Este documento presenta una introducción a los números complejos. Explica que un número complejo está formado por una parte real y una parte imaginaria. Detalla las operaciones básicas con números complejos como suma, resta, multiplicación y división. También describe la representación gráfica de los números complejos en un plano complejo y la forma polar y exponencial de representarlos. Finalmente, introduce conceptos como el módulo, la conjugada y el teorema de Moivre para elevar números complejos a potencias.

1. Republica Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular Para la Educación
Instituto Universitario Politécnico
Santiago Mariño
NÚMEROS COMPLEJOS
UNIDAD I
Profesor: Pedro
Beltrán
Bachiller:
Ricardo Boada
C.I 26.823.943
Sección: S1
Barcelona, 12 Junio del 2019

2. Los números imaginarios (o complejos) son también, para mucha gente, números
desconocidos a pesar de que son una útil herramienta en diversos ámbitos de las
Matemáticas (y por tanto, de la Fisica, Ingeniería, etc). Existe toda una teoría de análisis
complejo, es decir, una teoría sobre funciones cuyas variables son números complejos y,
como consecuencia, también existe la versión compleja del cálculo diferencial e integral.
Curiosamente, gracias a los complejos se consiguieron algunos teoremas hasta entonces
imposibles de demostrar.
INTRODUCCIÓN

3. NÚMEROS COMPLEJOS
Un número complejo, (z), es la suma de un número real
(a) más un número real (b) multiplicado por la unidad
imaginaria (i):
Z= a+b .i
La forma general (forma binómica) es:
a + bi
Es decir, un número complejo está
formado por dos números reales, a y b,
llamadas:
a: parte real
b: parte imaginaria
Por ejemplo: 5 - 7 i, -4 + 8 i, ½ + ¾ i.
Unidad imaginaria
Se define unidad imaginaria,
representada por i, como aquel
'número' de C tal que: i²=-1, o
también expresado (de forma
mnemotécnica):

4. OPERACIONES ELEMENTALES CON NÚMEROS COMPLEJOS
SUMA Y RESTA
El procedimiento para efectuar estas operaciones es similar que en los
Números Reales ó sea la parte Real de un Número Complejo se Sumará ó
se Restará con la parte Real de otro Número Complejo y la parte Imaginaria de
un Número Complejo se Sumará ó se Restará con la parte Imaginaria de otro
Número Complejo.
El siguiente ejemplo nos dará una idea más amplia de lo que anteriormente se
explico.

5. MULTIPLICACIÓN
Debemos recordar que en la Multiplicación se efectúan dos operaciones
básicas, la Multiplicación y la Suma, por lo tanto cuando se efectúe la
operación de multiplicar se podrá multiplicar partes Reales con partes Reales
ó con partes Imaginarias y viceversa y cuando se tenga que efectuar la
operación de sumar será como se explicó en el punto No. 1.
El siguiente ejemplo aclarara las dudas.
2 + 3 i
x 3 - 4 i
6 + 9 i
- 8 i - 12 i 2
6 + 1 i - 12 i 2
Pero como La respuesta es
OPERACIONES ELEMENTALES CON NÚMEROS COMPLEJOS

6. DIVISIÓN
Cuando se tiene que efectuar la División de dos Números Complejos, el
proceso a seguir es similar al que se lleva a cabo cuando seRacionaliza
un Denominador, en otras palabras el Número Complejo que se va a dividir
se le multiplicará tanto al dividendo como al divisor el conjugado del divisor y
lo que resulte será el resultado.
Ejemplo: Dividir
Entre
OPERACIONES ELEMENTALES CON NÚMEROS COMPLEJOS

7. La forma habitual de representar a los números complejos es hacerlo como
vectores del plano. Pero el plano se denomina, en este caso, plano
complejo.
Sea un número complejo cualquiera, z=a+bi, existe una representación sobre un
plano (llamado diagrama de Argand), en el que sobre dos ejes perpendiculares -
como se muestra en la figura- se coloca sobre el eje horizontal (eje real) la parte
real de z, a, y sobre el eje vertical (eje imaginario) la parte imaginaria de z, b, se
trazan sendas paralelas a los ejes (líneas punteadas en la figura) y su punto de
corte es la punta del fasor z.
NOTA: Se llama fasor a un vector cuyo punto de aplicación es fijo, en el caso de números
complejos éste es el origen).
REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS

8. En esta representación es de destacar, sobre el triángulo rectángulo inferior
de la figura:
* que a y b son precisamente los catetos de ese triángulo rectángulo.
* que la hipotenusa es la longitud del fasor z, esta longitud se llama
"módulo de z", y se la representa por |z|, o también por 'r'.
* que el ángulo que forma z con el eje positivo real (en sentido anti-
horario), q, es llamado "argumento de z".
También es destacable las dos relaciones siguientes:
Además llamando r al "módulo" y q al "argumento" de z = a + b i,
tenemos:
Por lo tanto, el complejo z también puede expresarse:
z = a + b i = r (cos q + i sin q)
El argumento q, a veces suele expresarse como arg(z), y el
módulo, |z| ó r, a veces se le representa por mód(z).

9. FORMA CANÓNICA GRAFICA
Un numero complejo se representa en su
forma canónica o exponencial de la siguiente
manera
Ejemplo:
En Forma Canónica el numero
complejo z= 1+i se deduce

10. FORMA CANÓNICA GRAFICA

11. INVERSA DE NÚMEROS COMPLEJOS
El sistema de los números complejos tiene la propiedad de la existencia del inverso
multiplicativo o recíproco para todo número distinto de cero. La propiedad del inverso
multiplicativo se refiere a que para cada número z, distinto de cero, existe un número,
llamado el el inverso, denotado por z−1, que cumple:
z⋅z−1=1
Se puede demostrar que el inverso multiplicativo
de z=a+bi, con a⋅b≠0 , es

12. El valor absoluto, módulo o magnitud de un número
complejo z viene dado por la siguiente expresión:
Si pensamos en las coordenadas cartesianas del número complejo z como algún punto en el
plano; podemos ver, por el teorema de Pitágoras, que el valor absoluto de un número
complejo coincide con la distancia euclídea desde el origen del plano a dicho punto.
Si el complejo está escrito en forma exponencial z = r eiφ, entonces |z| = r. Se puede
expresar en forma trigonométrica como z = r (cosφ + isenφ), donde cosφ + isenφ = eiφ es la
conocida fórmula de Euler.
Podemos comprobar con facilidad estas cuatro importantes propiedades del valor absoluto
MODULO NÚMEROS COMPLEJOS

13. Dos binomios se llaman conjugados si solo difieren en su signo central,
por ejemplo, los dos binomios: 3m - 1 y 3m + 1 son conjugados.
El conjugado de un complejo z (denotado como ó ) es un nuevo
número complejo, definido así:
Se observa que ambos difieren en el signo de la parte
imaginaria.
Con este número se cumplen las propiedades:
CONJUGADA DE UN NÚMEROS COMPLEJO

14. DESIGUALDAD TRIANGULAR
Es llamada de tal manera debido a que la suma de las
longitudes de dos lados cualesquiera de un triángulo
siempre es menor que la longitud del otro lado.
Observa que la desigualdad es estricta en el caso que se
tengan números de signos contrarios
Signos contrarios
|(–3) + 4 | = | 1 | < |–3 | + | 4 | = 7
Desigualdad estricta
Del mismo signo
| (–3) + (–6) | = | –9 | = 9
= |–3 | + | -6 | = 9
Se alcanza la igualdad
Un número igual a 0
| –6 + 0 |=|–6 | = 6 = | –6 | + | 0 |
Se alcanza la igualdad

15. FORMA POLAR DE UN NÚMEROS COMPLEJO
La forma polar de un número complejo es otra
forma de representar un número complejo. La
forma z = a + bi es llamada la forma
coordenada rectangular de un número
complejo.
El eje horizontal es el eje real y el eje vertical es el eje
imaginario. Encontramos los componentes reales y
complejos en términos de r y θdonde r es la longitud del
vector y θ es el ángulo hecho con el eje real.

16. FORMA POLAR DE UN NÚMEROS
COMPLEJO
Ejemplo :
Exprese el número complejo en la forma polar.
5 + 2 i
La forma polar de un número
complejo z = a + bi es .
Así, primero encuentre el valor absoluto de r .
Ahora encuentre el argumento θ .
Ya que a > 0, use la fórmula:
Dese cuenta que aquí θ es medido en radianes.
Por lo tanto, la forma polar de 5 + 2 i es alrededor de
5.39(cos0.38 + i sin0.38).

17. El teorema de Moivre aplica procesos fundamentales de álgebra, como las potencias y
la extracción de raíces en números complejos. El teorema fue enunciado por el
reconocido matemático francés Abraham de Moivre (1730), quien asoció los números
complejos con la trigonometría.
TEOREMA DE MOIVRE
Realizó esta asociación por medio
de las expresiones del seno y
coseno. Este matemático generó
una especie de fórmula a través de
la cual es posible elevar un número
complejo z a la potencia n, que se
trata de un número entero positivo
mayor o igual 1.
Abraham Moivre

18. El teorema de Moivre establece lo siguiente:
Si se tiene un número complejo en la forma polar z = rƟ, donde r es el módulo del número complejo
z, y el ángulo Ɵ es llamado amplitud o argumento de cualquier número complejo con 0 ≤ Ɵ ≤ 2π,
para calcular su n–ésima potencia no será necesario multiplicarlo por sí mismo n-veces; es decir, no
es necesario realizar el siguiente producto:
Zn = z * z * z*. . .* z = rƟ * rƟ * rƟ *. . .* rƟ n-veces.
Por el contario, el teorema dice que, al escribir z en su forma trigonométrica, para calcular la n-ésima
potencia se procede de la siguiente forma:
Si z = r (cos Ɵ + i * sen Ɵ) entonces zn = rn (cos n*Ɵ + i * sen n*Ɵ).
Por ejemplo, si n = 2, entonces z2 = r2[cos 2(Ɵ) + i sen 2 (Ɵ)]. Si se tiene que n = 3, entonces z3 =
z2 * z. Además:
z3 = r2[cos 2(Ɵ) + i sen 2 (Ɵ)] * r [cos 2(Ɵ) + i sen 2 (Ɵ)] = r3[cos 3(Ɵ) + i sen 3 (Ɵ)].
De esa manera pueden obtenerse las razones trigonométricas del seno y coseno para múltiplos de
un ángulo, siempre y cuando las razones trigonométricas del ángulo sean conocidas.

19. RAÍCES EN NÚMEROS COMPLEJOS
Para hallar las raíces de un número complejo se aplica la
fórmula de Moivre, teniendo en cuenta que para que dos
complejos coincidan han de tener el mismo módulo y la
diferencia de sus argumentos ha de ser un múltiplo entero
de 360º.
Sea Ra un número complejo y considérese otro
complejo R'a', tal que:
Ra = (R' a' )n = ((R' )n )n a'
Esto equivale a que (R’)^n = R, o lo que es lo mismo, que
R’=n√R, y que
nα’= α+k*360°⇐⇒ α’= α⁄n + k*360/n, donde K es un
número arbitrario. Es decir,
n^√Rα = (n^√R) α+k*360°/n
¨Al representar las raíces n-
ésimas de un número
complejo, como todas tienen
el mismo módulo, se cumple
que: • Sus respectivos afijos
están en una circunferencia
de radio igual al módulo del
radicando. • Los afijos de las
raíces n-ésimas son los
vértices de un polígono
regular de n lados inscrito en
esa circunferencia¨.

20. CONCLUSIÓN
Los números complejos corresponden a una expansión de los
números reales; donde los números complejos contienen a los
números reales. Ellos se caracterizan por abrir la baraja de las
raíces de los polinomios, encontrando las que en el conjunto
de los reales no podemos determinar.
Los números complejos fueron creados para permitir la
resolución de ecuaciones que no tienen resultados dentro del
conjunto de números reales, tales como las ecuaciones de
segundo grado que presentan discriminante negativo.

21. REFERENCIAS ELECTRÓNICAS
(S/A)(S/F) NUMEROS COMPLEJOS :
http://www.ehu.eus/juancarlos.gorostizaga/apoyo/complejos.htm
(S/A)(S/F) NUMEROS COMPLEJOS:
http://www.geogebra.org/m/dCJv99uj
(S/A)(S/F) MODULO Y CONJUGADAS DE NUMEROS COMPLEJOS
: http://numeroscomplejos15.blogspot.com/2013/07/valor-
absoluto-o-modulo-de-un-numero.html
(S/A)(S/F) DESIGUALDAD TRIANGULAR:
http://www.matematicatuya.com/DESIGUALDADES/S8a.html

22. REFERENCIAS ELECTRÓNICAS
Spiegel, Murray (1991) Variables Complejas 3era. Edición Editorial Mc. Graw Hill

23. Links de YouTube
Números complejos: https://www.youtube.com/watch?v=LqyBrrgmIro
Operaciones con números complejos https://www.youtube.com/watch?v=ygJ6Tvda_Uc&t=1s
Representación grafica y modulo https://www.youtube.com/watch?v=UvQTkALTELs
Forma canónica : https://www.youtube.com/watch?v=sXFKH3wq3Nc
Inversa de numero complejo https://www.youtube.com/watch?v=W2gH6f00F_Q
Conjugada de números complejos : https://www.youtube.com/watch?v=BGzYfcgvrrg
Desigualdad Triangular: https://www.youtube.com/watch?v=vQWkYUsRtHQ
Forma Polar y teorema de Moivre: https://www.youtube.com/watch?v=1B6VmZxkaZk
Raíces de números complejos: https://www.youtube.com/watch?v=B0XUy14q0Go