Este documento presenta tres ejercicios sobre la aplicación de derivadas en problemas relacionados con las carreras de tecnologías geoespaciales y biotecnología. Inicialmente, se proporciona una fundamentación teórica sobre conceptos como derivadas, monotonía de funciones, máximos y mínimos, y concavidad. Luego, los ejercicios resuelven problemas de optimización utilizando derivadas para determinar las dimensiones óptimas de un depósito, el área máxima de un terreno y el volumen máximo de un cilind
guia algebra de lineal Msc.Jorge CamposFelipe Vargas
Este documento presenta los conceptos básicos de las matrices y las operaciones con ellas. Introduce la noción de matriz como un arreglo bidimensional de números, definiendo las filas, columnas y componentes de una matriz. Explica las diferentes clases de matrices como matrices cuadradas, matrices nulas e identidad. También define operaciones elementales con matrices como suma, multiplicación por escalar y producto de matrices.
Este documento presenta un curso sobre ecuaciones diferenciales. Incluye introducciones a ecuaciones diferenciales ordinarias y métodos elementales para resolverlas, como el método de variables separadas. También cubre temas como ecuaciones de primer orden no lineales, ecuaciones diferenciales de orden superior, sistemas de ecuaciones diferenciales lineales y series de potencias. Finaliza con introducciones a ecuaciones en derivadas parciales, la teoría de Sturm-Liouville y el cálculo variacional. Contiene ejemplos y ejercicios resu
Este documento presenta conceptos básicos sobre ecuaciones diferenciales ordinarias de primer y segundo orden. Introduce las ecuaciones diferenciales como identidades que involucran una función incógnita y sus derivadas. Explica que el cálculo de primitivas es un ejemplo de ecuación diferencial de primer orden, y que las soluciones de estas ecuaciones dependen de un parámetro. Finalmente, muestra cómo resolver una ecuación diferencial de segundo orden transformándola en una de primer orden.
Este documento presenta cómo utilizar el software Derive para enseñar conceptos matemáticos como ecuaciones lineales, funciones lineales, ecuaciones cuadráticas y funciones cuadráticas. Explica los pasos para introducir ecuaciones y funciones, resolver ecuaciones, graficar funciones y calcular tablas de valores. También incluye ejemplos resueltos de problemas y ejercicios sobre estas temáticas matemáticas usando Derive.
Este documento presenta un resumen de tres oraciones o menos de lo siguiente:
El documento contiene información sobre derivadas implícitas, derivadas de orden superior, el teorema del valor medio y puntos críticos, intervalos de monotonía, concavidad y puntos de inflexión de funciones. Incluye definiciones, ejemplos y ejercicios propuestos de cada uno de estos temas del cálculo diferencial.
Este informe trata sobre la optimización (máximos y mínimos) utilizando los criterios de la primera y segunda derivada. El documento define conceptos como derivada, máximos y mínimos, e incluye ejemplos de problemas de optimización resueltos aplicando los criterios de la primera y segunda derivada.
El documento presenta los temas, subtemas y desempeños esperados para las clases de matemáticas, física y estadística de los grados 8° a 11°. Se detallan los contenidos que se abordarán en cada periodo y nivel de logro de los estudiantes.
Este documento describe el cálculo de integrales definidas e indefinidas utilizando el programa DERIVE. Explica los conceptos de integral inferior y superior de Riemann y cómo aproximar el área bajo una curva mediante rectángulos. Incluye ejemplos de cálculo de áreas delimitadas por curvas, funciones integrales y el cálculo de integrales indefinidas dependientes de parámetros.
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Este documento presenta conceptos básicos sobre ecuaciones diferenciales ordinarias de primer y segundo orden. Introduce las ecuaciones diferenciales como identidades que involucran una función incógnita y sus derivadas. Explica que el cálculo de primitivas es un ejemplo de ecuación diferencial de primer orden, y que las soluciones de estas ecuaciones dependen de un parámetro. Finalmente, muestra cómo resolver una ecuación diferencial de segundo orden transformándola en una de primer orden.
Este documento presenta cómo utilizar el software Derive para enseñar conceptos matemáticos como ecuaciones lineales, funciones lineales, ecuaciones cuadráticas y funciones cuadráticas. Explica los pasos para introducir ecuaciones y funciones, resolver ecuaciones, graficar funciones y calcular tablas de valores. También incluye ejemplos resueltos de problemas y ejercicios sobre estas temáticas matemáticas usando Derive.
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Este informe trata sobre la optimización (máximos y mínimos) utilizando los criterios de la primera y segunda derivada. El documento define conceptos como derivada, máximos y mínimos, e incluye ejemplos de problemas de optimización resueltos aplicando los criterios de la primera y segunda derivada.
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Este documento describe el problema dual y el método dual simplex en programación lineal. Explica que cada problema de programación lineal tiene un problema dual asociado. También presenta un ejemplo numérico para ilustrar la formulación del problema dual y las relaciones entre el problema principal y dual. Por último, describe el algoritmo del método dual simplex para resolver problemas de maximización.
Este documento trata sobre los máximos y mínimos de funciones. Explica que los máximos y mínimos relativos ocurren cuando la primera derivada es cero y la segunda derivada es negativa para máximos y positiva para mínimos. Proporciona ejemplos numéricos y gráficos de cómo calcular los máximos y mínimos relativos de una función. También define los máximos y mínimos absolutos y ofrece consejos sobre cómo aprender estos conceptos a través de la práctica constante de ejercicios.
Modelos cuantitativos para la toma de decisionesartur4o
Este documento presenta un manual sobre modelos cuantitativos para la toma de decisiones, en particular sobre programación lineal. Explica que la programación lineal es una técnica matemática de optimización para tomar decisiones óptimas sujetas a restricciones. Describe la estructura básica de un problema de programación lineal, incluyendo la función objetivo y las restricciones. También cubre tipos de restricciones, como de no negatividad y estructurales, y cómo resolver problemas de programación lineal de forma gráfica.
Este documento presenta los conceptos básicos de álgebra lineal como matrices, determinantes, sistemas de ecuaciones lineales y espacios vectoriales. En el capítulo 1 se definen matrices, operaciones con matrices, transformaciones elementales, determinantes, factorización triangular e inversa de matrices. Los capítulos siguientes tratan sobre sistemas de ecuaciones lineales, espacios vectoriales, aplicaciones lineales, ortogonalidad, autovalores y autovectores.
El documento describe el método dual simplex para resolver problemas de programación lineal que son óptimos pero infactibles. Explica cómo transformar el problema primal en su forma canónica y derivar el problema dual. Luego, detalla los pasos iterativos del método dual simplex para llegar a una solución factible óptima, incluyendo las condiciones de factibilidad y optimidad.
Este documento resume los conceptos clave de la regresión lineal múltiple, incluyendo la estimación de parámetros, propiedades de los parámetros, intervalos de confianza, análisis de varianza (ANOVA) y pruebas de significancia. Explica cómo estimar los parámetros del modelo de regresión usando mínimos cuadrados ordinarios y cómo evaluar la bondad de ajuste del modelo a través del coeficiente de determinación R2 y pruebas F y t.
Este documento explica el problema dual y el método simplex dual para resolver problemas de programación lineal. 1) El problema dual asocia un problema de minimización a un problema de maximización primal, intercambiando restricciones y variables. 2) El método simplex dual se aplica a problemas con restricciones >= o una combinación de >= y <=. 3) Siguiendo pasos como añadir variables holgura, identificar la variable básica con valor negativo más alto, e intercambiar variables, el método simplex dual resuelve el problema dual asociado.
Este documento presenta un resumen del Capítulo 3 sobre la derivada. Explica la definición de derivada como el límite de la pendiente de la recta secante cuando el intervalo se hace más pequeño. También cubre temas como la velocidad instantánea, diferentes formas de calcular derivadas, reglas de derivación y derivadas de funciones hiperbólicas. El objetivo es definir la derivada y usarla para calcular ecuaciones de rectas tangentes y normales.
Este documento describe el desarrollo de un programa en Matlab para analizar 20 imágenes que contienen 3 objetos fijos y 1 objeto móvil. El programa identificará la ubicación de los objetos fijos en cada imagen y graficará la trayectoria del objeto móvil en una imagen combinada.
Este documento presenta el problema de transporte y transbordo como un modelo de programación lineal. Explica que el problema de transporte determina un programa de transporte de productos entre fuentes y destinos al menor costo posible. También cubre el problema de transbordo que incluye estaciones intermedias. Finalmente, resume los métodos para encontrar una solución básica factible y óptima, como el método de la esquina noroeste y el método del costo mínimo.
Este documento presenta la función exponencial y sus propiedades. Explica que las funciones exponenciales describen fenómenos que crecen o decrecen rápidamente en proporción a su tamaño. Luego analiza ejemplos de funciones exponenciales, cómo se ven afectadas por cambios en sus constantes, y cómo encontrar la fórmula de una función exponencial dado dos puntos.
Este documento describe el método simplex dual para resolver problemas de programación lineal. Explica que el método simplex dual comienza con una solución dual factible y una solución primal no factible, y en cada paso intenta sustituir una variable de la base para eliminar la infactibilidad primal. También presenta los pasos del algoritmo simplex dual y un ejemplo para ilustrarlo.
Este documento presenta información sobre programación lineal. Explica los conceptos de método gráfico y método simplex para resolver problemas de programación lineal. También incluye ejemplos resueltos de problemas de maximización y minimización utilizando el método simplex.
Este documento trata sobre diferentes métodos para realizar zoom en una imagen, incluyendo interpolación polinómica y spline cúbico. Presenta los conceptos teóricos de interpolación polinómica de Lagrange y Newton, e introduce la interpolación segmentaria mediante splines lineales, cuadráticos y cúbicos. Incluye ejemplos numéricos para ilustrar el cálculo de cada tipo de spline sobre una nube de puntos dada.
El documento contiene el índice general de un texto sobre análisis matemático y álgebra lineal. En la parte I se incluyen capítulos sobre límites y funciones continuas, funciones derivables, cálculo de primitivas, integral definida y cálculo de áreas. La parte II cubre temas de álgebra lineal como espacios vectoriales, matrices, determinantes, sistemas de ecuaciones lineales y geometría afín y euclidiana. El documento proporciona una estructura general de los contenidos tratados en el texto
I. Las funciones son correspondencias en las que a cada elemento del dominio le corresponde un único elemento del codominio.
1) No es una función, pues a 2 le corresponden varios elementos en el codominio.
2) Sí es una función, pues a cada elemento del dominio le corresponde un único elemento en el codominio.
3) Sí es una función.
4) No es una función, pues a 3 y 4 les corresponden elementos distintos en el codominio.
5) Sí es una función.
II. g(-2) = -2; g(-5) = 26; g(8
Este documento presenta dos ejercicios sobre la aplicación de derivadas para optimizar funciones. En el primer ejercicio, se busca minimizar el área de un rectángulo sujeto a restricciones de grosor de paredes. La solución muestra que el área es mínima cuando el rectángulo es un cuadrado. En el segundo ejercicio, se busca encontrar los puntos óptimos a lo largo de una carretera para construir tiendas cerca de la ciudad e industrias lejos. La solución encuentra tres puntos críticos analizando
Este documento presenta el concepto de derivadas parciales de funciones de varias variables. Introduce la definición formal de derivadas parciales y explica cómo se calculan aplicando la definición. Además, incluye ejemplos numéricos de cálculo de derivadas parciales en puntos específicos.
Este documento presenta los fundamentos conceptuales de las funciones de varias variables y las integrales múltiples. En la primera sección, introduce las definiciones de función de varias variables, dominio de definición, gráfica de función y líneas y superficies de nivel. Luego, define los conceptos de límite y continuidad para funciones de varias variables. La segunda sección explica los conceptos básicos de las integrales múltiples como límites de integración, coordenadas polares y curvilíneas, y cálculo de áreas y volúmen
metodo de cardano, funciones inyectivas, sobreyectivas, biyectivas, traslación de funciones, funciones continuas, continuidad puntual, funciones exponenciales y logaritmicas, funciones trigonometricas, ecuaciones de tercer grado, ecuaciones de segundo grado, asintotas horizontales verticales y oblicuas, algebra de funciones, composicion de funciones, funciones inversas
Este documento presenta un apunte de álgebra lineal que surge para enfrentar una forma encubierta de arancel en la universidad. Se denuncia el abuso en el precio con que se venden otras ediciones de apuntes, privatizando el trabajo docente. Este apunte se ofrece de forma gratuita en línea para mostrar que los estudiantes pueden encarar proyectos grandes de manera seria y luchar por la desarancelización completa de la universidad.
Este documento presenta un apunte de álgebra lineal que surge para enfrentar una forma encubierta de arancel en la universidad. Se denuncia el abuso en el precio con que se venden otras ediciones de apuntes, privatizando el trabajo docente. Este apunte se ofrece de forma gratuita en línea para dar un ejemplo de que los estudiantes pueden encarar proyectos grandes de manera seria y luchar por la desarancelización completa de la universidad.
Este documento describe el problema dual y el método dual simplex en programación lineal. Explica que cada problema de programación lineal tiene un problema dual asociado. También presenta un ejemplo numérico para ilustrar la formulación del problema dual y las relaciones entre el problema principal y dual. Por último, describe el algoritmo del método dual simplex para resolver problemas de maximización.
Este documento trata sobre los máximos y mínimos de funciones. Explica que los máximos y mínimos relativos ocurren cuando la primera derivada es cero y la segunda derivada es negativa para máximos y positiva para mínimos. Proporciona ejemplos numéricos y gráficos de cómo calcular los máximos y mínimos relativos de una función. También define los máximos y mínimos absolutos y ofrece consejos sobre cómo aprender estos conceptos a través de la práctica constante de ejercicios.
Modelos cuantitativos para la toma de decisionesartur4o
Este documento presenta un manual sobre modelos cuantitativos para la toma de decisiones, en particular sobre programación lineal. Explica que la programación lineal es una técnica matemática de optimización para tomar decisiones óptimas sujetas a restricciones. Describe la estructura básica de un problema de programación lineal, incluyendo la función objetivo y las restricciones. También cubre tipos de restricciones, como de no negatividad y estructurales, y cómo resolver problemas de programación lineal de forma gráfica.
Este documento presenta los conceptos básicos de álgebra lineal como matrices, determinantes, sistemas de ecuaciones lineales y espacios vectoriales. En el capítulo 1 se definen matrices, operaciones con matrices, transformaciones elementales, determinantes, factorización triangular e inversa de matrices. Los capítulos siguientes tratan sobre sistemas de ecuaciones lineales, espacios vectoriales, aplicaciones lineales, ortogonalidad, autovalores y autovectores.
El documento describe el método dual simplex para resolver problemas de programación lineal que son óptimos pero infactibles. Explica cómo transformar el problema primal en su forma canónica y derivar el problema dual. Luego, detalla los pasos iterativos del método dual simplex para llegar a una solución factible óptima, incluyendo las condiciones de factibilidad y optimidad.
Este documento resume los conceptos clave de la regresión lineal múltiple, incluyendo la estimación de parámetros, propiedades de los parámetros, intervalos de confianza, análisis de varianza (ANOVA) y pruebas de significancia. Explica cómo estimar los parámetros del modelo de regresión usando mínimos cuadrados ordinarios y cómo evaluar la bondad de ajuste del modelo a través del coeficiente de determinación R2 y pruebas F y t.
Este documento explica el problema dual y el método simplex dual para resolver problemas de programación lineal. 1) El problema dual asocia un problema de minimización a un problema de maximización primal, intercambiando restricciones y variables. 2) El método simplex dual se aplica a problemas con restricciones >= o una combinación de >= y <=. 3) Siguiendo pasos como añadir variables holgura, identificar la variable básica con valor negativo más alto, e intercambiar variables, el método simplex dual resuelve el problema dual asociado.
Este documento presenta un resumen del Capítulo 3 sobre la derivada. Explica la definición de derivada como el límite de la pendiente de la recta secante cuando el intervalo se hace más pequeño. También cubre temas como la velocidad instantánea, diferentes formas de calcular derivadas, reglas de derivación y derivadas de funciones hiperbólicas. El objetivo es definir la derivada y usarla para calcular ecuaciones de rectas tangentes y normales.
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Este documento presenta el problema de transporte y transbordo como un modelo de programación lineal. Explica que el problema de transporte determina un programa de transporte de productos entre fuentes y destinos al menor costo posible. También cubre el problema de transbordo que incluye estaciones intermedias. Finalmente, resume los métodos para encontrar una solución básica factible y óptima, como el método de la esquina noroeste y el método del costo mínimo.
Este documento presenta la función exponencial y sus propiedades. Explica que las funciones exponenciales describen fenómenos que crecen o decrecen rápidamente en proporción a su tamaño. Luego analiza ejemplos de funciones exponenciales, cómo se ven afectadas por cambios en sus constantes, y cómo encontrar la fórmula de una función exponencial dado dos puntos.
Este documento describe el método simplex dual para resolver problemas de programación lineal. Explica que el método simplex dual comienza con una solución dual factible y una solución primal no factible, y en cada paso intenta sustituir una variable de la base para eliminar la infactibilidad primal. También presenta los pasos del algoritmo simplex dual y un ejemplo para ilustrarlo.
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I. Las funciones son correspondencias en las que a cada elemento del dominio le corresponde un único elemento del codominio.
1) No es una función, pues a 2 le corresponden varios elementos en el codominio.
2) Sí es una función, pues a cada elemento del dominio le corresponde un único elemento en el codominio.
3) Sí es una función.
4) No es una función, pues a 3 y 4 les corresponden elementos distintos en el codominio.
5) Sí es una función.
II. g(-2) = -2; g(-5) = 26; g(8
Este documento presenta dos ejercicios sobre la aplicación de derivadas para optimizar funciones. En el primer ejercicio, se busca minimizar el área de un rectángulo sujeto a restricciones de grosor de paredes. La solución muestra que el área es mínima cuando el rectángulo es un cuadrado. En el segundo ejercicio, se busca encontrar los puntos óptimos a lo largo de una carretera para construir tiendas cerca de la ciudad e industrias lejos. La solución encuentra tres puntos críticos analizando
Este documento presenta el concepto de derivadas parciales de funciones de varias variables. Introduce la definición formal de derivadas parciales y explica cómo se calculan aplicando la definición. Además, incluye ejemplos numéricos de cálculo de derivadas parciales en puntos específicos.
Este documento presenta los fundamentos conceptuales de las funciones de varias variables y las integrales múltiples. En la primera sección, introduce las definiciones de función de varias variables, dominio de definición, gráfica de función y líneas y superficies de nivel. Luego, define los conceptos de límite y continuidad para funciones de varias variables. La segunda sección explica los conceptos básicos de las integrales múltiples como límites de integración, coordenadas polares y curvilíneas, y cálculo de áreas y volúmen
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Este documento trata sobre matrices y determinantes. Explica qué es una matriz, cómo se representan y las diferentes operaciones que se pueden realizar con ellas como suma, producto por escalar y producto de matrices. También introduce el concepto de determinante de una matriz cuadrada y algunas aplicaciones de las matrices.
Este documento presenta notas de clase sobre cálculo vectorial. Introduce conceptos como funciones vectoriales, espacio Rn, operaciones algebraicas en funciones vectoriales como suma y producto escalar. Explica conceptos geométricos como curvas, tangentes, longitud de arco y curvatura. Luego cubre temas sobre campos escalares como gráficas, límites, continuidad, derivadas parciales y diferenciabilidad. Finalmente presenta conceptos sobre integrales múltiples, integrales de línea, áreas de superficies e integrales
El documento trata sobre las funciones de varias variables. Introduce varios ejemplos de funciones de varias variables comunes en ingeniería como la media aritmética, la media geométrica y la temperatura de una placa metálica. Explica conceptos básicos relacionados con las funciones de varias variables como entornos, continuidad y diferenciabilidad.
Este documento presenta los conceptos básicos de álgebra lineal necesarios para trabajar con bloques de números. Introduce las definiciones de matriz, sus tipos principales y las operaciones elementales como suma, producto por escalar y producto de matrices. Explica cómo representar y manipular algebraicamente datos numéricos múltiples mediante estas herramientas.
Este documento presenta apuntes sobre la teoría de la medida de Lebesgue. Introduce conceptos clave como σ-álgebras, funciones medibles, medidas y espacios de medida. Explica la definición de integral de Lebesgue para funciones medibles arbitrarias a través de funciones simples y funciones indicatriz. Incluye varios ejemplos y ejercicios para aplicar los conceptos teóricos.
Este documento presenta el proceso de deducción de las fórmulas para derivar funciones. Primero introduce conceptos matemáticos como el teorema del binomio y límites útiles. Luego explica propiedades básicas de derivadas como derivar constantes, sumas y productos de funciones. Finalmente, deduce fórmulas específicas para derivar potencias, funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. El objetivo es clarificar el origen de estas fórmulas a través de deducciones matemáticas rigurosas
Este documento presenta un resumen de varios temas matemáticos. En el Capítulo 1, introduce conceptos sobre funciones como gráficos de funciones, funciones biyectivas e inversas. Luego, analiza transformaciones elementales del plano como traslaciones y homotecias. El Capítulo 2 cubre desigualdades y posiciones relativas de curvas en el plano. Los Capítulos 3 y 4 tratan sobre inducción completa, polinomios, factoriales de números enteros y sus factores primos. Finalmente, el Capítulo 5 examina construcciones
Este documento presenta apuntes sobre números complejos. Introduce los números complejos como pares ordenados en el plano complejo y define operaciones como suma y multiplicación que convierten a los números complejos en un cuerpo conmutativo. Explica conceptos como el conjugado de un número complejo, su módulo y argumento, y propiedades topológicas del plano complejo como la esfera de Riemann y sucesiones y series de números complejos.
Este documento presenta un resumen de tres oraciones de un apunte sobre análisis de funciones reales y cálculo. El apunte denuncia el cobro indirecto de aranceles en la universidad a través del precio elevado de otras ediciones de apuntes. Los autores de esta edición buscan ofrecer una alternativa gratuita como forma de luchar por la desarancelización completa de la universidad. El documento invita a los estudiantes a descargar gratuitamente esta guía y otras en su página web, y a enviar comentarios y sugerencias para
Este documento presenta un resumen de tres oraciones de un apunte sobre análisis de funciones reales y cálculo. El apunte denuncia el cobro indirecto de aranceles en la universidad a través del precio elevado de otras ediciones de apuntes. Los autores de esta edición buscan ofrecer una alternativa gratuita como forma de luchar por la desarancelización completa de la universidad. El documento invita a los estudiantes a descargar gratuitamente esta guía y otras en su página web, y a enviar comentarios y sugerencias para
Este documento presenta un resumen de 3 oraciones o menos del trabajo titulado "CONJUNTO DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS. EMPLEANDO SISTEMAS DE CÁLCULO SIMBÓLICO" de la autora Lic. Adriana Raquel Fauroux. El trabajo introduce los números complejos, sus representaciones y operaciones básicas, empleando el software Mathematica para facilitar la comprensión de los estudiantes universitarios.
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1. Universidad de las Fuerzas Armadas, Av. General
Rumiñahui s/n
Sangolquı́-Ecuador
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
PARCIAL 2
TALLER Nro. 2
27 de julio de 2021
NOMBRES:
1.Cacoango Pomaquero Joel Alexander
2.Lara Peña Cynthia Nicole
3.Maigua Maisincho Jonathan Fabricio
4.Maisincho Palaguaray Wendy Nicole
NRC : 2824
TEMA : APLICACIONES DE LA DERIVADA EN LA CARRERA DE
TECNOLOGIAS GEOESPACIALES Y BIOTECNOLOGIA
Perı́odo: Mayo 2021 Septiembre 2021
1
3. 1. Introduccion
Se definirá a la derivada y a cada uno de sus elementos, también se conocerá cada una de las reglas
de derivación, ası́ como los tipos de derivadas que se encuentran en los distintos problemas matemáti-
cos. Y por último se abordaran algunas aplicaciones de la derivada para obtención de elementos, como
máximos y mı́nimos para el análisis de las funciones.
2. Objetivo(s)
2.1. Objetivo General
Aplicar y resolver ejercicios de derivación, maximización y minimización en problemas relacio-
nados a la carrera.
2.2. Objetivos Especı́ficos
Resolver derivadas, maximización y minimización a través de las formulas establecidas en la
clase.
Aplicar ejercicios de derivadas, maximización y minimización en la carrera para un mejor des-
empeño al momento de tratar con problemas relacionados en la vida profesional.
3. Fundamentación Teórica
3.1. Derivada
La derivada de la función f(x) en el punto x = a es el valor del lı́mite, si existe, de un cociente
diferencial cuando el incremento de la variable independiente, x, tiende a cero, (Marta, 2021):
f,
(a) = L
f,
(a) = lim
x→a
∆f
∆x
f,
(a) = lim
x→a
f (x) − f(a)
x − a
f,
(a) = lim
h→0
f (a + h) − f(a)
h
Gráficamente, el cociente obtenido corresponde a la pendiente de la recta tangente en el
punto(a, f(a)) , recordando que la pendiente de una recta corresponde al cociente de la diferencia de
la variable dependiente con respecto a la variable independiente: m = Y1−Y0
X1−X0
Figura 1: Interpretación Geométrica de la Derivada
3.2. Monotonı́a de la Función
La primera derivada de una función proporciona información sobre la monotonı́a para determinar
cuándo una función es creciente o decreciente.
Consiste en determinar las caracterı́sticas de una función y el comportamiento de su gráfica a lo largo
de todo su dominio.
3
4. 3.3. Funciones en el intervalo
3.3.1. Función creciente:
Si Œ(a) < Œ(b) siempre que a < b
Figura 2: Creciente de una Función
3.3.2. Función decreciente:
Si Œ(a) > Œ(b) siempre que a > b
Figura 3: Decreciente de una Función
3.3.3. Función constante:
Si Œ(a) = Œ(b) siempre que a = b
Figura 4: Constante de una Función
3.4. Criterio de la primera derivada para determinar los máximos y los
mı́nimos de una función
En el siguiente teorema se establece cómo determinar los valores máximos y los valores mı́nimos
de una función, al estudiar los intervalos en que crece o decrece la función.
Donde:
Sea f una función continua en un intervalo cerrado [a,b] , que es derivable en todo punto del intervalo
abierto ]a,b[.
Sea c en [a,b] tal que f‘ (c) = 0 o que f‘ (c) no existe.
4
5. 3.1. Si f´(x) es positiva para todo x < c, , y negativa para todo x > c, entonces f(c) es un valor
máximo relativo de f(x) .
3.1. Si f´(x) es negativa para toda x < c, y positiva para toda x > c , entonces f(c) es un mı́nimo
relativo de f(x) .
3.1. Si f´(x) es positiva para todo x < c, y también lo es para todo x > c ; o si f´(x) es negativa
para todo x < c y a su vez para todo x > c , entonces f(c) no es un valor máximo relativo ni
un valor mı́nimo relativo de f(x) .
Las situaciones enunciadas en los literales a, b y c puede representarse gráficamente como:
Figura 5: Máximo relativo en x = c
Figura 6: Mı́nimo relativo en x = c
Figura 7: En x=c no hay ni mı́nimo ni máximo relativo
3.5. Concavidad y Puntos de Inflexión:
Como ya sabemos, si f´ (c) existe, entonces la gráfica de f tiene una recta tangente que pasa por el
punto P (c, f(c)) cuya pendiente es f´ (c). (Karelin Anatolyevich, 2009)
A continuación, se ilustran los tres casos que pueden ocurrir en la ubicación de la grafica con respecto
a la tangente:
Todo punto en el intervalo (a,b) de la gráfica esta por encima de la recta tangente.
La grafica está por debajo de la tangente en el intervalo (a,b).
La grafica que está por encima de la tangente y la otra por debajo.
5
6. Figura 8: Por encima de la recta tangente
Figura 9: Por debajo de la recta tangente
3.5.1. Concavidad hacia arriba:
Sea f derivable en un número c, se dice que la gráfica de f es cóncava hacia arriba en el punto
P (c, f (c)) , si existe un intervalo abierto (a, b) que contenga a c, tal que en (a,b) la grafica de f esta
arriba de la recta tangente en P.
Si f´´ (c) > 0, la grafica de f es cóncava hacia arriba en P (c, f (c))
Figura 10: Cóncava hacia arriba
3.5.2. Concavidad hacia abajo:
Sea f derivable en un numero c, se dice que la gráfica de f es concava hacia abajo en el punto
P(c, f(c)) si existe en un intervalo abierto (a, b) que contenga a c, tal que en (a, b) la gráfica de f
esta bajo la recta tangente en P.
Si f´´ (c) < 0, la grafica de f es cóncava hacia abajo en P (c, f (c)) .
3.5.3. Puntos de Inflexión:
Un punto P(c.f(c)) en la grafica de f se denomina punto de inflexión si f´´ existe en un intervalo
abierto (a,b) que contiene a c y f´´ cambia de signo en c.
P es un punto de Inflexión:
3.6. Criterio de la segunda derivada para establecer los valores máximos
ylos valores mı́nimos de una función
Además de proporcionar información sobre la concavidad de la gráfica de una función, la segunda
derivada permite establecer si un punto crı́tico es un valor máximo o un valor mı́nimo. (Leon, s.f.)
Si f´´ (x) está definida para x ∈ ]a, b[ donde ]a, b[ ⊂ D y si f´(x0) = 0 con x0 ∈ ]a, b[ entonces:
f(x0) es un valor máximo relativo de f si se cumple que f´´(x0) < 0
f(x0) es un valor mı́nimo relativo de f si se cumple que f´´(x0) > 0
6
7. Figura 11: Cóncava hacia abajo
Figura 12: Punto P es un punto de inflexión
3.7. APLICACIONES DE LA DERIVADA
3.7.1. Problemas De Optimizaciı́on:
Los resultados expuestos en la sección anterior permiten hallar los valores máximos y mı́nimos de una
función.
Si se aplican a problemas en los cuales están involucradas funciones conocidas, es posible obtener los
valores óptimos de ellas.
Una estrategia adecuada para la resolución de este tipo de problemas es la siguiente:
3.1. Identificar la función a optimizar.
3.2. Si la función del punto anterior posee dos variables, es necesario identificar una relación adicional
entre ellas para dejar una en términos de la otra y sustituirla en la función de optimizar.
3.3. Derivar la funcion a optimizar para hallar los puntos crı́ticos.
3.4. Utilizar el criterio de la segunda derivada, o bien, el de la n-ésima deriva para determinar los
máximos o mı́nimos.
4. Desarrollo
4.1. Ejercicio 1
Usted es contratado para desarrollar un programa que muestre las dimensiones de un depósito
abierto superiormente en forma de prisma recto de base cuadrada como datos a probar nos dan una
base de 50 m3
de volumen, cuáles son las dimensiones para que el deposito tenga una superficie
mı́nima.
Figura 13: grafica ilustracion ejercicio 1
7
8. Datos:
V = x2
y
V = 50m3
y =
50
x2
La superfice sera la suma de cuatro caras laterales iguales y la base cuadrada.
S = 4xy + x2
f(x) = 4x
50
x2
+ x2
=
200
x
+ x2
Primera derivada
f0
(x) = −
200
x2 + 2x
f0
(x) = 0 ⇒ −
200
x2
+ 2x = 0 ⇒ 2x =
200
x2 ⇒ x3
= 100
⇒ x =
3
√
100
Segunda Derivada
f00
(x) =
400
x3
+ 2
f00
(
3
√
100) =
400
( 3
√
100)3
+ 2 =
400
100
+ 2 = 6 > 0
Punto minimo
⇒ x =
3
√
100
f(x) =
200
x
+ x2
f(
3
√
100) =
200
3
√
100
+
3
√
100
2
⇒ y =
300
3
√
100
Por lo tanto las dimenciones serian:
⇒ x =
3
√
100
⇒ y =
50
3
√
100
2
=
50( 3
√
100)
100
⇒ y =
3
√
100
2
cm ⇒ x =
3
√
100cm
4.1.1. Grafica de la Funcion
Figura 14: Grafica de la función
8
9. 4.2. Ejercicio 2
La suma de tres posiciones georreferenciales dadas en kilómetros a través de individuos es 60km.
El primer individuo más la doble distancia del segundo individuo m as la triple distancia del tercero
suman 120km. Hallar la distancia total que verifican estas condiciones y cuyo producto es máximo.
Datos
Sean ”x”,2
”, ”z”
x + y + z = 60
x + 2y + 3z = 120
(e2 − e1) : y + 2z = 60 ⇒ y = 60 − 2z
(2e1 − e2) : x − z = 0 ⇒ y = x = z
El producto es:
P = x.y.z = z(60 − 2z).z
La funcion a maximizar es
f(z) = z(60 − 2z)z
⇒ f(z) = 60z2
− 2z3
Primera derivada:
f0
(z) = 120z − 6z2
f0
(z) = 0 ⇒ 120z − 6z2
= 0 ⇒ 6z(20 − z) = 0
⇒
z = 0
z = 20
(1)
Segunda Derivada:
f00
(z) = 120 − 12z
f00
(0) = 120 − 12(0) = 120 0; z = 0 es un minimo
f00
(z) = 120 − 12z
f00
(0) = 120 − 12(20) = −120 0; z = 20 es un maximo
y = 60 − 2(20) = 60 − 40 = 20
x = z = 20
Portanto los tres numeros osn iguales a 20
4.2.1. Grafica de la Funcion
Figura 15: Grafica de la función
9
10. 4.3. Ejercicio 3
Se necita desarrollar un algoritmo para determinar la mayor área que puede encerrar un triángulo
rectángulo cuyo lado mayor mida 1 metro.
Datos
x2
+ y2
= 1 ⇒ y =
p
1 − x2
El area es:
S =
1
2
xy =
1
2
x
p
1 − x2
La funcion a maximizar es:
f(x) =
x
2
p
1 − x2
Primera derivada:
f0
(x) =
1
2
p
1 − x2 +
1
2
x
−2x
2
√
1 − x2
=
1
2
p
1 − x2 −
1
2
.
x2
√
1 − x2
=
⇒=
1
2
1 − x2
− x2
√
1 − x2
f0
(x) =
1 − 2x2
2
√
1 − x2
f0
(x) = 0 ⇒
1 − 2x2
2
√
1 − x2
= 0 ⇒
⇒ 1 − 2x2
= 0 ⇒ x = + −
r
1
2
= + −
√
2
2
Segunda derivada:
f00
(x) =
1
2
−4x.
√
1 − x2 − (1 − 2x2
)
−2x
2
√
1 − x2
1 − x2
=
1
2
−4x.(1 − x2
)
√
1 − x2
+
x.(1 − 2x2
)
√
1 − x2
1 − x2
=
1
2
.
−4x.(1 − x2
) + x(1 − 2x2
)
(1 − x2)
√
1 − x2
=
1
2
.
2x3
− 3x
(1 − x2)
√
1 − x2
f(
√
2
2
) =
1
2
.
2(
√
2
2
)3
− 3(
√
2
2
)
(1 − (
√
2
2
)2).
r
1 − (
√
2
2
)2
=
1
2
.
2.
2
√
2
8
−
3
√
2
2
(1 −
2
4
).
r
1 −
2
4
=
1
2
.
−
√
2
1
2
r
1
2
0
10
11. Maximo en:
x =
√
2
2
Los catetos del triangulo son:
x =
√
2
2
y =
p
1 − x2 =
s
1 − (
√
2
2
)2 =
r
1 −
2
4
y =
√
2
2
Es un triangulo isosceles
4.3.1. Grafica de la Funcion
Figura 16: Grafica de la función
5. Conclusiones
Permite identificar el crecimiento máximo y mı́nimo de una función.
La Investigación y ejercicios ejecutados nos ayudan a una mejor comprensión para una mejor
resolución de los problemas solicitados en la carrera.
Una función al momento de derivarla se conoce que gráficamente es la tangente de la recta de la
función original de igual manera se conoce que una función está compuesta por una monotonı́a
la cual se divide en dos partes que son Creciente y Decreciente los cuales permiten determinar el
comportamiento d ella función en su Dominio, también contiene los puntos máximos y mı́nimos
los cuales son los que delimitan la gráfica de la función, también está la concavidad que está
dividida en 2 las culés son la concavidad hacia arriba y la concavidad hacia abajo y los puntos
de inflexión el cual sucede cuando una gráfica invierte su forma, de igual manera toda función
derivada tiene su segunda derivada la cual nos ayuda para el cálculo de la optimización.
11
12. 5.1. Bibliografia
Referencias
[1] Cimanet A(s.f), Concepto de Derivada url: http://cimanet.uoc.edu/cursMates0.html
[2] Marta(2021), Concepto de Derivada de una funcion en un punto. url:
https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/calculo/derivadas/concepto-de-
derivada.html,2021
[3] Karelin.A(2009), Estudio sobre la recta tangente en puntos de inflexion
[4] Leon.M(s.f), Definicion de la derivada
6. Enlace a slideshare
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