metodo laplace

1. POR: Dina Yhomira Arias Ccalli
Livia Jhoselyn Garabito Cruz
Análisis de Filtraciones a Través de una Presa de
Tierra Según el Método de Diferencias Finitas

2. Los problemas relacionados con el movimiento del agua a
través del suelo como medio poroso son muy amplios. En
la mayoría de los proyectos de La ingeniería civil,
especialmente en las tendencias del agua y el suelo, el
riego y la ingeniería petrolera, se analiza el flujo de
fluidos en un medio poroso y este tema es uno de los
problemas propuestos en todas las estructuras
hidráulicas y especialmente en la tierra Presas y
terraplenes.
a. ECUACIÓN DE LAPLACE
En cálculo vectorial, la ecuación de Laplace es una ecuación en derivadas parciales de segundo
orden de tipo elíptico, que recibe ese nombre en honor al físico y matemático Pierre-Simon
Laplace.
Ecuación general de Laplace:

3. El método de la diferencia finita
El método de diferencias finitas es un procedimiento numérico
utilizado para resolver una ecuación diferencial parcial mediante
la discretizacion del dominio físico continuo en una cuadrícula
de diferencias finitas discretas, que se aproxima al individuo
derivadas parciales exactas de la ecuación diferencial parcial
por aproximaciones de diferencias finitas
algebraicas,sustituyendo estas aproximaciones en la ecuación
diferencial parcial para obtener una diferencia finita algebraica
ecuación, y resolviendo las ecuaciones algebraicas resultantes
para la variable dependiente [8]. La diferencia finita
aproximaciones desarrolladas al escribir series de Taylor para la
variable dependiente en varios puntos de cuadrícula adyacentes
utilizando el punto de cuadrícula (i, j) como punto base y
combinando estas series de Taylor para resolver el parcial
deseado derivados reemplazando los derivados en la ecuación
de filtración 2-D, Ecuación 2, por las aproximaciones de
diferencia centradas de segundo orden en el punto de la
cuadrícula (i, j), se obtiene
La ecuación 3 es una aproximación de la
diferencia centrada de segundo orden de
la ecuación 2. La ecuación 3 se puede
escribir como

4. Cuando
La ecuación 4 se llama la aproximación de cinco puntos de la
ecuación de Laplace.
La plantilla de diferencias finitas para el método de cinco pintas
se muestra en la Figura 2.

5. Condiciones de frontera
Se requieren condiciones de contorno en los límites del dominio de la solución. Las
condiciones de contorno que rigen la solución de la ecuación de Laplace en el análisis de
infiltración a través de la presa de tierra podría dividirse en los siguientes tipos
Condición de límite de Dirichlet: En este caso, los valores de la función se especifican en
los límites. En infiltración
En el análisis a través de la presa de tierra, la condición del límite de Dirichlet es
dominante cuando se especifica la altura del agua.
Límites, por ejemplo, aguas arriba y aguas abajo de la presa o en la superficie freática
(línea saturada).
Condición de límite de Neumann: en este caso, los valores derivados de la función se
especifican en los límites. Por ejemplo, en el análisis de filtraciones, en la última línea de
flujo (capa impermeable), el gradiente hidráulico es igual a cero en dirección vertical.
Usando una aproximación de diferencia centrada de segundo orden para los rendimientos
de la condición de límite derivado

6. La Figura 3 muestra un bosquejo de definición para una presa
de tierra isotrópica y homogénea con un drenaje del dedo del pie
en aguas abajo construido sobre una base horizontal
impermeable. La conductividad hidráulica de los materiales a
partir de los cuales la presa se construye es igual a 3.3 * 10-6 m
/ s

7. Solución y Resultados
La primera línea de flujo (superficie freática) se calcula de acuerdo
con el método de Casagrande, y el dominio de la solución se crea en
el espacio xz. Las cuadrículas de diferencias finitas se crean para
diferentes espaciados Δx y Δz.
Los valores de la altura del agua se calculan en los puntos de la
cuadrícula resolviendo las ecuaciones de control (Ecuaciones 5 y 7)
Simultáneamente según condiciones de contorno.
La presa de tierra anterior fue modelada y analizada con el software
Geostudio 2012. La figura 4 muestra el Modelo analizado con el
software Geostudio.

8. Los valores de la altura del agua obtenidos por el método de
aproximación de cinco puntos para diferentes tamaños de
cuadrícula, Δx y Δz, se resumen en las Tabla 1 .Estos valores se
compararon con los resultados obtenidos por el software
Geostudio.
Tabla 1. Valores de la altura del agua para Δx = 5m y Δz = 3m
DISTANCIA(m) ELEVACION(m) METODO 5PUNTOS
GESOTUDIO
SOFTWARE
DIFERENCIA
5 0 26.82 26.5 0.32
5 3 26.11 25.8 0.31
10 0 25.22 24.9 0.32
10 3 25.12 24.8 0.32
15 6 24.32 24 0.32
15 0 24.42 24.1 0.32
20 6 23.65 23.5 0.15
20 12 22.856 22.7 0.156
25 6 22.82 22.5 0.32
25 9 22.55 22.1 0.45
30 20 22.28 22 0.28
30 15 21.25 21 0.25