Este documento presenta un resumen del Capítulo 3 sobre la derivada. Explica la definición de derivada como el límite de la pendiente de la recta secante cuando el intervalo se hace más pequeño. También cubre temas como la velocidad instantánea, diferentes formas de calcular derivadas, reglas de derivación y derivadas de funciones hiperbólicas. El objetivo es definir la derivada y usarla para calcular ecuaciones de rectas tangentes y normales.

1. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
3
3.1 DEFINICIÓN DE PENDIENTE DE RECTA
TANGENTE.
3.2 VELOCIDAD INSTANTÁNEA
3.3 DEFINICIÓN DE DERIVADA
3.4 FORMA ALTERNATIVA
3.5 DIFERENCIABILIDAD
3.6 DERIVACIÓN
3.6.1 FÓRMULAS DE DERIVACIÓN
3.6.2 REGLAS DE DERIVACIÓN
3.6.3 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR
3.6.4 DERIVACIÓN IMPLÍCITA
3.6.5 DERIVACIÓN PARAMÉTRICA
3.6.6 DERIVACIÓN POLAR
3.6.7 DERIVADAS DE FUNCIONES INVERSAS
3.6.8 DERIVACIÓN LOGARÍTMICA
3.7 FUNCIONES HIPERBÓLICAS
3.7.1 FUNCIÓN SENOHIPERBÓLICO
3.7.2 FUNCIÓN COSENOHIPERBÓLICO
3.7.3 FUNCIÓN TANGENTEHIPERBÓLICA
3.7.4 DERIVADAS DE FUNCIONES HIPERBÓLICAS
OBJETIVOS:
• Definir derivada.
• Calcular ecuaciones de rectas tangentes y rectas
normales a una curva.
• Realizar demostraciones formales de derivada.
• Calcular derivadas.
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2. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
Desde la antigüedad (300 A.C.) existía el problema de la determinación de la
ecuación de la recta tangente en un punto de una curva; recién en el siglo XVII fue
resuelto este problema. Tratando de dar solución a lo planteado es como se da
inicio al Calculo Diferencial. Este inicio se le atribuye a GOTTFRIED WILHELM
LEIBNIZ (1646-1716) junto con ISAAC NEWTON (1642-1727), preocupado por
describir la velocidad instantánea que lleva un móvil cuando se desplaza siguiendo
una trayectoria, después veremos que es el mismo problema.
Empecemos primero estudiando el problema geométrico.
3.1 DEFINICIÓN DE PENDIENTE DE RECTA TANGENTE.
Suponga que se tenga el problema de encontrar la ecuación de la recta
tangente a la gráfica de una función f , en un punto x0 , Fig. 3.1.
y
y = f ( x)
y0
x
x0
Fig. 3.1
La ecuación de la recta tangente estaría dada por:
y − f ( x0 ) = mtg ( x − x 0 )
Ahora, habría que calcular la pendiente de la recta tangente.
Observe la Fig. 3.2
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3. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
y y = f ( x)
f ( x0 + h )
f ( x0 + h ) − f ( x0 )
f ( x0 )
h
x
x0 x0 + h
Fig. 3.2
La pendiente de la recta secante entre los puntos ( x0 , f ( x0 ) ) y
f ( x0 + h) − f ( x0 )
( x0 + h, f ( x0 + h) ) sería msec =
h
La pendiente de la recta tangente se obtendría haciendo que h se haga cada
vez más pequeña, porque en este caso la recta secante toma la posición de la
recta tangente, y resolveríamos nuestro problema; es decir:
f ( x0 + h) − f ( x0 )
mtg = lím
h→0 h
3.2 VELOCIDAD INSTANTÁNEA
Suponga que se tengan la ecuación del espacio e recorrido por un móvil, y
que sea función del tiempo; es decir e = f (t ) . Suponga ahora que se quiere
determinar la velocidad media vm en un intervalo de tiempo [t0 , t0 + h] , esta
estaría dada por:
Δe f ( t0 + h ) − f ( t0 )
vm = =
Δt t0 + h − t 0
La velocidad instantánea v sería la velocidad media calculada en intervalos de
tiempo Δt cada vez más pequeño; es decir:
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4. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
Δe f ( t0 + h ) − f ( t 0 )
v = lim vm = lim = lim
Δt →0 Δt →0 Δt h →0 h
Note que esta definición para la velocidad instantánea tiene la misma forma
que la de la pendiente de la recta tangente, por tanto el problema sería el mismo.
De aquí se dará la definición de la derivada.
3.3 DEFINICIÓN DE DERIVADA
Sea f una función de variable real. Sea x0
un punto del dominio de f . La derivada de
f en " x0 ", denotada como f ´( x0 ) , se define
como:
f ( x 0 + h) − f ( x 0 )
f ´(x0 ) = lím
h →0
h
Siempre que este límite exista.
Cuando la derivada en " x0 " existe se dice que es f es diferenciable en " x0 ".
Otras notaciones que se emplean para la derivada son: y´ o Dx y .
dy
Leibniz utilizó la notación .
dx
En cualquier caso, la derivada en " x " sería:
f ( x + h) − f ( x )
f ´( x) = lím
h →0 h
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5. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
3.4 FORMA ALTERNATIVA
Presentaremos ahora una forma un tanto diferente para la derivada, que para
algunos casos resulta muy útil.
En la expresión para la derivada, haciendo cambio de variable: h = x − x0
f ( x0 + h) − f ( x0 ) f ( x0 + x − x0 ) − f ( x0 )
f ´( x0 ) = lím = lím
h →0 h x→ x0 x − x0
f ( x) − f ( x0 )
= lím
x→ x0 x − x0
Lo anterior lo podemos observar de la pendiente de la recta tangente, Fig. 3.3.
y y = f ( x)
f ( x)
f ( x ) − f ( x0 )
f ( x0 )
x − x0
x x
x0
Fig. 3.3
La pendiente de la recta secante entre los puntos ( x 0 , f ( x 0 ) ) y (x, f ( x) ) sería:
f ( x) − f ( x0 )
msec = . Entonces la pendiente de la recta tangente estaría dada
x − x0
por:
f ( x) − f ( x0 )
mtg = lím
x→ x0 x − x0
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6. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
Ejemplo 1
Empleando la definición, hallar la derivada f ( x ) = 2 x + 1
SOLUCIÓN:
f ( x + h) − f ( x )
f ´( x) = lím
h →0 h
⎡ 2 ( x + h ) + 1⎤ − [ 2 x + 1]
⎣ ⎦
= lím
h→0 h
2 x + 2h + 1 − 2 x − 1
= lím
h→0 h
2h
= lím
h→0 h
= lím 2
h→0
f ´( x) = 2
Empleando la forma alternativa:
f ( x) − f ( x0 )
f ´( x0 ) = lím
x → x0 x − x0
( 2 x + 1) − ( 2 x0 + 1)
= lím
x → x0 x − x0
2 x + 1 − 2 x0 − 1
= lím
x → x0 x − x0
2 x − 2 x0
= lím
x → x0 x − x0
2 ( x − x0 )
= lím
x → x0 ( x − x0 )
= lím 2
x → x0
f ´( x0 ) = 2
Ejemplo. 2
Empleando la definición, hallar la derivada f ( x ) = x 2
SOLUCIÓN:
f ( x + h) − f ( x )
f ´(x) = lím
h →0 h
= lím
(x + h )2 − x 2
h→0 h
x + 2 xh + h 2 − x 2
2
= lím
h→0 h
h(2 x + h )
= lím
h→0 h
= lím (2 x + h )
h→0
f ´(x) = 2 x
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7. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
Empleando la forma alternativa:
f ( x) − f ( x0 )
f ´( x0 ) = lím
x → x0 x − x0
x 2 − x0 2
= lím
x → x0 x − x0
( x − x0 )( x + x0 )
= lím
x → x0 x − x0
= lím ( x + x0 )
x → x0
= x0 + x0
f ´( x0 ) = 2 x0
Ejercicios propuestos 3.1
1. Sea f ( x ) = x2 − 2 x + 1 .
f (2.5) − f (2)
a) Calcule el valor de
0.5
f (2.3) − f (2)
b) Calcule el valor de
0.3
f (2.1) − f (2)
c) Calcule el valor de
0.1
d) Calcule el valor de .
f ´( 2 ) Explique por qué los valores anteriores son aproximados a este resultado.
2. Hallar f ´(3) , considerando la gráfica:
y = f ( x)
3. Empleando la definición, determine la derivada de:
a) f ( x) = 3x + 2 d) f ( x) = −2 x 2 + x − 1
b) f ( x) = −2 x + 1 e) f ( x) = 2 x 3
1
c) f ( x) = x 2 + 2 x − 3 f) f ( x ) =
3x + 2
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8. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
3.5 DIFERENCIABILIDAD
Se tratará ahora de especificar las condiciones para que la derivada de una
función de una variable real exista, lo cual dará paso a decir que la función será
derivable o diferenciable en un punto. La diferenciabilidad es equivalente a
derivabilidad para funciones de una variable real.
3.5.1 TEOREMA DE DERIVABILIDAD.
Si f es diferenciable en " x0 ", es decir
f ´(x0 ) existe, entonces f es continua en
" x0 "
Demostración.
Expresemos lo siguiente:
f ( x) = f ( x) − f ( x0 ) + f ( x0 )
Agrupando los dos primeros términos, dividiéndolo y multiplicándolo por (x − x0 ) , suponga x ≠ x0 ,
tenemos:
f ( x) − f ( x0 )
f ( x) = (x − x0 ) + f ( x0 )
x − x0
Ahora, tomando límite a todos los miembros de la ecuación, resulta:
f ( x) − f ( x0 )
lím f ( x) = lím lím ( x − x 0 ) + lím f ( x0 )
x → x0 x → x0 x − x0 x → x0 x → x0
f ( x) − f ( x0 )
La expresión lím es igual f ´(x 0 ) , debido a que de hipótesis se dice que f es
x → x0 x − x0
derivable en x 0 . Entonces:
cons tan te
f ( x) − f ( x0 )
lím f ( x) = lím lím ( x − x 0 ) + lím f ( x0 )
x → x0 x → x0 x − x0 x → x0 x → x0
f ´( x0 ) 0 f ( x0 )
= f ´(x0 )[0] + f ( x 0 )
= 0 + f ( x0 )
lím f ( x) = f ( x0 )
x → x0
Por tanto, la última expresión indica que f es continua en " x 0 ". L.Q.Q.D.
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9. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
Al analizar el teorema, se concluye que si una función es discontinua en
" x0 " entonces no es diferenciable en " x0 ".
También debe entenderse que no toda función continua es diferenciable.
Ejemplo
Hallar f ´(1) para f ( x) = x − 1
SOLUCIÓN:
Empleando la forma alternativa de la derivada:
f ( x) − f (1)
f ´(1) = lím
x→1 x −1
x −1 − 0
= lím
x→1 x − 1
x −1
= lím
x→1 x − 1
El último límite se lo obtiene aplicando límites laterales, es decir:
x −1
1. lím+ = lím 1 = 1
x →1 x − 1 x →1+
−(x − 1)
2. lím = lím (− 1) = −1
x →1 − x −1 x →1−
x −1
Como los límites laterales son diferentes, entonces f ´(1) = lím no existe.
x→1 x −1
Observando la gráfica de y = x − 1 , Fig. 3.4
Fig. 3.4
Notamos que se puedan trazar rectas tangentes de diferentes pendientes a la derecha y a la izquierda de
x = 1 , en este caso se dice que la gráfica de la función no es suave en x = 1 . Esta función aunque es
continua en x = 1 , sin embargo no es diferenciable en ese punto; por tanto la continuidad no implica
diferenciabilidad.
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10. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
3.5.2 DERIVADAS LATERALES.
Por lo anterior, como la derivada es un límite, podemos definirla
unilateralmente.
3.5.2.1 Derivada por derecha
La derivada por derecha del punto " x0 "
de una función f se define como:
f ( x 0 + h) − f ( x 0 )
+
f ´(x0 ) = lím
h →0 +
o por la forma
h
f ( x) − f ( x0 )
alternativa: f ´(x0 + ) = lím
x→ x x − x0 0
+
3.5.2.2 Derivada por izquierda.
La derivada por izquierda del punto " x0 "
de una función f se define como:
f ( x0 + h) − f ( x0 )
−
f ´(x0 ) = lím
h →0 −
o por la forma
h
f ( x) − f ( x0 )
alternativa: f ´(x0 − ) = lím
x→ x x − x0 0
−
Por tanto, para que f ´(x0 ) exista, se requiere que las derivadas laterales
+ −
existan y sean iguales. Es decir, si f ´(x 0 ) ≠ f ´(x 0 ) , se dice que f no es
derivable en " x0 " y su gráfica no será suave en ese punto.
Ejemplo
⎧2 x − 1; x < 2
⎪
Hallar f ´(2) para f ( x) = ⎨
⎪ 2
⎩ x − 1; x ≥ 2
SOLUCIÓN:
Primero veamos si que es continua en x = 2 .
( )
Como lim (2 x − 1) = 3 y lim x 2 − 1 = 3 entonces f si es continua en x = 2 -
x→2− x →2+
Segundo. Para hallar f ´(2) debemos hallar las derivadas laterales debido a que f tiene diferente definición
a la izquierda y la derecha de x = 2 .
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11. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
f ´(2 − ) = lim−
(2 x − 1) − (2(2) − 1) = lim
2x − 4
= lim
2(x − 2)
=2
x →2 x−2 x→2− x − 2 x →2− x − 2
f ´(2 + ) = lim+
(x 2
) (
−1 − 2 2 −1)= lim+
x2 − 4
= lim+
(x + 2)(x − 2) = 4
x→2 x−2 x→2 x − 2 x→2 x−2
− +
( )
Por tanto, Como f ´(2 ) ≠ f ´ 2 entonces f ´(2) no existe
Veamos ahora, un ejemplo de una función que aunque es continua y suave, en
un punto, sin embargo no es diferenciable en ese punto.
Ejemplo
Sea f ( x ) = 3 x hallar f ´(0)
SOLUCIÓN:
Empleando la forma alternativa:
f ( x) − f (0)
f ´(0) = lím
x→0 x−0
3
x −0
= lím
x→0 x
1
= lím 2
x→0 x 3
f ´(0) = ∞ (no existe)
Lo que ocurre es que la recta tangente, en x = 0 , es vertical (pendiente infinita); observe su gráfica. Fig 3.5
Fig. 3.5
Por tanto, si una función es diferenciable
en un punto " x0 " ocurren tres cosas:
1. Es continua en ese punto
2. Es suave en ese punto
3. La recta tangente no es vertical en
ese punto
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12. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
Un problema de diseño
Ejemplo
⎪mx + b ; x < 2
⎧
Sea: f ( x) = ⎨ 2 Determine "m" y "b" para que f sea diferenciable en todo su dominio.
⎪x
⎩ ;x ≥ 2
SOLUCIÓN:
Debemos considerar que para que la función sea diferenciable en todo su dominio tiene que ser continua y en
todo punto su gráfica debe ser suave. Observando la regla de correspondencia que define a f , notamos que
debemos centrarnos en dos cosas:
1. f debe ser continua en x = 2 , es decir:
lím ( mx + b ) = f ( 2 ) = lím+ ( x 2 )
x → 2− x→2
2m + b = 4
2. f debe ser suave en x = 2 , es decir: f ´(2 + ) = f ´(2 − )
f ´(2+ ) = lím
f ( x) − f (2)
= lím
x2 − 4
= lím
(x − 2)(x + 2) = lím (x + 2) = 4
x→2+ x−2 x→2+ x − 2 x→2+ x−2 x →2+
f ´(2 − ) = lím
f ( x ) − f ( 2)
= lím
(mx + b ) − (2m + b ) = lím mx + b − 2m − b = lím m(x − 2) = m
x→2− x−2 x→2− x−2 x→2− x−2 x→2− x − 2
Por tanto m = 4 y al reemplazar en la primera ecuación 2(4) + b = 4 tenemos b = −4
Ejercicios Propuestos 3.2
⎧2 x + 1; x < 1
1. Hallar f ´(1) para f ( x) = ⎨
⎩2 + x ; x ≥ 1
2
⎧
⎪− x 2 + 10; x < 3
2. Hallar f ´(3) para f ( x ) = ⎨
⎪− 6 x + 17; x ≥ 3
⎩
⎧2 x + 1 ; x < −2
⎪
3. Hallar f ´(−2) para f ( x) = ⎨ 2
⎪ x − 7; x ≥ −2
⎩
⎧
⎪x2 + 2x ; x ≤ 2
4. Sea la función f definida por f ( x ) = ⎨ .
⎪
⎩ax + b ; x > 2
Determine, si es posible, los valores de a y b para que f sea derivable en x = 2
⎧3ax + b
⎪ ; x ≤1
5. Sea la función f definida por f ( x) = ⎨ 2
⎪ax − 3bx + 2 ; x > 1
⎩
Determine los valores para " a " y " b " para f que sea derivable en todo su dominio.
⎧ax 2 + bx + c ; x ≤ 1
⎪
6. Sea la función f definida por f ( x) = ⎨ 1 .
⎪ ; x >1
⎩x
Determine " a ", " b " y " c " para que f ´(1) exista.
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13. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
3.6 DERIVACIÓN
El proceso de encontrar la derivada de una función puede presentarse
complicado si se lo hace aplicando la definición. Para hacer no tan engorroso este
trabajo se dispone de técnicas y reglas.
3.6.1 FÓRMULAS DE DERIVACIÓN.
Para ciertas funciones definidas de manera simple se pueden emplear las
fórmulas siguientes:
1. Dx (k ) = 0 ; ∀k ∈ R
2. Dx ( x) = 1
3. Dx ( x n ) = n(x n −1 )
4. D x (e x ) = e x
5. Dx (a x ) = a x ln a
1
6. Dx (ln x) =
x
1
7. D x (log a x) =
x ln a
8. Dx (sen x) = cos x
9. D x (cos x) = − sen x
10. Dx (tan x) = sec 2 x
11. Dx (cot x) = − csc 2 x
12. Dx (sec x) = sec x tan x
13. Dx (csc x) = − csc x cot x
Demostraciones:
Las Demostraciones de algunas de las fórmulas anotadas serían:
f ( x + h) − f ( x )
1. Sea f ( x ) = k . Hallaremos su derivada empleando la definición: f ´( x) = lím
h→0 h
k −k 0
Dx (k ) = lím = lím = 0 (La derivada de una constante es cero)
h→0 h h →0 h
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14. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
2. Sea f ( x ) = x entonces: Dx ( x) = lím
( x + h ) − x = lím h = 1
h →0 h h→0 h
( x + h) − xn
n
3. Sea f ( x ) = x n
entonces: Dx ( x ) = lím n
. Consideraremos n ∈ . Desarrollando el
h →0 h
binomio y simplificando:
⎡ x n + nx n −1h + n( n2−1) x n − 2 h 2 + ... + nxh n −1 + h n ⎤ − x n
( x + h) − xn
n
Dx ( x ) = lím
n
= lím ⎣ ⎦
h →0 h h→0 h
n ( n −1)
nx n −1h + x n − 2 h 2 + ... + nxh n −1 + h n
= lím 2
h →0 h
n ( n −1)
h ⎡ nx n −1 +
/ x n − 2 h + ... + nxh n − 2 + h n −1 ⎤
= lím ⎣ ⎦
2
h →0 h/
⎡ n ( n −1)
⎤
= lím ⎢ nx n −1 + 2 x n − 2 h + ... + nxh n − 2 + h n −1 ⎥
h →0
⎢
⎣ 0
0 0 0 ⎥
⎦
Dx ( x n ) = n ( x n −1 )
4. Sea f ( x ) = e x entonces:
ex+h − ex e x eh − e x e x ( eh − 1) ( eh − 1) = e x
Dx (e ) = lím
x
= lím = lím = e lím
x
h →0 h h →0 h h→0 h h→0 h
1
6. Sea f ( x ) = ln x entonces:
⎛ x+h⎞ ⎛ h⎞
ln⎜ ⎟ ln⎜1 + ⎟
ln (x + h ) − ln x
1
⎛ h⎞ h
= lím ⎝
x ⎠
= lím ⎝
x⎠
Dx (ln x) = lím = lím ln⎜1 + ⎟
h →0 h h →0 h h →0 h h→0 ⎝ x⎠
1
⎡ 1 ⎤x
⎛ h⎞ ⎥ = ln⎛ e x ⎞
h 1
= ln ⎢ lím ⎜1 + ⎟ x
⎜
⎜ ⎟
⎟
⎢h →0⎝ x⎠ ⎥ ⎝ ⎠
⎣ ⎦
1
Dx (ln x) =
x
8. Sea f ( x ) = sen x entonces:
Dx (sen x) = lím
sen( x + h) − sen x
= lím
[sen x cosh + senh cos x] − sen x
h→0 h h →0 h
sen x(cosh − 1) + senh cos x sen x(cosh − 1) senh cos x
= lím = lím + lím
h →0 h h→0 h h →0 h
(cosh − 1)
= (sen x )(0) + (cos x )(1)
senh
= sen x lím + cos x lím
h →0 h h →0 h
Dx (sen x) = cos x
La demostración del resto de estas fórmulas se la dejamos para el lector.
88

15. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
Ejemplo 1
Si f ( x ) = 4 entonces f ´( x ) = 0 (FORMULA 1)
Ejemplo 2
Si f ( x ) = x 2 entonces f ´( x ) = 2 x 2 −1 = 2 x (FORMULA 3)
Ejemplo 3
1
Si f ( x ) = x = ( x ) entonces f ´( x ) = ( x)
1 1 −1
2 1
2
2
= (FORMULA 3)
2 x
Ejemplo 4
Hallar la ecuación de la recta tangente a f ( x ) = x 3 en x = 1
SOLUCIÓN:
Observe la Fig. 3.6
Recta tangente
f ( x) = x 3
Fig. 3.6
La ecuación de una recta definida por un punto y su pendiente está dada por:
y − y 0 = m( x − x 0 )
El punto sería:
x0 = 1 y0 = f ( x0 ) = (1) = 1
3
y
La pendiente sería:
mtg = f ´( x0 ) = f ´(1) = 3 x 2 =3
x =1
Por tanto, la ecuación de la recta tangente sería: y − 1 = 3( x − 1)
Obviamente las reglas de correspondencia de las funciones no aparecen
comúnmente en forma simple, por tanto habrá que considerar reglas para estos
casos.
89

16. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
3.6.2 REGLAS DE DERIVACIÓN
Sean f y g funciones diferenciables y k una
constante, entonces:
1. d (kf ( x)) = kf ´( x) (Múltiplo constante)
dx
2. d
( f ( x) + g ( x)) = f ´( x) + g´( x) (Suma)
dx
3. d
( f ( x) − g ( x)) = f ´( x) − g´( x) (Resta)
dx
4. d
( f ( x) g ( x)) = f ´( x) g ( x) + f ( x) g´( x) (Producto)
dx
d ⎛ f ( x) ⎞ f ´( x) g ( x) − f ( x) g´( x)
5. ⎜ ⎟= (Cociente)
[ g ( x)]
2
dx ⎝ g ( x) ⎠
Demostración
La justificación de las dos primeras de estas reglas sería:
1.
d kf ( x + h) − kf ( x)
(kf ( x)) = lím
dx h→0 h
k [ f ( x + h) − f ( x ) ]
= lím
h →0 h
f ( x + h) − f ( x )
= k lím
h →0 h
= kf ´( x)
2.
d
( f ( x) + g ( x)) = lím
[ f ( x + h) + g ( x + h) ] − [ f ( x ) + g ( x ) ]
dx h →0 h
= lím
[ f ( x + h) − f ( x ) ] + [ g ( x + h) − g ( x ) ]
h→0 h
= lím
[ f ( x + h) − f ( x ) ]
+ lím
[ g ( x + h) − g ( x ) ]
h→0 h h →0 h
= f ´( x) + g´( x)
3.
d
( f ( x) g ( x)) = lím
[ f ( x + h) g ( x + h) ] − [ f ( x ) g ( x ) ]
dx h→0 h
Al numerador le sumamos y restamos f ( x ) g ( x + h )
f ( x + h) g ( x + h ) − f ( x ) g ( x ) − f ( x ) g ( x + h ) + f ( x ) g ( x + h )
lím
h →0 h
Agrupando y aplicando propiedades de los límites:
90

17. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
⎡ f ( x + h) g ( x + h) − f ( x ) g ( x + h ) ⎤ + ⎡ f ( x ) g ( x + h ) − f ( x ) g ( x ) ⎤
lím ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
h →0 h
⎡ f ( x + h ) − f ( x ) ⎤ g ( x + h) + ⎡ g ( x + h ) − g ( x ) ⎤ f ( x )
lím ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
h →0 h
⎡ f ( x + h) − f ( x ) ⎤ ⎦ g ( x + h) + lim ⎡ g ( x + h ) − g ( x) ⎤ f x
lím ⎣ ⎣ ⎦
( )
h →0 h h→0 h
⎡ f ( x + h) − f ( x ) ⎤ ⎦ lim g ( x + h) + f x lim ⎡ g ( x + h ) − g ( x) ⎤
lím ⎣ ( ) h→0 ⎣ ⎦
h →0 h h →0 h
f ´( x ) ⎣ g ( x ) ⎦ + f ( x ) ⎣ g´( x ) ⎦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
La demostración del resto de estas reglas se la dejamos para el lector.
Con lo anterior ya podemos obtener derivadas de funciones con reglas de
correspondencias un tanto más complejas en su forma.
Ejemplo 1 (derivada del múltiplo constante)
Si f ( x ) = 3
4
x
= 4x−
1
3
entonces f ´( x ) = 4
dx
(
d − 13
x ) ( − 1 −1 4 4
= 4 − 1 x 3 = − x− 3
3
3
)
Ejemplo 2 (Derivada de suma y resta)
2
Si f ( x ) = 4 x − + 3 entonces
x
⎛ 1 ⎞
f ´( x ) =
d
dx
(
4 x −
d
dx
) d
( )
2 x −1 + ( 3 ) = 4 ⎜
dx ⎝2 x⎠
−2
⎟ + 2x + 0
Ejemplo 3 (Derivada del producto)
⎡d ⎤ ⎡d ⎤
Si f ( x ) = xe x entonces f ´( x ) = ⎢ ( x ) ⎥ e x + x ⎢ ( e x ) ⎥ = 1e x + xe x = e x (1 + x )
⎣ dx ⎦ ⎣ dx ⎦
Ejemplo 4 (Derivada del producto)
( )(
Si f ( x ) = x 2 + 2 x3 + 1 entonces: )
⎡d ⎤ ⎡d ⎤
f ´( x ) = ⎢ ( x 2 + 2 ) ⎥ ( x 3 + 1) + ( x 2 + 2 ) ⎢ ( x3 + 1) ⎥
⎣ dx ⎦ ⎣ dx ⎦
= ( 2 x + 0 ) ( x 3 + 1) + ( x 2 + 2 )( 3 x 2 + 0 )
= 2 x 4 + 2 x + 3x 4 + 6 x 2
= 5x4 + 6x2 + 2 x
91

18. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
Para el caso del producto de tres funciones, la regla sería:
d
[ f ( x) g ( x)h( x)] = f ´( x) g ( x)h( x) + f ( x) g´( x)h( x) + f ( x) g ( x)h´( x)
dx
¡Generalícela!
Ejemplo 5 (Derivada del producto)
Si f ( x ) = e x senx ln x entonces
⎡d ⎤ ⎡d ⎤ ⎡d ⎤
f ´( x ) = ⎢ e x ⎥ senx ln x + e x ⎢ senx ⎥ ln x + e x senx ⎢ ln x ⎥
⎣ dx ⎦ ⎣ dx ⎦ ⎣ dx ⎦
⎛1⎞
= e x senx ln x + e x cos x ln x + e x senx ⎜ ⎟
⎝ x⎠
Ejemplo 6 (Derivada de cociente)
x2 + 2
Si f ( x ) = entonces
x3 + 1
⎡d 2 ⎤ 3 ⎡d 3 ⎤
⎢ dx ( x + 2 ) ⎥ ( x + 1) − ( x + 2 ) ⎢ dx ( x + 1) ⎥ ( 2 x ) ( x3 + 1) − ( x 2 + 2 )( 3x 2 )
2
f ´( x ) = ⎣ ⎦ ⎣ ⎦=
( x3 + 1) ( x3 + 1)
2 2
2 x 4 + 2 x − 3x 4 − 6 x 2 − x4 − 6 x2 + 2 x
= =
(x + 1) (x + 1)
3 2 3 2
Con lo anterior, podemos resolver otros tipos problemas.
Ejemplo 7
Determine f ′(0), si f ( x ) = x ( x + 1)( x + 2 ) ...( x + 100 ) .
SOLUCIÓN:
La derivada de f sería
f ´( x ) = ⎡(1)( x + 1)( x + 2 ) ( x + 100 ) ⎤ + ⎡ x (1)( x + 2 )
⎣ ⎦ ⎣ ( x + 100 )⎤ + ⎡ x ( x + 1)(1) ...( x + 100 )⎤ +
⎦ ⎣ ⎦ Ahor
a evaluamos la derivada en cero:
f ´( 0 ) = ⎡(1)( 0 + 1)( 0 + 2 )
⎣ ( 0 + 100 )⎤ + ⎡0 (1)( 0 + 2 ) ( 0 + 100 )⎤ + ⎡ 0 ( 0 + 1)(1) ...( 0 + 100 )⎤ +
⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
0 0
f ´( 0 ) = (1)( 2 ) (100 ) = 100!
92

19. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
Ejemplo 8
Encuentre las ecuaciones de las rectas que contienen al punto ( −2, −5 ) y que son tangentes
a la curva definida por la ecuación y = x 2 + 4 x .
SOLUCIÓN:
Primeramente grafiquemos la curva y el punto. Fig. 3.7
f ( x ) = x2 + 4 x
( x0 , y0 ) ( x0 , y0 )
Fig. 3.7
( −2, −5)
Note que el punto ( −2, −5 ) no pertenece a la curva. Buscaremos ahora el punto de tangencia (observe que
hay dos).
La pendiente de la recta tangente es la derivada f evaluada en x = x0 , es decir
mtg = f ´( x0 ) = 2 x + 4 x = x = 2 x0 + 4
0
La pendiente de esta recta también se la puede calcular por los puntos ( −2, −5 ) y ( x0 , y0 ) , es decir:
y0 − ( − 5 ) y0 + 5
mtg = =
x0 − ( −2 ) x0 + 2
El punto ( x0 , y0 ) pertenece a la curva, por tanto debe satisfacer su ecuación; es decir: y0 = x0 2 + 4 x0 . Al
reemplazar en la ecuación anterior, se obtiene:
y0 + 5 x0 2 + 4 x0 + 5
mtg = =
x0 + 2 x0 + 2
Ahora igualamos las pendientes y encontramos x0 :
x0 2 + 4 x0 + 5
2 x0 + 4 =
x0 + 2
2 x0 2 + 8 x0 + 8 = x0 2 + 4 x0 + 5
x0 2 + 4 x0 + 3 = 0
( x0 + 3)( x0 + 1) = 0
x0 = −3 ∨ x0 = −1
93

20. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
Estos valores los reemplazamos en y0 = x0 2 + 4 x0 , y obtenemos los respectivos y0 :
y0 = ( −3) + 4 ( −3) = 9 − 12 = −3
2
y0 = ( −1) + 4 ( −1) = 1 − 4 = −3
2
Por tanto, los puntos de tangencia son ( −3, −3) y ( −1, −3) .
Las respectivas pendientes serían:
mtg = 2 ( −3) + 4 = −2
mtg = 2 ( −1) + 4 = +2
Finalmente las ecuaciones de las rectas tangentes serían:
y − ( − 3 ) = −2 ( x − ( − 3 ) ) y − ( −3) = 2 ( x − ( −1) )
y + 3 = −2 ( x + 3 ) y y + 3 = 2 ( x + 1)
y = −2 x − 9 y = 2x −1
Ejemplo 9
f ( x) g ( x)
Si f , g y h son funciones tales que h( x) = , f (1) = 3 , g (1) = −3 ,
2 f ( x) + 3 g ( x)
f ´(1) = −2 , g´(1) = 1 . Determine h´(1) .
Solución:
La derivada de h sería:
⎡ f ( x ) g ( x) ⎤
h´( x) = Dx ⎢ ⎥
⎣ 2 f ( x) + 3 g ( x) ⎦
D [ f ( x) g ( x) ][ 2 f ( x) + 3g ( x)] − f ( x) g ( x) Dx [ 2 f ( x) + 3 g ( x)]
= x
[ 2 f ( x) + 3 g ( x)]
2
=
[ f ´( x) g ( x) + f ( x) g´( x)][ 2 f ( x) + 3g ( x)] − f ( x) g ( x) [ 2 f ´( x) + 3g´( x)]
[ 2 f ( x) + 3 g ( x)]
2
Ahora evaluando en 1:
h´(1) =
[ f ´(1) g (1) + f (1) g´(1)][ 2 f (1) + 3g (1)] − f (1) g (1) [ 2 f ´(1) + 3g´(1)]
[ 2 f (1) + 3g (1)]
2
=
[(−2)(−3) + (3)(1)][ 2(3) + 3(−3)] − (3)(−3) [ 2(−2) + 3(1)]
[ 2(3) + 3(−3)]
2
=
[6 + 3][6 − 9] + 9[ −4 + 3]
[ 6 − 9]
2
=
[9][ −3] + 9 [ −1]
[ −3]
2
−36
=
9
h´(1) = −4
94

21. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
Ejemplo 10
Demuestre que las gráficas de f ( x ) = 2 senx y g ( x ) = 2 cos x se intersecan en ángulo
recto en cierto punto tal que 0 ≤ x ≤ π
2
SOLUCIÓN:
La intersección se obtiene igualando las ecuaciones, es decir: 2 sen x = 2 cos x , de aquí se obtiene
π
tg x = 1 , lo cual quiere decir que x = 4
Fig. 3.8
Si las curvas se intersecan en ángulo recto quiere decir que las rectas tangentes en el punto de intersección son
perpendiculares, es decir m1 m 2 = −1 . Fig. 3.8
Si f ( x ) = 2 sen x , entonces f ´( x ) = 2 cos x que en el punto tenemos:
⎛ 2⎞
m1 = 2 cos π = 2 ⎜
4
⎟
⎜ 2 ⎟ =1
⎝ ⎠
Si g ( x ) = 2 cos x , entonces g´( x ) = − 2 sen x que en el punto tenemos:
⎛ 2⎞
m 2 = − 2 sen π
4
= − 2⎜ ⎟
⎜ 2 ⎟ = −1
⎝ ⎠
Por tanto: m1 m 2 = (1)(−1) = −1 L.Q.Q.D.
Ejercicios Propuestos 3.3
1. Calcular las derivadas de las funciones cuyas reglas de correspondencia son:
a) f ( x ) = 4 3 x + 2ln x − 3e x xe x
e) f ( x) =
senx + 1
(
b) f ( x ) = x + 2
3
)( x 2
+ 1)
1 2 x
c) f ( x ) = ( x − senx )( x + cos x ) f) f ( x) = x e ln x
2
x2 + 1
d) f ( x ) =
x senx
2. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación f ( x ) = x2 + 2 x + 2 en el
punto (1,5) .
3. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función con regla de correspondencia
f ( x ) = 3 x 2 + 4 y que sea paralela a la recta 3x + y + 2 = 0 .
95

22. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
4. Encuentre las ecuaciones de las rectas que contienen al punto ( 2,5) y que son tangentes a la curva definida
por la ecuación y = 4x − x 2
.
Determine las ecuaciones de las rectas tangentes a la función f definida por f ( x ) = 2 x + 3 x − 24 x y
3 2
5.
que son paralelas a la recta cuya ecuación es 12 x − y + 7 = 0 .
6. Una partícula se desplaza de izquierda a derecha siguiendo una trayectoria definida por la ecuación y = x2 .
Determine el punto de la trayectoria para que la partícula se desplace ahora por la tangente de la trayectoria en
ese punto y logre alcanzar el punto (4,15).
7. Una partícula se desplaza de izquierda a derecha siguiendo una trayectoria definida por la ecuación
y = 7 − x 2 . Un observador se encuentra el punto (4,0). Encuentre la distancia cuando la persona observa la
partícula por primera vez.
8. Determine f ′(0 ), si f (x ) = x(x − 1)(x − 2)...(x − 50)
f ( x) g ( x )
9. Si f , g y h son funciones tales que h( x) = , f (3) = 2 , g (3) = −2 , f ´(3) = −1 ,
3 f ( x ) − 4 g ( x)
g´(3) = 2 . Determine h´(3) .
Para funciones compuestas disponemos de la regla de la cadena.
3.6.2.1 Regla de la Cadena
Sea y = f (u ) y u = g ( x) . Si g es
diferenciable en " x0 " y f diferenciable
en " g ( x0 ) " entonces la función
compuesta (f g )( x ) = f ( g ( x ) ) es
diferenciable en " x 0 " y
d
( f ( g ( x) ) = f ´( g ( x0 )) [ g´( x0 )]
dx x = x0
O lo que es lo mismo
dy dy du
=
dx du dx u=g( x)
Ejemplo 1
( )20
y = x 2 + 2 entonces haciendo u = g ( x) = x 2 + 2
Si tenemos y = f (u ) = u 20 de donde
dy du
= 20u 19 y = 2x .
du dx
96

23. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
Por tanto
dy dy du
=
dx du dx
( )
= 20u 19 (2 x ) que al reemplazar " u " resulta
dy
dx
( (
= 20 x 2 + 2 (2 x ) = 40 x x 2 + 2
19
) )
19
( )
El ejemplo anterior fue resuelto con un enfoque de cambio de variable para
observar la regla de cadena. Pero en la práctica esto no es necesario, la regla de
la cadena puede ser aplicada de manera rápida.
Ejemplo 2
( ) (
Si y = sen x 3 − 3 x entonces y´= Du (senu )D x x 3 − 3x = cos x 3 − 3x 3x 2 − 3) [ ( )][ ]
u
Ejemplo 3
30
⎡ x 3 +3 x 2 + x ⎤
Si y = ⎢ ⎥ entonces
⎢ x −1 ⎥
2
⎣ ⎦
u
29
⎡ x 3 +3 x 2 + x ⎤ ⎡ x 3 +3 x 2 + x ⎤
y´= 30 ⎢ ⎥ Dx ⎢ ⎥
⎣ x −1 ⎦ ⎣ x −1 ⎦
2 2
⎡ x 3 +3 x 2 + x ⎤ ⎢ ( 3x + 6 x + 1)( x − 1) − ( x +3 x + x ) ( 2 x ) ⎥
29 ⎡ 2 2 3 2 ⎤
= 30 ⎢ ⎥ ⎢
⎣ x −1 ⎦ ( x 2 − 1) ⎥
2 2
⎣ ⎦
Para el caso de funciones de la forma y = f ( g (h( x) ) haciendo que
v = h( x ) tenemosy = f ( g (v) ) y ahora haciendo que u = g (v ) tenemos
dy dy du dv
y = f ( u ) ; entonces = .
dx du dv dx
O más simplemente y´= ⎡ f ´( g (h( x)) ) ⎤ [ g´(h( x))][ h´( x)]
⎣ ⎦
Ejemplo 4
4
⎡ ⎤
Si y = cos 3 x
4
( ) 2
= ⎢cos 3 x 2 ( ) ⎥ entonces:
⎢
⎣ v ⎥
⎦
u
97

24. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
[ ( )] D [cos(3x )]
y´= 4 cos 3 x 2
3
x
2
= 4[cos(3 x )] [− sen (3 x )]D (3x )
2 3 2
x
2
= 4[cos(3 x )] [− sen (3 x )][6 x ]
2 3 2
Ahora analicemos los siguientes ejercicios resueltos:
Ejercicio Resuelto 1
Si f (2 ) = 4 , f ´(4 ) = 6 , f ´(2 ) = −2 hallar:
a)
d
[ f (x)]3 en x = 2 b) ( f f )´(2)
dx
SOLUCIÓN:
a)
d
[ f ( x)]3 = 3[ f ( x)]2 f ´(x) que en x = 2 sería:
dx
3[ f (2)]2 f ´(2) = 3(4 )2 (− 2 ) = −96
⎡ 4 ⎤
b) ( f f )´(2) = [ f ( f (2)]´= ⎢ f ´( f (2))⎥[ f ´(2)] = [ f ´(4)][ f ´(2)] = (6)(−2) = −12
⎢ ⎥
⎣ ⎦
Ejercicio Resuelto 2
y además: h(2) = −1; g (2 ) = 3; f (3) = 2; h′(2 ) = −2; f ′(3) = 5; g ′(2) = −3 ; determine
f g
Si H =
h
H ′(2) .
SOLUCIÓN:
f g
Como H ( x) = entonces:
h
⎡ f ( g ( x)) ⎤ D x [ f ( g ( x))]h( x) − f ( g ( x))h´(x)
H ´(x) = D x ⎢ ⎥=
⎣ h( x ) ⎦ [h( x)]2
=
[ f ´(g ( x))]g´(x)h( x) − f ( g ( x))h´(x)
[h( x)]2
que en x = 2 sería:
⎡ 3 ⎤
⎢ f ´( g (2))⎥ g´(2)h(2) − f ( g (2))h´(2)
⎢ ⎥
⎣ ⎦
H ´(2) =
[h(2)]2
=
[ f ´(3)](−3)(−1) − [ f (3)](−2)
(−1) 2
(5)(−3)(−1) − (2)(−2)
=
1
H ´(2) = 19
98

25. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
Ejercicio Resuelto 3
Demuestre que la derivada de una función par es una función impar
SOLUCIÓN:
Sea f una función par, entonces se cumple que f ( − x) = f ( x) . Ahora tomando derivada a ambos
D x [ f (− x)] = D x [ f ( x)]
[ f ´(− x)](− 1) = f ´(x )
miembros de la igualdad tenemos:
− f ´(− x) = f ´(x)
f ´(− x ) = − f ´(x )
La última igualdad nos indica que f ´ es una función impar. L.Q.Q.D
Finalmente las fórmulas de derivadas para funciones compuestas quedarían:
Sea u = u (x) , entonces:
1. Dx (u n ) = n(u n −1 )u´
2. Dx (e u ) = e u u´
3. Dx (a u ) = a u (ln a ) u´
1
4. D x (ln u ) = u´
u
1
5. D x (log a u ) = u´
u ln a
6. D x (sen u ) = (cos u ) u´
7. D x (cos u ) = (− sen u )u´
8. Dx (tan u ) = ( sec 2 u ) u´
9. Dx (cot u ) = ( − csc2 u ) u´
10. Dx (sec u ) = ( sec u tan u ) u´
11. Dx (csc u ) = ( − csc u cot u ) u´
99

26. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
Ejercicios Propuestos 3.4
1. Calcular las derivadas de las funciones cuyas reglas de correspondencia son:
f ( x ) = x2 − 2x + 2
3
a) ⎛ senx ⎞
e) f ( x ) = ⎜ ⎟
⎝ cos 2 x ⎠
1
f ( x) =
b)
2x − 3 (
f) f ( x ) = ln ⎡ ln x + 1 ⎤
⎣
2
)⎦
e −e
x −x
1 ⎛ x ⎞ 2
1
c) f ( x) = g) f ( x ) = ln ⎜ 2 ⎟− 2
e x + e− x 4 ⎝ x −4⎠ x −4
x2 − 1
d) f ( x) =
x2 + 1
2. Si V = { f / f es una función derivable en un int ervalo I } . Demuestre que:
∀f ∈ V [ f ( − x) = − f ( x) ⇒ f ' (− x) = f ' ( x)] (La derivada de una función impar es una función par)
()
g )′ (x ) , si f u = e u = g (x ) = 4 1 + cos 2 (2 x )
2
Hallar ( f
u
3. y
4. Sean f, g y h funciones diferenciales para todo x ∈ IR , tales que:
g (a ) = 2, g ′(a ) = −2, h(2 ) = 3, h ′(2) = −1, f (3) = 3, f ′(3) = −5, f (a ) = a, f ′(a ) = −2 .
h(a) = a, h´(a ) = 4
En x = a determine el valor de:
a) (g f )´ b) (g h )´ c) (h g )´
′
⎛ f h g −h g ⎞
d) (f h g )´ e) ⎜
⎜ ⎟
⎟
⎝ g f ⎠
5. Sea f (0) = 0 y f ' (0) = 2 , encuentre la derivada de f ( f ( f ( f ( x)))) en x = 0 .
6. Suponga que f es derivable y que existen 2 puntos x1 y x2 tales que f ( x1 ) = x2 y f ( x2 ) = x1 . Sea
g (x ) = f ( f ( f ( f (x )))) pruebe que g ' ( x1 ) = g ' ( x2 )
Pruebe que si un polinomio p(x) es divisible entre (ax + b ) entonces p ' ( x ) es divisible entre (ax + b ) .
2
7.
p ( x ) = ⎡ c ( x ) ⎤ ( ax + b ) y derívelo.
2
Sugerencia: Escriba el polinomio de la forma ⎣ ⎦
100

27. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
3.6.3 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR
La derivada es una función por tanto se podría obtener también la derivada de
esta función y así sucesivamente. Es decir:
Sea y = f ( x) una función " n " veces
derivable, entonces:
La primera derivada es:
dy f ( x + h) − f ( x)
y´= f ´(x) = = Dx y = lím
dx h→0 h
La segunda derivada es:
d2y f ´(x + h) − f ´(x)
Dx ( y´) = y´´= f ´´(x) = 2
= Dx2 y = lím
dx h →0 h
La tercera derivada es:
d3y f ´´(x + h) − f ´´(x)
Dx ( y´´) = y´´´= f ´´´(x) = 3 = Dx y = lím
3
dx h →0 h
En fin, La n − ésima derivada es:
dny f n −1 ( x + h) − f n −1 ( x)
y n = f n ( x) = = Dxn y = lím
dx n h→0 h
Ejemplo 1
⎛ 1 ⎞
Hallar D x ⎜
n
⎟
⎝ 1 − 2x ⎠
SOLUCIÓN:
= (1 − 2 x ) .
1 −1
Aquí tenemos: y=
1 − 2x
Obteniendo derivadas hasta poder generalizarla, resulta:
y´= −(1 − 2 x )−2 (− 2 ) = (1 − 2 x )−2 2 = 1! (1 − 2 x )−2 21
y´´= 2(− 2 )(1 − 2 x )−3 (− 2) = 2(1 − 2 x )−3 2 2 = (2! )(1 − 2 x )−3 2 2
y´´´= 2(− 3)(1 − 2 x )− 4 (− 2)2 2 = (2 × 3)(1 − 2 x )− 4 2 3 = (3! )(1 − 2 x )− 4 2 3
y IV = (2 × 3)(−4)(1 − 2 x )−5 (−2)2 3 = (2 × 3 × 4)(1 − 2 x )−5 2 4 = (4!)(1 − 2 x )−5 2 4
y V = (5!)(1 − 2 x ) 2 5
−6
Directamente la quinta derivada sería
− (n +1)
Por tanto la "n-ésima" derivada sería: y = (n!)(1 − 2 x )
n
2n
101

28. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
Ejemplo 2
⎛ 1 ⎞
Hallar Dxn ⎜ ⎟
⎝ 1 + 3x ⎠
SOLUCIÓN:
1
= (1 + 3x ) .
−1
Aquí tenemos: y =
1 + 3x
Obteniendo derivadas:
y´= − (1 + 3 x ) ( 3)
−2
y´´= +2 (1 + 3 x )
−3
(3 )
2
y´´´= − ( 2 × 3)(1 + 3x )
−4
(3 )
3
y IV = +(2 × 3 × 4) (1 + 3 x ) (34 )
−5
Directamente la quinta derivada sería yV = − ( 5!)(1 + 3 x )
−6
(3 )
5
Por tanto la "n-ésima" derivada sería: y n = ( −1)
n
( n !)(1 + 3x ) (
− n +1)
(3 ) n
Ejemplo 3
( )
Demuestre que D x x n = n! ; n ∈
n
SOLUCIÓN:
Como y = x n entonces:
y´= nx n −1
y´´= n ( n − 1) x n − 2
y´´´= n ( n − 1)( n − 2 ) x n − 3
y n = n ( n − 1)( n − 2 )( n − 3) ( n − ( n − 1) ) x n−n
= n ( n − 1)( n − 2 )( n − 3) (1)
= n!
Ejercicio Propuesto 3.5
1. Calcular las derivadas de orden superior indicadas.
a.
d4
dx 4
[cos (x )]
2 d. Dx ⎜
n⎛ 5 ⎞
⎟
⎝4− x⎠
d 2 ⎡ x sen2 (πx ) ⎤ 30 ⎡1 + x⎤
b. ⎢ ⎥ e. Dx ⎢1 − x ⎥
dx 2 ⎢ 1 + x ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
c.
dn
dx n
[xe ]
x f.
d 35
dx35
[xsenx]
102

29. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
d ⎡ d 2 ⎛ 1 ⎞⎤
2. Determine ⎢x ⎜ ⎟⎥
dx ⎢ dx 2 ⎝ 1 + x ⎠⎥
⎣ ⎦
3. Usando el símbolo factorial, encuentre una fórmula para:
( )
D x a n x n + a n−1 x n−1 + ... + a1 x + a0 , n ∈
n
4. Determine un polinomio P de grado 3 tal que P (1) = 1 , P´(1) = 3 , P´´( ) = 6 , P´´´( ) = 12 .
1 1
Hasta aquí hemos tratado con funciones cuyas reglas de correspondencia
estaban dadas por una ecuación de la forma y = f ( x ) , esta forma la llamaremos
en adelante EXPLÍCITA; suponga ahora que la ecuación de una función esté dada
en la forma F ( x, y ) = 0 , forma que le llamaremos IMPLÍCITA, y suponga que se
desea obtener la derivada y´ de esta ecuación sin necesidad de despejar y ; de
ahí la necesidad de mencionar mecanismo de derivación para este tipo de
problema.
3.6.4 DERIVACIÓN IMPLÍCITA
Para obtener y´ en una función implícita F ( x, y ) = 0 sin necesidad de
despejar y ; es más, suponga que no se pueda despejar y , hay que considerarla
como F ( x, f ( x)) = 0 y derivando cada miembro de la ecuación tomando en cuenta
las reglas mencionadas lograríamos lo deseado.
Ejemplo
Sea x − y = 0 la ecuación de una función (asegúrese que en verdad representa una función) la derivada la
4 5
podemos obtener por una de las siguientes formas:
4
1. Despejando y (forma explícita: y = x 5
) entonces:
4 − 15
x y´=
5
2. Sin despejar y (forma implícita: x − y = 0 ).
4 5
La consideraremos como x − ⎡ f ( x ) ⎤ = 0 . Ahora derivamos cada miembro de la ecuación:
4 5
⎣ ⎦
Dx ⎡ x 4 − ⎡ f ( x ) ⎤ ⎤ = Dx [ 0]
5
⎣ ⎣ ⎦ ⎦
4 x3 − 5 ⎡ f ( x ) ⎤ f ´( x ) = 0
4
⎣ ⎦
Ahora despejamos f ´( x ) :
4 x3
f ´( x ) =
5 ⎡ f ( x )⎤
4
⎣ ⎦
Por ahora podemos comprobar que los resultados son los mismos, simplemente habría que reemplazar
f ( x) = x 5 :
4
103

30. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
4 x3 4 x3 4 x3 4 − 15
f ´( x ) = = = = x
5 ⎡ f ( x )⎤
4 4 16
5 ⎡x 5 ⎤
4 5
⎣ ⎦
5
5x
⎢ ⎥
⎣ ⎦
Ejemplo 2
Sea x + y = 1 con y ≥ 0 (semicircunferencia), hallar y´
2 2
SOLUCIÓN:
PRIMER MÉTODO.
Como es posible despejar y , tenemos y = + 1 − x
2
(1 − x ) ( −2 x )
2 − 2
1
y´= 1
2
Entonces: x x
=− =−
1− x 2 y
SEGUNDO MÉTODO.
Implícitamente consiste en observar la ecuación dada como x + [ f ( x)] = 1 y tomar derivada a ambos
2 2
miembros de la igualdad:
( )
Dx x 2 + [ f ( x)]2 = Dx (1)
2 x + 2 f ( x) f ´(x) = 0
que es lo mismo que: 2 x + 2 yy´= 0
x x
despajando y´ resulta: y´= − =−
y 1 − x2
Una dificultad puede ser que la ecuación dada no represente lugar geométrico.
Ejemplo
Suponga que la ecuación fuese x 2 + y 2 = −1
Esta ecuación no representa lugar geométrico, sin embargo obtener y´ sería de la misma forma que el ejemplo
anterior.
En los ejemplos anteriores se demuestra que la derivación implícita es válida,
la comprobación no siempre va a ser posible. Pero lo que se requiere es obtener
la derivada y es lo que hemos dejado explicado.
Observe además que las ecuaciones implícitas podrían representar no sólo
funciones sino una relación cualquiera, entonces estaríamos en capacidad de
obtener la derivada en cualquier punto de esa relación.
Ahora analicemos los siguientes ejercicios resueltos.
104

31. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
Ejercicio Resuelto 1
Hallar y´ para 4 x 3 + 7 xy 2 = 2 y 3
SOLUCIÓN:
Obteniendo derivada a ambos miembros y resolviendo tenemos:
( ) ( )
Dx 4 x3 + 7 xy 2 = Dx 2 y 3
12 x 2
+ (7 y + 7 x 2 yy´) = 6 y y´
2 2
12 x 2 + 7 y 2 + 14 xyy´= 6 y 2 y´
12 x 2 + 7 y 2
Despejando y´ resulta: y´=
6 y 2 − 14 xy
Ejercicio Resuelto 2
( )
Hallar y´ para x + ln x 2 y + 3 y 2 = 2 x 2 − 1
SOLUCIÓN:
Obteniendo derivada a ambos miembros, tenemos:
( ( ) )
Dx x + ln x 2 y + 3 y 2 = Dx 2 x 2 − 1 ( )
1+
x2 y
1
[2xy + x y´]+ 6 yy´= 4 x
2
2 y´
1+ + + 6 yy´= 4 x
x y
Despejando y´ resulta:
4x − 1 − 2
y´= x
6y + 1
y
Ejercicio Resuelto 3
( )
Hallar y´ para cos xy 2 = y 2 + x x + y
SOLUCIÓN:
Obteniendo derivada a ambos miembros, tenemos:
( ( )) (
Dx cos xy 2 = Dx y 2 + x x + y )
( )[ ]
− sen xy 2 1 y 2 + x 2 yy´ = 2 yy´+1 x + y + x [ (x + y )
1
2
− 12
(1 + y´)]
sen (xy ) − 2 xyy´sen(xy ) = 2 yy´+
x xy´
− y2 2 2
x+ y + +
2 x+ y 2 x+ y
Despejando y´ resulta:
( )
− y 2 sen xy 2 − x + y −
x
2 x+ y
y´=
2y +
x
2 x+ y
+ 2 xy sen xy 2 ( )
105

32. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
Ejercicio Resuelto 4
Determinar la ecuación de la recta normal a la curva cuya ecuación es x cos y = sen( x + y ) en
P(0,0).
SOLUCIÓN:
1
La recta normal es la perpendicular a la recta tangente, por tanto m normal = −
m tg
D x (x cos y ) = D x (sen (x + y ))
Ahora m tg = y´ (0,0 ) . Obteniendo y´ resulta:
1 cos y + x(− sen yy´) = cos( x + y )[1 + y´]
En la última expresión se puede reemplazar las coordenadas del punto, es decir: x = 0 y y = 0 y luego
cos 0 + 0(− sen 0 y´) = cos(0 + 0)[1 + y´]
despejar y´ : 1 + 0 = 1 + y´ .
y´= 0
Esto quiere decir que la recta tangente es horizontal y por tanto la recta normal será vertical con pendiente
1
mnormal = − = −∞
0
Y su ecuación será:
y−0 = −
1
(x − 0) (el eje y ).
0
x=0
Ejercicio Resuelto 5
Sea x y − 2 y = 2 . Encuentre
2 3
y' ' en (2,1).
SOLUCIÓN:
Primero se encuentra y ' :
( )
D x x 2 y − 2 y 3 = D x (2)
2 xy + x y´−6 y 2 y´= 0
2
2(2)(1) + (2) 2 y´−6(1) 2 y´= 0
En (2,1) sería:
y´= 2
Ahora encontramos y' ' volviendo a derivar implícitamente:
( )
D x 2 xy + x 2 y´−6 y 2 y´ = D x (0)
(
2 y + 2 xy´+2 xy´+ x y´´− 12 yy´ y´+6 y y´´ = 0
2 2
)
2(1) + 2(2)(2) + 2(2)(2) + (2) 2 y´´−12(1)(2)(2) − 6(1) 2 y´´= 0
En (2,1) sería: 2 + 8 + 8 + 4 y´´−48 − 6 y´´= 0
y´´= 15
106

33. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
Ejercicios Propuestos 3.6
dy
1. Encontrar para:
dx
2 2 d. sec y + tan y = xy
a. x 3 + y 3 =1
e. ln ( xy ) + y =5
b. ln ( xy ) + y = 1
c. e xy + ln y = 0
2 3 2 2
2. Demuestre que la rectas tangente a las curvas definidas por las ecuaciones y = 4x y 2 x + 3 y = 14
en el punto (1,2) son perpendiculares entre sí.
3. Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación x3 + 3 xy 3 + y = 5 en el punto
(1,1)
4.
3
( )
Encuentre la ecuación de la recta tangente a la grafica de x 2 + y 2 = 8 x 2 y 2 en el punto (1,−1)
5. [2
Determine la ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación xy − sen π (x + y ) + 1 = 2 ]
en el punto (1,1)
3 3
6. Determine la ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación x 2 + y 2 = 2 que es paralela a
la recta x + y + 6 = 0
Determine las ecuaciones de la recta normal a la curva que tiene por ecuación x y = ( y + 1)2 (4 − y )2 en
2 2
7.
el punto (0,−2) .
8. Determine la ecuación de la recta normal a la curva definida por la ecuación x cos(2 y ) = 3 sen (x + y ) en el
punto (0,0) .
2 3
9. Determine todos los puntos de la función f que define la ecuación x + y = 2 xy donde la recta tangente
a f sea horizontal.
10. Encuentre y ' ' si x3 − 4 y 2 + 3 = 0
d2y 2 2
11. Calcula: para x 3 +y 3 =1
2
dx
12. Para la función y = f (x) dada en forma implícita por la ecuación
x − tg y + e
y− π
4 = 2 determine
d2y
dx 2
( )
en el punto 2, π .
4
3.6.5 DERIVACIÓN PARAMÉTRICA
Las ecuaciones de ciertas trayectorias son dadas en la forma:
⎧ x = x(t )
C:⎨
⎩ y = y (t )
Tanto x como y están expresadas en términos del parámetro t , el objetivo
dy
será hallar directamente .
dx
107

34. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
3.6.5.1 Teorema de la derivada de funciones definidas por ecuaciones
paramétricas.
Suponga que x = x(t ) y y = y (t ) son
funciones continuamente diferenciables,
y que x´(t ) ≠ 0 para cualquier " t " de cierto
intervalo. Entonces las ecuaciones
paramétricas definen a " y " como una
función diferenciable de " x " y su
derivada es:
dy
dy dy dt
= = dt
dx dt dx dx
dt
Ejemplo 1
Sea la circunferencia con ecuación cartesiana x 2 + y 2 = 1 , la derivada también puede ser hallada partiendo
dy
⎧ x = cos t dy cos t x
de su ecuación paramétrica C : ⎨ , es decir: = dt = =−
⎩ y = sen t dx dx − sen t y
dt
Esta manera representaría un tercer método para hallar la derivada, tal como se puede observar.
Ejemplo 2
⎧ x = e t cos t
⎪ dy
Sea ⎨ hallar
⎪ y = e sent
⎩
t dx
SOLUCIÓN:
dy
dy et sent + et cos t sent + cos t
= dt = t =
dx dx e cos t − et sent cos t − sent
dt
Para hallar derivadas de orden superior, observe que la primera derivada es
dy
función de " t ", es decir que = y´(t ) ; por tanto:
dx
d [ y´(t )]
Segunda derivada:
d2y
=
d
[y´(t )] = d [y´(t )] dt = dt = y´´(t )
dx 2 dx dt dx dx
dt
108

35. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
d [ y´´(t )]
d [ y´´(t )] dt
d3y
Tercera Derivada: 3 = [ y´´(t )] =
d dt
= = y´´´(t )
dx dx dt dx dx
dt
Y así sucesivamente.
Ejemplo 1
⎧ x = cos t d3 y
Sea C : ⎨ hallar .
⎩ y = sen t dx3
SOLUCIÓN:
dy
dy cos t
Ya encontramos la primera derivada: = dt = = − cot ( t )
dx dx − sen t
dt
d d
d 2 y dt ( ) dt (
y´ − cot t ) − ( − csc 2 t )
La segunda derivada sería: = = = = − csc3 t
dx 2
dx dx − sent
dt dt
d 3 y dt ( ) dt (
− csc3 t ) −3csc 2 t − csc t cot t
d d
La tercera derivada sería: =
y´´
= =
( ) = −3csc4 t cos t
dx 3 dx dx − sent
dt dt
Ejemplo 2
⎧ x = e t cos t
⎪ d2y
Sea ⎨ hallar
⎪ y = e sent
t dx 2
⎩
SOLUCIÓN:
La primera derivada ya la encontramos:
dy
dy et sent + et cos t sent + cos t
= dt = t =
dx dx e cos t − et sent cos t − sent
dt
La segunda derivada sería:
d d ⎛ sent + cos t ⎞
d2y ( y´) dt ⎜ cos t − sent ⎟
⎝ ⎠
= dt =
dx 2 dx dx
dt dt
( cos t − sent )( cos t − sent ) − ( sent + cos t )( − sent − cos t )
( cos t − sent )
2
=
et cos t − et sent
( cos t − sent ) + ( sent + cos t )
2 2
( cos t − sent )
2
= =
et cos t − et sent
cos 2 t − 2cos tsent + sen 2t + sen 2t + 2cos tsent + cos 2 t
=
et ( cos t − sent )
3
d2y 2
=
dx 2 et ( cos t − sent )3
109

36. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
Ejemplo 3
dny ⎧ x = ln t
⎪
Calcular para: ⎨
dx n ⎪y = t m ; m ∈ R
⎩
SOLUCIÓN:
Hallando las primeras derivadas, suficientes hasta poder generalizar, tenemos:
dy
dy mt m −1 mt mt −1
Primera derivada: = dt = = = mt m
dx dx 1 t −1
dt t
d [ y´(t )]
d2y m 2 t m −1
Segunda derivada:
2
= dt = −1
= m 2t m
dx dx t
dt
d [ y´´(t )]
d3y dt m 3 t m −1
Tercera derivada: = = = m 3t m
dx 3 dx t −1
dt
d4y
Directamente, la cuarta derivada sería: = m 4t m
dx 4
dny
Por tanto: n
= mnt m
dx
Ejercicios Propuestos 3.7
dy
1. Hallar para:
dx
⎧
⎪x = t + 1
2
⎧ x = a (cos t + tsent ) ⎪
a. ⎨ b. ⎨ t −1
⎩ y = a (sent − t cos t ) ⎪y = 2
⎪
⎩ t +1
⎧ x = a(t − sen t ) π
2. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva ⎨ en t =
⎩ y = a (1 − cos t ) 2
⎧ x = 2t − t 2
⎪
3. Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva ⎨ en el punto (1,2)
⎪ y = 3t − t 3
⎩
⎧ x = 4 sen 2t − 3 cos 3t
4. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva ⎨ en t = 0
⎩ y = 3 sen t + 4 cos 2t
⎧x = t 2
⎪
5. Sea C la curva con ecuaciones paramétricas ⎨ ; t ∈ IR . Encontrar las ecuaciones de las
⎪ y = 2t 3 + 4t − 1
⎩
rectas tangentes a C y que pasen por el origen.
⎧ y = cos t
⎪ d2y d3y
6. Sea C la curva con ecuaciones paramétricas ⎨ . Calcule a) y b)
⎪ x = ln ( cos t )
⎩ dx 2 dx 3
110

37. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
3.6.6 DERIVACIÓN POLAR
Si una curva tiene sus ecuaciones en coordenadas polares, para encontrar la
derivada procedemos del mismo modo que para ecuaciones paramétricas.
⎧ x = r cos( θ )
Si tenemos r = f (θ ) y como ⎨
⎩ y = r sen (θ )
⎧ x = f (θ ) cos( θ )
Al reemplazar queda ⎨
⎩ y = f (θ ) sen (θ )
dy
f ´(θ ) senθ + f (θ ) cosθ
= dθ =
dy
Entonces
dx dx f ´(θ ) cosθ − f (θ ) senθ
dθ
Para encontrar la ecuación de la recta tangente:
y
Fig. 3.13
r = f (θ )
( r0 ,θ0 )
r0
y0
θ0 x0
x
Considere que la ecuación cartesiana de una recta, definida por un punto y su
pendiente, es de la forma:
y − y 0 = m ( x − x0 )
Entonces:
111

38. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
x0 = f (θ 0 )cosθ 0
y0 = f (θ 0 )senθ 0
dy
f ´(θ 0 ) senθ 0 + f (θ 0 ) cosθ 0
= dθ
dy
m= =
dx dx f ´(θ 0 ) cosθ 0 − f (θ 0 ) senθ 0
dθ θ =θ 0
Ejemplo
Encuentre la ecuación de la recta tangente a r = f ( θ ) = 4 sen 3θ en θ 0 = π
4
SOLUCIÓN:
Observa la gráfica:
Fig. 3.14
x0 = f ( θ 0 ) cos( θ 0 ) = f ( π ) cos( π ) y 0 = f ( θ 0 ) sen( θ 0 ) = f ( π ) sen( π )
[ ] [ ]
4 4 4 4
= 4 sen 3 π cos π = 4 sen 3 π sen π
En este caso 4 4 y 4 4
2 2 2 2
=4 =4
2 2 2 2
x0 = 2 y0 = 2
Para la pendiente, tenemos: f ´(θ) = 12 cos 3θ
Entonces:
f ´(θ 0 ) senθ 0 + f (θ 0 ) cosθ 0
m=
f ´(θ 0 ) cosθ 0 − f (θ 0 ) senθ 0
[12 cos 3 π4 ]sen π4 + [4sen3 π4 ]cos π4
=
[12 cos 3 π4 ]cos π4 − [4sen3 π4 ]sen π4
⎡ 2⎤ 2 ⎡ 2⎤ 2
⎢ − 12 2 ⎥ 2
+ ⎢4 ⎥
= ⎣ ⎦ ⎣ 2 ⎦ 2
⎡ 2⎤ 2 ⎡ 2⎤ 2
⎢ − 12 2 ⎥ 2
− ⎢4
2 ⎥ 2
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
−6+2
=
−6−2
1
m=
2
y − y 0 = m(x − x0 )
Por lo tanto, la ecuación de la recta tangente estaría dada por:
y−2= 1
2
( x − 2)
112

39. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
Ejercicios propuestos 3.8
1. Hallar la ecuación de la recta tangente a r = − 4 cos 3θ en θ 0 = π 4
2. Hallar la ecuación de la recta tangente a r = 4sen 3θ en θ 0 = π
6
3. Hallar la ecuación de la recta tangente a r = 2 sen 3θ en θ 0 = π 6
4. Hallar la ecuación de la recta tangente a r = 3 − 4 sen 3θ en θ 0 = π
3
3.6.7 DERIVADAS DE FUNCIONES INVERSAS
3.6.7.1 Teorema de existencia de la función inversa.
Si f es una función estrictamente
monótona en su dominio entonces f tiene
una inversa.
El teorema nos indica que es suficiente definir que una función es
estrictamente creciente o estrictamente decreciente para saber que es una función
que tiene inversa. Ahora nos vamos a preocupar de la derivada de la función
inversa.
3.6.7.2 Teorema de la derivada de la función inversa.
Sea f una función derivable y
estrictamente monótona en un intervalo
I . Si f ´(x) ≠ 0 en cierto " x " en I , entonces
f −1 es derivable en el punto
correspondiente " y ", y
⎡ d −1 ⎤ 1
f ⎥( y ) =
⎢ dx ⎦
⎣ f ´(x)
113

40. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
Lo que en esencia nos manifiesta el teorema es que la pendiente de la recta
−1
tangente a f ( m1 ) y la pendiente de la recta tangente a f ( m2 ) se relacionan
1
de la forma m2 = . Y que se puede encontrar la derivada de la inversa f
−1
,
m1
trabajando con f en el punto correspondiente. Es decir, sin necesidad de conocer
−1
la regla de correspondencia de f .
Fig. 3.15
Ejemplo 1
⎡d −1 ⎤
Sea f ( x ) = x + 2 x + 1 una función estrictamente monótona. Hallar ⎢ ⎥ (4 )
5
f
⎣ dx ⎦
SOLUCIÓN:
En este caso "4" es rango para f por tanto habrá que encontrar el correspondiente x para reemplazarlo en:
⎡d −1 ⎤ 1
⎢ dx f ⎥ (4) = f ´(x )
⎣ ⎦
Entonces, teniendo 4 = x + 2 x + 1 por inspección deducimos que x = 1 la satisface.
5
⎡d −1 ⎤ 1 1 1
Por lo tanto, ⎢ f ⎥ (4) = f ´(1) = =
⎣ dx ⎦ 5(1) + 2 7
4
No olvide que este resultado significa que la recta tangente a f en el punto (1,4 ) tiene pendiente m = 7 y
por tanto su ecuación sería: y − 4 = 7(x − 1)
en el punto correspondiente (4,1) tiene pendiente m =
−1 1
En cambio, la recta tangente a f y por
7
ecuación: y − 1 =
1
(x − 4 )
7
114

41. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
Ejemplo 2
Obtenga la derivada para la función inversa de f ( x) = e empleando el teorema de la
x
derivada de la función inversa.
SOLUCIÓN:
⎡ d −1 ⎤
f ⎥(x ) =
1
De acuerdo al Teorema de la Derivada de la Función Inversa ⎢
⎣ dx ⎦ f ´( y )
Como f ( x ) = y = e x tenemos que f ´(x ) = e x y f ´( y ) = e y y además al cambiar la variable resulta
x = e y , lo cual nos permite decir que: f ´( y ) = x
⎡d −1 ⎤ 1 1
Bien, reemplazando ⎢ f ⎥ ( x) = f ´( y ) = x
⎣ dx ⎦
(No olvide la inversa de la función exponencial es la logarítmica, es decir: f −1 ( x) = ln x , cuya derivada la
determinamos con su definición)
3.6.7.3 Derivadas de las Funciones Trigonométricas
Inversas
D x (arcsen x ) =
1
; −1 < x < 1
1− x2
D x (arccos x ) = −
1
;−1 < x < 1
1− x2
D x (arctg x ) =
1
1+ x2
1
Dx ( arc co tg x ) = −
1 + x2
D x (arc sec x ) =
1
; x >1
x x2 −1
Demostración:
Demostraremos la primera.
Planteemos el problema de la siguiente manera:
Sea f ( x) = y = sen x hallar D x f [ −1
]
( x) = D x [arcsen x ]
SOLUCIÓN:
Aplicando el teorema de la Derivada de la función inversa tenemos:
[
Dx f −1
]
( x) = D x [arcsenx] =
1
f ´( y )
Entonces, f ´( y ) = cos y . Ahora habrá que encontrar cos y , sabiendo que x = seny (cambiando la
variable en la función dada).
x
Por trigonometría, decir que seny = significa que cos y = 1 − x 2 (observe la figura 3.16)
1
115

42. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
Fig. 3.16
Por lo tanto, D x [arcsenx] =
1 1
= L.Q.Q.D.
cos y 1− x2
Las fórmulas anteriores pueden ser generalizadas para una función
u = u (x)
D x (arcsen u ) =
1
u´ ;−1 < u < 1
1− u2
D x (arccos u ) = −
1
u´ ;−1 < u < 1
1− u2
D x (arctg u ) =
1
u´
1+ u2
D x (arc sec u ) =
1
u´ ; u > 1
u u 2 −1
Ejemplo
⎛ y⎞
Hallar y´ para arc tg⎜ ⎟ = ln x2 + y2
⎝x⎠
SOLUCIÓN:
Derivando implícitamente, tenemos:
⎡ ⎛ y ⎞⎤
[ (
Dx ⎢arc tg ⎜ ⎟⎥ = Dx 1 ln x 2 + y 2
⎣ ⎝ x ⎠⎦ 2
)]
1 ⎛ y⎞ 1
D ⎜ ⎟=
2 x⎝ x ⎠ 2 2
1
x + y2
Dx x 2 + y 2 ( )
⎛y⎞
1+ ⎜ ⎟
⎝x⎠
⎡ y´x − y (1) ⎤
1 1
[2 x + 2 yy´]
y2
1+ 2 ⎣
⎢
x2
⎥= 2
(
⎦ 2x +y
2 )
x
1 ⎡ xy´− y ⎤ 2(x + yy´)
/
⎢ ⎥=
x2 + y2 ⎣ x2 ⎦ 2 x2 + y2
/ ( )
2
x
x 2 (xy´− y )
x + yy´
(
x2 x2 + y2
=
)
x2 + y 2
xy´− y = x + yy´
xy´− yy´= x + y
x+ y
y´=
x− y
116

43. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
Ejercicios Propuestos 3.9
⎛ d −1 ⎞
1. Si f (x ) = x + 3 x + 2 hallar ⎜
7 3
f ⎟(6 )
⎝ dx ⎠
⎛ d −1 ⎞
Si f (x ) = x − 3x + 1 para x > 3 f ⎟ (5) .
2
2. ; hallar ⎜
2 ⎝ dx ⎠
3.
⎛ dg ⎞ π
Hallar ⎜ ⎟
⎝ dx ⎠ 4
()
, si g es la función inversa de f tal que: f (x ) = ln x + arc tg x
4. Si f es una función inversible y diferenciable. Si en el punto ( 2,4) ∈ f , la recta tangente es paralela a la
⎛ d −1 ⎞
recta x − 3 y + 2 = 0 determine el valor de ⎜ f ⎟(4 ) .
⎝ dx ⎠
Hallar la ecuación de la recta tangente a la inversa de la función f ( x) = x + 2 x − 3 en el punto
3
5.
(0, f −1
(0) )
6. Determine la ecuación de la recta tangente a la función y = f −1( x ) en el punto ( −2, f −1
(−2) ) donde
f ( x) = 3 x3 + 2 x + 3, x ∈ IR
7. Hallar la ecuación de la recta normal a la inversa de f en ( 2a, f −1
(2a) ) si se conoce que
f ´(a ) = f (a ) = 2a .
⎛ d −1 ⎞
8. Hallar ⎜ f ⎟(0) conociendo que la ecuación cos(xy ) + x − 3 y = 2 define una función invertible
⎝ dx ⎠
(y = f (x) ) en un intervalo que contiene el punto x = 1 y f (1) = 0
dy
9. Calcular , para :
dx
⎡ ⎤ ⎛ 4senx ⎞
a. y = xarcsenx − ln ⎢ x + x 2 + 1 ⎥ c. y = arctg ⎜ ⎟
⎣ ⎦ ⎝ 3 + 5 cos x ⎠
b.
⎛x⎞
(
y = xarctg ⎜ ⎟ − ln x 2 + 4 ) d.
3
(
y = e arctg x + senx )
⎝2⎠
3.6.8 DERIVACIÓN LOGARÍTMICA
Cuando las reglas de correspondencia de los lugares geométricos son un tanto
complicadas o cuando son funciones potenciales de la forma y = f ( x )
g ( x)
, lo
mejor será aplicar logaritmo y derivar implícitamente.
Ejemplo 1
dy
Hallar para y = x x
dx
SOLUCIÓN:
Primero, aplicando logaritmo, tenemos:
ln y = ln x x
ln y = x ln x
Ahora derivando implícitamente, resulta:
117

44. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
Dx (ln y ) = Dx (x ln x )
1 ⎛1⎞
y´= (1) ln x + x⎜ ⎟
y ⎝x⎠
y´= y[ln x + 1]
y´= x x [ln x + 1]
Ejemplo 2
para y = [sen 2 x ]arctg x
dy
Hallar
dx
SOLUCIÓN:
Primero, aplicando logaritmo, tenemos:
(
ln y = ln [sen 2 x ]arctg x)
ln y = arctg x ln (sen 2 x )
Ahora derivando implícitamente, resulta:
Dx ln y = Dx [arctg x ln (sen 2 x )]
⎡ 1
1
y´=
1
ln (sen 2 x ) + arctg x ⎢ (cos 2 x )(2)⎤
⎥
y 1+ x 2
⎣ sen 2 x ⎦
⎡ ln (sen 2 x ) 2 arctg x cos 2 x ⎤
y´= y ⎢ + ⎥
⎣ 1 + x2 sen 2 x ⎦
⎡ ln (sen 2 x ) 2 arctg x cos 2 x ⎤
y´= [sen 2 x ]arctg x ⎢ + ⎥
⎣ 1 + x2 sen 2 x ⎦
Ejemplo 3
y = xx
x
dy
Hallar para
dx
SOLUCIÓN:
Ahora, hay que aplicar dos veces logaritmo.
Primero, aplicando logaritmo tenemos:
ln y = ln x x( )x
ln y = x x ln x
Luego, volvemos a aplicar logaritmo:
(
ln (ln y ) = ln x x ln x )
ln(ln y ) = ln x + ln(ln x)
x
ln(ln y ) = x ln x + ln(ln x)
Y ahora sí, derivamos implícitamente:
118

45. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
D x [ln(ln y )] = D x [x ln x + ln(ln x)]
1 1 1 1 1
y´= (1) ln x + x +
ln y y x ln x x
⎡ 1 ⎤
y´= y ln y ⎢ln x + 1 +
⎣ x ln x ⎥
⎦
x x ⎡ 1 ⎤
y´= x x ln x x ⎢ln x + 1 +
⎣ x ln x ⎥
⎦
x ⎡ 1 ⎤
y´= x x x x ln x ⎢ln x + 1 +
⎣ x ln x ⎥
⎦
Existen situaciones en que es recomendable emplear la derivación logarítmica
Ejemplo
dy x 2 + 2 3 1 + arctg x
Hallar para y =
dx 4
1 + ex
SOLUCIÓN:
Primero, aplicando logaritmo, tenemos:
⎡ x 2 + 2 3 1 + arctg x ⎤
ln[ y ] = ln ⎢ ⎥
⎢ 4
1 + ex ⎥
⎣ ⎦
ln y = 1 ln
2
(x 2
)
+ 2 + 1 ln (1 + arctg x ) − 1 ln 1 + e x
3 4
( )
Ahora derivando implícitamente, resulta:
( ( )
Dx (ln y ) = Dx 1 ln x 2 + 2 + 1 ln (1 + arctgx ) − 1 ln 1 + e x
2 3 4
( )
1
y
y´=
1 1
2 x2 + 2
⎛ ⎞
(2 x ) + 1 1 ⎜ 1 2 ⎟ − 1 1 x e x
3 1 + arctgx ⎜ 1 + x ⎟ 4 1 + e
⎝ ⎠
( )
⎡1 1
y´= y ⎢
⎢ 2 x2 + 2
(2 x ) + 1 1 ⎜ 1 2
⎛
3 1 + arctgx ⎜ 1 + x
⎝
⎞ 1 1
⎟
⎟− 4
⎠ 1+ e x
( )
⎤
ex ⎥
⎥
⎣ ⎦
Finalmente, reemplazando resulta:
y´=
x 2 + 2 3 1 + arctgx ⎡ 1 1
⎢
⎢ 2 x2 + 2
(2 x ) + 1 1 ⎜ 1 2
⎛
3 1 + arctgx ⎜ 1 + x
⎝
⎞ 1 1
⎟−
⎟ 4
⎠ 1+ e x
( ) ⎤
ex ⎥
⎥
4
1+ e x ⎣ ⎦
Ejercicios Propuestos 3.10
dy
1. Calcular , para :
dx
sec 5 x 3 tgx + 1 e. y = xnnx
a. y=
csc x 3 − 4
(
⎡ arcsen sen 2 x ⎤ ) arctg 2 x
b. y=
4
x 3 cos 4 x
3
1− x2 f. y=⎢
⎣ (2
⎢ arccos cos x ⎥
⎥
⎦ )
(4x − x ) 3 5
119

46. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
c. y=
3
x −1
( x + 2 ) ( x + 3)
2 3
arcsen(e x )
2
g. (
y = arcsen 1 + e 2 x( ))
sec x
h. y = (ln(sen(3x)))arctg(cos(3x))
3x
d. y=x i. (x + y ) y = x2 + y2
y = (1 + x 2 )
x
j.
2. Determine la ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación y = 1 + e x ( )ln(x+1) en el
punto (0,1)
y x
3. Determine la ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación. x + y = 2 en el punto (1,1) .
d2y
4. Determine
2
(1,2) , si existe, para x y + xy = 3
dx
3.7 FUNCIONES HIPERBÓLICAS.
Existen funciones especiales, denominadas Hiperbólicas, que se definen a
partir de la función exponencial.
3.7.1 FUNCIÓN SENOHIPERBÓLICO
e x − e− x
Su regla de correspondencia es y = f ( x) = senhx =
2
Por tanto su gráfica sería:
Fig. 3.17
3.7.2 FUNCIÓN COSENOHIPERBÓLICO
e x + e −x
Su regla de correspondencia es: y = f ( x) = cosh x =
2
120

47. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
Por tanto su gráfica sería:
Fig. 3.18
3.7.3 FUNCIÓN TANGENTEHIPERBÓLICA
Su regla de correspondencia es:
senhx e x − e − x
y = f ( x) = tghx = =
cosh x e x + e − x
Por tanto, su gráfica sería:
Fig. 3.19
Se puede demostrar que cosh 2 x − senh 2 x = 1
121

48. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
3.7.4 DERIVADAS DE FUNCIONES HIPERBÓLICAS
D x (senh x ) = cosh x
D x (cosh x ) = senh x
D x (tgh x ) = sec h 2 x
D x (c tgh x ) = − csc h 2 x
D x (sec hx ) = − sec hx tgh x
D x (csc hx ) = − csc hxc tgh x
¡Demuéstrelas!
Misceláneos
1. Determine si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Justifique formalmente su respuesta.
⎛ d( f g)⎞
a) Si f ´(2) = g´(2) = g ( 2) = 2 entonces ⎜ ⎟ ( 2) = 4
⎝ dx ⎠
b) La función f ( x) = sen x no es derivable en x = 0
c) Si f y g son derivables en x = c y f ´(c) = g (c) = 0 y h( x) = f ( x) g ( x) entonces
h´(c) = 0 .
La ecuación de la recta tangente a la curva y = x en el punto (1,1) es y − 1 = 3(x − 1) .
3
d)
sen x − 1
e) La expresión lim es la derivada de f ( x) = sen x cuando x = π .
x→ π
2 x− π 2
2
f) La función f ( x ) = 6 x3 + 5 x − 3 no tiene rectas tangentes con pendiente 4.
xx xx x⎛ 1⎞
g) Si y ( x) = x entonces y´(x ) = x x ⎜ ln x + ln 2 x + ⎟
⎝ x⎠
h) Si g ( x) = f e ( f ( x) ) tal que f (0) = ln 2 , f ´(0) = −2 y f ´(2) = 3 entonces g´(0) = −12
i) [ ]
Si f es una función continua en el intervalo cerrado a, b y f ( a ) = f (b) entonces en algún punto
del intervalo abierto (a, b ) , la función f tiene una recta tangente que es paralela al eje x .
⎛ d −1 ⎞ 1
j) Si f es una función invertible entonces ⎜ f ⎟( x ) = .
⎝ dx ⎠ f ´(x)
k) Si f , g y h son funciones tales que (f g h )´(2) = 4 , g (1) = g´(1) = −1 y
h(2) = h´(2) = 1 entonces f ´(−1) = 0
l) Si f es una función inversible y derivable tal que f ´(1) = 4 y f (1) = −2 entonces
⎛ d −1 ⎞
⎜ f ⎟ ( −2 ) = 1 .
⎝ dx ⎠
122

49. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
m) Si h( x) = f (1 + f (1 + f ( x)) ) , f (1) = 1 , f ( 2) = −1 , f ´(1) = 5 , f ´(2) = −2 y f ´(0) = 3
entonces h´(1) = −30
⎧2 x − 1; x ≥ 1
⎪
n) La función de variable real f con regla de correspondencia f ( x ) = ⎨ x ; 0 ≤ x < 1 es derivable
⎪ 3x ; x < 0
⎩
en todo su dominio.
⎧ g ( x) ;x ≤ 0
⎪ 2
⎪
o) Existen funciones g y h tales que la función f ( x ) = ⎨3 x − 5 x + 4 ;0 < x < 1 es derivable en
⎪ h( x) ;x ≥1
⎪
⎩
todo .
p) Si tenemos las curvas f ( x ) = x 2 + ax + b y g ( x ) = x3 + cx . Entonces no existen valores
a , b, c ∈ , tales que ellas posean una recta tangente común en el punto ( 2,2) .
y
q) Si la ecuación x = y x define una función y = f (x) entonces la ecuación de la recta tangente a f
en el punto (1,1) es y = x − 1 .
r) Si g es la función inversa de f ( x) = 2 x + ln x entonces g´(2) = 2 .
5
⎧
⎪ 3x ;x ≤1
s) Si f es una función de variable real tal que f ( x ) = ⎨ entonces f ´(1) existe.
⎪ 2 ⎩x + 2 ; x > 1
t) f ´(2) = g´(2) = g (2) = 2 entonces ( f g )´(2) = 4 .
u) Si f (c) = g (c ) = 0 y h( x) = f ( x) g ( x) entonces h´(c) = 0
v) Si C es un lugar geométrico en el plano cuyos puntos satisfacen la ecuación:
2 2
x y
2
+ 2 = 1 ; a, b ∈ − {0} , entonces la recta tangente a C en cualquier punto
a b
P (x0 , y0 )∈ C , tiene por ecuación
x0 y y y
+ 0 =1
a2 b2
w) Si f y g son funciones de en tales que f ´= g´ entonces f = g
dy
2. Encuentre para
dx
x 2 y 2 + ecos(x + y ) = x cos y
2 2
a. x2 + 2 3 1 + arctg x
h. y ( x) =
( )ln x
4
1 + ex
b. y ( x) = x 2 + 1
y ( x) = (sen3 x )arctg (x )
sen (ln 2 (cos x + e3 x )
2
i.
c. y ( x) =
y ( x) = arcsen(ln x ) + earctg x
2
j.
y arctg⎛ 1 ⎞ = 1 −
x
d. ⎜ y⎟
⎝ ⎠ y2
ln (x + y ) = arctg⎛
⎜
x⎞
y⎟
k.
x x ⎝ ⎠
y ( x) = xe + e x
( )
e.
l. y ( x) = e tg x tg e x
f. y ( x) = x cos x + x
m. (x + y ) y = x 2
2 + 3x
g. y ( x) = ln
2 − 3x
123

50. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
3. Hallar
d
dx
[ ]
[ f ( x)]2 + 1
⎧ 4 ⎛ 1 ⎞
⎪ x sen⎜ x 4 ⎟ ;x < 0
⎝ ⎠
⎪
4. Determine los valores para " a ", " b " y " c " de modo que la función f ( x ) = ⎨ ax + b ;0 ≤ x ≤ 1
⎪ 2
⎪ cx + d ;x > 1
⎩
Sea continua en x=0 y derivable en x = 1 . Además determine, de ser posible,
[ f ´(−2)].[ f (1 )] − f ´(π + 1)
2
⎧ x = 2 sec t
5. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva definida por las ecuaciones paramétricas ⎨
⎩ y = 2tant
π
en t = −
6
(x + 1)2 + 3 determine el valor de (g f )´(1) .
2
6. Si f ´(x) = x3e x , f (1) = 0 y g ( x) =
7. Determine las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva definida por las ecuaciones paramétricas
⎧ x = cos t
⎨ en el punto (0,0) .
⎩ y = sen t cos t
8. Determine la ecuación de la recta tangente a la función f en x = 1 donde f , g y h son funciones
2 ( )
diferenciables en todo IR . f tiene como regla de correspondencia a f ( x ) = h x g ( x) y se conoce que
g (1) = 2 , g´(1) = −2 , h´(2) = −3 y h(2) = −1
9. [ ] [ ]
Determine los puntos del intervalo −1,2 donde la función f ( x ) = x + x − 1 sea derivable.
⎛ d −1 ⎞ 1
10. Determine los valores reales que puede tomar " k " para que ⎜ f ⎟(1) = 2 . Considere que
⎝ dx ⎠ k + 5k
f (4) = 1 y f ´(x) = − x 2 + 10 x .
⎧ x = arccos t
11. Para la función y = f (x) cuyas ecuaciones paramétricas son ⎨ , t ∈ (−1,1) determine
⎩ y = arcsen t − t
d3y
.
dx3
⎧x = 1 + t 2
⎪ d3y
12. Para la función y = f (x) cuyas ecuaciones paramétricas son ⎨ , t > 0 determine en el
⎪ y = t ln t
⎩ dx3
punto ( 2,0)
13. Determine a, b y c conociendo que las curvas y = x 2 + ax + b y y = cx − x 2 tienen una recta tangente
común en el punto (1,0) .
( y
)
14. Determine la ecuación de la recta tangente a la curva cuya ecuación es ln x 2 − y − tg = xy en el punto
x
(1,0) .
15. Encuentre la ecuación de la recta normal a la curva C en el punto (1,2) . Donde C está definida por las
⎧x = 2t 2
⎪ t +1 , t ∈ IR − {−1,0}
ecuaciones paramétricas ⎨
⎪y = 3−t
⎩ t
124

51. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada
d2y ⎧ x = et cos t
⎪
16. Hallar para ⎨ , t ∈ IR
2
dx ⎪ y = et sen t
⎩
en el punto (0, π ) donde x e y satisfacen la ecuación xy + sen (x + y ) − x = 0 .
dy 2
17. Hallar
dx
−1 y 2
18. Sea y = f (x) función tal que h = f . Sea y ≥ 0 si h( y ) = − calcular f ´(1)
y +1 y + 2
19. Determine la ecuación de la recta tangente y normal a la curva definida por las ecuaciones paramétricas
⎧ x = a cos3 t ⎛ ⎛ ⎛ 2⎞ ⎞
3 3
⎪ 2⎞
⎨ [ ]
; t ∈ 0,2π ; a > 0 en el punto ⎜ − a⎜
⎜ ⎝ ⎟ , a⎜ 2 ⎟ ⎟ .
⎪ 3 2 ⎠ ⎝ ⎠ ⎟
⎩ y = a sen t ⎝ ⎠
20. Determine los valores de a, b, c para que las funciones f y f ´ sean continuas en todo su dominio; donde f
⎪sen x + a ; x ≥ 0
⎧
es una función tal que f ( x ) = ⎨ .
⎪ x
⎩ be + c ; x < 0
21. Determine la ecuación de la recta tangente a la curva definida por las ecuaciones paramétricas
⎧ x = (1 + cos t )cos t
⎨ en t = π .
⎩ y = (1 + cos t )sen t 2
( )
22. Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación y + cos xy 2 + 3 x 2 = 4 ; en el
punto (1,0) .
23. Hallar le ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación xy + ln y = 1 ; en el punto (1,1) .
⎧ x = 2t − t 2
⎪
24. Determine la ecuación de la recta tangente a la curva definida por las ecuaciones paramétricas ⎨
⎪ y = 3t − t 3
⎩
en el punto (1,2 ) .
[ ]
25. Demuestre que la derivada de F ( x ) = sen x f (cos x) es una función Par.
26. Determine el valor de k de manera que la recta definida por 3 x − y + k = 0 sea tangente a la parábola
definida por y = 2 x − 5 x + 1 .
2
d 50 ⎡ 1 − x ⎤
27. Hallar ⎢ ⎥
dx50 ⎣1 + x ⎦
28. Determine la ecuación de la recta tangente a la curva definida por las ecuaciones paramétricas
⎧ x = e 2t − 1
⎪
⎨ cuando t = 0
⎪ y = e − 2t + 2
⎩
29. Determine la ecuación de la recta tangente a la función f cuya regla de correspondencia es
f ( x) = x − 6 x + 6 , y además dicha recta es paralela a la recta que contiene al origen y al vértice de la
2
parábola.
inversible y con regla de correspondencia f ( x ) = x + 3 x − 10
3
30. Si f es una función de en
⎡ d −1 ⎤
entonces determine ⎢ f ⎥ (4)
⎣ dx ⎦
125