Este documento presenta el portafolio de cálculo diferencial de Gisella Bravo Barahona para el segundo semestre de la carrera de Ingeniería en Sistemas Informáticos. Incluye secciones como el prontuario del curso, carta de presentación, autobiografía, diario metacognitivo, artículos de revistas profesionales, trabajos de ejecución, materiales relacionados con la clase, sección abierta, resumen de cierre, evaluación del portafolio, anexos, investigación, vinculación y

1. PORTOFOLIO DE CALCULO DIFERENCIAL
BRAVO BARAHONA GISELLA
PATRICIA
2 SEMESTRE “B”
ING. JOSE ANTONIO CEVALLOS SALAZAR
SEPTIEMBRE 2012- FEBRERO 2013 1

2. TABLA DE CONTENIDOS
 PRONTUARIO DEL CURSO
 CARTA DE PRESENTACIÓN
 AUTORRETRATO
 DIARIO METACOGNITIVO
 ARTÍCULOS DE REVISTAS PROFESIONALES
 TRABAJO DE EJECUCIÓN
 MATERIALES RELACIONADOS CON LA CLASE.
 SECCIÓN ABIERTA.
 RESUMEN DE CIERRE
 EVALUACIÓN DE PORTAFOLIO
 ANEXOS
 INVESTIGACIÓN
 VINCULACIÓN
 GESTIÓN
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3. UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ
VISIÓN
Formar académicos, científicos y profesionales responsables, humanistas,
éticos y solidarios, comprometidos con los objetivos del desarrollo
nacional, que contribuyan a la solución de los problemas del país como
universidad de docencia con investigación, capaces de generar y aplicar
nuevos conocimientos, fomentando la promoción y difusión de los saberes
y las culturas, previstos en la Constitución de la República del Ecuador.
MISIÓN
Ser una institución Universitaria, líder y referente de la educación superior
en el Ecuador, promoviendo la creación, desarrollo, transmisión y difusión
de la ciencia, la técnica y la cultura, con reconocimiento social y
proyección regional y mundial.
3

4. FACULTAD DE CIENCIAS INFORMÁTICAS
VISIÓN
Ser una unidad con alto prestigio académico, con eficiencia, transparencia
y calidad educativa, organizada en sus actividades, protagonista del
progreso regional y nacional.
MISIÓN
Formar profesionales eficientes e innovadores en el campo de las ciencias
informáticas, que con honestidad, equidad y solidaridad, den respuestas a
las necesidades de la sociedad elevando su nivel de vida.
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5. PRONTUARIO
INFORMACIÓN GENERAL
Programa
 Codificación del curso: Segundo “A”
 Título del curso: CÁLCULO DIFERENCIAL
 Horas de crédito: cuatro (4) créditos
 Horas contacto: 64 horas, II semestre
DESCRIPCIÓN DEL CURSO
La ciencia Matemáticas es un área del conocimiento que colabora al desarrollo de otras
ciencias, marcando su importancia para la solución de problemas dentro de un nivel
científico. Estas son las razones por la que la carrera incorpora el Cálculo Diferencial a
la malla curricular. El propósito de la asignatura en sus cuatro capítulos, es
conceptualizar lineamiento teóricos metodológicos al estudiante, en el análisis de las
funciones y hace énfasis en sus gráficas, la forma de combinarlas y clasificarlas de
acuerdo a los números reales y a los tipos de funciones, la idea de límites y su
continuidad permiten describir el comportamiento de una función con propiedades
específicas, se hace énfasis en desarrollar destrezas para calcular límites por métodos
algebraicos o trigonométricos y mediante reglas básicas, la noción de la derivada en esta
unidad el estudiante aprenderá a calcular la derivada inicialmente con su definición, y
luego hace énfasis con modelos matemáticos que surgen de las Reglas Básicas de
Derivación, las Aplicaciones de las derivadas, hace énfasis en determinar los Valores
Máximos y Mínimos de una función que se requieren en la práctica en problemas de
Optimización donde se pide determinar el modo óptimo de llevar a cabo un determinado
proceso. Así mismo proporciona al estudiante información adicional y precisa para el
Trazo de Curvas. La programación de la asignatura concluye con la introducción de
Diferenciales para aplicarlas en la Integral indefinida, teniendo como apoyo el software
matemático Matlab y Derive-6, para incentivarlos en la construcción de pequeños
Software.
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6. POLITICAS DEL CURSO
Las políticas de curso que se aplican en la materia de Cálculo Diferencial para optimizar el
proceso de enseñanza–aprendizaje dentro del aula son los siguientes:
Compromisos Disciplinarios y Éticos
DE LAS RECOMENDACIONES PARA MEJORAR LA CONVIVENCIA, CUIDADO Y EL
BUEN USO DEL AULA DE CLASE.
 Es primordial mantener siempre el respeto como norma principal de convivencia en armonía entre
compañeros y el docente.
 Ser puntuales en todas las actividades programadas.
 Escuchar y respetar democráticamente el criterio de los demás.
 Hacer silencio cuando alguien esté haciendo uso de la palabra.
 Evitar interrupciones innecesarias.
 Cuidar y preservar el inmobiliario del aula.
 Mantener el aula limpia, evitando botar basura en el piso
 No deteriorar ni rayar, las paredes, mesas y sillas.
 Procurar en todo momento la correcta manipulación y utilización de los equipos informáticos.
 Comprometernos responsablemente a cumplir con estas recomendaciones tanto estudiantes como
docente.
ASISTENCIA, PUNTUALIDAD Y RESPONSABILIDAD
 La asistencia es obligatoria a todas las actividades programadas en esta asignatura.
 El estudiante ingresará a clase a la hora establecida y solo por una ocasión se aceptará el retraso de
10 minutos.
 El docente asistirá igualmente con toda puntualidad a las actividades establecidas y los estudiantes
esperarán 10 minutos después de la hora de inicio, en caso de que el docente no se hubiera
comunicado con el líder del curso en este lapso los estudiantes se retirarán y el docente tiene la
obligación de recuperar estas horas.
 El estudiante deberá justificar al docente su inasistencia o atraso, independiente de la justificación
reglamentaria.
 El estudiante por ningún concepto utilizará celulares en el aula, igual comportamiento tendrá el
docente.
 En caso de emergencia el estudiante solicitará al docente el respecto permiso para el uso del
celular.
 El intento de copia de cualquier estudiante será sancionado con la calificación de cero y no habrá
oportunidad de recuperación, independiente de las sanciones establecidas por la universidad.
 Los trabajos se entregarán en la fecha establecida y no se recibirá en otra oportunidad. No se
aceptarán una segunda oportunidad para la entrega de trabajo.
 Serán por equipo conformado por 4 estudiantes, aplicando el sistema cooperativo en la
investigación.
 La defensa estará a cargo del grupo.
 Se presentará impreso en papel, carpeta plástica de acuerdo al modelo presentado en el curso y un
archivo lógico-caratula con las precauciones necesarias.
 El estudiante ingresará al aula sin gorra y no consumirá alimentos dentro del aula.
 El trabajo escrito será realizado con las propias palabras e ideas del estudiante, si se descubre la
copia textual de un párrafo o un texto se calificará con cero.
 El estudiante aplicará en su proceso enseñanza-aprendizaje como evidencia y mejoramiento
continuo un portafolio de acuerdo al modelo presentado en el curso.
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7. UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ
SYLLABUS
ASIGNATURA: CÁLCULO DIFERENCIAL
1.- DATOS GENERALES
Unidad Académica: Facultad de Ciencias Informáticas
Carrera: Ingeniería en Sistemas Informáticos
Ciclo Académico: Septiembre 2012 – Febrero 2013.
Nivel o Semestre: 2do. Semestre
Área de Curricular: Matemáticas
Tipo de Asignatura: Obligatoria de Facultad
Código: OF-280
Requisito para: Cálculo Integral-OF-380
Pre-requisito: Matemáticas Básicas II-OF-180
Co-requisito: Ninguno
No de Créditos: 4
No de Horas: 64
Docente Responsable: Ing. José Antonio Cevallos Salazar, Mg.Sc.
Correo Electrónico: jcevallos@utm.edu.ec, jcs_280@hotmail.com.
2. DESCRIPCIÓN DE LA ASIGNATURA.
El Cálculo Diferencial marca su importancia para la solución de problemas dentro de un nivel
científico; su propósito es conceptualizar lineamiento teóricos, metodológicos y prácticos en el
estudiante, en el análisis de las funciones, gráficas, la forma de combinarlas y clasificarlas de
acuerdo a los números reales y a los tipos de funciones, la idea de límites y su continuidad
permiten describir el comportamiento de una función con propiedades específicas, calcular
límites por métodos algebraicos o trigonométricos y mediante reglas básicas, y luego con
modelos matemáticos que surgen de las Reglas Básicas de Derivación, la Aplicación de las
derivadas en determinar los Valores Máximos y Mínimos de una función que se requieren en la
práctica en problemas de Optimización para un determinado proceso. Así mismo proporciona al
estudiante información adicional y precisa para aplicarla en otras ciencias, teniendo como
apoyo el software matemático Matlab.
3. OBJETIVO GENERAL DE LA ASIGNATURA
Desarrollar en los estudiantes el análisis, el razonamiento y la comunicación de su
pensamiento, a través de la solución de problemas que le permitan percibir e interpretar su
entorno espacial desde la perspectiva del Cálculo, facilitándoles en el futuro la asimilación de
aprendizajes más complejos en el área de las matemáticas, promoviendo la investigación
científico-técnica para la Ciencias Informáticas.
7

8. 4. OBJETIVOS EDUCACIONALES DE LA FACULTAD DE CIENCIAS
INFORMÁTICAS
CARRERA DE INGENIERÍA DE SISTEMAS INFORMÁTICOS
1. Aplicar las ciencias básicas y las matemáticas en la solución de problemas del entorno
2. Aportar a la toma de decisiones que ayudan a desarrollar organizaciones proactivas
que contribuyen al buen vivir
3. Construir soluciones informáticas de calidad que mejoren la eficiencia y eficacia de una
organización haciendo uso correcto de la tecnología.
4. Demostrar compromiso de aprendizaje continuo y trabajo en equipo multidisciplinario
con ética profesional
5. Estar en capacidad para realizar estudios de posgrado con exigencia internacional en
áreas afines.
6. Ser emprendedor, innovador en los últimos avances tecnológicos en el desempeño de
su profesión
1 2 3 4 5 6
x
5. RESULTADOS DEL APRENDIZAJE
RESULTADOS DEL METODOLOGIA DE EVALUACIÓN DE LOS RESULTADOS DE APRENDIZAJE
APRENDIZAJE
NIVELES METODO DE CRITERIOS NIVELES DEL RESULTADO DE PONDERACIÓN
EVALUACIÓN APRENDIZAJE
Determinar el APLICACIÓN Ejercicios Aplicación de 4 Determinará el dominio con la NIVEL ALTO:
aplicación de 4 técnicas, el
dominio, rango y escritos, orales, técnicas para rango con 4 técnicas y 86-100
gráficas de talleres y en los dominio graficará las funciones con 4
funciones en los Software técnicas en ejercicios escritos,
reales a través de Matemático: Aplicación de 4 orales, talleres y en el
software Matemático: Derive-6
ejercicios, aplicando Derie-6 y Matlab. técnicas para y Matlab.
las técnicas rango
respectivas para Aplicación de 4
cada caso. técnicas para
NIVELMEDIO
graficar las Determinará el dominio, con la
funciones. aplicación. de 2 técnicas, el
71-85
rango con 2 técnicas y
graficará las funciones con 2
técnicas en ejercicios escritos,
orales, talleres y en un
software Matemático: Matlab
Determinará el dominio, con la
aplicación. de 1 técnica, NIVEL BÁSICO
el rango con 1 técnicas y 70
graficará las funciones con 1
técnicas en ejercicios escritos,
orales, talleres y en un
software Matemático: Matlab
RESULTADOS DEL METODOLOGIA DE EVALUACIÓN DE LOS RESULTADOS DE APRENDIZAJE
APRENDIZAJE
NIVELES METODO DE CRITERIOS NIVELES DEL RESULTADO DE PONDERACIÓN
8

9. EVALUACIÓN APRENDIZAJE
Demostrar la APLICACIÓN 10 ejercicios Participación Demostrará la existencia de NIVEL ALTO:
límites y continuidad de
existencia de límites escritos, orales y activa, e interés funciones en los reales por 86-100
y continuidad de en talleres, en el aprendizaje. medio gráfico a través de 10
funciones en los individual y en ejercicios escritos, orales y en
reales por medio equipo. Aplicación de los talleres participativos
aplicando los tres criterios de
gráfico a través de tres criterios de continuidad de funciones.
ejercicios continuidad de
función. Participación activa, e interés
participativos en el aprendizaje.
aplicando los Conclusión final Conclusión final si no es
criterios de si no es continúa continúa la función.
continuidad de la función
funciones y las
conclusiones finales NIVELMEDIO
Demostrará la existencia de
si no fuera continua. límites y continuidad de 71-85
funciones en los resales por
medio gráfico a través de 7
ejercicios escritos, orales y en
talleres participativos
aplicando los tres criterios de
continuidad de funciones.
Conclusión final si no es
continúa la función.
Demostrará la existencia de
NIVEL BÁSICO
límites y continuidad de
funciones en los resales por 70
medio gráfico a través de 5
ejercicios escritos, orales y en
talleres participativos
aplicando los tres criterios de
continuidad de funciones.
Conclusión final si no es
continúa la función.
RESULTADOS DEL METODOLOGIA DE EVALUACIÓN DE LOS RESULTADOS DE APRENDIZAJE
APRENDIZAJE
NIVELES METODO DE CRITERIOS NIVELES DEL RESULTADO DE PONDERACIÓN
EVALUACIÓN APRENDIZAJE
Determinar al APLICACIÓN Determinará al procesar los NIVEL ALTO:
procesar los límites límites de funciones en los
10 ejercicios Aplicación de los reales con la aplicación de 86-100
de funciones en los los teoremas de límites,
reales a través de escritos, orales, teoremas de
ejercicios mediante talleres y en los límites. Con la aplicación de la regla
teoremas, reglas Software básica de límites infinitos,
Matemáticos: Aplicación de las con la aplicación de la regla
básicas establecidas reglas básicas de básica de límites al infinito y
y asíntotas Derive-6 y aplicación de límites en las
Matlab. límites infinitos.
asíntotas verticales y
Aplicación de las horizontales, en 10
ejercicios escritos, orales,
reglas básicas de talleres y en el software
límites al Matemático: Derive-6 y
infinito. Matlab
Aplicación de NIVELMEDIO
límites en las Determinará al procesar los
71-85
asíntotas límites de funciones en los
verticales y reales con la aplicación de
los teoremas de límites,
asíntotas
horizontales. Con la aplicación de la regla
básica de límites infinitos,
con la aplicación de la regla
básica de límites al infinito
en 7 ejercicios escritos,
orales, talleres y en el
software Matemático:
Matlab.
Determinará al procesar los NIVEL
límites de funciones en los BÁSICO
reales con la aplicación de
la regla básica de límites 70
infinitos, con la aplicación
de la regla básica de límites
al infinito en 5 ejercicios
manuales y en el software
9

10. Matemático: Derive-6
RESULTADOS DEL METODOLOGIA DE EVALUACIÓN DE LOS RESULTADOS DE APRENDIZAJE
APRENDIZAJE
NIVELES METODO DE CRITERIOS NIVELES DEL RESULTADO DE PONDERACIÓN
EVALUACIÓN APRENDIZAJE
Determinar la APLICACIÓN Aplicación de los Determinará la derivada de los NIVEL ALTO:
diferentes tipos de funciones
derivada de los teoremas de en los reales aplicando
Ejercicios escritos, 86-100
diferentes tipos de orales, talleres y en el derivación. acertadamente los teoremas
funciones en los Software Matemáticos: de derivación, con la
reales a través de Matlab y Derive-6. Aplicación de la aplicación de la regla de la
derivación implícita, con la
ejercicios mediante regla de aplicación de la regla de la
los teoremas y derivación cadena abierta, con la
reglas de derivación implícita. aplicación de la regla de la
derivación de la derivada de
acertadamente. Aplicación de la orden superior en ejercicios
escritos, orales, talleres y en
regla de la el software matemáticos:
cadena abierta. Derive-6y Matlab.
Aplicación de la
regla de Determinará la derivada de los
derivación orden diferentes tipos de funciones NIVELMEDIO
en los reales aplicando
superior. acertadamente los teoremas 71-85
de derivación, con la
aplicación de la regla de la
derivación implícita, con la
aplicación de la regla de la
derivación de la derivada de
orden superior en ejercicios
escritos, orales, talleres y en
el software matemático:
Matlab.
Determinará la derivada de los
diferentes tipos de funciones NIVEL
en los reales aplicando
BÁSICO
acertadamente los teoremas
de derivación, en ejercicios
70
escritos, orales, talleres y en
el software matemático:
Matlab.
RESULTADOS DEL METODOLOGIA DE EVALUACIÓN DE LOS RESULTADOS DE APRENDIZAJE
APRENDIZAJE
NIVELES METODO DE CRITERIOS NIVELES DEL RESULTADO DE PONDERACIÓN
EVALUACIÓN APRENDIZAJE
Determinar los ANÁLISIS Ejercicios Aplicación del primer Determinará los máximos y NIVEL ALTO:
criterio para puntos mínimos, de funciones en los
máximos y mínimos, escritos, orales, críticos. reales, con la aplicación del 86-100
de funciones en los talleres y en el primer criterio para puntos
reales en el estudio software Aplicación del críticos, con la aplicación del
segundo criterio para segundo criterio para
de gráficas y matemático: concavidades y punto concavidades y punto de
problemas de Matlab. de inflexión. inflexión, con la aplicación del
optimización a través primer y segundo criterio para
Aplicación del primer el estudio de graficas, y con
de los criterios y segundo criterio para la aplicación del segundo
respectivos. el estudio de graficas. criterio para problemas de
optimización en ejercicios
Aplicación del escritos, orales, talleres y en
segundo criterio para software matemático: Matlab
problemas de
optimización.
NIVELMEDIO
Determinará los máximos y
mínimos, de funciones en los 71-85
reales, con la aplicación del
primer criterio para puntos
críticos, Aplicación del
segundo criterio para
problemas de optimización. En
ejercicios escritos, orales,
talleres y en software
matemático: Matlab
Determinará los máximos y NIVEL
mínimos, de funciones en los BÁSICO
reales, con la aplicación del
primer criterio para puntos 70
críticos, con la aplicación del
segundo criterio para
concavidades y punto de
inflexión, Aplicación del
10

11. primer y segundo criterio para
el estudio de graficas, en
ejercicios escritos, orales y
talleres.
5.1 RESULTADOS DE APRENDIZAJE DE LA CARRERA ESPECÍFICOS A
LOS QUE APUNTA LA MATERIA (ABET).
a. Capacidad de realizar análisis, síntesis y aplicación de las matemáticas y ciencias
básicas en la solución de problemas de ingeniería en sistemas informáticos.
b. Capacidad de planificar, diseñar, conducir e interpretar resultados de experimentos
orientados a la informática.
c. La capacidad de diseñar sistemas, procesos, modelos y componentes informáticos
que cumplan los estándares nacionales o internacionales, tomando en cuenta las
limitaciones económicas, ambientales, sociales, políticas, de salud y seguridad del
entorno, y cumpliendo satisfactoriamente con las especificaciones y restricciones
existentes o indicadas por los interesados o por los criterios de sostenibilidad.
d. Capacidad para funcionar como parte de un equipo de profesionales de distintas
áreas del conocimiento, demostrando una efectiva cooperación, comunicación, con
habilidades para resolver conflictos y contribuyendo proactivamente en la
propuesta de líneas estratégicas desde el punto de vista informático, para la
solución de problemas.
e. Capacidad para identificar, formular, evaluar y resolver técnicamente problemas de
ingeniería planteados de acuerdo a las necesidades del medio.
f. Capacidad para comprender, reconocer y aplicar valores y códigos de ética
profesional, que le permitan desenvolverse sin perjudicar a sus clientes y
contribuyendo al desarrollo de la sociedad.
g. Habilidad para presentar efectivamente, ideas, proyectos, informes de
investigaciones, documentos de trabajo de manera escrita, oral y digital, utilizando
las herramientas de las nuevas tecnologías de la información.
h. Habilidad y capacidad para comprender el impacto de las soluciones informáticas a
la realidad local, nacional e internacional en un contexto económico global,
ambiental y social.
i. Habilidad y aptitud para ser un profesional con el compromiso del aprendizaje
continuo, con capacidad para reconocer las oportunidades para mejorar en su
campo profesional.
j. Habilidad para identificar temas y problemas de actualidad con respecto al entorno
local, regional y global, con el fin de relacionarlos con propuestas de soluciones
creativas y eficientes.
k. Capacidad y destreza para utilizar técnicas, habilidades y herramientas en el
desarrollo de software y hardware para implementar soluciones a problemas de su
profesión.
Contribución de la materia a los resultados de aprendizaje de la carrera:
A: Alta M: Medio B: Baja
a b c d e f g h i j k
A M B
11

12. 6. PROGRAMACIÓN DE LA ASIGNATURA
1. Resultados del Aprendizaje No 1: Determinar el dominio, rango y gráficas de funciones en los reales a través de ejercicios, aplicando las
técnicas respectivas para cada caso.
FECHAS Nº DE TEMAS ESTRATEGIAS RECURSOS BIBLIOGRAFÍA
METODOLÓGICAS
HORAS
Sept. 25 TOTAL UNIDAD I Dinámica de 1. Bibliografías- ANÁLISIS
MATEMÁTICO. JUAN
16 integración y Interactivas, 2. 2.
Oct.23 ANÁLISIS DE FUNCIONES MANUEL SILVA,
socialización, Pizarra de tiza ADRIANA LAZO.
2 2006. LIMUSA
PREFACIO. documentación, líquida,
NORIEGA.
presentación de los
ANÁLISIS DE FUNCIONES. 3. Laboratorio de
temas de clase y
Computación,
PRODUCTO CARTESIANO. objetivos, lectura de LAZO PAG. 124-128-
142
motivación y video 4. Proyector,
 Definición: Representación gráfica.
del tema, técnica
5. Marcadores6.
RELACIONES: lluvia de ideas, para
Software de,
interactuar entre los
 Definición, Dominio y Recorrido de una Matlab
receptores.
Relación.
FUNCIONES:
Observación del
2  Definición, Notación
diagrama de CALCULO CON
GEOMETRIA
 Dominio y recorrido. secuencia del tema ANALITICA. TOMO I
con ejemplos
 Variable dependiente e independiente. LARSON-
específicos para HOSTETLER-
EDWARDS.EDISION
2  Representación gráfica. Criterio de interactuar con la
Línea Vertical. problemática de OCTAVA EDICIÓN.
MC GRAWW HILL
interrogantes del 2006
 Situaciones objetivas donde se
problema, método
involucra el concepto de función.
inductivo-
LARSON PAG. 4, 25-
 Función en los Reales: inyectiva, deductivo,
37-46.
sobreyectiva y biyectiva
Representación gráfica. Criterio de
Línea horizontal. Definir los puntos
2 LAZO PAG. 857-874,
importantes del
 Proyecto de Investigación. 891-919.
conocimiento
TIPOS DE FUNCIONES: interactuando a los LAZO PAG. 920-973
estudiantes para
 Función Constante LAZO PAG. 994-999-
que expresen sus
1015
2  Función de potencia: Identidad, conocimientos del
cuadrática, cúbica, hipérbola, tema tratado,
equilátera y función raíz. aplicando la
Técnica Activa de la
 Funciones Polinomiales
Memoria Técnica
 Funciones Racionales
 Funciones Seccionadas
2 Talleres intra-clase,
 Funciones Algebraicas. para luego
reforzarlas con
 Funciones Trigonométricas.
tareas extractase y
 Funciones Exponenciales. aplicar la
información en
 Funciones Inversas CALCULO. TOMO 1,
software para el PRIMERA EDICIÓN,
12

13.  Funciones Logarítmicas: definición y área con el flujo de ROBERT SMITH-
ROLAND MINTON,
propiedades. información.
MC GRAW-HILL.
INTERAMERICANA.
 Funciones trigonométricas inversas. 2000. MC GRAW
HILL.
TRANSFORMACIÓN DE FUNCIONES:
 Técnica de grafica rápida de SMITH PAG. 13-14
funciones.
SMITH PAG. 23-33-
41-51
2 COMBINACIÓN DE FUNCIONES:
SMITH PAG. 454
 Algebra de funciones: Definición de
suma, resta, producto y cociente de
funciones.
2  Composición de funciones: definición
de función compuesta
2. Resultados del Aprendizaje No 2: Demostrar la existencia de límites y continuidad de funciones en los reales por medio gráfico, aplicando
los criterios de continuidad de funciones y las conclusiones finales si no fuera continúa.
3. Resultados del Aprendizaje No 3: Determinar al procesar los límites de funciones en los reales a través de ejercicios mediante teoremas,
reglas básicas establecidas y asíntotas.
FECHAS Nº DE TEMAS ESTRATEGIAS RECURSOS BIBLIOGRAFÍA
METODOLÓGICAS
HORAS
Oct. 25 TOTAL12 UNIDAD II Dinámica de 1.Bibliografías- LAZO PÁG. 1029
Nov. 15 integración y Interactivas LAZO PÁG. 1069
2 APROXIMACIÓN A LA IDEA DE LÍMITE.
socialización,
2. Pizarra de SMITH PÁG. 68
LÍMITE DE UNA FUNCIÓN. documentación,
tiza líquida. LARSON PÁG. 46
presentación de
 Concepto de límite.
los temas de clase 3. Laboratorio
Propiedades de límites.
y objetivos, lectura de LAZO PÁG. 1090
 Limites Indeterminados de motivación y Computación.
video del tema,
LÍMITES UNILATERALES 4.Proyector
técnica lluvia de
LAZO PÁG. 1041
 Limite Lateral derecho ideas, para 5.Marcadores
2 interactuar entre
 Limite Lateral izquierdo. 6.Software de
los receptores.
derive-6,
 Limite Bilateral.
Matlab
LÍMITES INFINITOS
Observación del LAZO PÁG 1090
 Definiciones diagrama de
LARSON PÁG. 48
secuencia del
 Teoremas.
tema con ejemplos
LÍMITES AL INFINITO específicos para
interactuar con la SMITH PÁG. 95
 Definiciones. Teoremas.
problemática de
 Limites infinitos y al infinito. interrogantes del
2
problema, método
ASÍNTOTAS HORIZONTALES, VERTICALES Y
inductivo-
OBLICUAS. LAZO PÁG 1102
deductivo,
SMITH PÁG. 97
 Asíntota Horizontal: Definición.
2
13

14.  Asíntota Vertical: Definición. Definir los puntos
importantes del
 Asíntota Oblicua: Definición.
conocimiento
LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS. interactuando a
LAZO PÁG. 1082
los estudiantes
 Límite Trigonométrico LARSON PÁG. 48
para que expresen
fundamental.
2 sus conocimientos
 Teoremas. del tema tratado,
aplicando la
CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN NÚMERO.
Técnica Activa de
LAZ0 PÁG. 1109
 Definiciones. la Memoria
Técnica
 Criterios de Continuidad.
Tareas intra-clase,
 Discontinuidad Removible y
para luego
2 Esencial.
reforzarlas con
tareas extractase y
aplicar la
información en
software para el
área con el flujo de
información.
4. Resultado del aprendizaje No 4: Determinar la derivada de los diferentes tipos de funciones en los reales a través de ejercicios mediante
los teoremas y reglas de derivación acertadamente.
FECHAS NO DE TEMAS ESTRATEGIAS RECURSOS BIBLIOGRAFÍA
METODOLÓGICAS
HORAS
Nov. 27 TOTAL12 UNIDAD III Dinámica de 1.Bibliografías-
integración y Interactivas
Dic. 13 2 CALCULO DIFERENCIAL PENDIENTE DE LA RECTA socialización, LAZO PÁG. 1125
TANGENTE documentación, 2. Pizarra de
tiza líquida. SMITH PÁG. 126
presentación de
DEFINICIONES.
los temas de clase LARSON PÁG. 106
3. Laboratorio
DERIVADAS. y objetivos,
de
lectura de
Computación.
 Definición de la derivada en un motivación y video
punto. del tema, técnica SMITH PÁG. 135
4.Proyector
lluvia de ideas,
 Interpretación geométrica de la SMITH PÁG. 139
para interactuar 5.Marcadores
derivada. entre los LARSON PÁG. 112
receptores. 6.Software de
 La derivada de una función. derive-6,
Matlab
 Gráfica de la derivada de una
LAZO PÁG. 1137
función. Observación del
diagrama de SMITH PÁG. 145
 Diferenciabilidad y Continuidad.
secuencia del
tema con ejemplos LARSON PÁG. 118
específicos para
2
CALCULO DE DERIVADAS DE ALGUNAS interactuar con la
FUNCIONES DE TIPO ALGEBRAICA. problemática de LAZO PÁG 1155
interrogantes del
 Derivada de la función Constante. problema, método SMTH 176
inductivo-
 Derivada de la función Idéntica. LARSON PÁG. 141
deductivo,
 Derivada de la potencia.
 Derivada de una constante por la LAZO PÁG. 1139
Definir los puntos
función.
importantes del
2 SMITH PÁG. 145
 Derivada de la suma o resta de conocimiento
las funciones. interactuando a LAZO PÁG. 1149
los estudiantes
 Derivada del producto de para que expresen SMITH PÁG. 162
funciones. sus
conocimientos del LARSON PÁG. 135
 Derivada del cociente de dos tema tratado,
funciones. LAZO PÁG. 1163
aplicando la
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN COMPUESTA. Técnica Activa de SMITH PÁG. 182
la Memoria
 Regla de la Cadena. Técnica LARSON PÁG. 152
 Regla de potencias combinadas
14

15. con la Regla de la Cadena. SMITH PÁG. 170
2 DERIVADA DE LA FUNCION POTENCIA PARA Tareas intra-clase, LARSON PÁG. 360
EXPONENTES RACIONALES. para luego
reforzarlas con
DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS. tareas extractase y
SMITH PÁG. 459
aplicar la
DERIVADA IMPLICITA.
información en LARSON 432
Método de diferenciación Implícita. software para el
área con el flujo
DERIVADA DE FUNCIONES EXPONENCIALES Y de información.
LOGARITMICAS
Derivada de: LAZO PÁG. 1163
 Funciones exponenciales. SMITH PÁG. 149
 Derivada de funciones
exponenciales de base e.
2
 Derivada de las funciones
logarítmicas.
 Derivada de la función logaritmo
natural.
 Diferenciación logarítmica.
DERIVADA DE LAS FUNCIONES
TRIGONOMETRICAS INVERSAS.
DERIVADA DE ORDEN SUPERIOR.
2
 Notaciones comunes para
derivadas de orden superior.
5. Resultado del Aprendizaje No 5: Determinar los máximos y mínimos, de funciones en los reales en el estudio de gráficas y problemas de
optimización a través de los criterios respectivos.
FECHAS NO DE TEMAS ESTRATEGIAS RECURSOS BIBLIOGRAFÍA
METODOLÓGICAS
HORAS
Dic. 18 TOTAL24 UNIDAD IV Dinámica de 1.Bibliografías- LAZO PÁG. 1173
En. 28 integración y Interactivas LAZO PÁG. 1178
2 APLICACIÓN DE LA DERIVADA.
socialización,
2. Pizarra de SMITH PÁG. 216
ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE Y LA documentación,
tiza líquida. LARSON 176
2 RECTA NORMAL A LA CURVA EN UN PUNTO. presentación de los
temas de clase y 3. Laboratorio
VALORES MÁXIMOS Y MINIMOS.
objetivos, lectura de
 Máximos y Mínimos Absolutos de motivación y Computación.
de una función. video del tema,
4.Proyector
técnica lluvia de
 Máximos y Mínimos Locales de
ideas, para 5.Marcadores
una función.
2 interactuar entre
6.Software de
 Teorema del Valor Extremo. los receptores.
derive-6,
 Puntos Críticos: Definición. Matlab
2
FUNCIONES MONOTONAS Y PRUEBA DE LA 1RA. Observación del LAZO PÁG. 1179
DERIVADA. diagrama de
SMITH PÁG. 225
secuencia del tema
 Función creciente y función LARSON 176
2 con ejemplos
Decreciente: Definición.
específicos para
 Funciones monótonas. interactuar con la
problemática de
2  Prueba de la primera derivada
interrogantes del
para extremos Locales.
problema, método
CONCAVIDADES Y PUNTO DE INFLEXIÓN. inductivo-
LAZO PÁG. 1184
deductivo,
 Concavidades hacia arriba y SMITH PÁG. 232
concavidades hacia abajo:
15

16. Definición. Definir los puntos
importantes del
 Prueba de concavidades.
conocimiento
2
 Punto de inflexión: Definición. interactuando a los
estudiantes para
 Prueba de la 2da. Derivada
que expresen sus
para extremo locales.
conocimientos del LAZO PÁG. 1191
tema tratado, SMITH PÁG. 249
2 aplicando la LARSON 236
TRAZOS DE CURVAS.
Técnica Activa de
 Información requerida para el la Memoria Técnica
trazado de la curva: Dominio,
Tareas intra-clase, LAZO PÁG. 1209
coordenadas al origen, punto
para luego
de corte con los ejes, simetría SMITH PÁG. 475
reforzarlas con
2 y asíntotas LARSON PÁG. 280
tareas extractase y
 Información de 1ra. Y 2da. aplicar la
Derivada información en
software para el
PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN.
área con el flujo de
PROBLEMAS DE MAXIMOS Y MINIMOS. información.
2 INTRODUCCION DE CONOCIMIENTOS
 Diferenciales. Definición.
2
 Integral Indefinida. Definición.
2
SUSTENTACION DE PROYECTOS DE
INVESTIGACION
7. COMPROMISOS DISCIPLINARIOS Y ÉTICOS
 Escuchar y respetar democráticamente el criterio de los demás.
 Hacer silencio cuando alguien esté haciendo uso de la palabra..
 Mantener el aula limpia, evitando botar basura en el piso
 No deteriorar ni rayar, las paredes, mesas y sillas.
 Procurar en todo momento la correcta manipulación y utilización de los equipos informáticos.
 La asistencia es obligatoria a todas las actividades programadas en esta asignatura.
 El estudiante ingresará a clase a la hora establecida y solo por una ocasión se aceptará el retraso
de 10 minutos.
 El estudiante por ningún concepto utilizará celulares en el aula, igual comportamiento tendrá el
docente.
 El intento de copia de cualquier estudiante será sancionado con la calificación de cero y no habrá
oportunidad de recuperación, independiente de las sanciones establecidas por la universidad.
 Los trabajos se entregarán en la fecha establecida y no se recibirá en otra oportunidad. El
estudiante ingresará al aula sin gorra y no consumirá alimentos dentro del aula.
 El trabajo escrito será realizado con las propias palabras e ideas del estudiante. Si se descubre la
copia textual de un párrafo o un texto se calificará con cero.
8. PARÁMETROS PARA LA EVALUACIÓN DE LOS APRENDIZAJES.
DESCRIPCIÓN MEDIO CICLO FIN DE CICLO TOTALES
Exámenes 15% 15% 30%
Actividades Pruebas Escritas 5% 5% 10%
16

17. varias
Participaciones en Pizarra 5% 5% 10%
Tareas 5% 5% 10%
Portafolio 5% 5% 10%
Informe escrito (avance-físico)
15% 15%
Investigación
Defensa Oral-informe final(lógico y
físico) (Comunicación matemática 15% 15%
efectiva )
TOTAL 50% 50% 100%
9. BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA
 LEITHOLD, Luis. Cálculo con Geometría Analítica. 2da. edición. Editorial Harla.
México.
 STEWART, James. (1998). Cálculo de una variable. 3ra edición. International
Thomson Editores. México.
 THOMAS, George y FINNEY, Ross. (1987). Cálculo, Volumen 2. 6ta edición.
Editorial Addison-Wesley Iberoamericana. EUA.
 GRANVILLE, Williams. Cálculo diferencial e integral.
 LARA, Jorge y ARROBA, Jorge (2002). Análisis Matemático. Centro de
Matemáticas de la Universidad Central. Ecuador.
 PRADO Carlos, AGUILAR Gerardo, PULIDO Javier. QUEZADA Lourdes,
ZUÑIGA Leopoldo, GÓMEZ José Luís, GONZÁLES Andrés, SANTIAGO Rubén
Darío. Calculo Diferencial para ingeniería.
 PÉREZ LÓPEZ César. Matlab. y sus aplicaciones en las ciencias y la ingeniería.
 www.matemáticas.com
10. REVISIÓN Y APROBACIÓN
DOCENTE RESPONSABLE DIRECTOR(A) DE PRESIDENTE(A) DE COMISIÓN
CARRERA ACADÉMICA
Ing. José Cevallos Salazar Mg.Sc.
Firma: Firma: Firma:
_______________________ _______________________ _______________________
Fecha: 2 de Abril del 2012 Fecha: Fecha:
17

18. AUTORRETRATO.
Gisella Patricia Bravo Barahona.
Portoviejo
Tel: 085252551
Universidad Técnica de Manabí
Facultad de Ciencias Informáticas
2do Semestre “A”
Mi nombre es Gisella Patricia Bravo Barahona, soy estudiante de la
asignatura de CÁLCULO DIFERENCIAL, actualmente curso el segundo
semestre en la facultad de Ciencias Informáticas de la universidad Técnica
de Manabí. Soy una persona responsable, activa y me gusta trabajar en
equipo.
Mis principales áreas de interés son la aplicación y desarrollo de las
tecnologías y el manejo de diferentes software.
Mis metas son convertirme en profesional como ingeniera en Sistemas
Informáticos, aplicando los conocimientos adquiridos en diferentes ramas
de la informática brindándole a la sociedad un servicio de calidad y poder
cumplir mis propósitos.
Además incentivar a los demás a que estudien la carrera de Ing. en
sistemas informáticos ya que la tecnología es lo que prevalece hoy en día.
Siempre agradeciendo a Dios y a mis padres por brindarme el apoyo
incondicional para continuar con mis estudios y convertirme en lo que
anhelo ser, esforzándome cada día y sentirme orgullosa de mi misma.
18

19. DIARIO METACOGNITIVO
RESUMEN DE CÁLCULO DIFERENCIAL
DE LA CLASE #1: 2do”A”
PERIODO ABRIL-SEPTIEMBRE 2012
Clase No. 1:
PERIODO: Septiembre 2012-Febrero 2013
TIEMPO: 4 HORAS EN DOS JORNADAS DE 2
HORAS
FECHA: Martes 25-jueves 27 de Septiembre del 2012.
Tema DOCENTE Ing. José Cevallos Salazar
GUIA:
discutido: Unidad I:
Análisis de funciones
Producto cartesiano
Definición: Representación gráfica
Relaciones:
 Definición, dominio y recorrido de una relación.
Funciones:
Definición, notación
 Dominio, recorrido o rango de una función
 Variables: dependiente e independiente
 Constante
 Representación gráfica de una función
 Criterio de recta vertical.
Objetivos de desempeño:
 Definir y reconocer: producto cartesiano, relaciones y funciones
 Definir y reconocer: dominio e imagen de una función
 Definir y graficar funciones, identificación de las misma aplicando criterios.
Competencia general:
Definiciones, identificación y trazos de gráficas.
19

20. INTRODUCCIÓN
En el siguiente resumen se da a conocer información sobre la clase#1 de cálculo
diferencial en la cual se ha iniciado con una breve explicación sobre el capítulo
respectivo.
En la primera clase se tomaron en cuenta varios factores acerca de las funciones como:
1. Dominio.
2. Co-dominio.
3. Imagen.
RESUMEN
Se comenzó con la presentación del profesor, con la forma de trabajar de él, nos
mostró un video titulado “Oración a mismo”, uno de cada miembros de estudiante dio
su reflexión acerca del video, se eligió el asiste, nos presentó el portafolio del docente
del semestre anterior y el portafolio del docente actual, también vimos el portafolio
estudiantil.
En la primera clase del “Capitulo #1” se dio la explicación correspondiente sobre el
tema relacionado a “Funciones” correspondiente al capítulo antes mencionado,
tomando como principio de la clase el siguiente tema:
“Relaciones, Funciones - Variables, Producto Cartesiano”
Las relaciones de funciones se basa en una relación entre dos conjuntos en el cual el
conjunto A será el Dominio y el conjunto B el Co-dominio. La relación entre el dominio
y el Co-dominio se denomina imagen, recorrido o rango.
Datos interesantes discutidos:
Después comenzamos con la presentación del tema, nos explicó que:
 La función relaciona los elementos de 2 conjuntos, que siempre será relación
pero una relación nunca será función.
 La relación es comparar los elementos.
 Dominio es el conjunto de elementos que tienen imágenes
 Condominio es el conjunto de valores que puede tomar la variable
La imagen (I) o rango (Ra), recorrido (R), es un conjunto de llegada que se
conecta con el dominio respectivo. Imagen (I) Recorrido (R) Rango (Ra)
A B
-4 1
-3
-2 0
-1
Dominio 4 Condominio
0
1 25
2
3 16
4
9 20

21. A B
2 -1
5 5
Imagen
7 14
Dominio Co-dominio
Una imagen es la agrupación entre el dominio y el Co-dominio que da como resultado
un par. La relación entre el dominio y el Co-dominio produce un conjunto de pares.
A B= {(2,14) ;(1,7)…}
En una función podemos encontrar dos tipos de variables: Dependientes e
Independientes, y a esto se agregan las constantes. Las variables independientes son
aquellas que no dependen de ningún otro valor, en cambio las dependientes dependen
de la otra variable. Las constantes son valores que no cambian durante la función por
lo tanto no se alteran ni cambian sus valores.
Variable dependiente Y = X² + 2X – 1 constante
Variable independiente
Las funciones son representadas por el símbolo “f(x)”, en el que la f no es
indispensable, ya que puede ser reemplazado por cualquier otra letra (esto denota que
se habla de una función matemática).
Dependiendo de lo dicho anteriormente referente a las funciones podemos encontrar
dos tipos de funciones:
 Funciones Explicitas.
 Funciones Implícitas.
Las funciones Explicitas se refieren a una función definida en su totalidad.
Y = X² + 2X – 1
Las funciones Implícitas son contrarias a las explicitas, por lo consiguiente no se
encuentran definidas.
Y + 5 = 2X + 3 – X
21

22.  Variable dependiente, no depende de otra variable mediante el proceso
matemático, ejemplo: f(x)=x,y o f(x)es la variable dependiente ya que está sujeta
a los valores que se subministra a x.
 Variables Independiente, depende de otra variable, ejemplo: x ya que la y es la
que depende de los valores de x.
 Función implícita, no está definida con ninguna de las variables, ejemplo:
y2+x-1=x2-6
 Función explicita, está definida con las variables, ejemplo:
Y=x2-2x+1
 Función creciente, al medida que aumenta el dominio aumento la imagen
 Función decreciente, a medida que aumenta su dominio disminuye su imagen
 Función constante, a medida que aumenta su dominio igual será su imagen
 Par, de estar formado por un dominio y un condominio
 Plano cartesiano, está formando por dos rectas, una horizontal y otra vertical
que se corta en un punto.
También nos vimos como poder reconocer una función
mediante el criterio de recta vertical, en un plano
cartesiano, esto se realiza pasando una recta perpendicular
paralela a la ordenada (y) si corta un punto es función, si
corta 2 o más no es función.
Producto cartesiano._ El producto cartesiano nos permite
representar de manera gráfica cualquier función, siempre y
cuando sea de forma explícita y se realice la comprobación
correspondiente aplicando el “Criterio de la recta”.
Función No función
El criterio de la recta._ El criterio de la recta nos indica, al trazar una recta vertical se
forma una paralela a la ordenada porque corta un punto de la gráfica y su dominio A
se conecta una y solamente una vez con su imagen B.
22

23. Realizamos ejercicios donde podemos verificar si hay funciones en las relaciones
y=2x+1
Esta es una función por que la y tiene un resultado.
y2=4-x2
Si resolvemos este ejercicio nos quedaría así:
y2=2-x2
y=
Esta no es una función porque y tiene como dos resultado con signo diferentes.
Otros detalles que analizamos fueron:
Resultado
f(x)
Ordenar
Galare, es la tabla de resumen de datos ejemplo:
x y
-4 25
-3 16
-2 9
-1 4
0 1
¿Qué cosas fueron difíciles?
La clase se me complico un poco por motivo de no estar acostumbrado a la
metodología del profesor pero si logre entender gracias a las explicaciones del docente.
¿Cuáles fueron fáciles?
Se me hizo fácil reconocer en el plano cartesiano cuales eran funciones gracias al
método que el profesor nos enseñó y como se forman las imágenes saber reconocer una
imagen.
¿Qué aprendí hoy?
En esta clase aprendí a poder diferenciar en el plano cartesiano cuales de las figuras
son funciones y cuales no son.
23

24. DIARIO METACOGNITIVO
RESUMEN DE CALCULO DIFERENCIAL
DE LA CLASE #1: 2do”A”
PERIODO ABRIL-SEPTIEMBRE 2012
Clase No. 2
PERIODO: Septiembre 2012-Febrero 2013
TIEMPO: 4 HORAS EN DOS JORNADAS DE 2
HORAS
FECHA: Martes 2-jueves 4 de Octubre del 2012.
DOCENTE Ing. José Cevallos Salazar
Tema
GUIA:
discutido: Unidad I:
Funciones:
 Situaciones objetivas donde se involucra el concepto de función
 Función en los Reales: función inyectiva, sobreyectiva y biyectiva
 Gráfica, criterio de recta horizontal
Tipos de Funciones:
 Función Constante
 Función de Potencia: función de Identidad, cuadrática, cúbica, hipérbola y
función raíz
Objetivos de desempeño:
 Definir modelos matemáticos donde se involucra el concepto de función
 Definir, reconocer y graficar diferentes tipos de funciones.
Competencia general:
 Definir de modelos matemáticos, trazar graficas de diferentes tipos de
funciones.
Datos interesantes discutidos hoy:
Comenzamos con el video de reflexión con el nombre “Lluvia de Ideas”, este se tratada
de decir en pocas palabras como había uno amanecido con sus alegrías y sus
preocupaciones. Abrimos el programa de MATLAB, para verificar el manejo de dicho
programa, realizando algunos ejercicios como:
>>figure (4)
24

25. y=(x-1)/(x)
y= (x-1)/x
>>ezplot(4)
25

26. FUNCION INYECTIVA
FUNCION SOBREYECTIVA
26

27. ¿Qué cosas fueron difíciles?
Las cosas que fueron un poco difícil era definir los modelos matemáticos y
diferencial.sobre las funciones dadas
¿Cuáles fueron fáciles?
Se me hizo fácil reconocer las función inyectiva,. sobreyectiva y biyectiva
¿Qué aprendí hoy?
En esta clase aprendí a poder diferenciar los tipos de funciones y le criterio de las recta
vertical empleada en la funciones dadas
27

28. UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ-FACULTAD DE CIENCIAS
INFORMÁTICAS-DISEÑ0 MICROCURRICULAR No 3
CALCULO DIFERENCIAL SEGUNDO SEMESTRE DE CARRERA
PERIODO: Septiembre 2012-Febrero 2013
TIEMPO: 4 HORAS EN DOS JORNADAS DE 2
HORAS
FECHA: Martes 2-jueves 9 de Octubre del 2012.
DOCENTE Ing. José Cevallos Salazar
GUIA:
CONTENIDOS:
TIPOS DE FUNCIONES:
 Función polinomio,
 Función racional,
 Funciones seccionadas,
 Función algebraica.
 Funciones trigonométricas.
 Función exponencial
 Función inversa,
 Función logarítmica: definición y propiedades,
 Funciones trigonométricas inversa,
 Transformación de funciones: técnica de graficacion rápida de funciones
 Problemas
OBJETIVOS DE DESEMPEÑO:
 Definir, reconocer y graficar diferentes tipos de funciones.
COMPETENCIA GENERAL:
 Trazar graficas de diferentes tipos de funciones
Datos interesantes discutidos hoy:
 En el día de hoy en los temas discutidos empezamos con el video de reflexión
sobre AQUÍ ESTOY YO el cual nos mostró que dios esta con todos para
ayudarnos en todo los problemas, el cual aprendemos hacer todas las clases de
funciones.
28

29. FUNCIÓN POLINOMIO
TIPOS DE FUNCIONES
29

30. 30

31. Funciones Seccionadas
31

32. 32

33. 33

34. 34

35. ¿Qué cosas fueron difíciles?
Las cosas que se me hicieron muy difícil fueron las funciones trigonometrías
¿Cuáles fueron fáciles?
En los temas que vimos el día de hoy fueron la trasformación de funciones con la
técnica rápida de graficacion
¿Qué aprendí hoy?
En la reflexión aprendí que dios nunca nos abandona ni en nuestros peores momento
aunque parezca algo imposible siempre le va estar para ayudarnos
35

36. UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ-FACULTAD DE CIENCIAS
INFORMÁTICAS-DISEÑ0 MICROCURRICULAR No 4
CALCULO DIFERENCIAL SEGUNDO SEMESTRE DE CARRERA
PERIODO: Septiembre 2012-Febrero 2013
TIEMPO: 4 HORAS EN DOS JORNADAS DE 2
HORAS
FECHA: Martes 16-jueves 30 de Octubre del 2012.
DOCENTE Ing. José Cevallos Salazar
GUIA:
CONTENIDOS:
COMBINACIÓN DE FUNCIONES:
 Algebra de funciones: Definición de suma, resta, producto y cociente de
funciones, Silva Laso, 994
 Composición de funciones: definición de función compuesta, Silva Laso, 999
APROXIMACIÓN A LA IDEA DE LÍMITE.
LIMITE DE UNA FUNCIÓN
 Concepto de límite: Propiedades de límites, Silva Laso, 1029, 1069, Smith, 68,
Larson, 46
 Límites indeterminados, Silva Laso, 1090
LIMITES UNILATERALES
 Límite lateral derecho, Silva Laso, 1041
 Límite lateral izquierdo
 Límite bilateral
ASÍNTOTAS:
 Asíntotas verticales, definición, gráficas, Silva Laso, 1102, Smith, 97
 Asíntotas horizontales, definición, gráficas.
 Asíntotas oblicuas, definición, gráficas.
OBJETIVOS DE DESEMPEÑO:
 Definir operaciones con funciones.
 Definir y calcular límites.
COMPETENCIA GENERAL:
 Definición de operaciones y cálculo de límite de funciones aplicando criterios
36

37. Algebra De Funciones
37

38. Concepto de limites
38

39. 39

40. CONTINUIDAD
Criterios de continuidad
Para que una función sea continua en un punto debe cumplir los siguientes criterios:
 El limite en ese punto debe existir
 La funcion evaluada en ese punto debe existir
 El resultado de los dos criterios anteriores deben ser iguales
Discontinuidad removible y esencial
40

41. 41

42. 42

43. UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ-FACULTAD DE CIENCIAS
INFORMÁTICAS-DISEÑ0 MICROCURRICULAR No 5
CALCULO DIFERENCIAL SEGUNDO SEMETRE DE CARRERA
PERIODO: Septiembre 2012-Febrero 2013
TIEMPO: 4 HORAS EN DOS JORNADAS DE 2
HORAS
FECHA: Martes 1-jueves 15 de Noviembre del 2012.
DOCENTE Ing. José Cevallos Salazar
GUIA:
Contenido
LIMITE INFINITO:
 Definición, teoremas, Silva Laso, 1090, Larson, 48
LIMTE AL INFINITO:
 Definición, teoremas.
 Limite infinito y al infinito, Smith, 95
APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS
DERIVADA:
 Definición de la derivada en un punto, Smith, 135
 Interpretación geométrica de la derivada.
 La derivada de una función
 Gráfica de la derivada de una función, Smith, 139
 Diferenciabilidad y continuidad. Larson, 112
OBJETIVO DE DESEMPEÑO
 Definir y calcular límite infinito, al infinito e infinito y al infinito.
 Definir y graficar asíntotas horizontales, verticales y oblicuas.
 Definir todos los modelos matemáticos sobre derivadas aprendidos en clases.
COMPETENCIA GENERAL:
 Definición y cálculo de límites aplicando criterios, aplicación de modelos
matemáticos de las derivadas.
43

44. La derivada de una función
En la resolución de los dos problemas anteriores: el de trazar una recta tangente a una
curva dada y el de determinar la velocidad instantánea de una cierta partícula, se
obtuvo como resultado dos límites:
44

45. Gráfica de la derivada
Aquí está la gráfica de una función continua
y diferenciable f (x).
45

46. 46

47. DERIVADA DE UNA FUNCION EN UN PUNTO
Sea una función y = f(x) y x0 un punto del eje X. Si se toma un punto x0 + h muy
próximo a x0 (h es un número infinitamente pequeño), a medida que se hace tender h a
cero, la recta secante (en rojo de la figura) que une los puntos
( x0, f(x0 ) ) y ( x0 + h, f(x0 + h) ), tiende a confundirse con la tangente (en azul de
la figura) a la curva en el punto (x0,f(x0 )). que determina la tangente con ese mismo
eje, en el triángulo rectángulo de vértices
(x0,f(x0 )), (x0 + h,f(x0 + h)) y (x0 + h,f(x0 )), se verifica:
47

48. Al hacer tender h a cero, y puesto que la secante tiende a confundirse con un segmento
de la tangente, es decir, si miras la figura, al hacer que h tienda a cero la línea roja se
acerca a la línea azul por lo que:
tg ah tiende a tg a, es decir,
a la pendiente de la tangente a la curva en el punto (x0,f(x0 )).
Esto se expresa matemáticamente así:
NOTA: Es importante que
entiendas esto, pues es el
núcleo por
el que después entenderás
otros conceptos,
si no es así, dímelo
48

49. CALCULO DE DERIVADAS DE ALGUNAS FUNCIONES DE TIPO
ALGEBRAICO.
 Derivada de la función Constante,
 Derivada de la función Idéntica.
 Derivada de la función potencia.
 Derivada de una constante por una función.
 Derivada de la suma de funciones.
 Derivada del producto de funciones.
 Derivada del cociente de dos funciones.
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN COMPUESTA.
 Regla de la cadena,
 Regla de potencias combinadas con la regla de la cadena.
OBJETIVOS DE DESEMPEÑO:
 Definir y calcular la derivada de algunas funciones de tipo algebraico.
 Definir y calcular derivadas de funciones compuestas.
 Definir y aplicar la regla de la cadena abierta.
COMPETENCIA GENERAL:
 Aplicación directa de modelos matemáticos de la variación de diferentes tipos
de funciones.
49

50. Derivada de la función Constante
Derivada de una función constante
Sea una función constante f(x) = C.
Su gráfica es, como se sabe, una recta paralela al eje de abscisas. Puesto que para
cualquier valor de la abscisa su ordenada correspondiente es, constantemente, igual a
C, si a es un punto cualquiera del campo de definición de f(x),
50

51. f(a + h) - f(a) = C - C = 0, por lo que
Luego la derivada de una constante es siempre cero.
Derivada de una suma
La derivada de una suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas de
dichas funciones.
Esta regla se extiende a cualquier número de sumandos, ya sean positivos o negativos.
Ejemplos
Derivada de un producto
La derivada del producto de dos funciones es igual al primer factor por la derivada del
segundo más el segundo factor por la derivada del primero.
Derivada de un cociente
La derivada del cociente de dos funciones es igual a la derivada del numerador por el
denominador menos la derivada del denominador por el numerador, divididas por el
cuadrado del denominador.
Apliquemos ln a: y = u/v
lny = ln u - ln v; derivemos en forma implícita, recordando que tanto y, u como v son
f(x):
(1/y)*(dy/dx) = (1/u)*(du/dx) - (1/v)*(dv/dx); restamos a la derecha, sacando uv como
factor común:
(1/y)*(dy/dx) = [v*(du/dx) - u*(dv/dx)] / uv;
dy/dx = [v*(du/dx) - u*(dv/dx)]* y / uv; pero como y= u/v:
dy/dx = [v*(du/dx) - u*(dv/dx)]* u / uv*v;
dy/dx = [v*(du/dx) - u*(dv/dx)]* / v^2
51

52. Esto explica: y' = (u'v - v'u) / v^2
 Regla de potencias combinadas con la regla de la cadena.
52

53. ¿Qué cosas fueron difíciles?
La clase se me hizo un poco difícil porque no podía entender las DERIVADA DE UNA
FUNCIÓN COMPUESTA. Ya que son temas que no he visto
¿Cuáles fueron fáciles?
Se me hizo fácil entender las derivadas de lagunas de la funcione y sus modelos
matemático
¿Qué aprendí hoy?
En esta clase aprendí a poder desarrollar temas de derivadas como son sus funciones
trigonométricas.
53

54. DIARIO METACOGNITIVO
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ-FACULTAD DE CIENCIAS
INFORMÁTICAS-DISEÑ0 MICROCURRICULAR No 7
CALCULO DIFERENCIAL SEGUNDO SEMETRE DE CARRERA
PERIODO: Septiembre 2012-Febrero 2013
TIEMPO: 4 HORAS EN DOS JORNADAS DE 2
HORAS
FECHA: Martes 08 de nov. Jueves 10 de noviembre
DOCENTE Ing. José Cevallos Salazar
GUIA:
Contenido
 Taller
 Fórmulas de las Derivadas
OBJETIVO DE DESEMPEÑO
 Reconocer las fórmulas de las derivadas
COMPETENCIA GENERAL:
 Definición de máximo y mínimo y fórmulas de las derivadas.
Lim(x, ).-para límite en Matlab
Máximo.- a medida que aumenta su dominio su imagen decrece.
Mínimo.- a medida que aumenta su dominio su imagen crece.
Constante.- a medida que aumenta su dominio su imagen sigue igual
54

55. La derivada de una función
En la resolución de los dos problemas anteriores: el de trazar una recta tangente a una
curva dada y el de determinar la velocidad instantánea de una cierta partícula, se
obtuvo como resultado dos límites:
Gráfica de la derivada
Aquí está la gráfica de una función continua
y diferenciable f (x).
55

56. 56

57. 57

58. 58

59. ¿Qué cosas fueron difíciles?
No encontré dificultad alguna.
¿Cuáles fueron fáciles?
Se me hizo fácil entender las derivadas de lagunas de la funcione y sus modelos
matemático
¿Qué aprendí hoy?
En esta clase aprendí a poder desarrollar temas de derivadas como son sus funciones
trigonométricas.
59

60. DIARIO METACOGNITIVO
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ-FACULTAD DE CIENCIAS
INFORMÁTICAS-DISEÑ0 MICROCURRICULAR No 8
CALCULO DIFERENCIAL SEGUNDO SEMETRE DE CARRERA
PERIODO: Septiembre 2012-Febrero 2013
TIEMPO: 4 HORAS EN DOS JORNADAS DE 2
HORAS
FECHA: Martes 13 de nov. Jueves 15 de noviembre
DOCENTE Ing. José Cevallos Salazar
GUIA:
Contenido
 Autoevaluación
 Videos de la derivadas
 Derivadas trigonométricas
OBJETIVO DE DESEMPEÑO
 Reconocer todo tipo de derivada
COMPETENCIA GENERAL:
 Definición de derivadas.
DERIVADA DE UNA FUNCION EN UN PUNTO
Sea una función y = f(x) y x0 un punto del eje X. Si se toma un punto x0 + h
muy próximo a x0 (h es un número infinitamente pequeño), a medida que se
hace tender h a cero, la recta secante (en rojo de la figura) que une los puntos
( x0, f(x0 ) ) y ( x0 + h, f(x0 + h) ), tiende a confundirse con la tangente (en
azul de la figura) a la curva en el punto (x0,f(x0 )). que determina la tangente
con ese mismo eje, en el triángulo rectángulo de vértices
(x0,f(x0 )), (x0 + h,f(x0 + h)) y (x0 + h,f(x0 )), se verifica:
60

61. Al hacer tender h a cero, y puesto que la secante tiende a confundirse con un
segmento
de la tangente, es decir, si miras la figura, al hacer que h tienda a cero la línea
roja se acerca a la línea azul por lo que:
tg ah tiende a tg a, es decir,
a la pendiente de la tangente a la curva en el punto (x0,f(x0 )).
Esto se expresa matemáticamente así:
Esto se expresa matemáticamente así:
NOTA: Es importante que entiendas esto,
pues es el núcleo por
el que después entenderás otros
conceptos,
si no es así, dímelo
Derivada de la función Constante
61

62. 62

63. Su gráfica es, como se sabe, una recta paralela al eje de abscisas. Puesto que para
cualquier valor de la abscisa su ordenada correspondiente es, constantemente, igual a
C, si a es un punto cualquiera del campo de definición de f(x),
f(a + h) - f(a) = C - C = 0, por lo que
Luego la derivada de una constante es siempre cero.
Derivada de una suma
La derivada de una suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas de
dichas funciones.
Esta regla se extiende a cualquier número de sumandos, ya sean positivos o negativos.
Ejemplos
Derivada de un producto
La derivada del producto de dos funciones es igual al primer factor por la derivada del
segundo más el segundo factor por la derivada del primero.
Derivada de un cociente
La derivada del cociente de dos funciones es igual a la derivada del numerador por el
denominador menos la derivada del denominador por el numerador, divididas por el
cuadrado del denominador.
63

64. Apliquemos ln a: y = u/v
lny = ln u - ln v; derivemos en forma implícita, recordando que tanto y, u como v son
f(x):
(1/y)*(dy/dx) = (1/u)*(du/dx) - (1/v)*(dv/dx); restamos a la derecha, sacando uv como
factor común:
(1/y)*(dy/dx) = [v*(du/dx) - u*(dv/dx)] / uv;
dy/dx = [v*(du/dx) - u*(dv/dx)]* y / uv; pero como y= u/v:
dy/dx = [v*(du/dx) - u*(dv/dx)]* u / uv*v;
dy/dx = [v*(du/dx) - u*(dv/dx)]* / v^2
Esto explica: y' = (u'v - v'u) / v^2
64

65. Regla de potencias combinadas con la regla de la cadena.
65

66. ¿Qué cosas fueron difíciles?
No encontré dificultad alguna.
¿Cuáles fueron fáciles?
Se me hizo fácil entender las derivadas de lagunas de la funcione y sus modelos matemático
¿Qué aprendí hoy?
En esta clase aprendí a poder desarrollar temas de derivadas como son sus funciones
trigonométricas.
66

67. DIARIO METACOGNITIVO
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ-FACULTAD DE CIENCIAS
INFORMÁTICAS-DISEÑ0 MICROCURRICULAR No 9
CALCULO DIFERENCIAL SEGUNDO SEMETRE DE CARRERA
PERIODO: Septiembre 2012-Febrero 2013
TIEMPO: 4 HORAS EN DOS JORNADAS DE 2
HORAS
FECHA: Martes 20 nov. Jueves 22 de noviembre
DOCENTE Ing. José Cevallos Salazar
GUIA:
Reflexión: renovarse a morir
Contenido
 Plenaria de derivada en la vida diaria
 Lección en pizarra
OBJETIVO DE DESEMPEÑO
 Dar opiniones validas sobre la derivada
COMPETENCIA GENERAL:
 Definición de derivada y autoevaluación
¿Qué cosas fueron difíciles?
No se me dificulto nada, ya que el debate es una de las técnicas de estudios que ns
permite tener retentiva de temas que nos ayudara en nuestro proceso enseñanza-
aprendizaje.
¿Cuáles fueron fáciles?
Todo estaba muy sencillo, lo referido en estas clases nos ayuda a aprender cada día
más.
¿Qué aprendí hoy?
Aprendí nuevas cosas sobre la derivada.
67

68. DIARIO METACOGNITIVO
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ-FACULTAD DE CIENCIAS
INFORMÁTICAS-DISEÑ0 MICROCURRICULAR No 10
CALCULO DIFERENCIAL SEGUNDO SEMETRE DE CARRERA
PERIODO: Septiembre 2012-Febrero 2013
TIEMPO: 4 HORAS EN DOS JORNADAS DE 2
HORAS
FECHA: Martes 04 dic. Jueves 06 diciembre
DOCENTE Ing. José Cevallos Salazar
GUIA:
Reflexión: La paz perfecta
Esta en paz con nosotros mismo nos ayuda a llevar las cosas de una manera tranquila
sin cometer errores que algún día puede cambiar nuestras vidas para mal y así mismo
estar e paz con los demás nos fortaleces y crecemos como personas.
Contenido
 Funciones Exponenciales
 Funciones Trigonométricas Inversas
OBJETIVO DE DESEMPEÑO
 Resolver funciones trigonométricas y exponenciales.
COMPETENCIA GENERAL:
 Definición de Funciones trigonométricas y exponenciales.
68

69. Derivación de Funciones Exponenciales
Sabemos que e es un número irracional, pues e =
2.718281828... La notación e para este número fue
dada por Leonhard Euler (1727).
La función f(x) = ex es una función exponencial
natural. Como 2<e<3, la gráfica de f(x) = ex está
entre f(x) = 2x y f(x) = 3x, como se ilustra a la
izquierda.
Como e > 1, la función f(x) = ex es una función creciente. El dominio es el conjunto de
los números reales y el recorrido es el conjunto de los números reales positivos.
Las calculadoras científicas contienen una tecla para la función f(x) = ex.
Geométricamente la pendiente de la gráfica de f(x) = ex en cualquier punto (x,ex) es
igual a la coordenada y de ese punto. Por ejemplo, en la gráfica de f(x) = ex en el
punto (0,1) la pendiente es 1.
69

70. El logaritmo natural suele ser conocido normalmente como logaritmo neperiano,
aunque esencialmente son conceptos distintos. Para más detalles, véase logaritmo
neperiano.
En matemáticas se denomina logaritmo natural o informalmente logaritmo neperiano
al logaritmo cuya base es el número e, un número irracional cuyo valor aproximado es
2,7182807066232140698591273860753 El logaritmo natural se le suele denominar
como ln(x) o a veces como loge(x), porque para ese número se cumple la propiedad de
que el logaritmo vale 1.
El logaritmo natural de un número x es entonces el exponente a al que debe ser elevado
el número e para obtener x. Por ejemplo, el logaritmo de 7,38905... es 2, ya que
e2=7,38905... El logaritmo de e es 1, ya que e1=e.
Desde el punto de vista del análisis matemático, puede definirse para cualquier número
real positivo x>0 como el área bajo la curva y=1/t entre 1 y x. La sencillez de esta
definición es la que justifica la denominación de "natural" para el logaritmo con esta
base concreta. Esta definición puede extenderse a los números complejos.
El logaritmo natural es entonces una función real con dominio de definición los
números reales positivos:
y corresponde a la función inversa de la función exponencial:
¿Qué cosas fueron difíciles?
Se me complico un poco ya que estas funciones sus fórmulas son un poco diferentes a
las otra y se m dificulta en aprendérmelas.
¿Cuáles fueron fáciles?
Su procedimiento una vez ya identificada la función.
¿Qué aprendí hoy?
En esta clase aprendí a desarrollar Funciones Trigonométricas y Exponenciales.
70

71. DIARIO METACOGNITIVO
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ-FACULTAD DE CIENCIAS
INFORMÁTICAS-DISEÑ0 MICROCURRICULAR No 11
CALCULO DIFERENCIAL SEGUNDO SEMETRE DE CARRERA
PERIODO: Septiembre 2012-Febrero 2013
TIEMPO: 4 HORAS EN DOS JORNADAS DE 2
HORAS
FECHA: Martes 11 dic. Jueves 13 diciembre
DOCENTE Ing. José Cevallos Salazar
GUIA:
Reflexión: importancia de la estrategia
La estrategia lo es todo para un buen gestos… y para profesionales competentes.
Tener problemas es inevitable.. ser derrotado es opcional
Contenido
 Cadenas Abiertas
 Derivada Implícita
OBJETIVO DE DESEMPEÑO
 Resolver Derivadas Implícita y Cadenas Abiertas
COMPETENCIA GENERAL:
 Definición Derivadas Implícita y Cadenas Abiertas
Derivación implícita y derivada de orden superior.
Después de estudiar esta sección el estudiante deberá ser capaz de:
1. De una función, implícitamente obtener la derivada de y con respecto de x.
2. Obtener la derivada de orden n de u a función dada.
Si y es una función definida por una expresión algebraica en términos de variable x, se
dice que f está definida EXPLICITAMENTE en términos de x.
Por ejemplo, las siguientes funciones están explícitamente en términos de x.
71

72. 72

73. Cadenas abiertas
Es un proceso que nos permite evaluar una función en función de otra, es decir
función compuesta.
Z=√x
Y=lnZ
dz/dy = 1/2√x dy/dx=dz/dx . dy/dz
dy/dx=1/z dy/dx=1/2√x .1/z
dy/dx=1/2z√x
dy/dx= 1/ 2√x √x = 1/2x
dy/dx=1/2x//
¿Qué cosas fueron difíciles?
Se me dificulto lo que es las cadenas abiertas.
¿Cuáles fueron fáciles?
El procedimiento de derivadas implícita, ya que es simple, una vez ya estudiado todas
las derivadas.
¿Qué aprendí hoy?
En esta clase aprendí a desarrollar Cadenas Abiertas y Derivadas Implícita.
73

74. DIARIO METACOGNITIVO
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ-FACULTAD DE CIENCIAS
INFORMÁTICAS-DISEÑ0 MICROCURRICULAR No 12
CALCULO DIFERENCIAL SEGUNDO SEMETRE DE CARRERA
PERIODO: Septiembre 2012-Febrero 2013
TIEMPO: 4 HORAS EN DOS JORNADAS DE 2
HORAS
FECHA: Martes 18 nov. Jueves 20 de noviembre
DOCENTE Ing. José Cevallos Salazar
GUIA:
Reflexión: la lluvia
Que a pesar de los problemas i dificultades en nuestras vidas, nosotros debemos de
aprender a sobre llevar las cosas y aprender a resolverlo.
Contenido
 Aplicación de la derivada
 Punto Máximo y Mínimo
OBJETIVO DE DESEMPEÑO
 Aprender aplicación de la derivada… Encontrar punto máximo y mínimo,
punto de inflexión.
COMPETENCIA GENERAL:
 Definición Máximo y Mínimo
Función creciente y decreciente
Una función es creciente en un intervalo , si para dos valores
cualesquiera del intervalo, y , se cumple que:
Es creciente cuando los valores de Y van incrementándose o manteniéndose conforme
se incrementa X.
Es creciente cuando los valores de Y van decreciendo o manteniéndose conforme se
74

75. incrementa X.
Si una función tiene el valor de Y constante, entonces es constante, pero también entra
en la definición tanto de creciente como de decreciente.
Si la función sólo crece o sólo decrece (no tiene ningún tramo en que esté estable, sin
crecer ni decrecer), entonces se dice que es estrictamente creciente o estrictamente
decreciente, según el caso.
Definición:
Si al aumentar el valor de x el valor de su imagen ((x) también se incrementa, se dice
que la gráfica de la función crece y, por el contrario, cuando el valor x aumenta
disminuye ((x), decimos que la función decrece.
Simbólicamente podríamos definir:
( es creciente en un intervalo [a, b] ( (x1 (x2 ([a, b]: x1 ( x 2 ((x1) ( ((x2)
( es decreciente en un intervalo [a, b] ( (x1 (x2 ([a, b]: x1( x 2 ((x1) ( ((x2)
[pic]
Criterios para Crecimiento y Decrecimiento
Sea f una función de variable real continua en el intervalo cerrado [a, b] y derivable en
el intervalo abierto (a, b).
i. Si [pic]para todo [pic]entonces f es creciente en [a, b].
ii. Si [pic]para todo [pic]entonces f es decreciente en [a, b].
iii. Si [pic]para todo [pic]entonces f es constante en [a, b].
Observación:
El crecimiento y el decrecimiento de una curva coinciden con el signo de la primera
derivada. Así:
Donde [pic](derivada positiva), f(x) es creciente.
[pic](derivada negativa), f(x) es decreciente.
75

76. El teorema del subtema 5.1.2, permite clasificar los extremos relativos (máximos y
mínimos) de una función, de acuerdo a las variaciones de signo de la primera derivada.
Concavidad y puntos de Inflexión de una curva.
Así como los puntos máximos y mínimos de una curva se caracterizan por ser puntos en
los cuales la curva cambia de creciente a decreciente o viceversa, los llamados puntos
de inflexión de una curva (cuando existen), se caracterizan por determinar un cambio
en la concavidad de la curva.
Antes de presentar la definición precisa de concavidad, se harán algunas observaciones
de tipo intuitivo.
Considere la función f cuya gráfica aparece en la fig. Note en primer lugar que la
curva que f representa, tiene tangente en todos sus puntos
76

77. Se observa que en los puntos “cercanos” a x1, pero diferentes de x1, la curva se
Encuentra por “debajo” de la recta tangente. Se dice en este caso que la curva es
cóncava hacia abajo en el punto x1.
Igualmente se observa que en los puntos “cercanos” a x2, pero diferentes de x2,
la curva se encuentra por “encima” de la recta tangente. Se dice en este caso que la
curva es cóncava hacia arriba en el punto x2. El punto (c, f (c)) de la curva en el
cual la concavidad “cambia” se conoce con el nombre de punto de inflexión de la
curva.
Las ideas anteriores se precisan en las siguientes definiciones:
Definiciones:
Sea f una función derivable en un punto c.
i. f es cóncava hacia arriba en c o cóncava positiva en c, si existe un
intervalo abierto (a, b) al cual pertenece c, tal que para todo x de (a, b), x
≠ c se cumple que:
77

78. f es cóncava hacia abajo en c o cóncava negativa en c, si existe un
intervalo abierto (a, b) al cual pertenece c, tal que para todo x de (a, b), x
≠ c se cumple que:
'
Z x = f x − f c x−c − f c <
iii. f es cóncava hacia arriba (abajo) en un intervalo I, si lo es en cada punto de
I. iv. Un punto (c, f (c)) de una curva es un punto de inflexión, si existe un intervalo
abierto que contiene al punto c, tal que f presenta diferente concavidad en los su
intervalos: (a, c) y (c, b).
Se usará el símbolo: ∪, para denotar que una curva es cóncava hacia arriba o
cóncava positiva. Igualmente, se emplea el símbolo ∩, para denotar que una curva
es cóncava hacia abajo o cóncava negativa.
El siguiente teorema, que se enuncia sin demostración establece una condición
suficiente para determinar la concavidad de una curva en un intervalo.
Problema de máximos y mínimos.
Se dispone de una cartulina cuadrada de lado a y se quiere hacer una caja sin tapa
recortando cuadrados iguales en las esquinas y doblando sus lados. ¿Cuál debe ser la
longitud del lado del cuadrado que se recorta para que el volumen de la caja sea
máximo? ¿Cuál es el volumen de la caja?.
Solución:
Sea x: longitud del lado del cuadrado que se recorta en cada una de las esquinas (fig.
4.25 (a)), donde 20ax≤≤.
78

79. Al doblar la parte de cartulina restante, se forma la caja abierta que aparece en la fig.
4.25 (b).
Ahora, volumen de la caja = área de la base x altura. Esto es,
Puesto que V (x) (función a maximizar) es una función continua en el intervalo
entonces V (x) alcanza un valor máximo y un valor mínimo en dicho
intervalo.
Al derivar V (x) en (1) e igualar a cero, se obtienen los puntos críticos. En efecto:
79

80. Para analizar la naturaleza de los puntos críticos, se usa el criterio de la segunda
derivada.
lo cual indica que x=a2 corresponde a un mínimo relativo. (Interprete
geométricamente el resultado).
Máximo relativo.
En consecuencia, el volumen máximo se obtiene recortando en las esquinas de la
cartulina cuadrados de lado 6a y se obtiene de esta forma una caja cuyo volumen viene
dado por:
¿Qué cosas fueron difíciles?
No se me dificulto en nada.
¿Cuáles fueron fáciles?
Se me hizo fácil encontrar el máximo y mínimo.
¿Qué aprendí hoy?
En esta clase aprendí a encontrar máximo y mínimos
80

81. DIARIO METACOGNITIVO
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ-FACULTAD DE CIENCIAS
INFORMÁTICAS-DISEÑ0 MICROCURRICULAR No 13
CALCULO DIFERENCIAL SEGUNDO SEMETRE DE CARRERA
PERIODO: Septiembre 2012-Febrero 2013
TIEMPO: 4 HORAS EN DOS JORNADAS DE 2
HORAS
FECHA: Martes 08 dic. Jueves 10 diciembre
DOCENTE Ing. José Cevallos Salazar
GUIA:
Contenido
 Problemas utilizando derivada y hallando el máximo.
 Integrales
OBJETIVO DE DESEMPEÑO
 Resolver problemas y diferentes modelos de integrales.
COMPETENCIA GENERAL:
 Definición de Integrales
1.- Hallar 2 números entre cuya suma sea 12 y el producto sea máximo.
1.-Gráfica
2.-Implementación
X=P#
Y=P#
P=(x.y)
3.- Datos
Suma de # es 12
4.-Pregunta
¿Hallar producto máximo?
5.-Planteamiento del problema
81

82. 5.1.-Ecuación primaria
Producto m=xy: P(xy)=xy
5.2.-Ecuación Secundaria
X+y=12
Y=12-x
6.-
Primaria derivada
P(x)=12x-x^2
P’(x)=12-2x
Segunda derivada
P’’(x)=-2
Punto Crítico
12-2x=0
-2x=-12 (-1)
X=6
Y=12-x
Y=12-6
Y=6
Pmax=6.6.=36
P’’(x)=-2
P´´(6)=-2->MAX
82

83. Cálculo integral: definición.
Esto, es lo que hemos estudiado en la parte del cálculo infinitesimal que denominan
como “Cálculo Diferencial”. Ahora nos centraremos en otra parte de este, que
denominan “Cálculo Integral”.
Encontrar una función f a partir de su derivada, involucra el hecho de encontrar toda
una familia de funciones cuya derivada puede ser f; estas funciones reciben el nombre
de antiderivadas, puesto que para encontrarlas es necesario llevar el proceso contrario
al de la derivación y este proceso se llama “integración”. En forma análoga podemos
concluir que el problema de esta es, que si tenemos la velocidad de un punto móvil,
podemos hallar su trayectoria o si tenemos la pendiente de una curva, en cada uno se
sus puntos, podemos calcular dicha curva. Esto es a groso modo la una pequeña
definición de integración, pero esta es indefinida, es decir, que mediante este proceso,
podemos encontrar toda la familia de funciones cuya derivada es nuestra función dada;
ahora, veremos de que se trata la integración definida y sus aplicaciones, que es el
motivo real de este trabajo
EL CONCEPTO DE DIFERENCIAL
Existen muchas situaciones, dentro y fuera de las matemáticas, en que necesitamos
estimar una diferencia, como por ejemplo en las aproximaciones de valores de
funciones, en el cálculo de errores al efectuar mediciones (Valor real menos valor
aproximado) o simplemente al calcular variaciones de la variable dependiente cuando
la variable independiente varía "un poco", etc. Utilizando a la recta tangente como la
mejor aproximación lineal a la función en las cercanías del punto de tangencia,
aproximaremos esta DIFERENCIA con la diferencia sobre la recta tangente, a la que
llamaremos EL DIFERENCIAL de la función en el punto.
DEFINICION Y EJEMPLOS
Consideremos la siguiente ilustración en donde aproximamos a la función f por su recta
tangente.
83

84. Considerando que la recta tangente es la mejor aproximación lineal a la gráfica de f
en las cercanías del punto de tangencia PT, si le llamamos a la
variación de f cuando x varía de xo a xo + h y a la variación de la recta tangente
en el mismo rango de variación en x, podemos afirmar que para valores de h
"cercanos" a 0, estas dos variaciones son muy parecidas, es decir, T
 Integral indefinida: definición
La integración es un concepto fundamental de las matemáticas avanzadas,
especialmente en los campos del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una
integral es una suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños.El cálculo integral,
encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el proceso
de integración o anti derivación, es muy común en la ingeniería y en la matemática en
general; se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y
sólidos de revolución.
Las aplicaciones de las series infinitas son muchas, pero mencionamos como lo más
importante para nosotros en este momentos, su uso en la solución de problemas
matemáticos que no pueden resolverse en términos de funciones elementales (potencias,
raíces, funciones trigonométricas y sus inversas, logaritmos y exponenciales y
combinaciones de estos), o en caso de que puedan resolverse, es muy complicado
trabajar con ellos. En estos casos encontramos una respuesta en función de una serie y
usamos los términos requeridos de acuerdo a la presición deseada. Las ecuaciones
diferenciales son resueltas en muchas ocasiones en función de series infinitas. Una
integral definida,0.1
por ejemplo,
∫e–x
0
dx, para la cual no hay solución en términos de funciones elementales, se puede
resolver su expandiendo su integrando en una serie e integrando término a término
dicha serie.
¿Qué cosas fueron difíciles?
Se me dificulta un poco diferenciar los modelos de integrales.
¿Cuáles fueron fáciles?
Se me hace fácil resolver problemas y e integrales per los primeros modelos.
¿Qué aprendí hoy?
En esta clase aprendí a desarrollar problemas e integrales con su verificación.
84

85. 85

86. ARTÍCULOS DE REVISTAS
REVISTA DE MATEMÀTICA
AUTOR: Dr.Javier Trejos Zelaya - CIMPA,
Escuela de Matemática, Universidad de Costa
Rica, 2060 San José, Costa Rica
EDITADO: Bach.María Isabel Leandro
Calderón - Universidad de Costa Rica, 2060
San José, Costa Rica.
PAGINA DE BUSQUEDA:
http://revista.emate.ucr.ac.cr/
REFLEXIÒN DEL TEMA:
Esta revista me llamo mucho la atención ya que nos permite
a nosotros como estudiantes desenvolvernos mejor en el
mundo de las matemáticas.
El presente trabajo se propone un algoritmo paralelo para
la obtención de matrices de probabilidades de transición.
El algoritmo propuesto es aplicado a la modelación de yacimientos lateríticos a
partir de un modelo matemático basado en cadenas de Markov.
Los resultados teóricos y prácticos obtenidos demostraron que el algoritmo es
escalable y óptimo en cuanto a Ganancia de Velocidad y Eficiencia. Se propone
además, una representación matricial adecuada para el almacenamiento de
hipercubos dispersos que persigue un ahorro significativo de memoria con el
menor comprometimiento posible de tiempo durante la ejecución del algoritmo.
86

87. FACULTAD DE CIENCIAS INFORMÀTICAS
87

88. 88

89. EN ESTA FOTO NOS ENCONTRAMOS REALIZANDO PARTE
DEL PROYECTO.
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90. 90

91. 91

92. 92

93. 93