Tema iv numeros complejos uai uney

PROGRAMA NACIONAL DE FORMACIÓN
INSTRUMENTACIÓN Y CONTROL
PROFESOR: JULIO C BARRETO G TRAYECTO I UNIDADES ACREDITABLES I
TEMA II: NÚMEROS COMPLEJOS UNIDADES ACREDITABLES I
ANTECEDENTES HISTÓRICOS
Los números complejos son una extensión de los números reales y forman el
mínimo cuerpo algebraicamente cerrado que los contiene. El conjunto de los números
complejos se designa como ,C siendo R el conjunto de los reales en donde se cumple que
.CR  Los números complejos incluyen todas las raíces de los polinomios, a diferencia
de los reales. Todo número complejo puede representarse como la suma de un número
real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica
con la letra i ), o en forma polar.
Los números complejos son la herramienta de trabajo del álgebra, análisis, así como
de ramas de las matemáticas puras y aplicadas como variable compleja, ecuaciones
diferenciales, aerodinámica y electromagnetismo entre otras de gran importancia. Además
los números complejos se utilizan por doquier en matemáticas, en muchos campos de
la física (notoriamente en la mecánica cuántica) y en ingeniería, especialmente en
la electrónica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas
electromagnéticas y la corriente eléctrica.
En matemáticas, estos números constituyen un cuerpo y, en general, se consideran
como puntos del plano: el plano complejo. Este cuerpo contiene a los números reales y los
imaginarios puros. Una propiedad importante que caracteriza a los números complejos es
el teorema fundamental del álgebra — pero que se demuestra aún en un curso de variable
compleja —, que afirma que cualquier ecuación algebraica de grado n tiene exactamente n
soluciones complejas. Los análogos del cálculo diferencial e integral con números
complejos reciben el nombre de variable compleja o análisis complejo.

TEMA IV: NÚMEROS COMPLEJOS
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 2 ÁLGEBRA
UNIDAD IMAGINARIA
El número imaginario más conocido es .1 Euler lo representó por el símbolo i
que aún se usa en la literatura. Así, la unidad imaginaria es el número 1 y se designa
por la letra .i Esto es: .1 i O sea que i será aquella cantidad que elevada al
cuadrado resulta .1 Claramente:   .11
22
 iii Las leyes formales de
operación para i son sencillas. En efecto, utilizando la Ley de los Signos, se tiene:
.==ii=iiii
i;× i =i =i = iii
;=i = ii
= i;--i
= -i;-i
= i;+i
111
1
1
1
1
1
22
2
2






Con lo anterior se puede construir una tabla de las potencias de la unidad imaginaria:
1
i i
3
i i
5
i i
7
i i
 
2
i 1
4
i 1
6
i 1
8
i 1
 
Esta tabla indica que las potencias impares de i son iguales a i o i y que las
potencias pares de 𝑖 son iguales a 1 o .1 Se cumple además que: .10
i
NOTA: Los valores se repiten de cuatro en cuatro, por eso, para saber cuánto vale
una determinada potencia de i, se divide el exponente entre 4, y el resto es el exponente de
la potencia equivalente a la dada. Debemos destacar que el “sobrante” o “resto” que
oscilará entre 0 y 3 (lo cual es lo que nos importa para realizar los cálculos como vemos
en el ejemplo de abajo).
Ejemplos: Hallar .22
i
Solución: Como haciendo la división, tenemos que: ,
52
422
entonces:

        11111
525422
 iii
Ejercicio: Demostrar que: ii 27
RAÍZ CUADRADA DE CUALQUIER NÚMERO NEGATIVO
Podemos hallar la raíz cuadrada de cualquier número negativo como el siguiente:
  .214144 i
Ejercicio: Demostrar que:
a) i 39
b) i
2
10
2
5
Podemos definir a los números imaginarios de forma general:
NÚMEROS IMAGINARIOS
Un número imaginario se denota por ,bi donde:
 b es un número real
 i es la unidad imaginaria
Con los números imaginarios podemos calcular raíces con índice par y radicando
negativo.
Ejemplo: Hallar las raíces de la ecuación 092
=+x
Solución: Tenemos que: 9909 22
 x=x=+x
Es decir:     ixxx  319199 111
Y
    ixxx  319199 222

NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA BINÓMICA
Al número a+biz  le llamamos número complejo en forma binómica. En donde:
El número a es la parte real del número complejo, y se denotará como   .Re az 
El número b es la parte imaginaria del número complejo, denotado como   .Im bz 
Además:
 Si 0=b el número complejo se reduce a un número real ya que ,0 aia+  con
  .0Im z
 Si 0=a el número complejo se reduce a bi+bi ,0  y se dice que es un número
imaginario puro, es decir,   .0Re z
El conjunto de todos números complejos se designa por .C Se expresa:
 RbabiaC  ,/
Y tenemos que:
 Los números complejos a+bi y bia  se llaman opuestos.
 Los números complejos a+biz  y biaz  se llaman conjugados.
De lo anterior se concluye que el conjunto de los Números Reales es un subconjunto
de los Números Complejos. Demos así la siguiente definición:
Definición: (Igualdad de Complejos): Dos números complejos 1z y 2z son
iguales siempre que:
   21 ReRe zz  y    .ImIm 21 zz 
Ejemplo: Verificar para cuales valores de x e y los números complejos
ixz 621  y yiz 3102  sean iguales.
Solución:
Debe cumplirse que las partes reales y complejas de los números deben ser iguales,
es decir:
5
2
10
102 

 xxx y yyy  2
3
6
36

PLANO DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS O DIAGRAMA DE ARGAND
El concepto de plano complejo permite interpretar geométricamente los números
complejos. Los diagramas de Argand se usan frecuentemente para mostrar las posiciones de
los polos y los ceros de una función en el plano complejo.
Definición (El Plano Complejo):El plano complejo es un sistema de coordenadas
rectangulares o cartesianas con la particularidad que en el eje X o de las abscisas se
representará la parte real del complejo (EJE REAL), y en el eje Y o de las ordenadas se
representará la parte imaginaria del mismo (EJE IMAGINARIO).
NOTAS: En el plano complejo los números imaginarios pueden ser representados
como puntos o como vectores. Además, la suma de números complejos se puede relacionar
con la suma con vectores, y la multiplicación de números complejos puede expresarse
simplemente usando coordenadas polares, donde la magnitud del producto es el producto
de las magnitudes de los términos, y el ángulo contado desde el eje real del producto es la
suma de los ángulos de los términos.
REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS
Los números complejos se representan en unos ejes cartesianos.
 El eje X se llama eje real y el eje Y se llama eje imaginario.
El número complejo a+biz  se representa:
1. Por el punto  ba, que se llama
su afijo.
2. Mediante un vector de origen
 0,0 y extremo  .,ba
 Los afijos de los números reales se sitúan sobre el eje real, .X
 Los afijos de los números imaginarios se sitúan sobre el eje imaginario, .Y

En este sentido, los Números Complejos se pueden expresar de varias formas:
1. FORMA BINÓMICA: Es la manera como se han presentado hasta ahora:
Ejemplos: 321 i;+=z
3
1
2 i;=z  9
2
1
3 ;i=z  24 ;=z .105 i=z
2. FORMA CANONICA O DE PAR ORDENADO: Se colocan, entre paréntesis
y separadas por una coma, primero la parte real y segundo la parte imaginaria del
complejo en cuestión.
Ejemplos:  ;=z 3,21 1,
3
1
2 ;=z 






2
1
,93 ;=z 





  ;=z 0,24  .10,05=z
Nota: En los ejemplos anteriores que 4z es real y que 5z es imaginario puro.
3. FORMA TRIGONOMÉTRICA O POLAR (Será explicada más adelante).
Ejercicio: Representar los números complejos anteriores, tanto en forma binómica
como en forma canónica o como par ordenado.
OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS
Sean a+biz 1 y c+diz 2 dos numero complejos, entonces se pueden realizar
las siguientes operaciones:
1. SUMA Y DIFERENCIA DE NÚMEROS COMPLEJOS:
La suma y diferencia de números complejos se realiza sumando y restando las partes
reales y las partes imaginarias entre sí, respectivamente.
        ib+d+a+c=dic+a+bi 
        ib -d+a -c=c+di-bia 
Ejemplo: Sean ,251 i+z  i+-z 382  y ,243 i-z  hallemos .321 zzzz 
          i+i = -++--=i--i+-i+z 77232485243825 

Ejercicio: Dados ;531 i+z  ;42 iz  ;23  iz  0,34 z y  .3,04 z
Halla el resultado de: .54321 zzzzzz 
2. MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS:
El producto de los números complejos se realiza aplicando la propiedad distributiva
del producto respecto de la suma y teniendo en cuenta que .12
i
       iad+bc+dbac=dica+bizz  21
Ejemplo: Sean i+z 251  y ,322 iz  hallemos .21 zzz 
         
   
1116
415610
223532253225
i-=
i+=
i-+--=i-i+z


Ejercicio: Dados  2,31 z y  ,5,22 z halla el valor de .21 zzz 
CONJUGADO DE UN COMPLEJO: Llamaremos conjugados a dos complejos
denotados como z y z que tengan sus partes reales idénticas pero sus partes
imaginarias opuestas. Esto será: a+biz  y .biaz 
Ejemplos:
En forma binómica: En forma canoníca:
PROPIEDAD DE LOS COMPLEJOS CONJUGADOS:
Al multiplicar dos complejos conjugados, el resultado es un número real positivo.
Ejemplo: Si ,2 iz  halla el producto de .zz 
z z
 1,3   1,3
 5,  5,
 3,0  3,0 
 0,e  0,e
 0,0  0,0
z z
i53 i53
i 2 i 2
i3 i3
8 8

Resolución:
       522)1(422.  iiizz
Por lo tanto: 5. zz
Vamos a probar ahora la propiedad para cualquier par de complejos conjugados
(Fórmula): Si tenemos que a+biz  y ,biaz  entonces:
      iabbababiabiazz .).()(. 22

   ibababazz ... 22

  ibazz 0. 22
 
22
. bazz  (Fórmula)
3. DIVISIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS:
El cociente de números complejos se realiza multiplicando numerador y denominador
por el conjugado de este.
i
dc
adbc
+
dc
bdac
=
dic
a+bi










 2222
Ejemplo: Sean i+z 231  y ,212 iz  calcule .
2
1
z
z
z 
 
   
 
   
 
i+
i+
i+
i+=
i
i+
z
5
8
5
1
5
8
5
43
41
62
41
43
21
2312
21
2213
21
23
2222

































NOTA: Para dividir números complejos multiplicamos el numerador y el
denominador por el conjugado del denominador. Realice la demostración de esta fórmula.

Ejercicios: Halla el valor de:

i
iz


2
23

i
iz
65
827


NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA POLAR Y TRIGONOMÉTRICA
MÓDULO DE UN NÚMERO COMPLEJO
El módulo de un número complejo es el módulo del vector determinado por el
origen de coordenadas y su afijo. Se designa por .z Es dado por: .22
bazr 
Ejemplo: Halla el módulo de .43 iz 
Solución: De la fórmula tenemos que:
251694)3( 22
z
Por lo tanto: 5z
ARGUMENTO DE UN NÚMERO COMPLEJO
El argumento de un número complejo es el ángulo que forma el vector con el eje real.
Se designa por  .zArg El argumento de un complejo puede tomar infinitos valores que
se diferencian entre sí por un número enteros de vueltas:
  .con,2 ZkkzArg  

Llamaremos argumento principal al que está comprendido entre  2,0 , o sea una
vuelta; y se calcula usando cualquier función trigonométrica como por ejemplo:
,
r
b
arcSen
r
b
Sen   ,
r
a
arcCos
r
a
Cos   .
a
b
arcTg
a
b
Tg  
Para calcular el argumento, calculamos el arcotangente de
a
b
prescindiendo de los
signos, para ubicar el cuadrante en que se encuentra tendremos en cuenta:



























IVcuadranteelen,360
0y0si,270
IIIcuadranteelen,180
0y0si,180
IIcuadranteelen,180
0y0si,90
Icuadranteelen,
0y0si,0
0
0
0
0
0
0
0





ba
ba
ba
ab
a
b
arctg
Ejemplos: Halla el argumento de los siguientes complejos: iz .221  y
iz .572 
Solución:
Argumento de z1:  1
2
2


 arcTgTg 
Por lo tanto: )º360(2º135:2
4
3
kbienok  


Argumento de z2: 714286,0
7
5
arcTgTg 


 
Por lo tanto: )º360(2º5376,215:28809,1 kbienokrad  
FORMA TRIGONOMÉTRICA O POLAR DE UN NÚMERO COMPLEJO
En la figura:

Se tiene que:


 SenbdondedebSen . ;
Y también: 

 CosadondedeaCos . .
Ahora, como ,bz=a+i sustituyendo obtenemos:
   iSenCosz ...   ,
Lo cual organizándolo nos queda:  SeniCosz ..  , y ahora sacando el factor
común resulta:   SeniCosz . , y por último llamando a la expresión
 SeniCos . = Cis se tiene la “Forma Trigonométrica o Polar de Z”:
 Cisz .
Ejemplo 1: Convierta de la forma polar a la forma binómica: 120º2z
Solución: Para pasar de la forma polar a la binómica, tenemos que pasar en primer
lugar a la forma trigonométrica. Tomando en cuenta que:  .isenααrrz α  cos Así,
 
00
00
1202120cos2z
120120cos2
isen
isenz


De aquí que la parte real es dada por: .1
2
1
2120cos2 0






a
Y la parte imaginaria es: .3
2
3
21202 0








 senb
Por tanto, el número complejo en forma binómica es dado por: i31z 
NOTA: Reales e imaginarios puros de módulo unidad:

z =10º = 1 z =1180º = −1 z =190º = i z =1270º = −i
Ejemplo 2: Pasar a la forma polar: i31z 
Solución: Notemos que su modulo y argumento viene dados por:
     .2z4z31z31z
22

 .60
1
3
arcTg 0








 
Y por tanto nos queda que:
60º2z
NÚMEROS COMPLEJOS IGUALES, CONJUGADOS, OPUESTOS E INVERSOS
NÚMEROS COMPLEJOS IGUALES: Dos números complejos son iguales si
tienen el mismo módulo y el mismo argumento.





 
k
rr
rr

2
NÚMEROS COMPLEJOS CONJUGADOS: Dos números complejos
son conjugados si tienen el mismo módulo y opuestos sus argumentos.






k
rr
rr

2
conjugado
NÚMEROS COMPLEJOS OPUESTOS: Dos números complejos son opuestos si
tienen el mismo módulo y sus argumentos se diferencian en π radianes.
 





k
rr
rr

2
opuesto
Representaciones de los opuestos y conjugados:

NÚMEROS COMPLEJOS INVERSOS: El inverso de un número complejo no
nulo tiene por módulo el inverso del módulo y por argumento su opuesto.
-αα rr







11
OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA POLAR Y
TRIGONOMÉTRICA
MULTIPLICACIÓN DE COMPLEJOS EN FORMA POLAR
La multiplicación de dos números complejos es otro número complejo tal que:
 Su módulo es el producto de los módulos.
 Su argumento es la suma de los argumentos.
Es decir:
   
 rrrrα
Ejemplo:
  00000
6015451545
183636  

PRODUCTO POR UN COMPLEJO DE MÓDULO 1
Al multiplicar un número complejo z = rα por 1β se gira z un ángulo β alrededor del
origen.
  rrα 1
Representaciones:
DIVISIÓN DE COMPLEJOS EN FORMA POLAR
La división de dos números complejos es otro número complejo tal que:
 Su módulo es el cociente de los módulos.
 Su argumento es la diferencia de los argumentos.
Es decir:
 








 r
r
r
rα
Ejemplo:
0
000
0
30
304515
45
2
3
6
3
6








POTENCIA DE NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA POLAR
La potencia enésima de número complejo es otro número complejo tal que:
 Su módulo es la potencia n−ésima del módulo.
 Su argumento es n veces el argumento dado.

     n
nn
α rr
Ejemplo:
    0
0
0
120
304
44
30
1622  
FÓRMULA DE MOIVRE
       nisennisen
n
 coscos
Ejemplo:
       44coscos
4
isenisen 
RAÍZ DE NÚMEROS COMPLEJOS
Raíz enésima de complejos en forma polar: n r
Tenemos que la raíz enésima de número complejo es otro número complejo tal que:
Su módulo es la n raíz enésima del módulo.
n
rr 
Su argumento es:
 .1,3,2,1,0con,
2


 nk
n
k



Así:
n
k
nn rr 
 2
Ejemplo: Hallar
6
1 i
Solución:
Sea ,1 iz  tenemos que su módulo es:

211 22
z
Además, su argumento es:
0
45
1
1






 arctag
Por tanto, tenemos que:
  0
452z
Luego:
 6 2 k
De donde:
  126
22 z
Y obtenemos:
 
 
 
 
 
 

























03307
12
6
0
6
03247
12
5
0
5
03187
12
4
0
4
03127
12
3
0
3
0367
12
2
0
2
037
12
1
0
1
00
0
0
0
0
0
0
2033075
2032474
2031873
2031272
203671
20370
6
36045
zk
zk
zk
zk
zk
zk
k







Es decir:

EJERCICIOS DE NÚMEROS COMPLEJOS
1. Hallar .37
i
2. Halla el valor de “z”, donde iiiiiiz .5.2.3.5.3.2 59222582120031942

3. Hallar las raíces de la ecuación .=xx 012

4. Verificar para cuales valores de x e y los números complejos   ixz 842
1  y
 iyxxz  42 sean iguales.
5. Verificar para cuales valores de x e y los números complejos   xiyxz 1 y
 iyz 262  sean iguales.
6. Sean los números complejos:  ;=z 3,21  1,
3
1
2 ;=z 






2
1
,93 ;=z 





  ;=z 0,24
 .10,05 =z Representarlos en el plano complejo. Expresarlos en forma binómica.
7. Sean ,251 i+z  iz 382  y .243 i-z  Hallar:
a) .321 zzzz 
b) .32 zzz 
c) .3
2
1
z
z
z
z 
8. Pasar a la forma polar y trigonométrica: .31 iz 
9. Escribir en forma binómica: 0
60
2z
10. Calcular todas las raíces de la ecuación: .016
x
11. Determina las soluciones de 0.225
 ix .
12. Determina
4
º4081Cis .
13. Realiza las siguientes operaciones:
a)
 
0
0
60
3
20
2
3
b)  10
1 i
c)  6
31 i
d) 3
3
1
i
i


14. Resuelve la siguiente raíz
5
1010 i , expresando los resultados en forma polar.

15. Escribe una ecuación de segundo grado que tenga por soluciones i21 y su
conjugado.
16. Calcula la siguiente operación, dando el resultado en forma polar.
   
   ii
ii


223
2332
17. Calcula el valor de cociente, y representa los afijos de sus raíces cúbicas.
i
ii
2
77 

18. Expresa en forma polar y binómica un complejo cuyo cubo sea:







22
cos8

isen
19. Expresa en función de cos y :sen
a) a5cos
b) asen5
20. Escribe en las formas polar y trigonométrica, los conjugados y los opuestos de:
a) i44 
b) i22 
21. Calcular todas las raíces de la ecuación: 0325
x
22. Expresa en función de cos y :sen
a) a3cos
b) asen3
23. Sabiendo que: .1,1 21 iziz  Calcular el valor de
5
1
2
9
2
1
23 












z
z
z
z
E
24. Hallar el valor de “ b ” para que el siguiente cociente :
i
bi
34
23


; sea un número
real.

25. Calcular las raíces del siguiente número complejo .353
iW 
26. Demostrar que:
    22cos131   isenii e i







12
7

27. Graficar   .0Re 2
z
PROBLEMAS DE NÚMEROS COMPLEJOS
1. Calcula k para que el número complejo que obtenemos de la siguiente división esté
representado en la bisectriz del primer cuadrante.
ik
i

2
SOLUCIÓN: 3k
2. Halla el valor de k para que el cociente
ik
ki

2
sea:
a) Un número imaginario puro.
b) Un número real.
SOLUCIÓN: 2,0  kk
3. Se considera el complejo ,322 i se gira 45° alrededor del origen de
coordenadas en sentido contrario a las agujas del reloj.
Hallar el complejo obtenido después del giro.
SOLUCIÓN: 5
105
4z
4. Hallar las coordenadas de los vértices de un hexágono regular de centro el origen
de coordenadas, sabiendo que uno de los vértices es el afijo del complejo 190°.
SOLUCIÓN:
    



































2
1
,
2
3
1,0,
2
1
,
2
3
,
2
1
,
2
3
,1,0,
2
1
,
2
3
454321 zzzzzz

5. Determina el valor de a y b para que el cociente
bi
ia


3
2
sea igual a:   0
3152
SOLUCIÓN: 5,8  ba
6. ¿Cuáles son las coordenadas del punto que se obtiene al girar 90°, en sentido
antihorario alrededor del origen, el afijo del complejo 2 + i?
SOLUCIÓN:  2,1
7. Halla las coordenadas de los vértices de un cuadrado de centro el origen de
coordenadas, sabiendo que uno de los vértices es el punto (0, −2).
SOLUCIÓN:        2,0,0,2,2,0,0,2 4321  zzzz
8. La suma de los componentes reales de dos números complejos conjugados es seis, y
la suma de sus módulos es 10. Determina esos complejos en la forma binómica y
polar.
UNA FÓRMULA MARAVILLOSA
Relaciona los números imaginarios (i = raíz cuadrada de (–1)), con las
potencias (número e y logaritmos neperianos) y con las funciones trigonométricas. Permite
recordar, sin esfuerzo, fórmulas trigonométricas como la del seno o coseno de una suma de
ángulos, del ángulo doble o mitad, y calcular, con facilidad, derivadas de funciones
trigonométricas.
Esta es la Fórmula de Euler: 
isene i
 cos
Y cuando ,  tenemos que:
1i
e
o bien 01i
e
Para finalizar, se enunciará la opinión que emitió alrededor de la cuarta década del
siglo XX el eminente científico John von Neumann acerca de los números complejos:
“Hace 150 años, uno de los problemas más importantes de la ciencia aplicada -de la que
dependía el desarrollo de la industria, comercio y gobierno- era el problema de salvar vidas
en el mar. Las estadísticas sobre esas pérdidas eran terribles.
El dinero y los esfuerzos empleados en resolver el problema eran también terríficos,
los matemáticos desarrollaban una herramienta que salvaría más vidas que las que esperaba
salvar el grupo de excéntricos inventores. Esa herramienta se llegó a conocer como la teoría
de Funciones de Variable Compleja.
Entre las muchas aplicaciones de esta noción puramente matemática, una de las más
fructíferas es la Teoría de la Comunicación por Radio.”

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
 Baldor, A. “Álgebra”. Distribuidora Cultural Venezolana S.A.
 Barreto, J. (2014). La recta numérica y el plano cartesiano: Un estudio desde los
números naturales hasta los números complejos. Colección de Secundaria. (6).
https://www.createspace.com/5137020
 Churchill, R. (1992). Variable Compleja y Aplicaciones. Quinta Edición. McGraw-
Hill, México.
 Edminister, J. (1981). Circuitos eléctricos. Serie de Compendios Schaum, McGraw-
Hill/INTERAMERICANA DE ESPAÑA, S.A.
 Mendiola, E. “Matemáticas 4to. Año”. Editorial Biosfera S.R.L. Capítulo VII
 Jiménez, J y Salazar, J. “Matemáticas Primer Año, Ciclo Diversificado.”. Ediciones
CO-BO. Caracas.
 Tom Apóstol. (2005). Calculus. Cálculo con funciones de varias variables y álgebra
lineal, con aplicaciones a las ecuaciones diferenciales y a las probabilidades.
Editorial Reverté.
INTERNET: http://www.vitutor.com/di/c/a_11.html#

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