas
Con vb,
(b)
Comprobemos para la primera fila
1(-2)+0(-2)+2(1)+0(0)+1(0) = 0
0=0
Se cumple igual para todas las filas.
De igual manera si reemplazamos los componentes de y
para los valores de en (a), de forma correspondiente
, también serán los
vectores solución.
Para , será:
- 1 (1,0,0,1,2) + 1 (1,1,0,-1,1) + 0 (4,2,0,0,6) - 2 (1,1,1,0,0) + 1 (2,1,2,2,1) = 0

Segundo bimestre
Para , será:
- 2 (1,0,0,1,2) + (-2(1,1,0,-1,1)) + 1 (4,2,0,0,6) + 0 (1,1,1,0,0) + 0 (2,1,2,2,1) = 0
Concluimos que la dimensión del espacio solución (vectores y ) es 2, lo que
corresponde a su valor de la nulidad (número de vectores del espacio solución).
Recordemos entonces que en una matriz de mxn, rango + nulidad = n, en
nuestro ejemplo se formó una matriz de orden 5x5, rango 3 y nulidad 2, por lo cual
se cumple el teorema 6.12.
Podemos determinar si una matriz de nxn es no singular (posee inversa, y por lo
tanto el sistema de donde proviene tener solución, ya que sus vectores o filas que
la forman son independientes) si y sólo si rango de A=n., lo cual será factible si
det(A)¹0.
Desarrolle su pericia y conocimientos en la resolución
de problemas respecto al tema estudiado, más ejemplos
usted puede obtenerlos del texto básico accediendo a los
ejercicios propuestos al final de la sección 6.6 El rango de
una matriz y sus aplicaciones.
Se sugiere para reforzar el presente tema leer el contenido 5.6
del texto complementario del autor Anton, en el cual describe
con detalle algunos fundamentos, conceptos y fundamentos del
presente contenido.

Segundo bimestre
Autoevaluación 5
Una unidad más de estudios culminada, es necesario determinar lo aprendido, le
invito a desarrollar la autoevaluación 5, lo cual le será de mucha ayuda para un
autoanálisis del nivel de sus conocimientos y competencias adquiridas respecto
a la unidad estudiada. Usted puede encontrar las respuestas al final de la guía
didáctica.
a. ( ) Un espacio vectorial real es un conjunto de vectores que
cumple propiedades de la suma y multiplicación por escalar
entre ellos.
b. ( ) Si u y v son elementos cualesquiera de V, dado que u Å v
está en V, dicha característica constituye la propiedad de
cerradura en Å
c. ( ) Si V es un espacio vectorial y W un subconjunto no vacío de
V que no cumple las operaciones de suma y multiplicación
por escalar, W es subespacio de V.
d. ( ) Todo espacio vectorial tiene el subespacio {0}
e. ( ) Un subespacio cumple las condiciones de la operación Å y ʘ
en un espacio vectorial.
f. ( ) Un espacio vectorial V no puede ser expresado con un
conjunto finito de vectores contenidos en V.
g. ( ) Cada vector de un espacio vectorial V puede ser generado
por un conjunto de vectores del espacio vectorial V, por

Segundo bimestre
lo que el conjunto de vectores no se puede denominar
generador de V.
h. ( ) Para establecer si un conjunto de vectores generan al
espacio vectorial V, se selecciona un vector arbitrario v en
V, luego se determina si v es una combinación lineal de los
vectores dados.
i. ( ) Un conjunto de vectores en un espacio vectorial V, son
linealmente dependientes si existen constantes todas
iguales a cero tal que al ser multiplicadas por los vectores
mencionados el resultado sea 0.
j. ( ) Un conjunto de vectores en un espacio vectorial V,
forman una base para V, si generan a V y son linealmente
independientes.
k. ( ) Un espacio vectorial es de dimensión finita si existe un
subconjunto finito de V que es una base para V.
l. ( ) El número de vectores en una base para V, es la dimensión
de un espacio vectorial.
m. ( ) La dimensión del espacio fila de A se denomina rango fila
de A y la dimensión del espacio columna de A se denomina
rango columna de A.
n. ( ) El rango fila y el rango columna de una matriz A = de
mxn no son iguales.
o. ( ) Para obtener el rango de una matriz A, se debe llevar a su
forma escalonada reducida por filas, el número de las filas
no nulas constituye el rango.

Segundo bimestre
2. Determine si el conjunto dado V es cerrado (constituye o no espacio
vectorial) bajo las operaciones ⊕ y ʘ.
a. , es decir V, es el conjunto de puntos
en R2 que están sobre la recta y=2x+1, suponga 2 puntos para las
operaciones (x1,y1) y (x2,y2), los cuales están en V.
b. V, es el conjunto de todos los pares ordenados de números reales (x,y),
donde x>0 y y>0; donde las operaciones están definidas como :
(x,y) ⊕(x1,
,y1
) = (x+ x1
,y+ y1
) y
cʘ(x,y)= (cx, cy)
3. Determine si el conjunto W, formado por todos los puntos de R2
, que tiene la
forma (x,x), es una línea recta y si puede ser considerado un subespacio.
4. Determine si los vectores son
linealmente independientes.
5. Sea S= , donde
. Determine una base
para el subespacio R3
, y la dimensión.
6. Determine el rango y nulidad de A.

Segundo bimestre
A continuación, algunas consideraciones para la resolución de los ejercicios
▪
▪ Las propiedades que se debe tomar en cuenta para los espacios vectoriales
serían: Cerradura, conmutativa, asociativa y distributiva
▪
▪ Recuerde que las propiedades que definen un espacio vectorial son las
mismas que se aplican directamente a los números reales
▪
▪ Puede resumirse los espacios vectoriales de la siguiente manera:
• R= conjunto de todos los números reales
• R2
= conjunto de todos los pares ordenados
• R3
= conjunto de todas las tercias ordenadas
• Rn
= conjunto de todas las n-adas ordenadas
▪
▪ Para la solución de los ejercicios de aplicación cabe señalar que es
importante tener en cuenta el producto por un escalar y este debe cumplir
con las propiedades para ser un espacio vectorial.

7. Solucionario
AUTOEVALUACIÓN 1
1.
ITEM RESPUESTA
a. V
b. F
c. V
d. F
e. F
f. V
2. A
3.
ITEM RESPUESTA
a. 1a, 2b, 3c
b. 1c, 2a, 3b
c. 1b, 2a,3c
4.
ITEM RESPUESTA
a.
b.
c.

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