2. problemas resueltos propiedades geométricas (1)

2. ELEMENTOS GEOMÉTRICOS DE LA SECCIÓN TRANSVERSAL
Y DISTRIBUCIONES DE VELOCIDAD Y PRESIONES
Universidad Nacional de Colombia Ramiro Marbello Pérez
Sede Medellín Escuela de Geociencias y Medio Ambiente
13
Problema 2.1
Para un flujo paralelo, en un canal de pendiente favorable, como el mostrado en la figura, probar que la
presión en el fondo se puede calcular con la expresión pF = γ y cos2
θ ; siendo γ, el peso específico del
líquido, θ, el ángulo que forma la rasante del fondo con la horizontal, y y, la profundidad del flujo en la
sección vertical.
Solución:
Atendiendo la geometría de la figura siguiente, y partiendo del hecho de que la distribución de presiones
del flujo paralelo, en un canal abierto, sigue la ley hidrostática de presiones, la presión en el fondo se
puede expresar de la siguiente manera:
pF = γ h (1)

PROBLEMAS RESUELTOS DE HIDRÁULICA DE CANALES ABIERTOS
14
En el triángulo rectángulo STF, se tiene:
cos
FT d
yFS
θ = = (1)
∴ cosd y θ= (2)
Así mismo, en el triángulo rectángulo TRF, se tiene:
d
h
FT
FR
==θcos (3)
∴ cosh d θ= (4)
Reemplazando (3) en (5), se tiene:
( )cos cosh y θ θ= (5)
2
cosh y θ= (6)
Finalmente, reemplazando el valor de h dado por (7) en (1), se obtiene:
2
cosFP yγ θ= (7)

15
Problema 2.2
Para un flujo no paralelo, en un canal de pendiente favorable, como el mostrado en la figura, probar que la
presión en el fondo se puede calcular con la expresión
θφ
γ
tantan1
1
⋅+
= ypF ; siendo γ, el peso
específico del líquido, φ es el ángulo que forma la línea de la superficie libre con la horizontal, θ, el ángulo
que forma la rasante del fondo con la horizontal, y y, la profundidad del flujo en la sección vertical.
Solución:
Como en el caso del flujo paralelo, para el flujo convergente se puede suponer que la variación de la
presión sigue la ley hidrostática de presiones, por lo cual la presión en el fondo también será:
pF = γ h (1)
En el triángulo rectángulo TRF, se tiene:
cos
FR h
dFT
θ = = (1)

16
cos
h
d
θ
= (2)
Además, sen
n
d
θ =
senn d θ= (3)
En el triángulo rectángulo SRT, se tiene:
sen
SR m y h
l lST
φ
−
= = = (4)
senm y h l φ= − = (5)
senh y l φ= − (6)
Además,
cos
n
l
φ =
∴ cosn l φ= (7)
Combinando (4) y (8), se tiene:
sen cosd lθ φ= (8)
sen
cos
l d
θ
φ
= (9)
Reemplazando (10) en (7)
sen
sen sen tan
cos
h y d y d
θ
φ θ φ
φ
 
= − = − 
 
(10)
Reemplazando en (11) el valor de d hallado en (3)
sen tan
cos
h
h y θ φ
θ
= − (11)

17
( )
tan tan
tan tan
1 tan tan
h y h
h h y
h y
θ φ
θ φ
θ φ
= −
+ =
+ =
1 tan tan
y
h
θ φ
=
+
(12)
Finalmente reemplazamos h dado por (13) en (1):
1 tan tan
F
y
P γ
θ φ
=
+
(13)
Obsérvese que para flujo paralelo ( φ θ= ), sustituyendo tanφ = tanθ en (14), se tiene:
2 2
2
2
1 tan sec
1
cos
sec
y y
h
h y y
θ θ
θ
θ
= =
+
= =
θ2
cosyh =
Resultado idéntico al encontrado en el problema inmediatamente anterior.
Problema 2.3.
Deduzca las expresiones que permiten calcular el área mojada, el perímetro mojado, el ancho superficial, la
profundidad hidráulica y la profundidad centroidal de la sección vertical de una canal circular, en términos
de su diámetro, ., y de la profundidad del flujo, y.
Caso a.
Figura 1. Geometría del canal circular, caso a.

18
1. Expresión para el ángulo, .
De la simetría circular y a partir de la figura 1 vemos que:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Por otro lado, a partir de la figura 1 vemos que:
(6)
Reemplazando (6) en (5):
(6)
(7)
(8)
(9)
2. Expresión para el área mojada, A
Figura 2. Composición de áreas del canal circular, caso a.
Como se puede ver en la figura, el área se obtiene como la suma del área del sector circular y del triángulo
mostrado, de esta manera:
- Área del sector circular:
Empleando coordenadas polares, se tiene:
(10)
(11)

19
(12)
- Área del triángulo:
La base y la altura del triángulo están dadas por las siguientes expresiones:
(13)
(14)
Además:
(15)
(16)
(17)
(18)
Luego el área se calcula de la siguiente manera:
(19)
(20)
Reemplazando (13) y (14) en (20).
(21)
(22)
(23)
- Área total:
(24)
(25)
3. Expresión para el ancho superficial, T.
De la figura se puede apreciar
(26)
(27)
(28)
(29)
Reemplazando (27) en (24)
(30)
(31)

20
Caso b.
Figura 3. Geometría del canal circular, caso a.
1. Expresión para el ángulo, .
Igualmente, gracias a la simetría del círculo y haciendo uso ahora de la figura 3, se encuentra:
(32)
(33)
(34)
2. Expresión para el cálculo del área mojada, A.
Figura 4. Composición de áreas del canal circular, caso a.
- Área del sector circular:
Usando coordenadas polares:
(35)
(36)

21
(37)
- Área del triángulo:
La base y la altura del triángulo están dadas por las siguientes expresiones:
(38)
(39)
Reemplazando en la fórmula para el cálculo del área, se obtiene:
(40)
(41)
(42)
- Área total:
(43)
(44)
3. Expresión para el cálculo del ancho superficial, T.
De la figura se observa que:
(45)
(46)
Obsérvese que las ecuaciones resultantes para el cálculo del ángulo; (9) y (34), el área; (25) y (44), y el
ancho superficial; (31) y (46) son idénticas sin importar el caso, por tanto se puede afirmar que estas tres
ecuaciones son válidas siempre para el canal circular.
4. Expresión para el cálculo del perímetro mojado, P
El perímetro se encuentra con la fórmula de la longitud de arco del sector circular, dicha fórmula es válida
sin importar en donde se halle el nivel de la superficie libre.
5. Expresión para el cálculo del radio hidráulico, RH
El radio hidráulico se calcula como el cociente del área sobre el perímetro, debido a que las fórmulas para
el área y el perímetro son igual en los casos a y b entonces la del radio hidráulico también lo es.

22
6. Expresión para calcular el factor de sección, Z
Problema 2.4
La sección transversal de un canal triangular con fondo redondeado se compone de dos taludes redondeados
en el fondo, según el arco de círculo , como se muestra en la figura. Deducir las expresiones para
calcular el área, el perímetro mojado, el ancho superficial, el radio hidráulico, la profundidad hidráulica, el
factor de sección y la profundidad centroidal.
Por tratarse de un círculo tangente a los taludes laterales del canal, el radio de aquel es perpendicular a
éstos en los puntos C y D.
Por otro lado, observando los triángulos rectángulos EFB y ODE, se deduce que el ángulo EOD es igual al
ángulo FBE (= ), por tener sus lados respectivamente perpendiculares entre sí. Además, por simetría de la
sección del canal, el ángulo COE también es igual a .

23
Deducción de una expresión para la expresión para el perímetro mojado, P:
De la figura:
(1)
Por simetría, ; por lo tanto:
(2)
(3)
Del triángulo rectángulo ODE, se tiene:
(4)
(5)
Del triángulo rectángulo EFB, se tiene:
(6)
Además, en el mismo triángulo: (7)
(8)
Sustituyendo (5) y (6) en (3), se tiene:
(9)
Por otra parte:
(10)
Dado que:
(11)

24
(12)
Reemplazando (9) y (12) en (2), se obtiene una expresión para el perímetro mojado; así:
(13)
(14)
(15)
Deducción de una expresión para el área mojada, A:
(16)
(17)
(18)
(19)
(20)
(21)
(22)
Deducción de una expresión para el ancho superficial, T:
De la figura, se tiene:
(23)
(24)
(25)
Luego,
(26)
(27)
(28)
(29)
Así,
(30)
Finalmente,
(31)

25
(32)
Así la expresión para el ancho superficial, T, es:
(33)
PROBLEMA 2.5
Por un canal rectangular, de ancho B = 5.36 m, circula cierto caudal con una profundidad yo = 1.89 m, y
una distribución de velocidades dada por:
y2.5y0.75v
2
+−= ; [ ]oyy0 ≤≤ ; con v (m/s), y (m)
Se pide calcular:
a. La velocidad máxima del flujo y el punto donde se produce.
b. El caudal y la velocidad media del flujo.
c. La energía cinética y la cantidad de movimiento de la masa de agua que atraviesa la sección, por
unidad de tiempo, ρagua = 1000 kgm/m3
.
d. Los coeficientes de Coriolis y Boussinesq.
e. El número de Froude.
Solución:
Figura 2.5.a. Perfil de velocidades del flujo en el canal
Para dar solución a este problema se cuenta con los siguientes datos:
v = - 0.75 y2
+2.5 y; con v en (m/s) y y en m. (1)
Además [ ]oyy0 ≤≤
yo = 1.89 m; y B = 5.36 m

26
a. Para determinar la velocidad máxima se deriva la función de la velocidad con respecto a y, y se iguala
a cero, para hallar los puntos críticos.
( ) 2.5y0.752
dy
dv
+−=
(2)
02.5y1.5
dy
dv
=+−=
(3)
Despejando y de la ecuación (2), se tiene:
m1.6667
1.5
2.5
y == (4)
Sustituyendo el valor de y = 1.6667 m en la ecuación (1), resulta el valor de la velocidad máxima, así:
( ) ( )
s
m
2.0833331.66672.51.66670.75VV
2
m1.6667ymáx =+−== =
Por tanto, la velocidad máxima del flujo es:
s
m
2.083vmáx = (5)
y ocurre para: y = 1.667 m, véase la Figura 2.5.b.
Figura 2.5.b. Perfil de velocidades
b. Para el cálculo del caudal y la velocidad media del flujo se utilizará la ecuación de continuidad. Véase
la Figura 2.5.c.

27
Figura 2.5.c. Sección del canal rectangular
∫==
A
dAAVQ v (6)
( ) dyBy2.5y0.75Q
oy
0
2
∫ +−= (7)
∫∫ +−=
oo y
0
y
0
2
dyyB2.5dyyB0.75Q
( )






+−=





+−=








+= 2
o
3
o
2
o
3
o
y
0
2
y
0
3
y
4
5
y
4
1
By
22
5
y
4
1
B
2
y
2.5
3
y
0.75-BQ
oo
( ) ( ) ( )
s
m
3
88636954.1489.1
4
5
89.1
4
1
m36.5Q
23
=





+−=
s
m
14.8864Q
3
= (8)
Ahora, despejando v de la ecuación de continuidad, (6), se tiene:
oyB
Q
A
Q
V == (9)
s
m
1.469475
m1.89m5.36
s
m
414.8863695
V
3
=
×
=
s
m
1.47V = (10)
c. Cálculo de la energía cinética y la cantidad de movimiento de la masa de agua que atraviesa la sección
por unidad de tiempo:
Sean:
qk: Flujo de energía cinética que atraviesa la sección.
qm: Flujo de momentum lineal (o de cantidad de movimiento) que atraviesa la sección.

28
c.1 Cálculo del flujo de energía cinética, qk
∫∫∫ ===
A
3
A
2
kk dAυρ
2
1
dA υυρ
2
1
qdq (11)
( )∫ +−=
oy
0
32
k dyBy2.5y0.75ρ
2
1
q (12)
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )




+−+




+−+−=
∫∫
∫∫
oo
oo
y
0
33
y
0
22
y
0
42
y
0
63
k
dyy2.5dyy2.5y0.753
dyy2.5y0.753dyy0.75Bρ
2
1
q
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )





+−+





−+−=
oooo y
0
4
3
y
0
5
2
y
0
6
2
y
0
7
3
k
4
y
2.5
5
y
2.50.753
6
y
2.50.753
7
y
0.75Bρ
2
1
q
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )








+−+−+−=
4
y
2.5
5
y
2.50.753
6
y
2.50.753
7
y
0.75Bρ
2
1
q
4
o3
5
o2
6
o2
7
o3
k (13)
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )( )
( )
( )
( )
m
s
m
4
1.89
2.5
5
1.89
2.50.753
6
1.89
2.50.753
7
1.89
0.75m5.36
m
kg
1000
2
1
q
3
34
3
5
2
6
2
7
3
3
m
k




+−+
+




−+−





=
(14)
( )( ) 











=
s
m
s
m
kg518.87289262m5.36500q 2mk
s
mN
35523779.3522qk
⋅
=
s
J
23779.35qk =
W23779.35qk =
kW23.78qk = (15)
c.2 Cálculo del flujo cantidad de movimiento, qm:

29
( ) ( )∫∫∫ υ=υυ==
A
2
A
mm dAρdAρdqq (16)
( )∫ +−=
oy
0
22
m dyBy2.5y0.75ρq
( ) ( ) ( ) ( )








+−+−=
∫∫∫ dyy2.5dyy2.5y0.752dyy0.75Bρq
ooo y
0
22
y
0
2
y
0
42
m
( ) ( )( ) ( )










+−+−=
ooo y
0
3
2
y
0
4
y
0
5
2
m
3
y
2.5
4
y
2.50.752
5
y
0.75Bρq (17)
( ) ( )( ) ( )








+−+−=
3
y
2.5
4
y
2.50.752
5
y
0.75Bρq
3
o2
4
o
5
o2
m (18)
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) m
s
m
3
1.89
2.5
4
1.89
2.50.752
5
1.89
0.755.36m
m
kg
1000q 2
23
2
45
2
3
m
m








+−+−





= (19)
( ) 2m2mm
s
m
kg7544105.81225
s
m
kg28158123900.43605q ==
N75.81225qm = (20)
d. Cálculo de los coeficientes de Coriolis, α, y de Boussinesq, β:
d.1 Coeficiente de Coriolis, α:
∫υ=
A
3
3
dA
VA
1
α (21)
Sustituyendo el resultado de a integración de le ecuación (13) en (21), se tiene:
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )








+++−








=
4
y2.5
5
y0.752.5
3
6
y0.752.5
3
7
y0.75
B
VA
1
α
4
o
35
o
26
o
27
o
3
3
(22)
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )








+++−








=
4
y2.5
5
y0.752.5
3
6
y0.752.5
3
7
y0.75
B
VyB
1
α
4
o
35
o
26
o
27
o
3
3
o
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )








+++−








=
4
y2.5
5
y0.752.5
3
6
y0.752.5
3
7
y0.75
Vy
1
α
4
o
35
o
26
o
27
o
3
3
o

30
( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
m
s
m
4
1.892.5
5
1.890.752.5
3
6
1.890.752.5
3
7
1.890.75
s
m
1.469475m1.89
1
α
3
34352
6273
3




++
+




+−




















=
( )( )
1021.47950629
1.4694751.89
518.87289262
α 3
=








= (23)
1.4795α = (24)
Otra forma más rápida de calcular α sería de la siguiente manera:
kk qαq ′=
( ) ( )( )
8831.47950628
m1.895.36
s
m
1.469475
m
k
1000
2
1
s
N.m
23779.3522
dAVρ
2
1
dAρ
2
1
q
q
α
2
3
3
3
3
g3
3
k
k
=








=
υ
=
′
=
∫
1.4795α =
d.2 Coeficiente de Boussinesq
∫υ=
A
2
2
dA
VA
1
β (25)
Reemplazado el resultado de la integración
( ) ( )( ) ( )








+
−
+
−








=
3
y2.5
4
y0.752.5
2
5
y0.75
Vy
1
β
3
o
24
o
5
o
2
2
o
(26)
( ) ( )( ) ( )








+−








=
3
y2.5
4
y0.752.5
2
5
y0.75
Vy
1
β
3
o
24
o
5
o
2
2
o
(27)
Reemplazando los valores numéricos, se tiene
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
m
s
m
3
1.892.5
4
1.890.752.5
2
5
1.890.75
s
m
1.469475m1.89
1
β 2
232452
2








+
−
+




















= (28)
( )( )
3111.18000365
1.4694751.89
0024.81581239
β 2
=








=

31
1.18β = (29)
Otra forma más rápida de calcular β sería:
mm qβq ′=
( ) ( )( )
1.18
m1.895.36
s
m
1.469475
m
k
1000
2
1
s
mK
10525812.7544
dAVρ
dAρ
q
q
β
2
2
2
2
3
g
2
g
3
3
k
k
=








=
υ
=
′
=
∫
1.18β =
e. Cálculo del número de Froude, F
Dg
V
F = (30)
55980.34126896
s
m
7014.30591453
s
m
1.469475
m1.89
s
m
9.81
s
m
1.469475
yg
V
F
2
o
==
×
== (31)
10.34F = (32)
PROBLEMA 2.6
En la sección transversal de un puente, las velocidades medias, en m/s, correspondientes a nueve sub-áreas,
son las que aparecen en la Figura 2.2.
Calcular los valores de α y β para dicha sección.
Solución:
Como ayuda auxiliar para la resolución de este problema, se construirá la siguiente tabla, en la cual se
registrarán los datos y los resultados parciales requeridos en la determinación de los coeficientes α y β.

32
Sub-
sección
Base
(m)
Altura
(m)
Área, Ai
(m2
)
Veloc. media,
vi (m/s)
Caudal
parcial, qi
(m3
/s)
Vi
2
.Ai
(m3
/s2
)
Vi
3
.Ai
(m3
/s2
)
1 16 8 64 3 192 576 1728
2 10 8 80 3.1 248 768.8 2383.28
3 10 8 80 3.2 256 819.2 2621.44
4 10 8 80 3.3 264 871.2 2874.96
5 10 8 80 3.3 264 871.2 2874.96
6 10 8 80 3.2 256 819.2 2621.44
7 10 8 80 3.1 248 768.8 2383.28
8 10 8 80 3 240 720 2160
9 16 8 64 3 192 576 1728
Sumatorias ∑= 688 ∑= 2160 ∑= 6790.4 ∑= 21375.36
i. Cálculo del área total, A:
2
m688
n
1i iAA =∑
=
=
(1)
ii. Cálculo del caudal total, Q:
( )
s
m
2160
n
1i iViA
n
1i iqQ
3
=∑
=
=∑
=
=
(2)
iii. Cálculo de la velocidad media, v :
De la ecuación de continuidad
AVQ = (3)
s
m
3.1395
m688
s
m
2160
A
Q
V 2
3
===
(4)
iv. Cálculo del coeficiente de Coriolis, α:
( )
( )
1.004
m688
s
m
43.13953488
m
s
m
21375.36
AV
n
1i
AV
α
2
3
3
3
2
3
3
3
i
3
i
=
⋅
=
∑
==
(5)
v. Cálculo del coeficiente de Boussinesq, β:

33
( )
( )
1.001
m688
s
m
43.13953488
m
s
m
6790.4
AV
n
1i
AV
β
2
2
2
2
2
2
2
2
i
2
i
=
⋅
=
∑
== (6)
PROBLEMA 2.7
El salto de esquí, o cubeta de escurrimiento, del canal de descarga mostrado en la Figura 1.5, tiene un radio
de 20 m. Si el perfil de velocidades en la sección B-B’ es v = 0.4 + 0.6 y/h, y la profundidad del flujo es
de 5.0 m, calcule la presión en los puntos C, D y E. D está en el punto medio. Además, γagua = 1000
kgf/m3
.
Figura 2.7
Solución:
Para hallar las presiones en canales cóncavos o convexos, se empleará la siguiente fórmula:






±=
rg
υ
1θcosyγp
2
2
(1)
Donde h
y
0.60.4υ +=
(2)
cos2
θ por estar la sección en la parte más baja de la curva del fondo del canal, el cual es cóncavo hacia
arriba.
g = 9.81 m/s2
;
r: radio de curvatura. r = 20 m
y ( m )

34
El cálculo de la velocidad de la corriente, en los puntos C, D y E se hará empleando la ecuación (2),
teniendo en cuenta que sus respectivas posiciones son: yC = 0.0 m; yD = 2.5 m; yE = 5.0 m.
Los resultados son los siguientes:
PUNTO y (m) υ [m/s]
C 0.0 0.4
D 2.5 0.7
E 5.0 1.0
Para el cálculo de la presión, se empleará la ecuación (1), teniendo en cuenta que los radios de curvatura se
miden desde el centro de curvatura hasta la línea de flujo correspondiente. Los resultados son los
siguientes:
Punto y (m) υ [m/s] r (m) p (kgf/m2
)
E 5.0 1.0 15.0 5033.98
D 2.5 0.7 17.5 2507.14
C 0.0 0.4 20.0 0.00
PROBLEMA 2.8
Calcular el radio hidráulico, RH, la profundidad hidráulica, D, y el factor de sección, Z, de la sección del
canal mostrado en la Figura 2.8.
6 m
6 0 °
4 m
6 0 °
X
Figura 2.8

35
La profundidad del flujo es dada y es: y = 4,00 m
Para calcular los valores de los demás elementos geométricos de la sección transversal, es necesario
conocer el valor de s. Para ello, se procede de la siguiente manera. Véase la siguiente figura auxiliar:
m4.6188
60sen
m4
60sen
h
s
s
4
s
h
60sen
=
°
=
°
=∴
==°
a. Cálculo del perímetro mojado, P:
( ) m15.24m6.0m4.61882B2yP =+=+=
(1)
b. Cálculo del área mojada, A:
El cálculo del área mojada precisa conocer el valor del ancho superficial; T. Para ello, debe calcularse,
primero, el valor de x.
m2.3094
60tan
m4.0
60tan
h
x
x
h
60tan ===∴= (2)
c. Cálculo del ancho superficial, T:
( ) m1.38m2.30942m6.0x2BT =−=−= (3)
d. Cálculo del área mojada, A
El área mojada, corresponde al área de un trapecio:
2
m14.76m4.00
2
m1.38m6.00
h
2
TB
A =
+
=
+
= 











(4)
e. Cálculo del radio hidráulico, RH:
m0.9685
m15.24
m14.76
P
A
R
2
H
===
(5)
f. Cálculo de la profundidad hidráulica, D:
m10.6956
m1.38
m14.76
T
A
D
2
===
(6)

36
g. Cálculo del factor de sección, Z:
2
5
2
m48.2812m10.70m14.76DAZ ===
(7)
PROBLEMA 2.9
El área mojada y el perímetro mojado de un canal trapecial, de taludes laterales 2H:1V y 1H:1V, son
12.835 m2
y 11.1294 m, respectivamente. Si el caudal de agua que fluye por el canal es 8.4711 m3
/s y la
viscosidad cinemática del agua es ν = 1.02x10-6
m2
/s, ¿qué tipo de flujo se tiene?
Figura 2.9. Sección del canal trapecial
Datos:
2m1 = ; 1m2 = ; 2
m835.12A = ; m1294.11P = ;
s
m
4711.8Q
3
= ;
s
m
1002.1
2
6−
×=ν
Solución:
De acuerdo con la Figura 2.9, se tiene:
321 AAAA ++= (0)
2
yx
2
yx
ByA 21
++= (1)
donde:
ymx 11 = (2)
ymx 22 = (3)
Reemplazando las ecuaciones (2) y (3) en (1), se tiene:
y
2
ym
2
ym
BA 21






++= (4)
y
2
mm
yBA 21











 +
+= (5)
De la ecuación (5), se tiene:

37
5.1
2
12
2
mm
m 21
=
+
=
+
= (6)
Reemplazando (6) en (5), resulta:
( )yymBA +=
( )( ) yyB 5.1835.12 += (7)
Por otra parte, el perímetro mojado se obtiene de la siguiente manera:
2
2
2
1 m1ym1yBP ++++= (8)
ym1m1BP
2
2
2
1 




 ++++= (9)
( )yB 11211294.11 22
+++−= (10)
Resolviendo (7) y (10) simultáneamente, se tienen los siguientes resultados:
m734.1y1 = , m798.4B1 =
m441.3y2 = , m432.1B2 −=
Se descarta y2, porque produce un ancho B negativo, lo cual es físicamente imposible; por lo tanto:
m734.1y = m798.4B = (11)
Para el cálculo del número de Froude, F, se tiene:
2
3
2
1
Ag
TQ
T
A
gA
Q
DgA
Q
Dg
V
F ==== (12)
Donde
ymymBT 21 ++=
( ) ymmBT 21 ++=
( ) y
2
mm2
BT 21 +
+=
ym2BT += (13)
Además,

38
( )
( )[ ]2
3
2
1
yymBg
ym2BQ
F
+
+
= (14)
Reemplazando los valores numéricos en la ecuación (14), se tiene:
( )( )( )
( )( )( )[ ]2
3
2
2
13
m1.734m1.7341.5m4.798
s
m
9.8
m1.7341.52m4.798
s
m
8.4711
+
+





=F (15)
1861.0F = (16)
Como 11861.0F <= , entonces el flujo es subcrítico.
Para el cálculo del número de Reynolds, R, se tiene:
νP
Q
ν
Rv
R
H
=












==
ν
P
A
A
Q
(17)
ν










 ++++
=R
2
2
2
1 m1m1yB
Q
(18)
Reemplazando los valores numéricos, se tiene:








×










 ++++
=
−
s
m
1002.11121m734.1m798.4
s
m
4711.8
2
622
3
R (19)
7191.746221=R (20)
Como 125007191.746221 >=R , entonces el flujo es turbulento.
En conclusión el tipo de flujo que se tiene es flujo turbulento y subcrítico.
PROBLEMA 2.10
El área y el perímetro mojados de la sección transversal de un flujo, en una canal circular, son 1.0374 m2
y
2.5948 m, respectivamente. Si el caudal que fluye por dicho canal es 5.5 m3
/s, y ν = 1.02x10-6
m2
/s ,
¿Cuánto valen los números de Reynolds y de Froude?

39
Figura 2.10
Datos:
ν = 1.02x10-6
m2
/s; Q = 5.5 m3/s; A = 1.0374 m2
; P = 2.5948 m
Con estos datos y con las fórmulas geométricas características de un canal circular, es fácil hallar la
información requerida en este problema: el número de Reynolds, R, y el número de Fraude, F.
Solución:
Ángulo, θ: 







−= −
o
1
d
y
212cosθ (1)
Área, A: ( )θsenθ
8
d
A
2
o
−= (2)
Ancho superficial, T: ( )
2
θ
sendydy2T oo =−= (3)
Perímetro mojado, P: odθ
2
1
P = (4)
Radio hidráulico, RH:
P
A
RH = (5)
Profundidad hidráulica, D:
T
A
D = (6)
a. Cálculo del Número de Reynolds, R:
ν
RV
ν
LV
R H
== (7)
Donde,
V: velocidad media del flujo
L: longitud característica; en este caso es el RH
υ :viscosidad cinemática.

40
νP
Q
ν
P
A
A
Q
ν
RV
R H
=












== (8)
Reemplazando valores numéricos en (8), se tiene:
( )( )
092078062.61
s
m
101.02m2.5948
s
m
5.5
R
2
6
3
=








=
−
2078062.61=R
b. Cálculo del Número de Froude, F:
2
3
2
1
2
1
2
1
2
1
Ag
TQ
T
A
gA
Q
Dg
A
Q
Dg
V
F ====






(9)
Para hallar el valor de número de Froude es necesario conocer el ángulo θ y el diámetro del canal, para ello
se resolverán simultáneamente las ecuaciones (2) y (4).
Entonces, de (2) se tiene que:
θsen-θ
A8
do = (10)
Sustituyendo (10) en (4), se tiene:
( ) ( ) 2
1
2
1
2
1
senθθ
θ
A2
senθθ
θA2
θsenθ
A8
θ
2
1
P
−
=
−
=
−
= (11)
( ) 2
1
θsenθ
θ
A2
P
−
=
( ) θ
P
A2
senθθ 2
1
=− (12)
Elevando al cuadrado la ecuación (12), se tiene:

41
2
2
θ
P
A2
θsenθ 





=−
0θsenθθ
P
A2 2
2
=+−⋅





(13)
Reemplazando los valores de numéricos de A y P, en la la ecuación (13), se tiene:
( )
0senθθθ
m2.5948
m1.03742 2
2
2
=+−⋅







 ×
(14)
0θsenθθ1540.30814462 2
=+−
Resolviendo el polinomio anterior, se obtiene: θ = 2.5946047261 rad
Reemplazando el valor de θ en la ecuación (10), se obtiene:
m00.2
6192.59460472sen-6192.59460472
m1.03748
d
2
o =
×
= (15)
Reemplazando (15) en (39), se tiene:
( ) m9257.1
2
6192.59460472
senm2.000T =





= (16)
Finalmente, reemplazando (16) en la ecuación (9), se tiene:
( )
( )
31.2
2
3
2
1
2
1
2
3
2
1
2
1
2m1.0374
2
81.9
9257.1
3
5.5
Ag
TQ
==






=
s
m
m
s
m
F
31.2=F
PROBLEMA 2.11
Para el canal de la Figura 2.11.a, en términos de los elementos señalados en la misma, demuestre que el
radio hidráulico y la profundidad centroidal se pueden expresar, respectivamente, como:

42
y
B
T
αα
Figura 2.11.a
( )
αcsc2yB
αcotyBy
RH
+
+
= (A)
( )αcotyB6
αcot2y3By
y
22
G
−
−
= (B)
Solución:
αα
B
y
T
A2
A1
A3
l l
xx
Figura 2.11.b
a. Cálculo del ancho superficial, T
De acuerdo con la Figura 2.11.b, se tiene
x2BT −= (1)
y
x
y
tan =α
α
=
tan
y
x (2)
Reemplazando la ecuación (2) en (1), se obtiene:
αtan
y2
BT −= (3)
b. Cálculo del área, A

43
y
2
TB
A 




 +
= (4)
Reemplazando la ecuación (3) en (4), se tiene:
y
2
αtan
y2
BB
A












−+
=






α
−=
tan
y
ByA (5)
c. Cálculo del perímetro, P
l2BP += (6)
Donde
22
yx +=l (7)
Sustituyendo la ecuación (2) en (7), se obtiene:








+
α
=+





α
=
2
2
2
2
2
y
tan
y
y
tan
y
l






α
+= 2
2
tan
1
1yl
α
+= 2
tan
1
1yl (8)
Ahora, reemplazando la ecuación (8) en (6):
α
++= 2
tan
1
1y2BP (9)
d. Cálculo del radio hidráulico, RH
P
A
RH = (10)
Reemplazando las ecuaciones (5) y (9) en (10), se tiene:
αtan
1
1y2B
tan
y
By
R
2
H
++






α
−
=

44
( ) ( )
αcscy2B
αcotyBy
αcot1y2B
αcotyBy
R
22
H
+
−
=
++
−
=
Finalmente, se obtiene el resultado esperado en la ecuación (A):
( )
α+
α−
=
cscy2B
cotyBy
RH (11)
e. Cálculo de la profundidad centroidal
( )∑=
=
3
1i
i2iT AyAy
A
AyAy2
AAA
AyAyAy
y 2211
321
332211
G
+
=
++
++
= (12)






−






−+











=
tanα
y
By
y
tanα
y2
B
2
y
y
tanα
y
y
3
2
yG (13)






−






−+
=
tanα
y
By
tanα
2y
By
2
1
tanα
y
3
2
y
2
3
G
ycotαB
cotαyyB
2
1
cotαy
3
2
tanα
y
B
tanα
y2
By
2
1
tanα
y
3
2
y
22
2
G
−
−+
=






−














−+
=
αcotyB
6
αcoty2yB3
αcotyB
yB
2
1
αcoty
3
1
y
2
2
G
−
−
=
−
+−
= (14)
Finalmente, se obtiene lo solicitado en la ecuación (B):
( )αycotB6
αcoty2yB3
y
22
G
−
−
= (16)
PROBLEMA 2.12
Para el canal de sección circular, mostrada en la Figura 2.12, dados los valores de dos de sus elementos,
calcular y completar los restantes elementos, solicitados en la Tabla 2.6.
Nota: los problemas relacionados con secciones circulares, deberán resolverse empleando los valores de
los ángulos en radianes.

45
Figura 2.12
CASO
No.
y
(m)
α
( rad.) 2
θ
(º)
d0
(m)
RH
(m)
Z
( m2.5
)
yG
(m)
T
(m)
1 80.406 1.183
2 1.0853 1.5
3 2 0.6
Tabla 2.12.1. Datos de elementos geométricos
a. Caso No. 1:
o
80.406
2
θ
= : La superficie libre está por debajo de la mitad del círculo, es decir
2
d
y o
<
m183.1T = (1)
oo
160.812)80.406(2θ ==
rad72.80669887θ = (2)
En la Figura 2.12, es fácil observar que:
o
180
2
θ
α =+
o
99.59480.406180
2
θ
180α =−=−=
°°°
rad51.73824321α = (3)

46
2
θ
sen
2
d
2
T 0
=
( )απsendT 0 −=
( )πα−απ= cossencossendT 0
( )( )1senαdT 0 −−=
α= sendT 0 (4)
Despejando d0 de la ecuación (4) y reemplazando los datos del problema, se tiene:
( )rad1.73824321sen
1.183m
αsen
T
d0 ==
m1.2d0 =
• Para el cálculo de la profundidad, y, se tiene:
)yd(y2T 0 −= (5)
4
T
)yd(y
2
0 =−
0
4
T
ydy
2
0
2
=−+−
( ) 0
4
1.183m
y1.2y
2
2
=+−
00.34987225y1.2y
2
=+− (6)
m0.7y1 = (7)
m0.5y2 = (8)
1
y se descarta ya que m0.6
2
d
y o
=< ; por tanto:
m0.5y =
• Cálculo del radio hidráulico, RH

47
( )
0
2
0
H
dθ
2
1
dsenθθ
8
1
P
A
R






−
== (9)
0H d
θ
senθ
1
4
1
R 





−= (10)
Reemplazando los datos del problema en la ecuación (10), se obtiene:
( ) ( ) m0.26487m1.2
rad2.8066989
rad2.8066989sen
1
4
1
R H =





−=
m0.265RH = (11)
• Cálculo del factor de sección, Z
Para una sección circular, se tiene:
( ) 2
5
0
2
1
2
3
d
2
θ
sen
θsenθ
32
2
Z












−
= (12)
Reemplazando valores numéricos en (12), se tiene:
( )( ) ( ) 2.5
2
5
2
1
2
3
m0.27386m1.2
2
rad2.8066989
sen
rad2.8066989senrad2.8066989
32
2
Z =
−
=












(13)
2.5
m0.274Z = (14)
Cálculo de la profundidad centroidal, y
A12
T
2
d
yy
3
0
+−= (15)
donde:
( ) 2
0dθsenθ
8
1
A −= (16)
2
m)1.2())rad80066989.2(senrad2.8066989(
8
1
A −=

48
2
m0.446A = (17)
Reemplazando los datos numéricos en la ecuación (15), se obtiene:
( ) ( ) ( )
( ) m0.20948
m0.44612
m1.183
2
m1.2
m0.5y 2
3
=+−=
m0.209y = (18)
b. Caso No. 2:
o
962.1831094rad1.0853α == (19)
m1.5d0 = (20)
• Cálculo del ancho superficial:
( ) )rad1.0853(senm1.5senαdT 0 == (21)
m1.327T = (22)
• Cálculo de 
2
θ
:
o
180
2
θ
α =+ (23)
oo
962.1831094180
2
θ
−=
o
117.817
2
θ
= (24)
• Cálculo de la profundidad, y
0
4
T
ydy
2
0
2
=−− (25)
( ) 0
4
51.32666517
1.5yy
2
2
=−−
00.441.5yy
2
=−− (26)
m1.1y1 =
m0.4y2 =
m0.4y2 = Se descarta ya que
o
180θ > , por lo tanto m0.75
2
d
y 0
=>
Entonces:

49
m1.1y = (27)
• Cálculo del radio hidráulico, RH
)
θ
θsen
1(
4
d
R o
H −= (28)
( ) ( ) m0.450268m1.5
rad4.1126
rad4.1126sen
1
4
1
R H =





−=
m0.450RH = (29)
( ) 2
5
0
2
1
2
3
d
2
θ
sen
θsenθ
32
2
Z












−
=
( )( )
( )
( ) 2.5
2
5
2
1
2
3
m1.42102m1.5
2
rad4.1126
sen
rad4.1126senrad4.1126
32
2
Z =
−
=












2.5
m1.421Z = (30)
• Cálculo de la profundidad centroidal, y
A12
T
2
d
yy
3
0
+−=
( ) 2
0dθsenθ
8
1
A −=
2
)m1.5()rad07(4.1125853senrad74.11258530(
8
1
A −=
2
m31.38882143A =
( )
( ) m0.490099
m1.38912
m1.327
2
m1.5
m1.1y 2
3
=+−=
m0.490y = (31)
c. Caso No. 3:
m2.0d0 = (32)

50
m0.6R H = (33)
De la ecuación
P
A
RH = (34)
Se tiene:
HRPA = (35)
Donde:
( ) 2
0dθsenθ
8
1
A −= (36)
0dθ
2
1
P ⋅= (37)
Reemplazando (35) y (36) en (34), se tiene:
( ) H0
2
0 Rdθ
2
1
dθsenθ
8
1
⋅=− (38)
( )θsenθdRθ4 0H −=
( ) θsendd4Rθ 00H −=−
θsen
d4R
d
θ
0H
0








−
−= (39)
Reemplazando los datos del problema, se obtiene:
( )
θsen
m2.0m0.64
m2.0
θ 





−
−=
θsen5θ −= (40)
Resolviendo la ecuación (38) se obtienen los siguientes resultados:
rad4.906θ1 −=
rad0θ2 =
rad4.906θ3 =
rad4.105θ4 =
De donde 1θ y 2θ se descartan, por ser negativa, la primera, y nula, la segunda. Las dos soluciones
restantes, 3θ y 4θ , son matemática y físicamente posibles, dado que, para valores de do/2 < y < do, el
ángulo θ y la profundidad del flujo, y, toman dos valores que satisfacen un mismo valor del radio
hidráulico, RH.

51
Para continuar con la solución de este tercer caso, se trabajará con rad4.906θ3 = , dejando claridad de
que, con rad4.105θ4 = , se operaría de manera similar, obteniendo sus respectivos y diferentes
resultados.
o
281.11rad4.90629506θ == (41)
o
140.555
2
θ
= (42)
Para calcular α, se tiene:
2
θ
180α −=
o
(43)
oo
140.555180α −=
o
39.445α =
rad0.6884α = (44)
• Cálculo del ancho superficial, T
αsendT 0=
( ) ( ) m270674442.1rad0.6884senm2.0T ==
m1.271T = (45)
• Cálculo de la profundidad, y
0
4
T
ydy
2
0
2
=−− (46)
0
4
)21.27067444(
y2.0y
2
2
=−−
040.40365338y0.2y
2
=−− (47)
Al resolver la ecuación (47) se obtienen dos valores posibles de la profundidad de flujo:
m1
2
m2
2
d
m1.772y o
1 ==>=
m1
2
m2
2
d
m0.2277y o
2 ==<=
Para
o
281.11θ = se descarta m2277.0y2 = , por tanto:
m1.772y = (48)

52
( ) 2
5
0
2
1
2
3
d
2
θ
sen
θsenθ
32
2
Z












−
=
( )( ) ( )2
5
2
1
2
3
m2.0
2
rad4.90629506
sen
rad4.90629506senrad4.90629506
32
2
Z












−
=
2.5
m14.48064180Z = (48)
• Cálculo de la profundidad centroidal, y
( ) 2
0dθsenθ
8
1
A −=
2
)m2()rad90629506.(4senrad90629506.4(
8
1
A −=
2
m377705494.2A =
A12
T
2
d
yy
3
0
+−=
( )
( ) m830064073.0
m2.94412
m1.2706
2
m2.0
m1.772y 2
3
=+−=
m830064.0y = (49)
y
(m)
α
(rad)
θ/2
(º)
d0
(m)
RH
(m)
Z
(m2.5
)
y
(m)
T
(m)
0.5 1.738 80,406 1.2 0.26487 0.27386 0.20948 1.183
1.1 1.0853 117.8168906 1.5 0.450268 1.42102 0.490099 1.327
1.772 0.6884450781 140.5550026 2 0.6 4.480641 0.830064 1.2706
Tabla 2.12.2. Resultados del problema

53
PROBLEMA 2.13
¿Qué diámetro debe tener un conducto circular para que un flujo semilleno tenga el mismo radio hidráulico
que el del flujo en un canal rectangular, de ancho igual a 2.0 m y profundidad iguala a 1.0 m?
Figura 2.13
Solución:
a. Canal rectangular:
y2B
yB
P
A
R
R
R
HR
+
== (1)
Reemplazando los datos del problema en la ecuación (1), se obtiene:
( )( )
( ) ( )
m
2
1
m4
m2
m12m2
m1m2
R
2
HR ==
+
= (2)
b. Canal Circular:
2
d
π
4
d
π
2
1
P
A
R
o
2
o
C
C
HC ==
4
d
R o
HC = (3)
Igualando las ecuaciones (2) y (3):
RC HH RR = (4)
m
2
1
4
do
= (5)
Despejando de la ecuación (5), se obtiene:
m2m
2
4
do ==
m2do = (6)

54
PROBLEMA 2.14
La distribución de velocidades en un río muy ancho y 3.0m de profundidad se aproxima satisfactoriamente
con la ecuación
2
1
h
y
21υ 





+= (0)
B
h
dy
Figura 2.14
Solución:
a. Cálculo de la velocidad media, V:
El caudal Q, que fluye a través del río se puede expresar como:
∫υ==
A
dAAVQ (1)
Por tanto, para la velocidad se tiene
∫υ=
A
dA
A
1
V (2)
Reemplazando la ecuación (A) en (2) y resolviendo, se tiene:
dyB
h
y
21
hB
1
V
h
0
2
1
∫ +=














(3)














+= ∫ ∫
h
0
h
0
dy
h
y
2dy
h
1
V
2
1

55
]














+=
h
0
h
0
2
3
2
1
y
3
2
h
2
y
h
1
V










+= 2
3
2
1
h
h3
4
h
h
1
V






=





+= h
3
7
h
1
h
3
4
h
h
1
V
3
7
V = (4)
b. Cálculo de α
∫=
A
3
3
dAυ
VA
1
α (5)
∫∫ ==
h
0
3
3
h
0
3
3
dyυ
hV
1
dyBυ
hBV
1
α (6)
Reemplazando la ecuación (A) en (6), se tiene:
∫ 













= +
h
0
dy
h
y
h
1
α
3
2
1
3
21
V
( ) ( )




















+





+= ∫ ∫ ∫ ∫+
h
0
h
0
h
0
h
0
2
3
2
1
3
dy
h
y
8dy
h
y
43
h
y
23
V
dydy
h
1
α
]














+


+




+=
h
0
h
0
2
h
0
h
0
2
5
2
3
2
3
2
13
y
h
yy
h
y
h
1
α
5
28
h
6
3
26
V










+++= 2
5
2
3
2
3
2
13
h
h
h
h
h
h
h
h
1
α
5
1664
V
2

56






+=





+++= h
5
16
h
5
55
Vh
1
h
5
16
h6h4h
Vh
1
α 33






= h
5
71
Vh
1
α 3
3
V5
71
α =
Finalmente,
3
3
7
5
71
α






=
1.1178α = (7)
c. Cálculo de β
∫υ=
A
2
2
dA
VA
1
β (8)
Reemplazando la ecuación (A) en (6), se tiene:
dyB
h
y
21
hBV
1
β
h
0
2
2
1
2 ∫ 













+= (9)








+





+∫ ∫ ∫=
h
0
h
0
h
0
dydy
h
y
4
h
y
4
hV
1
β
2
1
2
]













+




+=
h
0
2
h
0
h
0
2h
4
3
24
hV
1
β
y
y
h
y 2
3
2
12










++=
22
3
2
12
h
h
2
h
h3
8
h
hV
1
β






=





++= h
3
17
hV
1
2hh
3
8
h
hV
1
β 22

57
2
V3
17
β =
Reemplazando el valor numérico de la velocidad.
2
3
7
3
17
β






=
1.0408β = (10)
PROBLEMA 2.15
La distribución de velocidades en un canal semicircular de diámetro 2 R0 sigue la ecuación:
71
71
v
y
R
v
o
o
= (0)
En la ecuación (0), y es la distancia normal a la superficie, en la cual la velocidad es v, y V0 es la
velocidad en el centro del semicírculo.
Si R0 = 2.0 m y
s
m
0.2Vo = , encontrar V, α y β
Solución:
Figura 2.15.a
Si y = 0, 00
R
v
v 7
1
7
1
o
o
==
Si y = Ro 0
7
1
o
7
1
o
vR
R
v
v o
==
a. Cálculo de la velocidad media, V

58
Por la ecuación de continuidad, se tiene:
∫==
A
dAAVQ v (1)
Despejando la velocidad media de la ecuación (1), se obtiene:
∫=
A
dA
A
1
V v (2)
El elemento diferencial de área, dA, es:
dyx2dA = (3)
Para hacer X en términos de y, se hace la siguiente construcción auxiliar:
Ro - y
x
Ro
Figura 2.15.b
en donde:
2
o
2
o )yR(Rx −−=
2
o
2
o
2
o yyR2RRx −+−=
2
0 yyR2x −= (4)
Reemplazando en la ecuación (3) el valor de x obtenido en (4):
dyyyR22dA
2
o
−= (5)
Luego, reemplazando dA en la ecuación (2), se tiene:
( ) dy
oR
0
2
o
7
1
7
1
0
yyR22y
R
ov
A
1
V ∫














−=
∫ −= 



oR
o
o
7
1
7
1
o
dy
2
yyR2y
RA
ov2
V (6)

59
Resolviendo la integral de la ecuación (6), su valor es 3.14290749795.
Para los siguientes valores:
A = 6.2831853072; Ro = 2 m; y vo = 2.0 m/s,
se obtiene:
s
m
5697.00292969V = (7)
b. Cálculo de α
Para hallar el valor de α, se utiliza la siguiente ecuación:
∫=
A
3
dA
VA
1
α 3
v (8)
Conocido el valor de la velocidad media, V, y la expresión para la distribución de velocidades, v , se
reemplazan en la ecuación (8) y se resuelve la integral, obteniendo el valor correspondiente α
c. Cálculo de β
∫=
A
2
dA
VA
1
β 2
v (10)
De la misma manera, sustituyendo el valor de la velocidad media, V, y la expresión para la velocidad, v ,
se resuelve la integral de la ecuación (10), obteniendo el valor correspondiente β .
PROBLEMA 2.16
La distribución de velocidades en un río muy ancho y 3.0 m de profundidad se aproxima satisfactoriamente
con la ecuación
2
1
h
y
21V 





+= (1)
Figura 2.16
Solución:

60
a. Cálculo de la velocidad, V:
El caudal Q, que fluye a través del río se puede expresar como:
∫==
A
dAυAVQ
Por tanto, para la velocidad se tiene
∫=
A
dAυ
A
1
V (2)
Reemplazando (1) en (2) y resolviendo
dyB
h
y
21
hB
1
V
h
0
2
1
∫ 













+=














∫ ∫+=
h
0
h
0
dy
h
y
2dy
h
1
V
2
1
]














+=
h
0
h
0
2
3
2
1
y
3
2
h
2
h
1
V y








+= 2
3
2
1
h
3h
4
h
h
1
V






=





+= h
3
7
h
1
h
3
4
h
h
1
V
3
7
V =
b. Cálculo de α
∫=
A
3
3
dAυ
AV
1
α
∫∫ ==
h
0
3
3
h
0
3
3
dyυ
hV
1
dyBυ
hBV
1
α

61
∫ 













+=
h
0
3
dy
h
y
21
Vh
1
α
2
1
3
( ) ( )


























∫ ∫ ∫ ∫+++=
h
0
h
0
h
0
h
0
dy
h
y
8dy
h
y
43dy
h
y
23dy
Vh
1
α
2
3
2
1
3
]














+


+




+=
h
0
h
0
2
h
0
h
0
2
5
2
3
2
3
2
13
y
5
28
y
h
6
3
2
h
6
Vh
1
α
h
yy










+++= 2
5
2
3
2
3
2
13
h
h5
16
h
h
64
Vh
1
α
2
h
h
h






+=





+++= h
5
16
h
5
55
Vh
1
h
5
16
h6h4h
Vh
1
α 33






= h
5
71
Vh
1
α 3
3
V5
71
α =
Finalmente, 3
3
7
5
71
α






=
1.1178α =
c. Cálculo de β
dyB
h
y
21
hBV
1
β
h
0
2
A
2
2
2
1
2
dAυ
AV
1
∫∫ 













= +=














∫ ∫ ∫++=
h
0
h
0
h
0
dy
h
y
4
h
y
4dy
hV
1
β
2
1
2

62
]













+




+=
h
0
h
0
h
0
2
y
h
4
3
2
h
4
hV
1
β
2
2
3
2
12
yy










++=
2
h
h
2
h3
8
hV
1
β 2
3
2
12
hh






=





++= h
3
17
hV
1
h2h
3
8
h
hV
1
β 22
2
V3
17
β =
Reemplazando el valor numérico de la velocidad, se tiene:
0408.1
3
7
3
17
β 2
=






=
1.0408β =
PROBLEMA 2.17
La velocidad de un fluido de alta viscosidad, moviéndose entre placas planas convergentes, como se
muestra en la figura, varía de acuerdo con la siguiente ecuación:
( )yT
T
y4
v 2o −=ν (1)
L
Tdy
y
dA = L dy
A
VISTA FRONTAL
Figura 2.17
Calcular:
a. Q = f ( vo, T, L )
b. V
c. α y β

63
L es la dimensión de las placas, perpendicular al plano del papel.
Solución:
a. Cálculo de la velocidad, V:
∫⋅=
A
dAυAVQ (2)
∴
∫=
A
dAυ
A
1
V (3)
Sustituyendo las expresiones para la velocidad, ν, y el diferencial de área, dA, se tiene:
( )∫=
T
o 2o dyLy-T
T
y4
v
LT
1
V (4)
( )








−==
∫∫∫
T
o
2
T
o
3
o
T
o
2o dyydyyT
T
v4
dyy-Ty
T
L4
v
LT
1
V (5)








−=














−




=
3
T
2
T
T
T
v4
3
y
2
y
T
T
v4
V
32
3
o
T
o
3
T
o
2
3
o
(6)
3
v2
6
T
T
v4
3
T
2
T
T
v4
V o
3
3
o
33
3
o
=








=








−= (7)
3
v2
V o
= (8)
b. Cálculo del caudal, Q:
AVQ ⋅= (9)
LT
3
v2
LTVQ o
== (10)
LTv
3
2
Q o= (11)
c. Cálculo del coeficiente de Coriolis:
∫=
A
3
3
dAυ
VA
1
α

64
( )








−+−==
∫∫∫∫∫
T
o
6
T
o
5
T
o
42
T
o
33
7
T
o
33
6
3
o
3
3
o
3
3
dyydyyT3dyyT3dyyT
T
216
dyLy-Ty
T
v4
v2LT
3
α














−




+




−




=
T
o
7
T
o
6
T
o
5
2
T
o
4
3
7
7
y
6
y
T3
5
y
T3
4
y
T
T
126
α
1.5429
140
216
7
T
2
T
5
T3
4
T
T
216
α
7777
7
==








−+−=
1.54α =
d. Cálculo del coeficiente de Boussinesq:
∫=
A
2
2
dAυ
VA
1
β
( )








+−==
∫∫∫∫
T
o
4
T
o
3
T
o
22
5
T
o
22
4
o
2
2
o
2
2
dyydyyT2dyyT
T
36
dyLy-Ty
T
v4
v2LT
3
β








==





+−=


+


−


= 1.2
30
36
5
T
2
T
3
T
T
36
5
y
4
y
T2
3
y
T
T
36
β
555
5
T
o
5T
o
4T
o
3
2
5
1.2β =
Problema 2.18.
Demostrar que el momento flector sobre los muros laterales de un canal empinado, con el fondo inclinado
según un ángulo θ, para una profundidad del flujo, y, es MF = γ y3
cos4
θ/6
Figura 18

65
SOLUCIÓN:
Integrando elementos diferenciales de momento, dM,, a partir de contribuciones elementales de fuerza, dF,
(véase la Figura 18 a), se tiene:
Figura 18 a.
En el triángulo rectángulo, se tiene:
d
h
=θcos (1)
θcosdh = (2)
En el triángulo rectángulo FTV, se tiene:
y
d
=θcos (3)
θcosyd = (4)
Reemplazando (4) en (2), resulta:
θ2
cosyh = (5)
Por otra parte, en todo punto de la sección transversal (ST), ubicado a una profundidad d, medida desde la
superficie libre del líquido, la presión de éste es:
hp γ= (6)
siendo h la profundidad del punto, medida verticalmente desde la superficie libre del líquido.

66
Sustituyendo (2) en (6), se tiene:
θγ cosdp = (7)
La fuerza elemental, dF, debida a esta presión, actuando sobre un elemento diferencial de área, dA, situado
en la vecindad del punto, es:
dF = p dA (8)
Dicho elemento diferencial de área es un rectángulo de base l y altura dd,, como se puede ver en la figura.
Luego, dA= l dd (9)
Llevando (7) y (9) a (8), se tiene:
ddlddF cosθγ= (10)
La fuerza elemental dF produce un momento elemental dM, respecto al punto F, ubicado en el fondo del
canal, así:
dM = dF.b (11)
Además, b = ddo − (12)
Llevando (10) y (12) a (11), se tiene:
)(cos ddddlddM o −= θγ (13)
Expresando, ahora, d, ,od y dd, en términos de y, ,oy y dy, respectivamente, se tiene:
θcosyd = , θcosoo yd = , θcosdydd = (14)
Sustituyendo el conjunto de ecuaciones (14) en (13), se tiene:
)coscos(coscoscos θθθθθγ yydylydM o −= (15)
dyyylydM o cos)(cos3
θθγ −= (16)
dyyylydM o )(cos4
−= θγ (17)
Finalmente, integrando la ecuación (17) entre 0 y oy , se tiene:
∫ ∫ −==
oy
oF dyyylydMM
0
4
)(cos θγ (18)

67
∫ −=
oy
oF dyyyylM
0
4
)(cos θγ (19)








−= ∫∫
oo yy
oF dyydyyylM
0
2
0
4
cos θγ (20)
] ]








−=








−=
32
cos
32
.cos
32
.
40
3
0
2
4 oo
o
yy
oF
yy
yl
yy
ylM
oo
θγθγ (21)
34
33
4
cos
6
1
6
23
cos o
oo
F yl
yy
lM θγθγ =






 −
= (22)
Dividiendo la ecuación (19) por una longitud unitaria, l, a lo largo del canal, se tiene el momento unitario
con respecto al fondo, F, así:
θγ 43
cos
6
1
o
F
Fm y
l
M
M == (23)
Observaciones:
1. Cuanto más grande sea el ángulo θ , menor es el FmM en el fondo del canal.
2. θ4
cos actúa como un factor corrector de
3
6
1
oFm yM γ=

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