Algebra superior_S2.pdf

Números
complejos
07 de marzo de 2022.
Mtro. José Jiménez García

Bienvenid@s
A nombre de la Universidad Tecnológica Latinoamericana (UTEL), les
doy la más cordial bienvenida a la open class de la Semana 2,
correspondiente a la Unidad 2: Números complejos del curso de
Álgebra superior.
Mis mejores deseos de éxito personal y académico.
Mtro. José Jiménez García
Docente UTEL

Orden del día
• Inicio
o Calendario y actividades de la semana 2
o Puntos extras y actividades de formación profesional
o Objetivo de la sesión
o Repaso sesión anterior (Números reales)
• Desarrollo
o Concepto de números complejos
o Modulo y argumento (Gráfica de un número complejo)
o Conjugado, afijo y opuesto de un número complejo
o Operaciones con números complejos
o La unidad imaginaria
o Forma polar y operaciones
• Cierre
o Resolver al análisis de caso evaluación 1
o Antecedentes de la siguiente sesión (Expresiones algebraicas)

Calendario del curso
Fechas por semana
Semana 1 │ del 28 de febrero al 06 de marzo
Semana 2 │ del 07 al 13 de marzo
Semana 5 │ del 28 de marzo al 03 de abril
Semana 6 │ del 04 al 10 de abril
Semana 7 │ del 11 al 17 de abril
Último día para entregar actividades es el 23 de abril de 2022.

Actividades de la semana 2
1. Entrar al foro de Consultas y comentarios para conocer el tema de la
Semana 2: Números complejos.
2. Realizar actividades de acuerdo con la modalidad de evaluación:
a) Actividades: Entregar la actividad 2 (semana 2).
b) Exámenes: Presentar el Examen de la semana 2.
c) Trabajo final: Entregar el Primer avance avance.
3. Participa en el Foro 1.
4. Realizar actividades de Puntos extras:
a) Evidencias de aprendizaje.
b) Participación en open class.
c) Entregables.
5. Realizar Puntos extras Autocalificables.
6. Realizar actividades de Formación profesional.

Actividades de puntos extras
Actividad Ubicación
dentro del
Aula
Valor Ponderación
Evidencias de
aprendizaje
Espacio del
profesor
Valor de 2.0
puntos entre
todo, si entrega
más de 5
actividades ya
no se toman en
cuenta para
calificación
Se califica
cada
actividad
con 2.0 y
retro en
aula
virtual.
Total de
4.0 puntos
sobre la
calificación
final.
Open class Aula virtual
ícono de Open
Class
Entregables Aula virtual
ícono de
Puntos Extras
Autocalificables Aula virtual
ícono de
Exámenes o
Puntos Extras
Valor de 2.0
puntos

Actividades de formación profesional
1. Actividad 1. Creación de un video.
• Realizar un video con los aprendizajes más significativos e importantes
de las 7 semanas.
• Subirlo en el apartado Modalidad de Trabajo final | Semana 6.
2. Actividad 2. Exposición virtual.
• Máximo 3 alumnos y una duración 15 minutos por alumno.
• Registro de exposiciones.
• Entregar la exposición en la modalidad de trabajo final
correspondiente.
3. Actividad 3. Participación activa.
• Ingresar a las open class de las semanas 2, 4 y 6.
• Análisis de casos son respecto al tema de la semana.
• Entregar las respuestas en la modalidad de trabajo final 2, 4 o 6.

Objetivo de la sesión
Estudiar la naturaleza de los números imaginarios y complejos, las operaciones
que pueden realizarse con los complejos, y ejercicios en los que se involucran
este tipo de números.
Resultados de aprendizaje
• Distinguir las propiedades de los números imaginarios y complejos.
• Resolver operaciones básicas con números imaginarios y complejos.
• Realizar conversiones de la forma binómica a la polar y viceversa.
Competencias
Especificar las propiedades, operaciones y formas de los números complejos,
por medio de la resolución de ejercicios, para reconocer problemas que
requieren la expresión de datos en forma binómica o polar.

Repaso sesión anterior (Números reales)
Realiza las siguientes operaciones con números reales:
7
12
+
9
20
−
3
4
=
10 ÷ 2 + 5 × 3 − 8 + 4 × 2 − 4 =
3 6 =
1
2
2
1
2
3
=

Pregunta de investigación:
¿Cuáles son las aplicaciones de los números
complejos en la vida cotidiana?
Dar respuesta en el formato de entrega de actividades y subirlo en el apartado
de Puntos Extras.

Unidad 2. Números complejos
Concepto:
El conjunto de pares de los números reales 𝒂, 𝒃 . Donde 𝒂 es la parte real y 𝒃
la parte imaginaria. Se designa con la letra 𝐶.
Parte real e imaginaria:
Un número complejo 𝒂 + 𝒃𝒊 se compone de dos partes, la parte real 𝒂 y la
imaginaria 𝒃. Ambas partes son números reales.
Se denota la parte real por:
𝑎 = 𝑅 𝑎 + 𝑏𝑖
Y la imaginaria por:
𝑏 = 𝐼 𝑎 + 𝑏𝑖

Representación gráfica:
Los números complejos son pares ordenados de números reales, por lo tanto
podemos representarlos como puntos en el plano 𝒙𝒚.
Los números complejos se pueden representar en un plano. Donde al eje de
las 𝒙 (abscisas) se le llama eje real, mientras que al eje de las 𝒚 (ordenadas),
recibe el nombre de eje imaginario.
0,0
𝑎, 𝑏
𝑅𝑒
𝐼𝑚

El vector desde 𝑂 hasta 𝑧 determina
al número complejo 𝑧.
La longitud del vector es la magnitud
del número complejo 𝑧.
Eje real
Eje imaginario
O
𝑏
𝑎
𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 = 𝑎, 𝑏

Eje real
Eje imaginario
O
6 – 2i
6 + 2i
4 + 7i
–1 + 6i
–5 + 4i
–7 – 4i
i
1
Ejemplos:

Módulo y argumento de un número complejo:
Sea 𝑧 = 𝑎, 𝑏 = 𝑎 + 𝑏𝑖 un número complejo cualquiera. Llamaremos módulo
del numero complejo 𝑧, al número real dado por:
𝑧 = 𝑎2 + 𝑏2
El módulo se denota con 𝑧 , el módulo se interpreta como la distancia al
origen del número 𝑧.
Por otro lado, llamamos argumento del numero complejo 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 , al
ángulo comprendido entre el eje x y el radio vector que determina a 𝑧 . El
argumento de 𝑧 se denota por arg 𝑧 y se calcula mediante la expresión:
arg 𝑧 = arctan
𝑏
𝑎

Módulo y argumento de un número complejo (gráfica):
0,0
𝑎, 𝑏
𝑅𝑒
𝐼𝑚
arg 𝑧
𝑧

Ejemplo: Sea 𝑧 = − 3 − 𝑖, hallar el módulo y el argumento:
Solución:
Sabiendo que: 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖, se tiene que:
𝑎 = − 3 𝑏 = −1
Para hallar el módulo hacemos uso de la fórmula: 𝑧 = 𝑎2 + 𝑏2
𝑧 = − 3
2
+ −1 2 = 3 + 1 = 4 = 2
Para el argumento hacemos uso de la fórmula:
arg 𝑧 = arctan
𝑏
𝑎
arg 𝑧 = arctan
−1
− 3
= arctan
1
3
= 30°

La gráfica del numero quedaría como:

Unidad imaginaria:
Se llama unidad imaginaria, y se designa con la letra 𝑖, a la expresión:
𝑖 = −1
Al elevar ambos lados de la ecuación al cuadrado:
𝑖 2 = −1
2
Se obtiene:
𝑖2 = −1

Forma binómica de un número complejo:
Sea 𝑧 = 𝑎, 𝑏 un número complejo. Entonces podemos escribirlo en la forma:
𝑧 = 𝑎, 𝑏 = 𝑎, 0 + 0, 𝑏 = 𝑎 1,0 + 𝑏 0,1
Pero como 1,0 = 1 y 0,1 = 𝑖, entonces 𝑎, 𝑏 = 𝑎 + 𝑏𝑖.
En este caso 𝑎 + 𝑏𝑖 se llama forma binómica o binomia de un número
complejo.
Por lo que:
𝑧 = 𝑎, 𝑏 = 𝑎 + 𝑏𝑖
Afijo de un número complejo:
𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 = 𝑎, 𝑏

Suma y multiplicación de números complejos en la forma binómica:
𝑎 + 𝑏𝑖 + 𝑐 + 𝑑𝑖 = 𝑎 + 𝑐 + 𝑏 + 𝑑 𝑖
Dado que 𝑎, 𝑏, 𝑐 y 𝑑 son números reales.
𝑎 + 𝑏𝑖 𝑐 + 𝑑𝑖 = 𝑎𝑐 + 𝑎𝑑𝑖 + 𝑏𝑐𝑖 + 𝑏𝑑𝑖2
Pero recordemos que:
𝑖2
= −1
Tenemos entonces que:
𝑎𝑐 + 𝑎𝑑𝑖 + 𝑏𝑐𝑖 + 𝑏𝑑𝑖2
= 𝑎𝑐 + 𝑎𝑑𝑖 + 𝑏𝑐𝑖 + 𝑏𝑑 −1
𝑎𝑐 + 𝑎𝑑𝑖 + 𝑏𝑐𝑖 − 𝑏𝑑 = 𝑎𝑐 − 𝑏𝑑 + 𝑎𝑑𝑖 + 𝑏𝑐𝑖 = 𝑎𝑐 − 𝑏𝑑 + 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 𝑖

Suma y multiplicación de números complejos en la forma binómica:
Ejemplo: Sea 𝑧1 = 3,2 y 𝑧2 = 4, −1 , hallar 𝑧1 + 𝑧2 y 𝑧1𝑧2
Suma:
𝑧1 + 𝑧2 = 3,2 + 4, −1 = 3 + 2𝑖 + 4 − 𝑖
= 3 + 4 + 2𝑖 − 𝑖 = 7 + 𝑖
Multiplicación:
𝑧1𝑧2 = 3,2 4, −1 = 3 + 2𝑖 4 − 𝑖
= 3 4 + 3 −𝑖 + 2𝑖 4 + 2𝑖 −𝑖 = 12 − 3𝑖 + 8𝑖 − 2𝑖2
Pero sabemos que 𝑖2
= −1:
12 − 3𝑖 + 8𝑖 − 2𝑖2 = 12 − 3𝑖 + 8𝑖 − 2 −1 =
12 − 3𝑖 + 8𝑖 + 2 = 14 + 5𝑖

Conjugado de un número complejo:
Si 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 es un número complejo, llamaremos conjugado del número 𝑧, al
número ҧ
𝑧 = 𝑎 − 𝑏𝑖, es decir, al número complejo que tiene la misma parte real
que 𝑧, pero la parte imaginaria de signo opuesto.
Ejemplo:
Si 𝑧 = 3 + 2𝑖, entonces ҧ
𝑧 = 3 − 2𝑖, y
Si 𝑧 = 3 − 2𝑖, entonces ҧ
𝑧 = 3 + 2𝑖
Opuesto de un número complejo:
Los números complejos 𝑎 + 𝑏𝑖 y −𝑎 − 𝑏𝑖 se llaman opuestos.
Si 𝑧 = 3 + 2𝑖, entonces −𝑧 = −3 − 2𝑖, y
Si 𝑧 = 3 − 2𝑖, entonces −𝑧 = −3 + 2𝑖

Gráfica del opuesto y el conjugado de un numero complejo:

División de números complejos:
La división de números complejos se realiza mediante la multiplicación y
división por el conjugado del denominador.
𝑧1
𝑧2
=
𝑎 + 𝑏𝑖
𝑐 + 𝑑𝑖
=
𝑎 + 𝑏𝑖
𝑐 + 𝑑𝑖
∙
𝑐 − 𝑑𝑖
𝑐 − 𝑑𝑖
=
𝑎 + 𝑏𝑖 𝑐 − 𝑑𝑖
𝑐 + 𝑑𝑖 𝑐 − 𝑑𝑖
=
𝑎𝑐 − 𝑎𝑑𝑖 + 𝑏𝑐𝑖 − 𝑏𝑑𝑖2
𝑐2 + 𝑑2
𝑎𝑐 − 𝑎𝑑𝑖 + 𝑏𝑐𝑖 − 𝑏𝑑 −1
𝑐2 + 𝑑2
=
𝑎𝑐 + 𝑏𝑑 − 𝑎𝑑𝑖 + 𝑏𝑐𝑖
ഥ
𝑧2
Ejemplo: Dados 𝑧1 = 2 − 3𝑖 y 𝑧2 = −1 + 2𝑖, hallar ഥ
𝑧2 y
𝑧1
𝑧2
El conjugado de 𝑧2:
Como 𝑧2 = −1 + 2𝑖, entonces ഥ
𝑧2 = −1 − 2𝑖

División de números complejos:
Ejemplo: Dados 𝑧1 = 2 − 3𝑖 y 𝑧2 = −1 + 2𝑖, hallar ഥ
𝑧2 y
𝑧1
𝑧2
Para hallar
𝑧1
𝑧2
multiplicamos y dividimos por el conjugado ഥ
𝑧2.
𝑧1
𝑧2
=
2 − 3𝑖
−1 + 2𝑖
=
2 − 3𝑖
−1 + 2𝑖
∙
−1 − 2𝑖
−1 − 2𝑖
=
2 − 3𝑖 −1 − 2𝑖
−1 + 2𝑖 −1 − 2𝑖
=
−2 − 4𝑖 + 3𝑖 + 6𝑖2
−1 2 + 2 2
=
−2 − 4𝑖 + 3𝑖 + 6 −1
1 + 4
=
−2 − 4𝑖 + 3𝑖 − 6
5
=
−8 − 𝑖
5
= −
8
5
−
1
5
𝑖

Potencias de la unidad imaginaria:
Los valores se repiten de cuatro en cuatro, por eso, para saber cuánto vale
una determinada potencia de 𝑖, se divide el exponente entre 4, y el resto es el
exponente de la potencia equivalente a la dada.
Ejemplos:
𝑖0
= 1 𝑖1
= 𝑖 𝑖2
= −1 𝑖3
= −𝑖 𝑖4
= 1
𝑖3 = 𝑖2 ∙ 𝑖 = −1 ∙ 𝑖 = −𝑖 𝑖4 = 𝑖2 ∙ 𝑖2 = −1 −1 = 1

Ejemplos:
𝑖0 = 1 𝑖1 = 𝑖 𝑖2 = −1 𝑖3 = −𝑖 𝑖4 = 1
𝑖22 =?
22
4
= 5, faltan 2
𝑖22 = 𝑖4 5 ∙ 𝑖2 = 1 5 ∙ 𝑖2
= 1 ∙ −1 = −1
𝑖27 =?
27
4
= 6, faltan 3
𝑖27 = 𝑖4 6 ∙ 𝑖3 = 1 6 ∙ 𝑖3
= 1 ∙ −𝑖 = −𝑖

Ejemplos:
¿Cuál es el resultado de simplificar la expresión 4 − 10𝑖 − 𝑖2 + 3𝑖3 − 5𝑖4?
Para resolver el ejercicio simplemente tenemos que sustituir los valores de la
tabla en la expresión:
4 − 10𝑖 − 𝑖2 + 3𝑖3 − 5𝑖4 = 4 − 10 𝑖 − −1 + 3 −𝑖 − 5 1
= 4 − 10𝑖 + 1 − 3𝑖 − 5 = −10𝑖 − 3𝑖 + 4 + 1 − 5 = −13𝑖
𝑖0 = 1 𝑖1 = 𝑖 𝑖2 = −1 𝑖3 = −𝑖 𝑖4 = 1

Forma polar de un número complejo:
La expresión de un número complejo en forma polar, se da mediante la
siguiente ecuación:
𝑧 = 𝑟𝛼
Donde:
𝑧 = 𝑟 →𝑟 es el módulo
arg 𝑧 = 𝛼 →𝛼 es el argumento
Para pasar de la forma polar a la binómica, tenemos que pasar en primer lugar
a la forma trigonométrica.
𝑧 = 𝑟𝛼 = 𝑟 cos 𝛼 + 𝑖 sen 𝛼
𝑎 = 𝑟 ∙ cos 𝛼
𝑏 = 𝑟 ∙ sen 𝛼
𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖

Ejemplo: Pasar 𝑧 = 2120° a la forma binómica.
Solución:
𝑧 = 2 cos 120° + 𝑖 sen 120°
𝑎 = 2 cos 120° = 2 −
1
2
= −1
𝑏 = 2 sen 120° = 2
3
2
= 3
Por lo que tendríamos:
𝑧 = −1 + 3𝑖

Ejemplo: Pasar 𝑧 = 1 + 3𝑖 a la forma polar.
Solución:
𝑧 = 𝑎2 + 𝑏2 = 1 2 + 3
2
= 1 + 3 = 4 = 2
𝛼 = arctan
𝑏
𝑎
= arctan
3
1
= arctan 3 = 60°
Por lo que tendríamos:
𝑧 = 260°

Multiplicación de un número complejo en forma polar
La multiplicación de números complejos en la forma polar:
Su módulo de es el producto los módulos.
Su argumento es la suma de los argumentos.
Sea 𝑧1 = 𝑟𝛼 y 𝑧2 = 𝑟′𝛽, dos números complejos la multiplicación se obtiene por:
𝑧1𝑧2 = 𝑟𝛼 ∙ 𝑟′𝛽 = 𝑟 ∙ 𝑟′ 𝛼+𝛽
Ejemplo: Realiza la multiplicación de 𝑧1 = 645° con 𝑧2 = 315°
𝑧1𝑧2 = 6 ∙ 3 45°+15° = 1860°

División de un número complejo en forma polar
La división de dos números complejos en la forma polar:
Su módulo de es el cociente de los módulos.
Su argumento es la diferencia de los argumentos.
Sea 𝑧1 = 𝑟𝛼 y 𝑧2 = 𝑟′𝛽, dos números complejos la división se obtiene por:
𝑟𝛼
𝑟′𝛽
=
𝑟
𝑟′
𝛼−𝛽
Ejemplo: Realiza la división de 𝑧1 = 645° con 𝑧2 = 315°
𝑧1
𝑧2
=
6
3 45°−15°
= 230°

Análisis de caso
Descripción del caso:
Aplica el conocimiento sobre los Números Reales para obtener el resultado
del siguiente caso:
De acuerdo al Sistema de Cuentas Nacionales de México, de 1970 a 1982 el
promedio de participación de las remuneraciones a asalariados en el PIB fue de
37.1%, mientras que de 1983 a 2015, la participación promedio fue de 29.4%
Si calculamos cuánto fue en millones de pesos las remuneraciones a
asalariados y las contrastamos con las que deberían de ser si se conservara su
participación del 37.1%, la diferencia acumulada año tras año nos da un total
de pérdida de 15 billones, 612 mil 859 millones de pesos. Esos 15.6 millones
de millones de pesos son el tamaño de la pérdida para los asalariados y el
aumento de la parte que se quedan empresarios, acreedores y gobierno.

Análisis de caso
Descripción del caso:
Considera la información proporcionada en la gráfica y responde:

Análisis de caso
Responde:
Si tu fueras el analista Sistema de Cuentas Nacionales de México y tuvieras que
dar una conferencia en una institución de nivel medio superior, como les
explicarías a los estudiantes:
• ¿Qué operación debe realizarse para hallar los porcentajes mostrados?
• ¿Qué tipo de números representan esas cantidades?
• ¿La operación de división de los números enteros es cerrada? ¿Por qué?
• ¿Es necesario involucrar o ampliar nuestro conjunto de números enteros? Si
tu respuesta es afirmativa ¿Qué conjunto utilizarías y qué nombre tiene?
• Explica cuales son las propiedades de los números racionales para la suma
y el producto, en notación matemática y en lenguaje común.

Análisis de caso
Entrega la actividad:
Dar respuesta a las preguntas del caso y se debe subir el apartado Modalidad
de trabajo final | Semana 2.
https://aula03.utel.edu.mx/mod/assign/view.php?id=11173

Siguiente sesión (semana 3)
Expresiones algebraicas
• Conceptos básicos
• Leyes de exponentes
• Operaciones básicas
• Factorización y productos notables
• Ejemplos de aplicación

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