Este documento presenta el tema del álgebra de matrices. Introduce conceptos fundamentales como tipos de matrices, operaciones básicas como suma y multiplicación, y algunas aplicaciones. El documento está dividido en varias secciones y explica con detalle definiciones, propiedades y ejemplos para facilitar la comprensión del tema.
Instituto Tecnológico Superior de Guasave
Ingeniería en Sistemas Computacionales
Estructura de Datos
Unidad IV: Estructuras no Lineales
Retícula ISIC-2010-224: Programa: AED-1026/2016
Este documento trata sobre estructuras de datos no lineales como árboles y grafos. Explica que los árboles son estructuras dinámicas donde cada nodo puede tener varios nodos posteriores pero solo un nodo anterior, y describe los diferentes tipos de recorridos en árboles como preorden, enorden y postorden. También define grafos como conjuntos de vértices y aristas que representan relaciones, y cubre conceptos como caminos, grado de nodos y si un grafo es dirigido o no.
El documento presenta y resume varios algoritmos de ordenamiento como el método de la burbuja, selección, inserción, intercambio y shell. También describe las búsquedas secuencial y binaria, explicando que la búsqueda binaria es más eficiente cuando la lista está ordenada al requerir menos comparaciones.
Este documento presenta diferentes métodos de búsqueda como la búsqueda secuencial, binaria y mediante transformación de llaves. Explica la búsqueda secuencial como el método de recorrer elementos de forma lineal, la búsqueda binaria como una división recursiva de la lista ordenada, y la transformación de llaves como asignar índices a elementos mediante funciones hash.
El documento describe el ordenamiento con árbol binario, un algoritmo de ordenamiento que ordena elementos construyendo un árbol binario de búsqueda e insertando cada elemento. Los elementos quedan ordenados al recorrer el árbol en inorden. Tiene complejidad O(n log n) y buen rendimiento al no requerir espacio extra y poder ordenar listas tal cual. Se incluyen pseudocódigos para recorrer el árbol en preorden, inorden y postorden.
Este documento describe los conceptos básicos de los grafos y sus aplicaciones. Los grafos permiten modelar relaciones entre elementos que interactúan. Se definen grafos como conjuntos de nodos y aristas, y se explican conceptos como caminos, ciclos, grado de nodos, y diferentes tipos de grafos como grafos dirigidos, ponderados y bipartitos. También se introducen teoremas importantes como los de Euler y Hamilton para encontrar caminos y ciclos especiales en grafos.
Métodos de resolución metodo de gauss jordanalgebra
El método de Gauss-Jordan es un método para resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante la transformación de la matriz aumentada en una matriz escalonada reducida o una matriz identidad a través de operaciones elementales de filas y columnas. Esto permite encontrar directamente las soluciones de cada incógnita sin necesidad de sustitución hacia atrás. El método se aplica realizando operaciones que generan un patrón de unos con ceros debajo y a la izquierda para cada fila.
NÚCLEO E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEALVERITO
Este documento describe el núcleo y la imagen de una transformación lineal. El núcleo de una transformación lineal f consiste en los vectores u en el espacio vectorial de salida tales que f(u) es el vector nulo en el espacio vectorial de llegada. La imagen de una transformación lineal f consiste en los vectores w en el espacio vectorial de llegada que son las imágenes de algún vector u en el espacio vectorial de salida bajo la aplicación de f.
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Ingeniería en Sistemas Computacionales
Estructura de Datos
Unidad IV: Estructuras no Lineales
Retícula ISIC-2010-224: Programa: AED-1026/2016
Este documento trata sobre estructuras de datos no lineales como árboles y grafos. Explica que los árboles son estructuras dinámicas donde cada nodo puede tener varios nodos posteriores pero solo un nodo anterior, y describe los diferentes tipos de recorridos en árboles como preorden, enorden y postorden. También define grafos como conjuntos de vértices y aristas que representan relaciones, y cubre conceptos como caminos, grado de nodos y si un grafo es dirigido o no.
El documento presenta y resume varios algoritmos de ordenamiento como el método de la burbuja, selección, inserción, intercambio y shell. También describe las búsquedas secuencial y binaria, explicando que la búsqueda binaria es más eficiente cuando la lista está ordenada al requerir menos comparaciones.
Este documento presenta diferentes métodos de búsqueda como la búsqueda secuencial, binaria y mediante transformación de llaves. Explica la búsqueda secuencial como el método de recorrer elementos de forma lineal, la búsqueda binaria como una división recursiva de la lista ordenada, y la transformación de llaves como asignar índices a elementos mediante funciones hash.
El documento describe el ordenamiento con árbol binario, un algoritmo de ordenamiento que ordena elementos construyendo un árbol binario de búsqueda e insertando cada elemento. Los elementos quedan ordenados al recorrer el árbol en inorden. Tiene complejidad O(n log n) y buen rendimiento al no requerir espacio extra y poder ordenar listas tal cual. Se incluyen pseudocódigos para recorrer el árbol en preorden, inorden y postorden.
Este documento describe los conceptos básicos de los grafos y sus aplicaciones. Los grafos permiten modelar relaciones entre elementos que interactúan. Se definen grafos como conjuntos de nodos y aristas, y se explican conceptos como caminos, ciclos, grado de nodos, y diferentes tipos de grafos como grafos dirigidos, ponderados y bipartitos. También se introducen teoremas importantes como los de Euler y Hamilton para encontrar caminos y ciclos especiales en grafos.
Métodos de resolución metodo de gauss jordanalgebra
El método de Gauss-Jordan es un método para resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante la transformación de la matriz aumentada en una matriz escalonada reducida o una matriz identidad a través de operaciones elementales de filas y columnas. Esto permite encontrar directamente las soluciones de cada incógnita sin necesidad de sustitución hacia atrás. El método se aplica realizando operaciones que generan un patrón de unos con ceros debajo y a la izquierda para cada fila.
NÚCLEO E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEALVERITO
Este documento describe el núcleo y la imagen de una transformación lineal. El núcleo de una transformación lineal f consiste en los vectores u en el espacio vectorial de salida tales que f(u) es el vector nulo en el espacio vectorial de llegada. La imagen de una transformación lineal f consiste en los vectores w en el espacio vectorial de llegada que son las imágenes de algún vector u en el espacio vectorial de salida bajo la aplicación de f.
Este documento describe diferentes técnicas de agrupación de datos, incluyendo límites de clase, rango de clase, fronteras de clase, marca de clase, intervalo de clase, diagrama de tallos y hojas, diagrama de Pareto y diagrama de puntos. Explica cómo calcular cada uno de estos conceptos y provee ejemplos ilustrativos.
Este documento trata sobre los determinantes y su aplicación en el método de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Explica cómo calcular determinantes de matrices de orden 2 o superior, sus propiedades y cómo usarlos para hallar el rango de una matriz. También describe el método de Cramer, expresando cómo resolver un sistema mediante el cálculo de determinantes sustituyendo cada columna por el vector de términos independientes.
Una pila es una estructura de datos que sigue el principio LIFO (último en entrar, primero en salir), donde los elementos se agregan y eliminan de la parte superior de la pila. Existen dos formas de implementar una pila en C++: mediante un vector estático, que limita el tamaño máximo, o mediante nodos dinámicos enlazados, que permite un tamaño variable. Las operaciones básicas de una pila son crear, apilar, desapilar y consultar la cima.
Función Hash: metodos de división y de medio Cuadrado.Ana Castro
Este documento describe funciones hash y dos métodos para implementarlas: el método de división y el método del medio cuadrado. Una función hash mapea claves de entrada a valores hash de salida de tamaño fijo para usarlos como direcciones de almacenamiento. Estos métodos buscan minimizar colisiones cuando claves distintas generan el mismo valor hash. El método de división toma el residuo de dividir la clave entre un número, mientras que el método del medio cuadrado eleva la clave al cuadrado y toma dígitos centrales
Tipos de Colas en Programación en C++ - PresentaciónFernando Solis
Este documento describe dos tipos de colas en C++: colas estáticas y dinámicas. Las colas estáticas tienen un tamaño fijo asignado durante la creación, mientras que las colas dinámicas pueden crecer o reducirse durante la ejecución. Ambos tipos de colas se implementan utilizando punteros de cabeza y cola para insertar y eliminar elementos de forma ordenada. La elección entre una cola estática o dinámica depende de los requisitos específicos del programa.
Transformaciones lineales de la reflexión y rotación en forma matricial en 2DJlm Udal
Las diapositivas muestran ejemplos sobre transformaciones lineales en 2D, en específico, la reflexión y la rotación. Estas representaciones matriciales tienen una gran aplicabilidad en las matemáticas y su entendimiento facilita la comprensión para otros espacios vectoriales.
Este documento presenta información sobre árboles como una estructura de datos. Define árboles y explica que pueden representarse de varias formas, incluyendo registros con punteros y vectores. Explica que los árboles se usan comúnmente para almacenar y acceder rápidamente a información organizada de forma jerárquica. También cubre los diferentes tipos de recorridos de árboles como preorden, inorden y postorden.
Esta presentación es parte del contenido del curso de Estructuras de Datos I impartido en la Universidad Rafael Landívar durante el año 2017.
Incluye los temas:
•Listas
•Listas Enlazadas
•Listas Circulares
•Listas Doblemente Enlazadas
•Pilas
•Colas
Creado por Ing. Alvaro Enrique Ruano
Instituto Tecnológico Superior de Guasave
Ingeniería en Sistemas Computacionales
Estructura de Datos
Unidad V: Métodos de Ordenamiento
Retícula ISIC-2010-224: Programa: AED-1026/2016
Presentación de metodo de eliminación gaussianaFernando Alzate
El método de eliminación Gaussiana resuelve sistemas de ecuaciones lineales mediante la transformación del sistema original en otro equivalente más simple a través de operaciones de renglón, eliminando progresivamente variables hasta obtener una ecuación con una única incógnita. Una vez resuelta, se sustituye regresivamente para hallar los valores de todas las variables. El método de Gauss-Jordan continúa el proceso hasta obtener una matriz diagonal.
Este documento presenta varios métodos de búsqueda y ordenamiento de datos, incluyendo el método de la burbuja, selección, inserción, intercambio, Shell, búsqueda secuencial y binaria, quicksort, binsort y radixsort. Explica cada método con ejemplos para ilustrar cómo funcionan los algoritmos de ordenamiento y búsqueda.
Este documento describe las colas, que son listas lineales donde las operaciones de inserción y eliminación se realizan en extremos opuestos. Las colas siguen el principio FIFO, donde el primer elemento en entrar es el primero en salir. El documento también describe diferentes tipos de colas como colas circulares y bicolas, así como su implementación en Java.
Este documento presenta información sobre estructuras de datos lineales y dinámicas como pilas, colas y listas enlazadas. Explica conceptos como LIFO para pilas y FIFO para colas. Proporciona algoritmos para insertar, eliminar y recorrer elementos en estas estructuras usando arreglos y nodos. El objetivo es que los estudiantes comprendan y apliquen estas estructuras de datos para resolver problemas.
En la ciencia de la computación los algoritmos son más importantes que los LP o que las computadoras; la solución de un problema haciendo uso de las computadoras requiere por una parte un algoritmo o método de resolución y por otra un programa o codificación del algoritmo en un LP. Ambos componentes tienen importancia; pero la del algoritmo es absolutamente indispensable; sabemos que un algoritmo es una secuencia de pasos para resolver un problema.
Tecnológico Nacional de México
Ingeniería en Sistemas Computacionales
Estructura de datos
Unidad 1: Introducción a las estructuras de datos
Retícula ISIC-2010-224: Programa: AED-1026;
Este documento describe diferentes tipos de listas en estructuras de datos, incluyendo listas enlazadas simples, doblemente enlazadas, circulares y doblemente circulares. Explica sus características, operaciones y estructuras, con ejemplos de cómo se implementan en lenguajes de programación como Java.
Este documento discute diferentes algoritmos de búsqueda como la búsqueda secuencial, binaria y hashing. También describe métodos para transformar claves como truncamiento, plegamiento y aritmética modular. Explica que cuando dos claves producen la misma dirección en una tabla hash, se produce una colisión.
Este documento presenta las conclusiones de cinco estudiantes sobre sistemas de numeración y códigos digitales. Brevemente discute el sistema decimal, binario, octal y hexadecimal, así como su importancia y aplicaciones. También menciona códigos como BCD, Gray, Hamming y ASCII.
Este documento presenta el tema del álgebra de matrices. Introduce conceptos como tipos de matrices (cuadrada, nula, diagonal, unidad), operaciones con matrices (suma y multiplicación por un escalar) y algunas aplicaciones. Explica estas ideas con ejemplos y propiedades matemáticas.
Este documento introduce el concepto de álgebra de matrices. Define una matriz como un arreglo rectangular de números y describe varios tipos de matrices como matrices cuadradas, nulas, diagonales y unitarias. Explica las operaciones básicas con matrices como la suma, el producto de una matriz por un escalar, y la multiplicación de matrices. Finalmente, indica algunas aplicaciones del cálculo matricial.
Este documento describe diferentes técnicas de agrupación de datos, incluyendo límites de clase, rango de clase, fronteras de clase, marca de clase, intervalo de clase, diagrama de tallos y hojas, diagrama de Pareto y diagrama de puntos. Explica cómo calcular cada uno de estos conceptos y provee ejemplos ilustrativos.
Este documento trata sobre los determinantes y su aplicación en el método de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Explica cómo calcular determinantes de matrices de orden 2 o superior, sus propiedades y cómo usarlos para hallar el rango de una matriz. También describe el método de Cramer, expresando cómo resolver un sistema mediante el cálculo de determinantes sustituyendo cada columna por el vector de términos independientes.
Una pila es una estructura de datos que sigue el principio LIFO (último en entrar, primero en salir), donde los elementos se agregan y eliminan de la parte superior de la pila. Existen dos formas de implementar una pila en C++: mediante un vector estático, que limita el tamaño máximo, o mediante nodos dinámicos enlazados, que permite un tamaño variable. Las operaciones básicas de una pila son crear, apilar, desapilar y consultar la cima.
Función Hash: metodos de división y de medio Cuadrado.Ana Castro
Este documento describe funciones hash y dos métodos para implementarlas: el método de división y el método del medio cuadrado. Una función hash mapea claves de entrada a valores hash de salida de tamaño fijo para usarlos como direcciones de almacenamiento. Estos métodos buscan minimizar colisiones cuando claves distintas generan el mismo valor hash. El método de división toma el residuo de dividir la clave entre un número, mientras que el método del medio cuadrado eleva la clave al cuadrado y toma dígitos centrales
Tipos de Colas en Programación en C++ - PresentaciónFernando Solis
Este documento describe dos tipos de colas en C++: colas estáticas y dinámicas. Las colas estáticas tienen un tamaño fijo asignado durante la creación, mientras que las colas dinámicas pueden crecer o reducirse durante la ejecución. Ambos tipos de colas se implementan utilizando punteros de cabeza y cola para insertar y eliminar elementos de forma ordenada. La elección entre una cola estática o dinámica depende de los requisitos específicos del programa.
Transformaciones lineales de la reflexión y rotación en forma matricial en 2DJlm Udal
Las diapositivas muestran ejemplos sobre transformaciones lineales en 2D, en específico, la reflexión y la rotación. Estas representaciones matriciales tienen una gran aplicabilidad en las matemáticas y su entendimiento facilita la comprensión para otros espacios vectoriales.
Este documento presenta información sobre árboles como una estructura de datos. Define árboles y explica que pueden representarse de varias formas, incluyendo registros con punteros y vectores. Explica que los árboles se usan comúnmente para almacenar y acceder rápidamente a información organizada de forma jerárquica. También cubre los diferentes tipos de recorridos de árboles como preorden, inorden y postorden.
Esta presentación es parte del contenido del curso de Estructuras de Datos I impartido en la Universidad Rafael Landívar durante el año 2017.
Incluye los temas:
•Listas
•Listas Enlazadas
•Listas Circulares
•Listas Doblemente Enlazadas
•Pilas
•Colas
Creado por Ing. Alvaro Enrique Ruano
Instituto Tecnológico Superior de Guasave
Ingeniería en Sistemas Computacionales
Estructura de Datos
Unidad V: Métodos de Ordenamiento
Retícula ISIC-2010-224: Programa: AED-1026/2016
Presentación de metodo de eliminación gaussianaFernando Alzate
El método de eliminación Gaussiana resuelve sistemas de ecuaciones lineales mediante la transformación del sistema original en otro equivalente más simple a través de operaciones de renglón, eliminando progresivamente variables hasta obtener una ecuación con una única incógnita. Una vez resuelta, se sustituye regresivamente para hallar los valores de todas las variables. El método de Gauss-Jordan continúa el proceso hasta obtener una matriz diagonal.
Este documento presenta varios métodos de búsqueda y ordenamiento de datos, incluyendo el método de la burbuja, selección, inserción, intercambio, Shell, búsqueda secuencial y binaria, quicksort, binsort y radixsort. Explica cada método con ejemplos para ilustrar cómo funcionan los algoritmos de ordenamiento y búsqueda.
Este documento describe las colas, que son listas lineales donde las operaciones de inserción y eliminación se realizan en extremos opuestos. Las colas siguen el principio FIFO, donde el primer elemento en entrar es el primero en salir. El documento también describe diferentes tipos de colas como colas circulares y bicolas, así como su implementación en Java.
Este documento presenta información sobre estructuras de datos lineales y dinámicas como pilas, colas y listas enlazadas. Explica conceptos como LIFO para pilas y FIFO para colas. Proporciona algoritmos para insertar, eliminar y recorrer elementos en estas estructuras usando arreglos y nodos. El objetivo es que los estudiantes comprendan y apliquen estas estructuras de datos para resolver problemas.
En la ciencia de la computación los algoritmos son más importantes que los LP o que las computadoras; la solución de un problema haciendo uso de las computadoras requiere por una parte un algoritmo o método de resolución y por otra un programa o codificación del algoritmo en un LP. Ambos componentes tienen importancia; pero la del algoritmo es absolutamente indispensable; sabemos que un algoritmo es una secuencia de pasos para resolver un problema.
Tecnológico Nacional de México
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Estructura de datos
Unidad 1: Introducción a las estructuras de datos
Retícula ISIC-2010-224: Programa: AED-1026;
Este documento describe diferentes tipos de listas en estructuras de datos, incluyendo listas enlazadas simples, doblemente enlazadas, circulares y doblemente circulares. Explica sus características, operaciones y estructuras, con ejemplos de cómo se implementan en lenguajes de programación como Java.
Este documento discute diferentes algoritmos de búsqueda como la búsqueda secuencial, binaria y hashing. También describe métodos para transformar claves como truncamiento, plegamiento y aritmética modular. Explica que cuando dos claves producen la misma dirección en una tabla hash, se produce una colisión.
Este documento presenta las conclusiones de cinco estudiantes sobre sistemas de numeración y códigos digitales. Brevemente discute el sistema decimal, binario, octal y hexadecimal, así como su importancia y aplicaciones. También menciona códigos como BCD, Gray, Hamming y ASCII.
Este documento presenta el tema del álgebra de matrices. Introduce conceptos como tipos de matrices (cuadrada, nula, diagonal, unidad), operaciones con matrices (suma y multiplicación por un escalar) y algunas aplicaciones. Explica estas ideas con ejemplos y propiedades matemáticas.
Este documento introduce el concepto de álgebra de matrices. Define una matriz como un arreglo rectangular de números y describe varios tipos de matrices como matrices cuadradas, nulas, diagonales y unitarias. Explica las operaciones básicas con matrices como la suma, el producto de una matriz por un escalar, y la multiplicación de matrices. Finalmente, indica algunas aplicaciones del cálculo matricial.
El documento trata sobre el álgebra de matrices. Introduce conceptos clave como tipos de matrices (cuadrada, nula, diagonal, unidad, triangular), operaciones con matrices (suma, producto por escalar, producto) y aplicaciones del cálculo matricial. Explica que una matriz es un arreglo rectangular de números y define términos como fila, columna y elemento. Además, describe propiedades importantes como la distribución en las operaciones y la estructura de grupo y espacio vectorial de las matrices.
Este documento introduce conceptos básicos sobre matrices y determinantes. Explica que las matrices se originaron en la década de 1850 y se utilizan ampliamente hoy en día en programación, estadística y otras áreas. Define una matriz como un conjunto de números ordenados en filas y columnas y describe varios tipos de matrices como cuadradas, triangulares y nulas. También define operaciones básicas con matrices como suma, resta, multiplicación por un escalar y producto de matrices.
El documento presenta una introducción al álgebra de matrices. Define una matriz como un arreglo rectangular de números y describe algunos tipos de matrices como cuadradas, nulas, diagonales y unitarias. Explica las operaciones básicas con matrices como suma, producto y producto por un escalar. Finalmente, menciona algunas aplicaciones del álgebra de matrices en diferentes disciplinas.
Este documento presenta un resumen de tres oraciones o menos sobre el tema de álgebra de matrices. Introduce conceptos clave como definiciones de matrices, operaciones matriciales como suma, producto y transposición, determinantes, sistemas de ecuaciones lineales y métodos para resolverlos como regla de Cramer e inversa de matrices. Además, explica propiedades importantes de las matrices y sus aplicaciones en álgebra lineal.
Este documento provee una introducción a las matrices y los determinantes. Explica que una matriz es un conjunto de números organizados en filas y columnas, y define conceptos como los elementos de una matriz, su dimensión, y diferentes tipos de matrices como matrices cuadradas, triangulares, y la matriz identidad. También introduce los determinantes como herramientas para extraer un único número de matrices cuadradas a través de la suma de productos elementales, y explica cómo calcular determinantes de orden 1, 2 y 3.
El documento presenta conceptos básicos sobre matrices. Define una matriz como un arreglo de elementos dispuestos en filas y columnas, y especifica que se indican el número de filas y columnas como subíndices después del nombre de la matriz. Explica también la diagonal principal de una matriz cuadrada, la traza, la suma, resta y multiplicación de matrices.
El documento trata sobre las matrices. Define una matriz como un arreglo de elementos dispuestos en filas y columnas. Explica que una matriz se denota con una letra mayúscula entre paréntesis y se indican sus dimensiones como subíndices. Describe las propiedades de las matrices como la suma, resta, multiplicación por un escalar, producto y transpuesta.
Antecedentes al álgebra lineal y matrices. Presentación diseñada por el MTRO....JAVIER SOLIS NOYOLA
Este documento introduce conceptos clave del álgebra lineal como matrices, sistemas de ecuaciones lineales, y tipos de matrices como triangular, diagonal e identidad. Explica las operaciones básicas con matrices como suma, resta, multiplicación por escalar, y producto. Además, define términos como tamaño, fila, columna y elemento de una matriz.
El documento introduce el tema de las matrices y los determinantes. Explica que las matrices aparecieron por primera vez en 1850 y su desarrollo se debe a matemáticos como Hamilton y Cayley en los años 1850. Las matrices se utilizan para estudiar sistemas de ecuaciones lineales y aparecen de forma natural en geometría, estadística y economía. Además, su uso es esencial en programación debido a que los datos se almacenan en tablas organizadas en filas y columnas.
Este documento presenta los conceptos básicos de álgebra lineal relacionados con matrices, determinantes y sistemas lineales. Introduce las definiciones de diferentes tipos de matrices como matrices cuadradas, triangulares, identidad y nulas. Explica operaciones con matrices como suma, multiplicación por un escalar y producto. Finalmente, establece objetivos de aprendizaje relacionados con resolver sistemas de ecuaciones lineales usando propiedades de matrices y determinantes.
Este documento presenta los conceptos básicos de álgebra lineal relacionados con matrices, determinantes y sistemas lineales. Introduce las definiciones de diferentes tipos de matrices como matrices cuadradas, triangulares, nulas e identidad. Explica operaciones con matrices como suma, multiplicación por un escalar y producto. Finalmente, establece objetivos de aprendizaje relacionados con resolver sistemas de ecuaciones lineales usando propiedades de matrices y determinantes.
Este documento presenta los conceptos básicos de álgebra lineal relacionados con matrices, determinantes y sistemas lineales. Introduce las definiciones de diferentes tipos de matrices como matrices cuadradas, triangulares, identidad y nulas. Explica operaciones con matrices como suma, multiplicación por un escalar y producto. Finalmente, establece objetivos de aprendizaje relacionados con resolver sistemas de ecuaciones lineales usando propiedades de matrices y determinantes.
Este documento presenta los conceptos básicos de álgebra lineal relacionados con matrices, determinantes y sistemas lineales. Define diferentes tipos de matrices como matrices cuadradas, simétricas, antisimétricas y nulas. También introduce operaciones básicas con matrices como suma, multiplicación por un escalar y producto. El objetivo es resolver sistemas de ecuaciones lineales de hasta 4 ecuaciones usando estas herramientas.
El documento define una matriz como un conjunto de elementos dispuestos en filas y columnas. Explica diferentes tipos de matrices como matrices cuadradas, triangulares, simétricas y de identidad. También describe operaciones básicas con matrices como suma, producto, inversa y determinante.
Este documento trata sobre matrices y determinantes. Explica conceptos como definición de matriz, tipos especiales de matrices como cuadradas y diagonales, operaciones con matrices como suma, diferencia, producto por un escalar y producto de matrices. También cubre relaciones entre matrices como transpuesta, inversa, ortogonal y simétrica. Finalmente, presenta propiedades de las operaciones con matrices.
Este documento explica las operaciones de suma y resta con matrices. Indica que para sumar o restar matrices, estas deben tener el mismo número de filas y columnas. Describe que la suma de matrices se obtiene sumando los elementos en la misma posición, mientras que la resta implica cambiar los signos a los elementos de una matriz y sumarla a la otra. También presenta algunos ejemplos y propiedades como la conmutativa y asociativa para la suma de matrices.
Este documento presenta información sobre la unidad de álgebra lineal sobre matrices. Se detalla que la semana del 9 al 14 de septiembre se cubrirá el tema de matrices. Se espera que los estudiantes aprendan conceptos como la definición de matriz, adición y multiplicación de matrices, y la relación entre matrices y números reales. El plan de trabajo incluye nociones sobre matrices que serán cubiertas, así como actividades sugeridas y los aprendizajes esperados al final de la unidad.
La Universidad Fermín Toro en su sede de Cabudare ofrece una carrera de Diseño de Software con énfasis en Sistemas en Tiempo Real, impartida por el profesor Jordi Cuevas, titulado en Técnico Superior Universitario con cédula de identidad 14941413.
El documento habla sobre el software. Explica que el software se refiere al soporte lógico de un computador y comprende los programas necesarios para realizar tareas específicas. Luego clasifica el software en tres tipos: software de sistema, software de programación y software de aplicación. También describe el análisis de requisitos como un proceso para descubrir, refinar y especificar los requisitos del sistema y el papel del software. Finalmente, menciona que los prototipos son modelos de comportamiento que pueden usarse para entender y clarificar los requis
El documento describe el funcionamiento y aplicaciones de bobinas e inductores. Las bobinas almacenan energía magnética cuando aumenta la corriente eléctrica y la devuelven cuando disminuye la corriente. Se usan en transformadores, motores, calentamiento por inducción y filtros. Los capacitores almacenan carga eléctrica entre dos placas separadas por un dieléctrico. Se usan en filtros, fuentes de alimentación, circuitos temporizadores y sistemas de transferencia de energía.
Actividad 7- Mapa de Riesgos de un EdificioJordi Cuevas
Un sismo de grado 7 provoca la evacuación de un edificio de dos pisos donde 6 personas instalaban un sistema WiFi en la terraza. El edificio tiene oficinas comerciales pero carece de salidas de emergencia o extintores. La fachada de vidrio del edificio podría romperse durante el sismo y causar cortes si las personas no se alejan.
La presentación trata sobre los estándares de sistemas en la Universidad Fermín Toro, Sede Cabudare. Se enfoca en los conceptos clave de los estándares de sistemas como parte del curso de Teoría de Sistemas II impartido por el profesor Jordi Cuevas.
El documento describe un sistema de información para controlar el inventario de equipos de computación en el Instituto del Deporte Tachirense. El sistema utiliza un modelo de entidad relación para registrar la información de los equipos, sus características y ubicaciones.
Este documento presenta los resultados de un experimento de cinemática sobre movimiento rectilíneo uniforme. Los estudiantes utilizaron una simulación para medir el tiempo que tardó un objeto en recorrer diferentes distancias sobre una superficie plana y luego inclinada 3°. Los resultados se graficaron y analizaron, mostrando que la velocidad del objeto era constante sobre la superficie plana pero aumentó sobre la superficie inclinada debido a la mayor aceleración de la gravedad.
Este documento presenta la resolución de varios ejercicios sobre grafos. Incluye las matrices de adyacencia e incidencia de un grafo, y determina si es conexo, simple, regular o completo. También muestra una cadena y un ciclo en el grafo, así como un árbol generador. Finalmente, analiza si el grafo es euleriano u hamiltoniano. El segundo ejercicio contiene un dígrafo y determina si es simple, encuentra una cadena y un ciclo. Usa la matriz de accesibilidad para verificar si es fuertemente cone
Este documento presenta la resolución de varios ejercicios sobre grafos. Incluye matrices de adyacencia e incidencia para un grafo, y determina si es conexo, simple, regular o completo. También muestra una cadena y un ciclo en el grafo, así como un árbol generador. Finalmente, analiza la conectividad y distancias en un dígrafo usando algoritmos como el de Dijkstra.
1. Introduccion a las excavaciones subterraneas (1).pdfraulnilton2018
Cuando las excavaciones subterráneas son desarrolladas de manera artesanal, se conceptúa a la excavación como el “ que es una labor efectuada con la mínima sección posible de excavación, para permitir el tránsito del hombre o de
cémilas para realizar la extracción del material desde el
frontón hasta la superficie
Cuando las excavaciones se ejecutan controlando la sección de excavación, de manera que se disturbe lo menos posible la
roca circundante considerando la vida útil que se debe dar a la roca, es cuando aparece el
concepto de “ que abarca,
globalmente, al proceso de excavación, control de la periferia, sostenimiento, revestimiento y consolidación de la excavación
Equipo 4. Mezclado de Polímeros quimica de polimeros.pptxangiepalacios6170
Presentacion de mezclado de polimeros, de la materia de Quimica de Polímeros ultima unidad. Se describe la definición y los tipos de mezclado asi como los aditivos usados para mejorar las propiedades de las mezclas de polimeros
COMPARACION DE PRECIOS TENIENDO COMO REFERENTE LA OSCE
Algebra matrices
1. Álgebra de matrices
Proyecto e-Math 1
Financiado por la Secretaría de Estado de Educación y Universidades (MECD)
ÁLGEBRA DE MATRICES
Autores: Cristina Steegmann Pascual (csteegmann@uoc.edu), Juan Alberto Rodríguez Velázquez
(jrodriguezvel@uoc.edu), Ángel Alejandro Juan Pérez (ajuanp@uoc.edu).
ESQUEMA DE CONTENIDOS ________________________
INTRODUCCIÓN ___________________
El concepto de matriz alcanza múltiples aplicaciones tanto en la representación y manipulación de
datos como en el cálculo numérico y simbólico que se deriva de los modelos matemáticos
utilizados para resolver problemas en diferentes disciplinas como, por ejemplo, las ciencias
sociales, las ingenierías, economía, física, estadística y las diferentes ramas de las matemáticas
entre las que destacamos las ecuaciones diferenciales, el cálculo numérico y, por supuesto, el
álgebra. Para obtener información sobre la historia del álgebra de matrices recomendamos [W5].
En este math-block presentamos algunos tipos de matrices, analizamos las principales operaciones
con matrices y damos algunas aplicaciones del álgebra de matrices. Además, mostramos las
posibilidades que nos brinda el programa Mathcad para el cálculo matricial. Para completar el estudio
sobre este tema, recomendamos la lectura de los math-blocks sobre determinantes, matriz inversa y
sistemas de ecuaciones lineales.
Álgebra de
Matrices
Definición
de matriz
Tipos de
matrices
Operaciones con
matrices
Algunas
Aplicaciones
Modelo
metalúrgico
Matrices Input
Output
Matriz de
adyacencia
Suma, producto
y producto por
un escalar
Cálculo con
Mathcad
2. Álgebra de matrices
Proyecto e-Math 2
Financiado por la Secretaría de Estado de Educación y Universidades (MECD)
OBJETIVOS ________________________
• Conocer algunos tipos de matrices.
• Conocer las principales operaciones con matrices.
• Conocer algunas aplicaciones del cálculo matricial.
• Conocer las facilidades del cálculo matricial usando el programa Mathcad.
CONOCIMIENTOS PREVIOS ___________________________________
Es recomendable haber leído, previamente, los math-blocks introductorios a Mathcad.
CONCEPTOS FUNDAMENTALES ______________________________
Definición de matriz
Los arreglos rectangulares de números como el siguiente
−
35.05
018
reciben el nombre de matrices. Más formalmente, dado un conjunto X, se denomina matriz de
n filas y m columnas a un conjunto de n×m elementos de X, dispuestos en un arreglo rectangular
de n filas y m columnas. Las características de los elementos del conjunto X dependerán, en
cada caso, de la naturaleza del problema que se esté estudiando. X puede ser un conjunto de
funciones, de palabras de un alfabeto, de números, etc. De aquí en adelante, salvo que se
especifique lo contrario, los elementos del conjunto X serán números reales y denotaremos el
conjunto de todas las matrices de orden n×m (n filas y m columnas) por .mnM ×
En general, para representar una matriz A de orden n×m se escribe
=A
nmnn
m
m
aaa
aaa
aaa
21
22221
11211
También se escribe A=( ija ) ( ,...,1=i n y ,...,1=j m) para indicar que A es la matriz de orden
n×m que tiene elementos ija . Las matrices se denotan con letras mayúsculas y sus elementos
con la misma letra minúscula acompañada de dos subíndices que indican su posición en la
matriz; el primer subíndice indica la fila y el segundo la columna. Es decir, el elemento ija es
aquel que se encuentra en la fila i y la columna j de la matriz A. Por ejemplo, si denotamos por
M la matriz inicial, entonces el orden de M es 2×3 (2 filas y 3 columnas) y sus elementos
son: ,811 =m ,112 −=m , ,013 =m ,521 =m 5.022 =m y .323 =m
3. Álgebra de matrices
Proyecto e-Math 3
Financiado por la Secretaría de Estado de Educación y Universidades (MECD)
Dos matrices A=( ija ) y B=( ijb ), de orden n×m, son iguales si ijij ba = para todo ,...,1=i n y
,...,1=j m. Es decir, dos matrices son iguales si los elementos que ocupan la misma posición
en ambas matrices coinciden.
Algunos tipos de matrices
Matriz Cuadrada: Es aquella que tiene igual número n de filas que de columnas (n=m). En ese
caso se dice que la matriz es de orden n. Por ejemplo, la matriz
−
−
=
12.04
330
231
A
es cuadrada de orden 3.
Denotaremos el conjunto de todas las matrices cuadradas de orden n por .nM Así, en el
ejemplo anterior, .3MA∈
Los elementos de la diagonal principal de una matriz cuadrada son aquellos que están situados
en la diagonal que va desde la esquina superior izquierda hasta la inferior derecha. En otras
palabras, la diagonal principal de una matriz A=( ija ) está compuesta por los elementos
.,...,, 2211 nnaaa En el ejemplo anterior la diagonal principal está compuesta por los elementos:
111 =a , 322 −=a , 133 =a .
Matriz Nula: Una matriz es nula si todos sus elementos son iguales a cero. En el siguiente
ejemplo se muestra la matriz nula de orden 3×2.
=
0
0
0
0
0
0
O
Más adelante veremos que la matriz nula, respecto a la adición y multiplicación de matrices,
juega un papel similar al número cero respecto a la adición y multiplicación de números reales.
Matriz Diagonal: Una matriz cuadrada, A=( ija ), es diagonal si ija =0, para ji ≠ . Es decir, si
todos los elementos situados fuera de la diagonal principal son cero. Por ejemplo, la siguiente
matriz es diagonal:
−
=
300
060
000
D
Matriz Unidad: Es una matriz diagonal cuyos elementos de la diagonal son todos 1. A
continuación mostramos la matriz unidad de orden 2.
=
10
01
I
4. Álgebra de matrices
Proyecto e-Math 4
Financiado por la Secretaría de Estado de Educación y Universidades (MECD)
Más adelante veremos que la matriz unidad, respecto a la multiplicación de matrices, juega un
papel similar al número 1 respecto a la multiplicación de números reales.
Matriz triangular: Es una matriz cuadrada en la que todos los elementos situados por debajo (o
por encima) de la diagonal principal son cero. Por ejemplo, la siguiente matriz es triangular:
−
=
100
460
12 3
1
T
Este tipo de matrices también se conoce como matriz escalonada. En algunos casos se hace la
distinción entre las matrices triangulares superiores o inferiores en dependencia de los
elementos nulos de la matriz; los que están por debajo o por encima de la diagonal principal.
Según se puede ver en el Math-block sobre sistemas de ecuaciones lineales, el concepto de
matriz triangular (o escalonada) es de vital importancia en el estudio de los sistemas de
ecuaciones lineales.
Más adelante, después de estudiar las operaciones con matrices, veremos algunos tipos
importantes de matrices como es el caso de las simétricas y las ortogonales.
Adición de matrices
Sean mnMBA ×∈, . La matriz mnij McC ×∈= )( es la suma de las matrices )( ijaA = y
)( ijbB = , y se denota ,BAC += si sus elementos cumplen:
m)...,2,1,n,...,2,1,( ==+= jibac ijijij
Ejemplo
Consideremos las siguientes matrices:
−=
2
3
4
0
1
2
A
−
=
0
4
4
1
2
4
B
−−
−
=
531
202
431
M
Las matrices A y B son de orden 3×2, mientras la matriz M es cuadrada de orden 3. Por tanto, no
podemos calcular la suma de A y M y tampoco la suma de B y M, en cambio, sí podemos sumar
A y B ya que tienen el mismo orden. Esto es,
−
=
+
+
+
−+
+−
+
=
−
+
−=+
2
7
8
1
1
6
02
43
44
)1(0
2)1(
42
0
4
4
1
2
4
2
3
4
0
1
2
BA
Es fácil deducir las siguientes propiedades de la adición de matrices de orden n×m:
• Conmutativa: ,ABBA +=+ mnMBA ×∈∀ , 1
• Asociativa: ,)()( CBACBA ++=++ mnMCBA ×∈∀ ,,
1
∀ : Cuantificador universal. Se lee “Para todo”. ∃ : Cuantificador existencial. Se lee “Existe”
5. Álgebra de matrices
Proyecto e-Math 5
Financiado por la Secretaría de Estado de Educación y Universidades (MECD)
• Elemento neutro (la matriz nula): AAOOAMAMO mnmn =+=+∈∀∈∃ ×× :
• Elemento opuesto: OAAAAMAMA mnmn =+−=−+∈−∃∈∀ ×× )()(:)(
En virtud de las propiedades anteriores de la adición de matrices, “+”, (ley interna) resulta que
( )+× ,mnM tiene estructura de grupo conmutativo. (Ver [8] para profundizar en la estructura de
grupo)
Multiplicación de una matriz por un número
Se denomina producto de una matriz
2
)( mnij MaA ×∈= por un número λ a una matriz
)( mnij MbB ×∈= cuyos elementos son de la forma
)1;1( ,...,mj,...,niab ijij === λ
Es decir, la matriz producto, B, es la que se obtiene multiplicando el número λ por cada uno de
los elementos de A. De aquí en adelante consideraremos que λ es un número real.
Ejemplo
Consideremos la matriz
−
−
=
075
402
102
A y el número .5−=λ Entonces, el producto de A
por λ es:
( )
−−
−
−
=
−
−
−=
03525
20010
5010
075
402
102
·5·Aλ
El producto de una matriz por un número es una ley de composición externa que cumple las
siguientes propiedades (Ver [8] para profundizar en leyes de composición):
• Distributiva mixta del producto respecto a la suma de matrices
mnMBABABA ×∈∀∈∀+=+ ,R,)( λλλλ
• Distributiva mixta del producto respecto a la suma de números reales
mnMARAAA ×∈∀∈∀+=+ ,,)( δλδλδλ
• Asociativa mixta
mnMARAA ×∈∀∈∀= ,,)()·( δλδλδλ
• Elemento neutro para la ley externa
2
En esta definición damos por supuesto que se cumple la propiedad conmutativa de la multiplicación
del número λ por los elementos de A.
6. Álgebra de matrices
Proyecto e-Math 6
Financiado por la Secretaría de Estado de Educación y Universidades (MECD)
RMAAA mn ∈∈∀= × 1y·1
En virtud de estas propiedades y de las anteriores de la suma de matrices, resulta que el conjunto
mnM × de las matrices de orden n×m, respecto a la ley de composición interna, “+”, y a la ley de
composición externa, producto de una matriz por un número, tiene estructura de espacio vectorial
sobre el cuerpo de los números reales (Ver [W7] y [2] para profundizar en la estructura de espacio
vectorial).
Multiplicación de matrices
Se denomina matriz producto de la matriz )( mnij MaA ×∈= por la matriz )( pmjk MbB ×∈= a
una matriz )( pnik McC ×∈= cuyos elementos son de la forma
∑=
=+++=
m
j
jkijmkimkikiik babababac
1
2211
Es decir, los elementos que ocupan la posición ,ik en la matriz producto, se obtienen sumando
los productos que resultan de multiplicar los elementos de la fila i en la primera matriz por los
elementos de la columna k de la segunda matriz. Observemos en detalle como se obtiene el
elemento 23c en el siguiente ejemplo:
CBA =
−
−
=
−
−
−=
1208
740
1427
3
5
0
2
2
1
·
4
1
3
0
2
1
·
fila 2 por columna 3 = elemento que ocupa la posición 23
73103)·1(5223221321
2
1
3223 =−=−+=+== ∑=
·bababac
j
jj
Dos matrices se pueden multiplicar sólo cuando el número de columna de la primera matriz sea
igual al número de filas de la segunda. En ese caso se dice que las matrices son enlazadas.
En el siguiente ejemplo podemos ver además cuál es el orden de la matriz producto.
24
43
23
20
11
22
6010
1221
4432
×
×
=
= BA
23
24
43
13
10
23
19
7
19
23
20
11
22
6010
1221
4432
·
×
×
×
=
=BA
4=4
7. Álgebra de matrices
Proyecto e-Math 7
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Nótese, además, que no podemos calcular .·AB
=AB·
43
24
6010
1221
4432
23
20
11
22
×
×
Hay casos, como veremos en el siguiente ejemplo, en los que se pueden calcular ambos
productos aunque se obtienen resultados diferentes.
Consideremos las siguientes matrices:
=
3
2
2
3
1
4
A y
=
0
3
2
3
1
0
B
Entonces, por un lado,
=
=
811
179
0
3
2
3
1
0
3
2
2
3
1
4
·BA
y por otro lado,
=
=
6912
1197
642
3
2
2
3
1
4
0
3
2
3
1
0
·AB
Según se pudo comprobar a través de los ejemplos anteriores, para la multiplicación de matrices
no se cumple la propiedad conmutativa. Veamos algunas propiedades de esta operación:
• Asociativa
pkkmmn MCMBMAA, B, CCBACBA ××× ∈∈∈∀= ,,:,)·()·(
• Elemento neutro (Es la matriz unidad)
··: AAIIAMAMI nn ==∈∀∈∃
• Distributiva (mixta)
kmmn MCBMAA,B,CCABACBA ×× ∈∈∀+=+ ,:,··)(
En virtud de estas propiedades y de las anteriores de la suma de matrices, resulta que el
conjunto ( ),·,+nM de las matrices cuadradas de orden n, respecto a las dos leyes de
composición interna, “+” y “·”, tiene estructura de anillo unitario no conmutativo (Ver [8] para
profundizar en la estructura de anillo).
Otras observaciones importantes:
8. Álgebra de matrices
Proyecto e-Math 8
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• Existen divisores de cero: En general, 0· =BA no implica que 0=A o .0=B Por
ejemplo,
=
00
00
18
00
02
01
.
• No se cumple la propiedad cancelativa: En general, CABA ·· = no implica .CB = Por
ejemplo,
=
35
01
02
01
18
01
02
01
• No se cumple la fórmula del binomio: En general,
222
2)( BABABA ++≠+ ya que el
producto no es conmutativo.
Matriz invertible
Una matriz cuadrada A es invertible si existe una matriz, que denotaremos por ,1−
A que cumple
,·· 11
IAAAA == −−
donde I es la matriz unidad. En ese caso se dice que
1−
A es la inversa de A .
Por ejemplo, la matriz
−=
103
431
342
A
es invertible y su inversa es
−
−−
−
=−
31
10
31
12
31
9
31
11
31
7
31
13
31
7
31
4
31
3
1
A
ya que
.
100
010
001
103
431
342
·
31
10
31
12
31
9
31
11
31
7
31
13
31
7
31
4
31
3
1
IAA =
=
−
−−
−
−=−
Para un estudio detallado sobre matriz inversa recomendamos el math-block titulado “Matriz
Inversa”.
Matriz traspuesta
La traspuesta de una matriz mnij MaA ×∈= )( , es la matriz ,)( nmji
T
MaA ×∈= que se obtiene
a partir de la matriz A al intercambiar las filas por las columnas (o viceversa).
9. Álgebra de matrices
Proyecto e-Math 9
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La traspuesta de la matriz
=
3
2
2
3
1
4
A es
=
3
2
1
2
3
4
T
A .
Propiedades:
• Dada una matriz, siempre existe la traspuesta y además es única
• ( ) AA
TT
=
• ( ) TTT
BABA +=+
• ( ) ,TT
AA λλ = con R∈λ
• ( ) TTT
ABBA ·· =
• ( ) ( ) 11 −−
= TT
AA
Otros tipos de matrices
Matriz simétrica: Es una matriz igual a su traspuesta:
A es simétrica ⇔ AAT
=
Un ejemplo de matriz simétrica es el siguiente:
.
513
129
391
T
AA =
−
−=
Las matrices simétricas tienen ese nombre debido a que presentan simetría respecto a la
diagonal principal. En otras palabras, una matriz nij MaA ∈= )( es simétrica si cumple
jiij aa = para ,,...,1 ni = y .,...,1 nj =
Matriz antisimétrica: Es una matriz igual a la opuesta de su traspuesta. En otras palabras,
A es antisimétrica ⇔ .AAT
−=
La siguiente matriz es antisimétrica:
−−
−
=
513
129
391
A
Matriz ortogonal: Es aquella cuya traspuesta es igual a su inversa. Es decir, es aquella que
multiplicada por su traspuesta da como resultado la matriz unidad. Esto es,
A es ortogonal ⇔ IAA T
=· ⇔ 1−
= AAT
La siguiente matriz de funciones es ortogonal:
10. Álgebra de matrices
Proyecto e-Math 10
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−
senxx
xsenx
cos
cos
Para comprobarlo es suficiente con aplicar la definición y tener en cuenta que
.1cos22
=+ xxsen
Las matrices ortogonales de orden 2 son de la forma:
−
=
ab
ba
A o ,
−
=
ab
ba
A
donde a y b son números reales tales que .122
=+ ba
Matriz involutiva: Es una matriz que coincide con su inversa. Esto es,
A es involutiva ⇔ IA =2
La siguiente matriz es involutiva:
−
=
10
01
A ,
=
−
−
=
10
01
10
01
10
012
A
Es evidente que esta matriz también es ortogonal.
Matriz idempotente: Es una matriz igual a su cuadrado. Es decir,
A es idempotente ⇔ AA =2
.
La siguiente matriz es idempotente:
−
=
01
01
A
Matriz nilpotente: Si A es una matriz cuadrada y 0=k
A para algún número natural ,k se dice
que A es nilpotente. Si k es tal que 01
≠−k
A y ,0=k
A se dice que A es nilpotente de orden
.k A continuación mostramos una matriz nilpotente de orden 2.
,
050
000
080
−
=A
=
000
000
000
2
A
Naturalmente, la matriz A es un divisor de cero.
11. Álgebra de matrices
Proyecto e-Math 11
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CASOS PRÁCTICOS CON SOFTWARE___________________________________
Operaciones con matrices usando Mathcad
¿Cómo editar matrices?
Para editar matrices utilizando Mathcad se siguen los siguientes pasos usando la barra de
herramientas Math:
Se introduce el número de filas y de columnas y luego se introducen los elementos de la
matriz
¿Cómo asignar una matriz a una variable?
Para asignar una matriz a una variable se escribe la variable y luego dos puntos, “:”. Después
se introduce la matriz por el procedimiento de antes.
¿Cómo calcular?
Una vez asignada la matriz a una variable, la suma, producto, producto por un número y
potencias, se hacen como si se tratase de números. En el caso de la traspuesta y otras
operaciones exclusivas de las matrices se utiliza la barra de herramientas Matrix.
Por ejemplo, introducimos las siguientes matrices:
A
2
1−
3
4
3
0
3
4
1
:=
M
4
1
3
2
2
3
:=
B
0
1
3
2
3
0
:=
Luego calculamos:
12. Álgebra de matrices
Proyecto e-Math 12
Financiado por la Secretaría de Estado de Educación y Universidades (MECD)
Además de la barra de herramientas Matrix, como mostramos a través del siguiente ejemplo,
podemos usar la barra de herramientas Symbolic:
M
3
2
3
1
:= M
T 3
3
2
1
→ M
2 15
8
12
7
→
Matrices input-output
Las matrices input-output (entrada-salida) se aplican al considerar un modelo simplificado de la
economía de un país en el que la actividad de cualquier empresa puede considerarse en algunos
de los sectores básicos: la industria (I), la agricultura (A), el turismo (T) y los servicios (S). Las
empresas compran (inputs), transforman los productos y luego venden (outputs).
Para tener una idea del modelo, supongamos que los datos de la economía de un país ficticio son
los de la tabla siguiente, donde las cantidades se dan en algún tipo de unidad monetaria.
En cada fila se indica el valor de las
ventas efectuadas por cada sector a
cada uno de los sectores restantes
así como las ventas internas, la
demanda, que representa el valor de
las ventas efectuadas a los
consumidores y a otros países, y el
output total del sector que se obtiene
sumando todas las ventas de ese
sector. Por ejemplo, en el caso de la
I A T S Demanda Output
I 50 23 4 6 200 283
A 12 70 15 9 70 176
T 1 1 50 15 350 417
S 80 90 85 87 43 385
13. Álgebra de matrices
Proyecto e-Math 13
Financiado por la Secretaría de Estado de Educación y Universidades (MECD)
industria, el valor de las ventas internas fue de 50, el valor de las ventas al sector agrario fue de
23, en el caso del turismo fue de 4, y en los servicios de 6. El valor de las ventas efectuadas a los
consumidores y a otros países (demanda) fue de 200. Entonces el output total fue de 283.
A partir de la tabla anterior se definen las siguientes matrices:
Matriz de transacciones Matriz demanda final Matriz de outputs
M
50
12
1
80
23
70
1
90
4
15
50
85
6
9
15
87
:= D
200
70
350
43
:= O
283
176
417
385
:=
Y a partir de los elementos de las matrices M y O se puede construir una matriz tecnológica, T ,
que representa la proporción de las transacciones intersectoriales respecto al output total de cada
sector.
T
50
283
12
283
1
283
80
283
23
176
70
176
1
176
90
176
4
417
15
417
50
417
85
417
6
385
9
385
15
385
87
385
:=
Toda la información de la tabla se puede expresar en forma matricial a través de la siguiente
relación: D,T·OO += es decir,
Esta fórmula permite hacer estudios destinados a planificar la economía.
Modelo metalúrgico
Supongamos que una empresa fabrica tres modelos de máquinas herramientas, M1, M2 y M3,
y como materia prima fundamental utiliza tres tipos de metales, Hierro (H), Níquel (N) y Cobalto
(C). La cantidad de materia prima que necesita para fabricar cada máquina, expresada en
toneladas, se muestra en la siguiente tabla a la cual le hacemos corresponder la matriz .A
14. Álgebra de matrices
Proyecto e-Math 14
Financiado por la Secretaría de Estado de Educación y Universidades (MECD)
Las mejores ofertas de la materia prima corresponden a los proveedores P1, P2 y P3. Los
precios por tonelada (expresados en cierta unidad monetaria) impuestos por cada uno de los
proveedores a cada uno de los metales aparecen en la siguiente tabla:
B
160
6000
3000
155
6250
3010
150
7200
2995
:=
Queremos hacer una tabla de doble entrada que muestre el gasto en materia prima por modelo
de máquina y proveedor. Dicha tabla se obtiene a través del siguiente producto matricial:
La tabla obtenida es:
Para interpretar los datos de esta tabla tomaremos
como ejemplo el modelo M3 con el proveedor P1: Si
compramos la materia prima al proveedor P1, los
gastos por cada máquina del modelo M3 serán de
4160 unidades monetarias. Analizando la tabla
podemos concluir que resulta más económico
comprar la materia prima al proveedor P1.
Matriz de adyacencia de un grafo
Un grafo G=(V, E) es un par ordenado formado por un conjunto V (finito no vacío) de objetos
llamados vértices y un conjunto E de pares no ordenados de vértices diferentes denominados
aristas. Una arista formada por los vértices ,iv jv se denota por jivv y se dice que los vértices
iv y jv son adyacentes.
Consideremos el grafo representado en el siguiente diagrama:
H N C
M1 5 0.4 0.2
M2 4 0.3 0.1
M3 3.5 0.5 0.2
P1 P2 P3
H 160 155 150
N 6000 6250 7200
C 3000 3010 2995
P1 P2 P3
M1 3800 3877 4229
M2 2740 2796 3059.5
M3 4160 4269.5 4724
15. Álgebra de matrices
Proyecto e-Math 15
Financiado por la Secretaría de Estado de Educación y Universidades (MECD)
1v 2v
4v 3v
En este caso el conjunto de vértices es },,,{ 4321 vvvvV = y el conjunto de aristas es
}.,,,,{ 4342324121 vvvvvvvvvvE =
Un recorrido de longitud l , del vértice u al vértice v es una secuencia finita de vértices,
,,...,, 10 vvvvu l == tal que 1−iv es adyacente a iv para .1 li ≤≤
La matriz de adyacencia de un grafo G de n vértices, denotada por )(GA , es una matriz
cuadrada de orden n que tiene un 1 en la posición ij si los vértices iv y jv son adyacentes y un
0 en caso contrario. Es decir la matriz de adyacencia de un grafo se define como ),()( ijaGA =
donde
∉
∈
=
si0
si1
Evv
Evv
a
ji
ji
ij
La matriz de adyacencia es simétrica y sus elementos de la diagonal principal son todos cero.
La matriz de adyacencia del grafo de antes es:
A G( )
0
1
0
1
1
0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
0
:=
Un resultado conocido y muy utilizado en teoría algebraica de grafos es el siguiente:
El número de recorridos de longitud l en un grafo G, del vértice iv al vértice ,jv es el elemento
que está en la posición ij de la matriz .l
A
Para ilustrar el resultado anterior vamos a calcular el número de recorridos entre los vértices 1v y
3v del grafo anterior para .50 ≤≤ l Las potencias de la matriz de adyacencia son:
16. Álgebra de matrices
Proyecto e-Math 16
Financiado por la Secretaría de Estado de Educación y Universidades (MECD)
A G( )
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
= A G( )
1
0
1
0
1
1
0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
0
= A G( )
2
2
1
2
1
1
3
1
2
2
1
2
1
1
2
1
3
=
A G( )
3
2
5
2
5
5
4
5
5
2
5
2
5
5
5
5
4
= A G( )
4
10
9
10
9
9
15
9
14
10
9
10
9
9
14
9
15
= A G( )
5
18
29
18
29
29
32
29
33
18
29
18
29
29
33
29
32
=
Entonces, como podemos comprobar en el dibujo del grafo, el número de recorridos de longitud l
( 50 ≤≤ l ) entre 1v y 3v está dado por el elemento 13
)(l
a de la matriz ).(GAl
Así, ,013
)0(
=a
,013
)1(
=a ,213
)2(
=a ,213
)3(
=a 1013
)4(
=a y .1813
)5(
=a (Ver [7] para profundizar en teoría
algebraica de grafos)
17. Álgebra de matrices
Proyecto e-Math 17
Financiado por la Secretaría de Estado de Educación y Universidades (MECD)
BIBLIOGRAFÍA ___________________________________
[1] Carl D. Meyer´s (2000): "Matrix analysis and applied linear algebra", Philadelpia SIAM, 461, 468-
470
[2] Montes Lozano, A (1998): "Álgebra", Ediciones UOC, Módulo 3: "Matrices, vectores y sistemas
de ecuaciones lineales", 45-48, 41-43, 43-45
[3] G. J. Porter, D. R. Hill (1996): “Interactive Linear Algebra. A laboratory course using Mathcad”,
Springer-Verlag New York, Inc., Section 3.1, 3.2, 3.3
[4] H. Benker (1999): "Practical use of Mathcad. Solving mathematical problems with a computer
algebra system", Springer-Verlag New York, Inc., 178-180
[5] J. A. Moreno, D. Ser (1999): "Mathcad 8. Manual de usuario y guía de referencia de Mathcad 8",
ediciones Anaya Multimedia, S.A., 155, 296.
[6] H. Anton, C. Rorres (2000): "Elementary Linear Algebra: Applications Version", John
Wiley&Sons.
[7] N. Biggs (1974, 1993): "Algebraic graph theory", Cambridge University Press.
[8] F. Cedó (1997): “Àlgebra bàsica” Universitat Autònoma de Barcelona
ENLACES ___________________________________
[W1] http://www.planetmath.org/encyclopedia/LinearAlgebra.html
Página web de la enciclopedia de PlanetMath.org sobre álgebra lineal. En inglés.
[W2] http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0289-02/ed99-0289-02.html
Página web de la "Sociedad Andaluza de Educación Matemática THALES" donde se explica,
con gran cantidad de ejemplos aclaratorios, diferentes conceptos todos ellos relacionados con
las matrices y otros temas de álgebra lineal. En español.
[W3] http://www.lafacu.com/apuntes/matematica/matrices/default.htm
El sitio de los estudiantes y docentes universitarios. Recopilación de apuntes, con ejemplos,
sobre matrices. En español.
[W4] http://rinconprog.metropoliglobal.com/CursosProg/ProgGraf/MatGraf/index.php?cap=2
Página web de "El Rincón del Programador". En la sección de "Programación Gráfica"
aparecen los "Fundamentos matemáticos de la Informática Gráfica" donde se explican
18. Álgebra de matrices
Proyecto e-Math 18
Financiado por la Secretaría de Estado de Educación y Universidades (MECD)
diversos conceptos relacionados con el álgebra de matrices y otros temas de álgebra lineal.
En español.
[W5] http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Indexes/Algebra.html
Página web de la School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland.
Trata sobre la historia del álgebra. En inglés.
[W6] http://www.richland.cc.il.us/james/lecture/m116/matrices/applications.html
Página web con aplicaciones de matrices y determinantes. En inglés.
[W7] http://www.math.unl.edu/~tshores/linalgtext.html
Página web del Departamento de Matemáticas y Estadística de la Universidad de Nebraska-
Lincoln. Libro on-line sobre álgebra lineal y sus aplicaciones. En inglés.
[W8] http://www.numbertheory.org/book/
Página web sobre teoría de números. Libro on-line sobre álgebra lineal. En inglés.
[W9] http://archives.math.utk.edu/topics/linearAlgebra.html
Página web de enlaces relacionados con álgebra lineal y teoría de matrices. En inglés.
[W10] http://www.tu-chemnitz.de/iic/ela/
Página web de la publicación "The Electronic Journal of Linear Algebra" publicada por "The
International Linear Algebra Society". En inglés.
[W11] http://www.netlib.org/utk/people/JackDongarra/la-sw.html
Página en la que está recogida la información relacionada con el software disponible
gratuitamente en la red para la solución de problemas de álgebra lineal. En inglés.
[W12] http://ceee.rice.edu/Books/LA/linearbook.pdf
Página web del "Center for Excellence and Equity in Education" de la Universidad de Rice.
Libro sobre álgebra lineal. En inglés.