1. Dualidad
Método Simplex Dual

2. Introducción
 Recordemos que el PPL, es reescrito
max z = Cx max z = CBxB +CN xN
s.a. s.a.
Ax = b BxB + NxN = b
x>0 xB > 0, xN > 0
 de donde:
xB = B -1b – B -1 N
Nx
z = CBB -1 -(CB B -1N -CN ) xN
b
IO1 R.Delgadillo 2

3. Introducción
 De donde en la tabla:
xN xB
xB B -1N I B -1b
-z CBB -1N-CN 0 CBB -1b
-1 -1
 Una solución inicial es:
 xN = 0, xB = B b, z= CBB b
IO1 R.Delgadillo 3

4. Introducción
Ó xB = B -1 – B -1NxN
b
z = CBB -1 +(CN - CB B -1N) xN
b
Notación _
-1
 B b=b Y= CB B -1
 B -1 = y
N ZN = YN
 CB y = zN
_
xB = b - y xN
_
z = CB b + (CN –ZN) XN
IO1 R.Delgadillo 4

5. Introducción
En el método simplex, se tiene:
 Condición de optimalidad
(CN –ZN) ≤ 0
 Condición de factibilidad
_
XB = B -1 = b ≥ 0
b
IO1 R.Delgadillo 5

6. Método Simplex Dual
 Idea conceptual:
 El algoritmo simplex-dual parte de una
solución dual factible y primal no
factible, a cada paso intenta sustituir
alguna columna de la base (primal- no
factible) por otra columna que permite
eliminar, progresivamente la
infactibilidad primal presente en la
situación actual.
IO1 RDA 6

7. Algoritmo Simplex dual
1. La variable que sale de la base es la
asociada a la fila g de la tabla (xg)
bg min{ i / bi
b 0}
2. La variable que entra en la base es la
asociada a la columna s (xs)
cs Yas cj Ya j
min
yg s y gj 0 yg j
IO1 RDA 7

8. Algoritmo Simplex dual
Si ygj 0 j => Solución es
imposible
(primal no factible => Dual ilimitado o no factible)
3. El pivot es ygs hacer las transformaciones
necesarias para que la columna s obtenga
la forma canónica
4. Si, bi 0 i => solución óptima,
pare.
en caso contrario regrese al paso 1).
IO1 RDA 8

9. Ejemplo
Sea:
min z 5x1 4x2 min z 5x1 4x2
s.a 2x1 x2 4 s.a 2x1 x2 x3 4
x1 x2 3 - x1 x2 x4 3
x1, x2 0 x1, x2 , x3, x4 0
IO1 RDA 9

10. Método Simplex dual
x1 x2 x3 x4
x3 2 1 1 0 4 Min{| 5/-1, 4/-1 |}
x4 -1 -1 0 1 -3
-z 5 4 0 0 0
x3 1 0 1 1 1
Todos
x2 1 1 0 -1 3 positivos
-z 1 0 0 4 -12 =>óptimo
Z=12, X2 =3
X1=X3=X4=0
IO1 RDA 10

11. Ejercicio
 Min 50 x1 + 100 x2
Sujeto a:
7 x1 + 2 x2 >= 28
2 x1 + 12 x2 >= 24
x1, x2 >= 0
IO1 RDA 11