Metodología y enseñanza del cálculo vectorial

Índice general
Prólogo V
Metodología de la enseñanza del cálculo vectorial VII
1. Funciones de varias variables 1
1.1. Fundamentos conceptuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1. Representación grá…ca de una función de dos variables . . . 2
1.1.2. Líneas y super…cies de nivel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.3. Límites y continuidad en funciones de varias variables . . . 3
1.1.4. Actividades de aprendizaje 1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2. Derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.1. Interpretación geométrica de la derivada parcial . . . . . . . 10
1.2.2. Incremento y diferencial total de una función . . . . . . . . . 11
1.2.3. Cálculos aproximados aplicando la diferencial total . . . . . 12
1.2.4. Aplicación de la diferencial en errores de cálculo . . . . . . . 12
1.2.5. Derivación de funciones compuestas . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.6. Derivada direccionada y gradiente de una función . . . . . . 13
1.2.7. Derivadas parciales y diferenciales de orden superior . . . . 14
1.3. Diferenciales exactas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.3.1. Derivación de funciones implícitas . . . . . . . . . . . . . . . . 26
iii

iv ÍNDICE GENERAL
1.3.2. Plano tangente y normal de una super…cie . . . . . . . . . . . 26
1.3.3. Extremo de una función de dos variables . . . . . . . . . . . . 27
1.3.4. Condiciones necesarias para la existencia de un extremo . . 27
1.4. Actividades de refuerzo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.5. Anexo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2. Integrales múltiples 45
2.1. Fundamentos conceptuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.1.1. Límites de integración en la integral doble . . . . . . . . . . . 46
2.1.2. Integral doble en coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . 47
2.1.3. Integral doble en coordenadas curvilíneas . . . . . . . . . . . 48
2.1.4. Cálculo de áreas de …guras planas . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.2. Cálculo de volúmenes y super…cies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.2.1. Volúmenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.2.2. Áreas super…ciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.3. Integral triple en coordenadas rectangulares . . . . . . . . . . . . . . 63
2.3.1. Integral triple en coordenadas cilíndricas . . . . . . . . . . . . 63
2.3.2. Integral triple en coordenadas esféricas . . . . . . . . . . . . . 64
2.3.3. Cambio de variables en la integral triple . . . . . . . . . . . . 64
2.3.4. Cálculo de volúmenes con la integral triple . . . . . . . . . . 65
2.4. Actividades de refuerzo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.5. Anexo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Prólogo
Este trabajo surgió a partir de la preocupación sobre la forma en que tradicionalmente
se ha enseñado el cálculo vectorial en la cual, en lugar de favorecer el desarrollo del
pensamiento matemático, propendía el memorismo del estudiante. Por su parte, estamos
seguros de que la resolución de un adecuado número de ejercicios y problemas, a partir
de conceptos básicos, permitirá al estudiante despertar su creatividad para encontrar
soluciones a problemas reales.
Justamente ese es el esquema propuesto en este texto: al inicio de cada capítulo se
ofrece una breve introducción teórica con las de…niciones y ecuaciones más importantes
relativas al tema expuesto. Luego, se presentan algunos ejercicios y problemas resueltos
de tal forma que el estudiante pueda fácilmente comprender, interpretar y describir los
elementos esenciales de las funciones en algunas variables y las integrales múltiples con
sus aplicaciones respectivas. Al …nal, se presentan ejercicios propuestos como refuerzo de
lo aprendido para obtener un aprendizaje signi…cativo.
En cada una de sus partes se explica lo más importante del cálculo vectorial y se
propicia la habilidad de razonar mediante la combinación de dos elementos esenciales de
la matemática: la abstracción y la aplicación
v

Metodología de la enseñanza del
cálculo vectorial
Este aporte metodológico quiere resaltar la potencia del cálculo vectorial para explicar
principios fundamentales y simpli…car cálculos en la ingeniería.
Para ello se ha seleccionado ejercicios y problemas adecuados que permitan describir
resultados importantes que se enuncian como de…niciones y teoremas. Conocemos clara-
mente que en todo texto de cálculo vectorial los teoremas vienen acompañados de sus
respectivas demostraciones pero, en este trabajo, eso es una excepción pues solo se enun-
cian y se aplican inmediatamente en la resolución de los ejercicios y problemas.
Al …nal de cada capítulo se proponen ejercicios para que los estudiantes desarrollen
y refuercen sus conocimientos. La práctica pedagógica ha demostrado que el número de
ejercicios y problemas que se desarrollen es fundamental para cubrir las necesidades y
lograr un aprendizaje signi…cativo.
En el siguiente diagrama se describe la metodología a seguirse:
TEMA A TRATARSETEMA A TRATARSE
FUNDAMENTO
CONCEPTUAL
FUNDAMENTO
CONCEPTUAL
PROBLEMA SELECCIONADOPROBLEMA SELECCIONADO
DESCRIPCIÓN DE ELEMENTOSDESCRIPCIÓN DE ELEMENTOS
RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA E
INTERPRETACIÓN DE RESULTADOS
RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA E
INTERPRETACIÓN DE RESULTADOS
Elaborado por: M.Sc. Wilson Bravo Quezada
Revisado por: M.Sc Wilson Benavides Ibujés
vii

viii METODOLOGÍA DE LA ENSEÑANZA DEL CÁLCULO VECTORIAL

Capítulo 1
Funciones de varias variables
1.1. Fundamentos conceptuales
De…nición 1.1 Si para todo conjunto de valores de las n variables x1; x2; :::; xn, inde-
pendientes una de otra, tomadas de cierto campo D de su variación, le corresponde un
valor determinado de la variable u, entonces esta última es una función de las variables
independientes x1; x2; :::; xn, de…nida en el campo D.
Simbólicamente una función de n variables se nota o representa como:
u = F (x1; x2; :::; xn), u = f (x1; x2; :::; xn), u = ' (x1; x2; :::; xn) ; entre otras formas.
De…nición 1.2 El conjunto de las n-uplas (x1; x2; :::; xn) de los valores de x1; x2; :::; xn,
para los cuáles está de…nida la función u = f (x1; x2; :::; xn), se denomina dominio de
de…nición o campo (dominio) de existencia de la función.
Los dominios de de…nición para funciones de dos y tres variables estarán constituidas
por conjuntos de pares (x; y) R2
y ternas (x; y; z) R3
, respectivamente.
La línea que limita el dominio dado se denomina frontera de este dominio.
Los puntos del dominio que no pertenecen a la frontera son puntos interiores del
dominio.
Todo dominio integrado solo de puntos interiores se denomina dominio abierto.
Un dominio que incluye también los puntos de la frontera es un dominio cerrado.
Se dice dominio acotado, cuando existe una magnitud constante k tal que la distancia
entre todo punto P del dominio y el origen de coordenadas sea menor que k: jOPj < k.
Es necesario tomar en cuenta que el dominio de de…nición para una función de 4 o
más variables no puede interpretarse geométricamente.
1

2 CAPÍTULO 1. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
1.1.1. Representación grá…ca de una función de dos variables
Sea la función z = f(x; y), de…nida en el dominio D del plano 0xy y 0xyz, un sistema
de coordenadas cartesianas en el espacio como se indica en la …gura. En cada punto (x; y)
del dominio D se levanta un segmento de altura f(x; y) perpendicular al plano 0xy y
marcando un punto P de coordenadas x; y; z = f(x; y).
G
Y
Z
X
0
x
y
P=(x, y, z)
z
De…nición 1.3 El lugar geométrico de los puntos P = (x; y), cuyas coordenadas satis-
facen a la función z = f(x; y), se denomina grá…ca de la función con dos variables.
1.1.2. Líneas y super…cies de nivel
De…nición 1.4 Se denomina línea de nivel de una función z = f (x; y), a la línea
f (x; y) = k del plano cartesiano, en cuyos puntos la función toma un valor constante
z = k.
De…nición 1.5 Se conoce como super…cie de nivel de una función u = f (x; y; z), aquella
super…cie f (x; y; z) = k del espacio, en cuyos puntos la función toma un valor constante
u = k.
En la …gura siguiente, podemos diferenciar la línea con la super…cie de nivel
Z
Y
X
0
Superficie de nivel
Línea de nivel

1.1. FUNDAMENTOS CONCEPTUALES 3
1.1.3. Límites y continuidad en funciones de varias variables
De…nición 1.6 Se denomina límite de una función u = f (x1; x2; :::; xn) a la cantidad
escalar L, cuando el punto P0
= (x1; x2; :::; xn) se acerca al punto P = (a1; a2; :::; an), es
decir: para cualquier " > 0, existe un > 0 tal que 0 < < , veri…ca la desigualdad
jf (x1; x2; :::; xn) Lj < ".
La distancia entre los puntos P y P0
es = 2
q
(x1 a1)2
+ (x2 a2)2
+ ::: + (xn an)2
.
En este caso se escribe: l m f (x1; x2; :::; xn)
(x1;x2;:::;xn) !(a1;a2;:::;an)
= L o l m
x1 !a1
x2 !a2
...
xn !an
f (x1; x2; :::; xn) = L:
Si n = 2, z = f(x; y) y n = 3, u = f(x; y; z), entonces los límites de las funciones z y
u se de…nen como:
l m
x !a1
y !a2
f (x; y) = L y l m
x !a1
y !a2
z !a3
f (x; y; z) = L
De…nición 1.7 La función u = f (x1; x2; :::; xn) recibe el nombre de continua en el punto
P = (a1; a2; :::; an) si:
l m f (x1; x2; :::; xn)
(x1;x2;:::;xn) !(a1;a2;:::;an)
= f (a1; a2; :::; an) o l m
x1 !a1
x2 !a2
...
xn !an
f (x1; x2; :::; xn) = f (a1; a2; :::; an).
Si n = 2, z = f(x; y) y n = 3, u = f(x; y; z), entonces la continuidad de las funciones
z y u se de…nen como:
l m
x !a1
y !a2
f (x; y) = f(a1; a2) y l m
x !a1
y !a2
z !a3
f (x; y; z) = f(a1; a2; a3)
Teorema 1 Sean f, g funciones de n variables con dominio D; P = (a1; a2; :::; an) un
punto de frontera de D; L y M son números reales; entonces si l m f (x1; x2; :::; xn)
(x1;x2;:::;xn) !(a1;a2;:::;an)
= L
y l m g (x1; x2; :::; xn)
(x1;x2;:::;xn) !(a1;a2;:::;an)
= M, se cumple:
1. l m [f (x1; x2; :::; xn) g (x1; x2; :::; xn)]
(x1;x2;:::;xn) !(a1;a2;:::;an)
= L M.
2. l m [f (x1; x2; :::; xn) g (x1; x2; :::; xn)]
(x1;x2;:::;xn) !(a1;a2;:::;an)
= L M.
3. l m [k f (x1; x2; :::; xn)] = k L;
(x1;x2;:::;xn) !(a1;a2;:::;an)
k R.

4. l m [f (x1; x2; :::; xn) g (x1; x2; :::; xn)]
(x1;x2;:::;xn) !(a1;a2;:::;an)
= L M ; M 6= 0.
5. l m [f (x1; x2; :::; xn)]
m
n = L
m
n
(x1;x2;:::;xn) !(a1;a2;:::;an)
; m; n Z; n 6= 0.
Este teorema es una extensión a n variables del teorema de límites en una variable.
1.1.4. Actividades de aprendizaje 1.1
Aplicando las de…niciones y propiedades de los temas tratados en esta primera parte,
se resuelve los ejercicios y/o problemas siguientes:
1. Exprese el volumen de un cono de base circular en función de su altura y y su arista
lateral x:
Construyendo el cono de base circular, observamos:
x y
r CA
B
En el triángulo ABC formado por la arista x, la altura y y el radio r de la base,
mediante el teorema de Pitágoras obtenemos: r2
+ y2
= x2
! r2
= x2
y2
.
El área de la base circular es: A = r2
= (x2
y2
).
El volumen del cono se determina mediante la expresión: V = 1
3
h
Area base
i
[Altura].
Es decir:
V = 1
3
[ (x2
y2
)] [y] = 1
3
y(x2
y2
).
2. Determine los valores que toma la función f(x; y) = 2 x + y en los puntos de la
hipérbola y = 1
x
, y construya la grá…ca de la función f(x; 1
x
).
Como f(x; y) = 2 x + y, entonces F(x) = f(x; 1
x
) = 2 x + 1
x
.

Y
X0 1 2 3 4 5-1-3-4 -2-5
5
10
-5
-10
F(x) = y = 2 x + 1
x
3. Evalúe f(1
p
; 1
q
), f(p + q; p q), f( p; q), 1
f(p;q)
, si f(p; q) = p2 q2
2pq
.
Ingresando los nuevos argumentos en la función f(p; q) = p2 q2
2pq
, tenemos:
f(1
p
; 1
q
) =
(1
p )
2
(1
q )
2
2(1
p )(1
q )
=
1
p2
1
q2
2 1
pq
=
q2 p2
p2q2
2 1
pq
= q2 p2
2pq
= p2 q2
2pq
= f(p; q).
f(p + q; p q) = (p+q)2
(p q)2
2(p+q)(p q)
= p2+2pq+q2 p2+2pq q2
2(p2 q2)
= 4pq
2(p2 q2)
= 2pq
p2 q2 = 1
f(p;q)
.
f( p; q) = ( p)2
( q)2
2( p)( q)
= p2 q2
2pq
= f(p; q).
1
f(p;q)
= 1
p2 q2
2pq
= 2pq
p2 q2 .
4. Determine f(x; y), si f(x + y; x
y
) = xy + y2
.
Si
u = x + y
v = x
y
, entonces x = uv
v+1
; y = u
v+1
Como f(x + y; x
y
) = f(u; v), es decir:
f(u; v) = uv
v+1
u
v+1
+ u
v+1
2
= u2v+u2
(v+1)2 = u2(v+1)
(v+1)2 = u2
v+1
.
Luego: f(x; y) = x2
y+1
.
5. Sea z = 2
p
y + f( 2
p
x 1). Determine las funciones f y z si z = 1 para y = 1.
Por condición, tenemos:z = 2
p
y + f( 2
p
x 1), z = x y y = 1, entonces la expresión
toma la forma: x = 1 + f( 2
p
x 1), es decir: f( 2
p
x 1) = x 1.
Sustituyendo f( 2
p
x 1) = x 1 en z = 2
p
y + f( 2
p
x 1), tenemos: z = 2
p
y + x 1.

Si u = 2
p
x 1; x = (u + 1)2
y sustituyendo x en f( 2
p
x 1) = x 1, obtenemos:
f( 2
p
x 1) = f(u) = (u + 1)2
1 = u2
+ 2u.
Por tanto:
f(x) = x2
+ 2x.
6. Sea z = xf(y
x
). Determine las funciones f y z, si z = f(y) = 2
p
1 + y2 para x = 1.
Por condición, tenemos:z = f(y) = 2
p
1 + y2.
Ingresando el nuevo argumento: f(y
x
) = 2
q
1 + y
x
2
= 2
q
x2+y2
x2 =
2
p
x2+y2
jxj
.
Sustituyendo f(y
x
) =
2
p
x2+y2
jxj
en z = xf(y
x
), obtenemos: z = x
2
p
x2+y2
jxj
.
Para x = 1, la expresión toma la forma: z = 2
p
1 + y2.
7. Determine y represente los dominios de de…nición para las funciones siguientes:
a. f(x; y) = 2
p
4 x2 y2.
Para obtener soluciones reales, debe cumplir: 4 x2
y2
0 ! x2
+ y2
22
.
Luego: Dom f(x; y) = f(x; y) R2
=x2
+ y2
4g.
El campo de existencia es la parte interior del círculo de radio 2 con centro en el origen.
Y
X
2
20-2
-2
x2
+ y2
4
b. f(x; y) = x + arcsen(y).
Si u = arcsen(y); y = sen(u).
Las funciones seno y coseno varian en el intervalo 1 y 1 y x toma valores reales.
=x R ^ 1 y 1g.

Por tanto, el campo de existencia es una faja rectangular para cualquier valor de x
comprendida entre 1 y 1.
Y
X
1
-1
0
x R ^ 1 y 1
c. f(x; y) = 2
p
81 x4 + 2
p
y4 16.
Para obtener soluciones reales, debe cumplir:
81 x4
0 ^ y4
16 0 ! 3 x 3 ^ (y 2 _ y 2).
= 3 x 3 ^ (y 2 _ y 2)g.
Por tanto, el campo de existencia son dos fajas rectangulares comprendidas entre
3 x 3 ^ y 2 o 3 x 3 ^ y 2.
Y
X
1
-1
0 3-3
3 x 3 ^ (y 2 _ y 2)
d. f(x; y) = ln(x2
+ y).
Para que el logaritmo natural tenga soluciones reales, debe cumplir:
x2
+ y > 0 ! y > x2
=y > x2
g.
Por tanto, el campo de existencia son los puntos exteriores de la parábola y = x2
Y
0 X
y = -x2

e. f(x; y) = x
2
p
2y 2p
x
.
Para que la raíz cuadrada tenga soluciones reales, debe cumplir:
2y 2
p
x > 0 ! y > 1
2
2
p
x ^ x 0
Luego: Dom f(x; y) = (x; y) R2
=y > 1
2
2
p
x ^ x 0 .
Por tanto, el campo de existencia son los puntos exteriores de la rama parabólica
y = 1
2
2
p
x cuando x 0.
Y
0 X
y = x1/2
/2
8. Evalúe los límites siguientes, si es que existen:
a. l mx! 2
y!1
(xy3
xy + 3y2
)
l mx! 2
y!1
(xy3
xy + 3y2
) = ( 2) 13
( 2) 1 + 3 12
= 2 + 2 + 3 = 3.
b. l m
(x;y)!(0;0)
x2 y2
x2+y2
l m
(x;y)!(0;0)
x2 y2
x2+y2 = 02 02
02+02 = 0 0
0+0
= 0
0
: No existe límite.
c. l m
(x;y)!(0;0)
cos(x2+y2)
4x2+4y2
Cambiando a coordenadas polares y utilizando la regla de L’Hópital, tenemos:
l m
(x;y)!(0;0)
cos(x2+y2)
4x2+4y2 = l m
r!0
cos(r2)
4r2 = 1
4
l m
r!0
cos(r2)
r2
= 1
4
l m
r!0
2rsen(r2)
2r
= 1
4
l m
r!0
sen(r2
) = 1
4
0 = 0.
d. l mx!2
y!
x cos2
(xy sen(xy
3
)
l mx!2
y!
x cos2
(xy) sen(xy
3
) = 2 cos2
(2 ) sen(2
3
) = 2 (1)2
2p
3
2
= 2 1
2
p
3.

1.2. DERIVADAS PARCIALES 9
e. l m
(x;y)!(1;1)
x3 3x2y+3xy2 y3
x y
Factorizando y simpli…cando la función racional, tenemos:
l m
(x;y)!(1;1)
x3 3x2y+3xy2 y3
x y
= l m
(x;y)!(1;1)
(x y)2
= (1 1)2
= 0:
f. l m
(x;y)!(1;1)
x+y
x2 xy+y2
l m
(x;y)!(1;1)
x+y
x2 xy+y2 = l m
(x;y)!(1;1)
x
x2 xy+y2 + l m
(x;y)!(1;1)
y
x2 xy+y2 .
Dividiendo para x2
y y2
, tenemos:
l m
(x;y)!(1;1)
x+y
x2 xy+y2 = l m
(x;y)!(1;1)
x
x2
x2
x2
xy
x2 + y2
x2
+ l m
(x;y)!(1;1)
y
y2
x2
y2
xy
y2 + y2
y2
= l m
(x;y)!(1;1)
1
x
1 1
x
y+ 1
x2 y2 + l m
(x;y)!(1;1)
1
y
x2 1
y2 x 1
y
+1
=
1
1
1 1
1
1+ 1
12 12 +
1
1
12 1
12 1 1
1
+1
= 0
1 0+0
+ 0
0 0+1
= 0
g. l mx!1
y!k
(1 + y
x
)x
l mx!1
y!k
(1 + y
x
)x
= l m
x!1
(1 + k
x
)x
= l m
x!1
(1 + k
x
)
x
k
k
= ek
.
1.2. Derivadas parciales
De…nición 1.8 Sea una función f : A ! R, con A Rn
. Si u = f (x1; x2; :::; xi; :::; xn),
la derivada parcial respecto a la i-ésima variable independiente xi; 8i = 1; n de la función
u se de…ne como: @u
@xi
= l m
h !0
f(x1;x2;:::;xi+h;:::;xn) f(x1;x2;:::;xi;:::;xn)
h
, donde el incremento h se
realiza sólo en la variable xi.
La derivada parcial respecto a xi de la función u = f (x1; x2; :::; xi; :::; xn) se designa
por cualquiera de los símbolos:
@u
@xi
= @f
@xi
= u0
xi
= f0
xi
(x1; x2; :::; xi; :::; xn).
Para determinar las derivadas parciales de una función en varias variables, es evidente
que se utilicen las reglas de derivación ordinaria.
Si n = 2, z = f(x; y), entonces las derivadas parciales respecto a x e y se de…nen como:
@z
@x
= l m
h !0
f(x+h; y) f(x; y)
h
; @z
@y
= l m
h !0
f(x; y+h) f(x; y)
h
.

Si n = 3, u = f(x; y; z), entonces las derivadas parciales respecto a x, y y z se de…nen
como:
@u
@x
= l m
h !0
f(x+h; y; z) f(x; y; z)
h
; @u
@y
= l m
h !0
f(x; y+h; z) f(x; y; z)
h
; @u
@z
= l m
h !0
f(x; y; z+h) f(x; y; z)
h
.
1.2.1. Interpretación geométrica de la derivada parcial
Sea z = f(x; y) una ecuación de la super…cie representada en la …gura siguiente.
Z
Y
X
0
T’
T
P
B
A
NM
ß
a
Trazando el plano x = k (k constante). La intersección de este plano con la super…cie
determina la curva PT. Examinando en el plano 0xy un punto M = (x; y) para x dado. Al
punto M le corresponde el punto P = (x; y; z), de la super…cie z = f(x; y). Manteniendo
x constante y dando a la variable y un incremento y = MN = PT0
. La función z recibe
el incremento yz = TT0
(al punto N(x; y+ y; z + yz) de la super…cie z = f(x; y)).
La razón yz
y
es igual a la tangente del ángulo formado por la secante PT con la
dirección positiva del eje Oy: yz
y
= tan TPT0.
Por tanto, el límite: l m
y!0
yz
y
= @z
@y
es igual a la tangente del ángulo formado por la
línea tangente PB en el punto P con dirección positiva del eje Oy: @z
@y
= tan .
Luego, el valor numérico de la derivada parcial @z
@y
es igual a la tangente del ángulo
de inclinación de la línea tangente a la curva de…nida por la intersección de la super…cie
z = f(x; y) con el plano x = k.
En forma similar, el valor numérico de la derivada parcial @z
@x
es igual a la tangente
del ángulo formado por la línea tangente a la curva de…nida por la intersección de la
super…cie z = f(x; y) con el plano y = k.

Teorema 2 (Teorema de Euler). Una función f (x1; x2; :::; xn) se dice homogénea de gra-
do n, si veri…ca la igualdad f (kx1; kx2; :::; kxn) = kn
f (x1; x2; :::; xn) ; 8k R.
Una función racional entera es homogénea, si todos los términos de la misma son del
mismo grado.
Para toda función homogénea diferenciable de grado n, se veri…ca el teorema de Euler:
x1f0
x1
(x1; x2; :::; xn) + x2f0
x2
(x1; x2; :::; xn) + ::: + xnf0
xn
(x1; x2; :::; xn) = nf (x1; x2; :::; xn).
1.2.2. Incremento y diferencial total de una función
De…nición 1.9 Se denomina incremento total de una función u = f (x1; x2; :::; xn) a la
diferencia u = f (x1 + x1; x2 + x2; :::; xn + xn) f (x1; x2; :::; xn).
De…nición 1.10 Recibe el nombre de diferencial total de una función u = f (x1; x2; :::; xn)
la parte principal del incremento total u, lineal respecto a los incrementos de los argu-
mentos x1; x2; :::; xn.
La diferencia entre el incremento total y la diferencial total de la función es un in-
…nitésimo de orden superior a = 2
p
x2
1 + x2
2 + ::: x2
n.
Las diferenciales de las variables independientes, por de…nición, coinciden con sus
incrementos, es decir:
dx1 = x1; dx2 = x2; :::; dxn = xn.
La diferencial total de una función u = f (x1; x2; :::; xn) se determina por la expresión:
du = @u
@x1
dx1 + @u
@x2
dx2 + ::: + @u
@xn
dxn.
Si n = 2, z = f(x; y) y n = 3, u = f(x; y; z), entonces la diferencial total de las
funciones z y u se calculan respectivamente por las expresiones:
dz = @z
@x
dx + @z
@y
dy y du = @u
@x
dx + @u
@y
dy + @u
@z
dz.

1.2.3. Cálculos aproximados aplicando la diferencial total
Cuando j x1j ; j x2j ; :::; j xnj son su…cientemente pequeños, y por consiguiente, es
su…cientemente pequeño también = 2
p
x2
1 + x2
2 + ::: + x2
n, para la función diferen-
ciable u = f (x1; x2; :::; xn) se veri…ca la igualdad aproximada u t du, es decir:
u t @u
@x1
x1 + @u
@x2
x2 + ::: + @u
@xn
xn.
1.2.4. Aplicación de la diferencial en errores de cálculo
Sea f (x1; x2; :::; xn), una función de las variables x1; x2; :::; xn.
Al realizar la evaluación numérica de las variables x1; x2; :::; xn, existe un cierto error
correspondiente a x1; x2; :::; xn. En este caso, el valor de u, calculado mediante
valores aproximados de los argumentos, será también determinado con cierto error u,
es decir:
u = f(x1 + x1; x2 + x2; :::; xn + xn) f (x1; x2; :::; xn).
Cuando los errores x1; x2; :::; xn se conocen, podemos evaluar también el error
u.
Si los valores absolutos de las magnitudes x1; x2; :::; xn son muy pequeños (in-
…nitésimos), se puede sustituir el incremento total por la diferencial total y obtener la
igualdad aproximada:
u t @u
@x1
x1 + @u
@x2
x2 + ::: + @u
@xn
xn.
1.2.5. Derivación de funciones compuestas
De…nición 1.11 Si u = f (x1; x2; :::; xn) es una función diferenciable para x1; x2; :::; xn, y
éstas, son funciones diferenciables de una variable t : x1 = '1(t); x2 = '2(t); :::; xn = 'n(t),
la derivada de la función compuesta u = f '1(t); '2(t); :::; 'n(t) donde xi=8i = 1; n y t
son independientes, se determina mediante la expresión:
du
dt
= @u
@x1
@x1
@t
+ @u
@x2
@x2
@t
+ ::: + @u
@xn
@xn
@t
.
De…nición 1.12 Si u = f (x1; x2; :::; xn) es una función compuesta de n variables inde-
pendientes x1; x2; :::; xn, donde x1 = '1(t1;t2;:::;tk); x2 = '2(t1;t2;:::;tk); :::; xn = 'n(t1;t2;:::;tk)
(t1; t2; :::; tk), son variables independientes f; '1; '2; :::; 'n, son funciones diferenciables),
las derivadas parciales de u respecto a t1; t2; t3; :::; tk, se expresan como:
@u
@t1
= @u
@x1
@x1
@t1
+ @u
@x2
@x2
@t1
+ ::: + @u
@xn
@xn
@t1
@u
@t2
= @u
@x1
@x1
@t2
+ @u
@x2
@x2
@t2
+ ::: + @u
@xn
@xn
@t2
...
...
...
...
@u
@tk
= @u
@x1
@x1
@tk
+ @u
@x2
@x2
@tk
+ ::: + @u
@xn
@xn
@tk
.

1.2.6. Derivada direccionada y gradiente de una función
De…nición 1.13 Recibe el nombre de derivada de una función u = f (x1; x2; :::; xn) en
una dirección dada
!
l =
!
PP1 a la expresión: @u
@l
= l{m
P1P
f(P1) f(P)
P1P
, donde f(P) y f(P1)son
los valores de la función en los puntos P = (x1; x2; :::xn) y P1 = (a1; a2; :::; an).
Si la función u = f (x1; x2; :::; xn) es diferenciable, se veri…ca la expresión:
@u
@
!
l
= @u
@x1
cos ( 1) + @u
@x2
cos ( 2) + ::: + @u
@xn
cos ( n) ;
donde 1; 2; :::; n son los ángulos directores del vector
!
l .
Si n = 2, z = f(x; y), entonces:
@z
@
!
l
= @z
@x
cos( ) + @z
@y
cos( );
donde y son los ángulos directores del vector
!
l .
Si n = 3, u = f(x; y; z), entonces:
@u
@
!
l
= @u
@x
cos ( ) + @u
@y
cos ( ) + @u
@z
cos ( ) ;
donde ; ; son los ángulos directores del vector
!
l .
De…nición 1.14 Recibe el nombre de gradiente de una función u = f (x1; x2; :::; xn), un
vector, cuyas proyecciones sobre los ejes de coordenadas son las correspondientes derivadas
parciales de dicha función:
grad u = ru = @u
@x1
!e1 + @u
@x2
!e2 + ::: + @u
@xn
!en,
donde !e1 ; !e2 ; :::; !en son los vectores unitarios en Rn
.
Si n = 2, z = f(x; y), entonces:
grad z = rz = @z
@x
!
i + @z
@y
!
j ;
donde
!
i ;
!
j son los vectores unitarios en R2
.
Si n = 3, u = f(x; y; z), entonces:
grad u = ru = @u
@x
!
i + @u
@y
!
j + @u
@z
!
k ;
donde
!
i ,
!
j ;
!
k son los vectores unitarios en R3
.

Observaciones:
i) La derivada de una función u en la dirección
!
l , está relacionada con el gradiente
de ella mediante la expresión @u
@
!
l
= Pr!
l
ru, donde la proyección del gradiente de la
función se deriva en dirección de
!
l .
ii) El gradiente de la función u en cada punto tiene la dirección de la normal a la
respectiva línea de nivel de la función. La dirección del gradiente de u, en un punto dado,
es la dirección de la velocidad máxima de crecimiento de u en este punto, es decir, cuando
!
l = grad u, la derivada @u
@
!
l
toma su valor máximo, igual a
2
r
@u
@x1
2
+ @u
@x2
2
+ ::: + @u
@xn
2
.
1.2.7. Derivadas parciales y diferenciales de orden superior
De…nición 1.15 Se denominan derivadas parciales de n-ésimo orden superior de una
función u = f (x1; x2; :::; xn) a las derivadas parciales de sus derivadas parciales de n 1
orden de la función u. Se denota de la siguiente manera:
@nu
@xn
i
= fn
xn
i
= @
@xi
@n 1u
@xn 1
i
= l m
h!0
fn 1(x1; x2; : : : ; xi+h; : : : ; xn) fn 1(x1; x2; : : : ; xi; : : : ; xn)
h
,
donde la variable xi; 8i = 1; n, recibe el incremento h en la función u = f (x1; x2; :::; xi; :::xn).
Si n = 2, z = f(x1; x2) = f(x; y). Luego:
@nz
@xn = fn
xx:::x(x; y) = @
@x
@n 1z
@xn = l m
h!0
fn 1(x+h; y) fn 1(x; y)
h
.
@nz
@yn = fn
yy:::y(x; y) = @
@y
@n 1z
@yn = l m
h!0
f
n 1
(x; y+h) fn 1(x; y)
h
.
Si n = 3, u = f(x1; x2; x3) = f(x; y; z). Luego:
@nu
@xn = fn
xx:::x(x; y; z) = @
@x
@n 1u
@xn = l m
h!0
fn 1(x+h; y; z) fn 1(x; y; z)
h
.
@nu
@yn = fn
yy:::y(x; y; z) = @
@y
@n 1u
@yn = l m
h!0
fn 1(x; y+h; z) fn 1(x; y; z)
h
.
@nu
@zn = fn
zz:::z(x; y; z) = @
@z
@n 1u
@zn = l m
h!0
fn 1(x; y; z+h) fn 1(x; y; z)
h
.
De…nición 1.16 Las diferenciales de n-ésimo orden de una función u = f (x1; x2; :::; xn)
son las diferenciales de la diferencial de n 1 orden de la función u: Se denota como:
dn
u = d (dn 1
u) = @
@x1
dx1 + @
@x2
dx2
n
u.

Si z = f(x; y);donde x; y son variables independientes y la función f tiene derivadas
parciales continuas de segundo orden, la diferencial de segundo orden de la función z se
determina por la expresión:
d(dz) = d2
z = @2z
@x2 dx2
+ 2 @2z
@x@y
dxdy+ @2z
@y2 dy2
.
Si z = f(x; y);donde x; y donde los argumentos x e y son a su vez funciones de una o
más variables independientes, se tiene:
d2
z = @2z
@x2 dx2
+ 2 @2z
@x@y
dxdy+ @2z
@y2 dy2
+ @z
@x
d2
x + @z
@y
d2
y.
Si x; y son variables independientes, d2
x = d2
y = 0, la expresión es equivalente a la
anterior.
Aplicando las de…niciones y propiedades de los temas tratados en esta segunda parte,
1. Utilizando la de…nición de límite, determine las derivadas parciales @z
@x
, @z
@y
y @z
@z
en
las funciones siguientes:
a. z = x2
2xy4
+ 3x3
y2
+ y3
@z
@x
= l m
h !0
f(x+h;y) f(x;y)
h
= l m
h !0
[(x+h)2
2(x+h)y4+3(x+h)3
y2+y3
] [x2 2xy4+3x3y2+y3
]
h
= l m
h !0
x2+2xh+h2 2xy4 2hy4+3x3y2+9x2hy2+9xh2y2+3h3y2+y3 x2+2xy4 3x3y2 y3
h
= l m
h !0
h(2x+9x2y2 2y4+3h2y2+9hxy2+h)
h
= l m
h !0
2x + 9x2
y2
2y4
+ 3h2
y2
+ 9hxy2
+ h
= 2x + 9x2
y2
2y4
.
@z
@y
= l m
h !0
f(x;y+h) f(x;y)
h
= l m
h !0
[x2 2x(y+h)4
+3x3(y+h)2
+(y+h)3
] [x2 2xy4+3x3y2+y3
]
h
= l m
h !0
x2 2xy4 8xy3h 12xy2h2 8xyh3 2xh4+3x3y2+6x3yh+3x3h2+y3+3y2h+3yh2+h3 x2+2xy4 3x3y2 y3
h
= l m
h !0
h(3hx3 2h3x 8xy3+6x3y+3hy+h2+3y2 12hxy2 8h2xy)
h

= l m
h !0
8xy3
+ 6x3
y + 3y2
+ 3hx3
2h3
x + 3hy + h2
12hxy2
8h2
xy
= 8xy3
+ 6x3
y + 3y2
.
b. u = x2
y + x2
z + xy2
+ y2
z + xz2
+ yz2
@u
@x
= l m
h !0
f(x+h;y;z) f(x;y;z)
h
= l m
h !0
[(x+h)2
y+(x+h)2
z+(x+h)y2+y2z+(x+h)z2+yz2
] [x2y+x2z+xy2+y2z+xz2+yz2
]
h
= l m
h !0
x2y+2xhy+h2y+x2z+2xhz+h2z+xy2+hy2+y2z+xz2+hz2+yz2 x2y x2z xy2 y2z xz2 yz2
h
= l m
h !0
h(2xy+hy+2xz+hz+y2+z2
)
h
= l m
h !0
2xy + hy + 2xz + hz + y2
+ z2
= 2xy + 2xz + y2
+ z2
.
@u
@y
= l m
h !0
f(x;y+h;z) f(x;y;z)
h
= l m
h !0
[x2(y+h)+x2z+x(y+h)2
+(y+h)2
z+xz2+(y+h)z2
]
h
= l m
h !0
x2y+x2h+x2z+xy2+2xyh+xh2+y2z+2yhz+h2z+xz2+yz2+hz2 x2y x2z xy2 y2z xz2 yz2
h
= l m
h !0
h(x2+2xy+hx+2yz+hz+z2
)
h
= l m
h !0
x2
+ 2xy + hx + 2yz + hz + z2
= x2
+ 2xy + 2yz + z2
.
@u
@z
= l m
h !0
f(x;y;z+h) f(x;y;z)
h
= l m
h !0
[x2y+x2(z+h)+xy2+y2(z+h)+x(z+h)2
+y(z+h)2
]
h
= l m
h !0
x2y+x2z+x2h+xy2+y2z+y2h+xz2+2xzh+xh2+yz2+2yzh+yh2 x2y x2z xy2 y2z xz2 yz2
h
= l m
h !0
h(x2+y2+2xz+xh+2yz+yh)
h
= l m
h !0
x2
+ y2
+ 2xz + xh + 2yz + yh
= x2
+ y2
+ 2xz + 2yz.

c. z = sen(x2
+ y2
)
@z
@x
= l m
h !0
f(x+h;y) f(x;y)
h
= l m
h !0
sen((x+h)2+y2
) sen(x2+y2
)
h
= l m
h !0
2sen
(x+h)2+y2 x2 y2
2
cos
(x+h)2+y2+x2+y2
2
h
= l m
h !0
2sen(h
2
(2x+h))cos(x2+y2+xh)
h
= l m
h !0
sen(h
2
(2x+h))(2x+h) cos(x2+y2+xh)
h
2
(2x+h)
= l m
h !0
sen(h
2
(2x+h))
h
2
(2x+h)
l m
h !0
(2x + h) cos (x2
+ y2
+ xh)
= 1 (2x + 0) cos (x2
+ y2
+ 0) = 2x cos (x2
+ y2
)
@z
@y
= l m
h !0
f(x;y+h) f(x;y)
h
.
= l m
h !0
sen(x2+(y+h)2
) sen(x2+y2
))
h
= l m
h !0
2sen
x2+(y+h)2 x2 y2
2
cos
x2+(y+h)2+x2+y2
2
h
= l m
h !0
2sen(h
2
(2y+h))cos(x2+y2+yh)
h
= l m
h !0
sen(h
2
(2y+h))(2y+h) cos(x2+y2+yh)
h
2
(2y+h)
= l m
h !0
sen(h
2
(2y+h))
h
2
(2y+h)
l m
h !0
(2y + h) cos (x2
+ y2
+ yh)
= 1 (2y + 0) cos (x2
+ y2
+ y 0) = 2y cos (x2
+ y2
).
d. u = exyz
@u
@x
= l m
h !0
f(x+h;y;z) f(x;y;z)
h
= l m
h !0
e(x+h)yz exyz
h
= l m
h !0
(ehyz 1)exyz
h
= l m
h !0
(ehyz 1)
h
exyz
.
Aplicando la regla de L’Hópital, obtenemos:
= l m
h !0
yzehyz 0
1
exyz
= l m
h !0
yzehyz
exyz
= yze0
exyz
= yzexyz
.

@u
@y
= l m
h !0
f(x;y+h;z) f(x;y;z)
h
= l m
h !0
ex(y+h)z exyz
h
= l m
h !0
(exhz 1)exyz
h
= l m
h !0
(exhz 1)
h
exyz
.
= l m
h !0
xzexhz 0
1
exyz
= l m
h !0
xzexhz
exyz
= xze0
exyz
= xzexyz
.
@u
@y
= l m
h !0
f(x;y;z+h) f(x;y;z)
h
= l m
h !0
exy(z+h) exyz
h
= l m
h !0
(exyh 1)exyz
h
= l m
h !0
(exyh 1)
h
exyz
= l m
h !0
xyexyh 0
1
exyz
= l m
h !0
xyexyh
exyz
= xye0
exyz
= xyexyz
.
e. z = ln(x2
+ y2
)
@z
@x
= l m
h !0
f(x+h;y) f(x;y)
h
= l m
h !0
ln((x+h)2
+y2
) ln(x2+y2
)
h
= l m
h !0
ln(x2+2xh+h2+y2
) ln(x2+y2
)
h
= l m
h !0
ln x2+2xh+h2+y2
x2+y2
h
= l m
h !0
x2+y2
2x+h
ln 1+ 2x+h
x2+y2 h
h
2x+h
x2+y2
= l m
h !0
ln 1+ 2x+h
x2+y2 h
x2+y2
2x+h
h
2x+h
x2+y2
= ln
2
4 l m
h !0
1+ 2x+h
x2+y2 h
x2+y2
2x+h
h
3
5 l m
h !0
2x+h
x2+y2
= ln e 2x+0
x2+y2 = 2x
x2+y2 .
@z
@y
= l m
h !0
f(x;y+h) f(x;y)
h
= l m
h !0
ln(x2+(y+h)2
) ln(x2+y2
)
h
= l m
h !0
ln(x2+y2+2yh+h2
) ln(x2+y2
)
h
= l m
h !0
ln x2+y2+2yh+h2
x2+y2
h

= l m
h !0
x2+y2
2y+h
ln 1+ 2y+h
x2+y2 h
h
2y+h
x2+y2
= l m
h !0
ln 1+ 2y+h
x2+y2 h
x2+y2
2y+h
h
2y+h
x2+y2
= ln
2
4 l m
h !0
1+ 2y+h
x2+y2 h
x2+y2
2y+h
h
3
5 l m
h !0
2y+h
x2+y2
= ln e 2y+0
x2+y2 = 2y
x2+y2 .
2. Utilizando las reglas de derivación, determine las primeras derivadas parciales en
las funciones siguientes:
a. z = 2
p
x2 + y 2
@z
@x
= 1
2
(x2
+ y 2
)
1
2
1
(2x + 0) = x (x2
+ y 2
)
1
2
= x
2
p
x2+y 2
= xy
2
p
x2y2+1
.
@z
@y
= 1
2
(x2
+ y 2
)
1
2
1
(0 2y 3
) = y 3
(x2
+ y 2
)
1
2
= y
y3 2
p
x2y2+1
= 1
y2 2
p
x2y2+1
.
b. u = arcsen(ex+y2+z3
)
@u
@x
= ex+y2+z3
(1+0+0)
2
p
1 (ex+y+z)2
= ex+y2+z3
2
p
1 e2x+2y2+2z3
;
@u
@y
= ex+y+z (0+2y+0)
2
p
1 (ex+y+z)2
= 2yex+y2+z3
2
p
1 e2x+2y2+2z3
.
@u
@z
=
ex+y+z
(0+0+3z2
)
2
p
1 (ex+y+z)2
= 3z2ex+y2+z3
2
p
1 e2x+2y2+2z3
.
c. z = y cos(x2
+ y2
)
@z
@x
= y [ sen(x2
+ y2
) (2x + 0)] = 2xysen (x2
+ y2
).
@z
@y
= 1 cos(x2
+y2
)+y [ sen(x2
+ y2
) (0 + 2y)] = cos(x2
+y2
) 2y2
sen (x2
+ y2
).
d. u = 1
2
p
x2 y3+z4
= (x2
y3
+ z4
)
1
2
@u
@x
= 1
2
(x2
y3
+ z4
)
3
2
(2x 0 + 0) = x
2
p
(x2 y3+z4)3
.
@u
@y
= 1
2
(x2
y3
+ z4
)
3
2
(0 3y2
+ 0) = 3
2
y2
2
p
(x2 y3+z4)3
.
@u
@z
= 1
2
(x2
y3
+ z4
)
3
2
(0 0 + 4z3
) = 2 z3
2
p
(x2 y3+z4)3
.

e. u = x
y
z
@u
@x
= y
z
x
y
z
1
= y
z
x
y z
z
@u
@y
= x
y
z ln (x) 1
z
= 1
z
x
y
z ln (x);
@u
@z
= x
y
z ln (x) y
z2 = y
z2 x
y
z ln (x).
f. z = ex2+y2
@z
@x
= ex2+y2
(2x + 0) = 2xex2+y2
@z
@x
= ex2+y2
(0 + 2y) = 2yex2+y2
.
3. Si f(x; y) = ln(x2
+ xy + y2
), determine fx( 1; 4) y fy( 1; 4).
@f
@x
= 2x+y
x2+xy+y2 ; @f
@x ( 1;4)
= 2 ( 1)+4
( 1)2+( 1) 4+42 = 2
13
.
@f
@y
= x+2y
x2+xy+y2 ; @f
@y ( 1;4)
= ( 1)+2 (4)
( 1)2+( 1) 4+42 = 7
13
.
4. Si f(x; y; z) = e xyz
ln(xy z2
), determine fx( 1; 1; 0); fy( 1; 1; 0) y fz( 1; 1; 0).
@f
@x
= yze xyz y
xy z2 ; @f
@x ( 1;1;0)
= 1 0 e ( 1) 1 0 1
( 1) 1 02 = 1.
@f
@y
= xze xyz x
xy z2 ; @f
@y ( 1;1;0)
= ( 1) 0 e ( 1) 1 0 1
( 1) 1 02 = 1.
@f
@z
= xye xyz 2z
xy z2 ; @f
@z ( 1;1;0)
= ( 1) 1 e ( 1) 1 0 2 0
( 1) 1 02 = 1.
5. Obtenga @2z
@x2 ; @2z
@y2 y @2z
@x@y
para las funciones siguientes:
a. z = 2
p
x y + 1
@z
@x
= 1
2
p
x y+1
; @2z
@x2 = @
@x
1
2
p
x y+1
= 1
4(x y+1)
3
2
= 1
4(x y+1) 2p
x y+1
.
@z
@y
= 1
2
p
x y+1
; @2z
@y2 = @
@y
1
2
p
x y+1
= 1
4(x y+1)
3
2
= 1
4(x y+1) 2p
x y+1
.
@2z
@x@y
= @
@x
1
2
p
x y+1
= 1
4(x y+1)
3
2
= 1
4(x y+1) 2p
x y+1
.
b. z = ln 2
q
x2 y2
x2+y2
z = ln
2
p
x2 y2
2
p
x2+y2

@z
@x
=
2p
x2+y2 1
2
2x
2p
x2+y2
2p
x2 y2 1
2
2x
2p
x2 y2
( 2p
x2+y2
)
2p
x2 y2
2p
x2+y2
=
x3+xy2 x3+xy2
(x2+y2) 2p
x2 y2 2p
x2+y2
2p
x2 y2
2p
x2+y2
= 2xy2
(x2+y2)(x2 y2)
= 2xy2
x4 y4 .
@2z
@x2 = @
@x
2xy2
x4 y4 =
(x4 y4
) 2y2 2xy2 4x3
(x4 y4)2 = 2x4y2 2y6 8x4y2
(x4 y4)2 =
2y2
(3x4+y4
)
(x4 y4)2 .
@z
@y
=
2p
x2+y2 1
2
2y
2p
x2+y2
2p
x2 y2 1
2
2y
2p
x2 y2
( 2p
x2+y2
)
2p
x2 y2
2p
x2+y2
=
x2y y3 x2y+y3
(x2+y2) 2p
x2 y2 2p
x2+y2
2p
x2 y2
2p
x2+y2
= 2x2y
(x2+y2)(x2 y2)
= 2x2y
x4 y4 .
@2z
@y2 = @
@y
2x2y
x4 y4 =
(x4 y4
) 2x2+2x2y ( 4y3
)
(x4 y4)2 = 2x6+2x2y4 8x2y4
(x4 y4)2 =
2x2
(x4+3y4
)
(x4 y4)2 .
@2z
@y@x
= @
@y
2xy2
x4 y4 =
(x4 y4
) 4xy 2xy2
( 4y3
)
(x4 y4)2 = 4x5y 4xy5+8xy5
(x4 y4)2 =
4xy(x4+y4
)
(x4 y4)2 .
6. Veri…que el teorema de Euler para la funciones homogéneas siguientes:
a. f(x; y; z) = ln x2y
z3
f(x; y; z) = ln (kx)2(ky)
(kz)3 = ln k3(x2y)
k3z3 = k0
ln x2y
z3 = k0
f(x; y; z); n = 0.
b. f(x; y; z) = x2
yz3
+ 3xy2
z2
2x3
yz
f(x; y; z) = (kx)2
(ky)(kz)3
+ 3(kx)(ky)2
(kz)2
2(kx)3
(ky)(kz)
= k6
(x2
yz3
+ 3xy2
z2
2x3
yz)
= k6
f(x; y; z); n = 6.
7. El ángulo central de un sector circular es 65o
y se quiere aumentar en 5o
. ¿Cuánto
hay que disminuir el radio, para que su área no cambie, si su longitud inicial es de
50 cm?
El área de un sector circular de radio r y ángulo central x, se determina por la
expresión: A(r; x) = r2x
2
:
Derivando parcialmente respecto a r y x, obtenemos: @A
@r
= rx y @A
@x
= r2
2
.
Como dA(r; x) = @A
@r
dr + @A
@x
dx, entonces: dA(r; x) = r xdr + r
2
dx .
Al sustituir los datos del problema: x = 65o
, r = 50cm y dx = 5o
e igualar dA(r; x) = 0
para mantener constante el área, obtenemos la disminución del radio:
r xdr + r
2
dx = 0 ! dr = r
2x
dx = 50cm
2 65o 5o
= 25
13
cm.
Para que el área no cambie, se debe disminuir el radio en: dr = 25
13
cm.

8. Calcule aproximadamente 1;982
3
q
1;03 4
p
1;053
.
Obteniendo la función: u = f(x; y; z)) = x2
3
p
y
4p
z3
= x2
y
1
3 z
1
4 .
Para in…nitésimos; los incrementos y la diferencial son casi iguales( u du). Es decir:
f(x + x; y + y; z + z) f(x; y; z) + @u
@x
dx + @u
@y
dy + @u
@z
dz .
Haciendo: x = 2, x = 0; 02; y = 1, y = 0; 03; z = 2, z = 0; 05.
Calculando @u
@x
, @u
@y
y @u
@z
en x = y = z = 1, se tiene:
@u
@x
= 2xy
1
3 z
1
4 ; @u
@x (1;1;1)
= 2 2 1
1
3 1
1
4 = 4
@u
@y
= 1
3
x2
y
4
3 z
1
4 ; @u
@y (1;1;1)
= 1
3
22
1
4
3 (1)
1
4 = 4
3
@u
@z
= 1
4
x2
y
1
3 z
5
4 ; @u
@z (1;1;1)
= 1
4
22
1
1
3 1
5
4 = 1
Evaluando en x = y = z = 1 la función, tenemos:
f(2; 1; 1) = 22
1
1
3 1
1
4 = 4.
Por tanto:
f(2 0; 02; 1 + 0; 03; 1 + 0; 05) 4 + 4 ( 0; 02) 4
3
0; 03 1 0; 05
4 + ( 0; 08 0; 04 0; 05)
4 0; 17 3; 83.
9. Si la altura de una pirámide de base cuadrangular es 50 cm y la longitud de un lado
de su base es 5 cm. ¿Cómo variará el volumen de dicha pirámide si la altura aumenta
en 5 mm y los lados se disminuyen en 2 mm?
El volumen de la pirámide de altura y y longitud x de un lado de su base es V = 1
3
x2
y.
La variación del volumen lo determinamos aproximadamente por la diferencial
V dV = 1
3
[2xydx + x2
dy] :
Sustituyendo x = 50cm, y = 5cm, dx = 0; 2cm y dy = 0; 5cm, obtenemos:
V = 1
3
2 (5cm) (50cm) ( 0; 2cm) + (5cm)2
(0; 5cm) = 28; 88cm3
.
10. Determine @u
@x
y @u
@x
si z = arctan(v
u
), donde u = xsen(y), v = x cos(y):
Como: @z
@x
= @z
@u
@u
@x
+ @z
@v
@v
@x
; @z
@y
= @z
@u
@u
@y
+ @z
@v
@v
@y
. Es decir:

@z
@u
=
v
u2
1+(v
u )
2 = v
u2+v2 = x cos(y)
x2sen2(y)+x2 cos2(y)
= x cos(y)
x2(sen2(x)+cos2(x))
= cos(y)
x
@z
@v
=
1
u
1+(v
u )
2 = u
u2+v2 = xsen(y)
x2sen2(y)+x2 cos2(y)
= xsen(y)
x2(sen2(x)+cos2(x))
= sen(y)
x
@u
@x
= 1 sen(y) = sen(y); @v
@x
= 1 (cos(y)) = cos(y)
@u
@y
= x cos(y) = x cos(y); @v
@y
= x ( sen(y)) = xsen(y)
Sustituyendo en las expresiones anteriores, tenemos:
@z
@x
= cos(y)
x
sen(y) + sen(y)
x
cos(y) = cos(y)sen(y)+sen(y) cos(y)
x
= 0.
@z
@y
= cos(y)
x
x cos(y) + sen(y)
x
( xsen(y)) =
x(cos2(y)+sen2(y))
x
= 1.
11. Pruebe que la función z = y'(x2
y2
), satisface a la ecuación 1
x
@z
@x
+ 1
y
@z
@y
= z
y2 .
Determinando @z
@x
y @z
@y
, tenemos:
@z
@x
= y'0
(x2
y2
) (2x 0) = 2xy'0
(x2
y2
)
@z
@y
= 1 '(x2
y2
) + y'0
(x2
y2
) (0 2y) = '(x2
y2
) 2y2
'0
(x2
y2
)
Sustituyendo @z
@x
y @z
@y
, obtenemos la identidad:
1
x
@z
@x
+ 1
y
@z
@y
= 1
x
2xy'0
(x2
y2
) + 1
y
('(x2
y2
) 2y2
'0
(x2
y2
))
= 2y'0
(x2
y2
) + '(x2 y2)
y
2y'0
(x2
y2
)
= '(x2 y2)
y
= y'(x2 y2)
y2 = z
y2 .
12. Muestre que la función z = xy +y'(y
x
), satisface a la ecuación x@z
@x
+y@z
@y
= xy +z.
Determinando @z
@x
y @z
@y
, tenemos:
@z
@x
= y + y'0
(y
x
) y
x2 = y y2
x2 '0
(y
x
)
@z
@y
= x + 1 '(y
x
) + y'0
(y
x
) 1
x
= x + '(y
x
) + y
x
'0
(y
x
)
Sustituyendo @z
@x
y @z
@y
en la ecuación diferencial, obtenemos la identidad:
x@z
@x
+ y@z
@y
= x y y2
x2 '0
(y
x
) + y x + '(y
x
) + y
x
'0
(y
x
)
= xy y2
x
'0
(y
x
) + yx + y'(y
x
) + y2
x
'0
(y
x
)
= xy + xy + y'(y
x
) = xy + z.

13. Un cateto de un triángulo rectángulo de 30 cm, aumenta con una rapidez de 10m/s,
el otro de 40 cm, disminuye con una rapidez de 5 m/s. ¿Con qué velocidad varia la
hipotenusa y el área de dicho triángulo?
Por condición tenemos: x = 30cm ; y = 40cm y dx
dt
= 10m=s ; dy
dt
= 5m=s
Para la hipotenusa del triángulo:
Sea z = 2
p
x2 + y2 la hipotenusa del triángulo rectángulo.
La rapidez con la cuál varía la hipotenusa es: dz
dt (x;y)
= @z
@x(x;y)
dx
dt
+ @z
@y (x;y)
dy
dt
Las derivadas parciales @z
@x
y @z
@y
de z = 2
p
x2 + y2 evaluadas en x = 30cm y y = 40cm,
son:
@z
@x
= xp
x2+y2
! @z
@x(30;40)
= 30cmp
(30cm)2
+(40cm)2
= 3
5
@z
@y
= yp
x2+y2
! @z
@y (30;40)
= 40cmp
(30cm)2
+(40cm)2
= 4
5
Sustituyendo los valores determinados en dz
dt
, obtenemos:
dz
dt (30;40)
= 3
5
10m=s + 4
5
( 5m=s) = 2m=s.
Para el área del triángulo:
Sea A = 1
2
xy el área del triángulo rectángulo.
La rapidez con la cuál varía el área es: dA
dt (x;y)
= @A
@x (x;y)
dx
dt
+ @A
@y (x;y)
dy
dt
Las derivadas parciales @A
@x
y @A
@y
de A = 1
2
xy, evaluadas en x = 30cm y y = 40cm, son:
@A
@x
= 1
2
y ! @A
@x (30;40)
= 1
2
(40cm) = 1
5
m
@A
@x
= 1
2
x ! @A
@x (30;40)
= 1
2
(30cm) = 3
20
m
Sustituyendo los valores determinados en dz
dt
, obtenemos:
dA
dt (30;40)
= 1
5
m 10m=s + 3
20
m ( 5m=s) = 1; 25m2
=s.
14. Si u = 1p
x2+y2+z2
. Calcule la magnitud y dirección del gradiente en
p
3;
p
3;
p
3 .
Las derivadas parciales @u
@x
, @u
@y
y @u
@z
,evaluadas en el punto
p
3;
p
3;
p
3 , son:
@u
@x
= x
(x2+y2+z2)
3
2
! @u
@x (
p
3;
p
3;
p
3) =
p
3
(3+3+3)
3
2
=
p
3
27
@u
@y
= y
(x2+y2+z2)
3
2
! @u
@y (
p
3;
p
3;
p
3)
=
p
3
(3+3+3)
3
2
=
p
3
27

1.3. DIFERENCIALES EXACTAS 25
@u
@z
= z
(x2+y2+z2)
3
2
! @u
@z (
p
3;
p
3;
p
3) =
p
3
(3+3+3)
3
2
=
p
3
27
Sustituyendo los valores determinados en ru = @u
@x
!
i + @u
@y
!
j + @u
@z
!
k , tenemos:
ru =
p
3
27
!
i
p
3
27
!
j
p
3
27
!
k
La magnitud(módulo) y dirección del gradiente son:
kruk = 2
r
p
3
27
2
+
p
3
27
2
+
p
3
27
2
= 1
9
.
b = arc cos
p
3
27
1
9
= 54; 74o
; b = b = arc cos
p
3
27
1
9
= 125; 26o
.
15. Calcular d2
u(0; 0; 0), si u = 3x2
+ 2y2
+ z2
xy + 2xz + 3yz.
Diferenciando u, y du, obtenemos:
du = 6xdx + 4ydy + 2zdz xdy ydx + 2xdz + 2zdx + 3ydz + 3zdy
= (6x y + 2z) dx + (4y x + 3z) dy + (2z + 2x + 3y) dz
d2
u = (6dx dy + 2dz) dx + (4dy dx + 3dz) dy + (2dz + 2dx + 3dy) dz
= 6dx2
dydx + 2dzdx + 4dy2
dxdy + 3dzdy + 2dz2
+ 2dxdz + 3dydz
= 6dx2
+ 4dy2
+ 2dz2
2dxdy + 4dxdz + 6dydz
Luego:
d2
u(0; 0; 0) = 6dx2
+ 4dy2
+ 2dz2
2dxdy + 4dxdz + 6dydz.
1.3. Diferenciales exactas
De…nición 1.17 Si P1(x1; x2; :::; xn)dx1 +P2(x1; x2; :::; xn)dx2 +:::+Pk(x1; x2; :::; xn)dxn,
donde P1(x1; x2; :::; xn); P2(x1; x2; :::; xn); :::; Pk(x1; x2; :::; xn) son funciones continuas jun-
to con sus derivadas parciales de primer orden en un recinto conexo D, representa la
diferencial exacta de una función u(x1; x2; :::; xn), es necesario y su…ciente que cumpla la
condición:
@Pk 1
@x1
= @P1
@x2
; @Pk
@x2
= @P2
@x3
; :::; @P1
@x3
= @Pk
@x1
.
Si n = 2, formamos la diferencial P(x; y)dx + Q(x; y)dy, y para que sea exacta veri…-
camos la identidad:
@Q(x; y)
@x
= @P(x; y)
@y
.
Si n = 3, formamos la diferencial P(x; y; z)dx + Q(x; y; z)dy + R(x; y; z)dy, y para que
sea exacta veri…camos las identidades:
@Q(x; y)
@x
= @P(x; y)
@y
; @R(x; y)
@y
= @Q(x; y)
@z
; @P(x; y)
@z
= @R(x; y)
@x
.

1.3.1. Derivación de funciones implícitas
De…nición 1.18 Si F(x1; x2; :::; xn) = 0, donde F(x1; x2; :::; xn) es una función diferen-
ciable de las variables x1; x2; :::; xn, determina a xn como función de las variables inde-
pendientes x1; x2 y xn 1, y F
0
xn
(x1; x2; :::; xn) 6= 0, las derivadas parciales de esta función
dada de forma implícita se determinan por las expresiones:
@xn
@x1
=
F
0
x1
(x1;x2;:::;xn)
F
0
xn(x1;x2;:::;xn)
; @xn
@x2
F
0
x2
(x1;x2;:::;xn)
F
0
xn(x1;x2;:::;xn)
; :::; @xn
@xn 1
=
F
0
xn 1
(x1;x2;:::;xn)
F
0
xn(x1;x2;:::;xn)
.
Otro procedimiento para determinar las derivadas de la función xn es el siguiente:
Diferenciando la ecuación F(x1; x2; :::; xn) = 0, obtenemos:
@F
@x1
dx1 + @F
@x2
dx2 + ::: + @F
@xn
dxn = 0.
De…nición 1.19 Si el sistema
F(x; y; u; v) = 0
G(x; y; u; v) = 0
determina u y v como funciones
diferenciables de las variables x e y, y el jacobiano D(F; G)
D(u; v)
=
@F
@u
@F
@v
@G
@u
@G
@v
6= 0, las diferen-
ciales de estas funciones (y por consiguiente, sus derivadas parciales) se pueden determi-
nar a traves de las expresiones siguientes:
@F
@x
dx + @F
@y
dy + @F
@u
du + @F
@v
dv = 0
@G
@x
dx + @G
@x
dy + @G
@x
du + @G
@x
dv = 0
1.3.2. Plano tangente y normal de una super…cie
De…nición 1.20 Se denomina plano tangente de una super…cie en un punto de contacto
P1 = (x1; y1; z1), el plano en que están situadas todas las tangentes en P1, a las curvas
trazadas en dicha super…cie que pasan por dicho punto.
De…nición 1.21 Se conoce como normal de la super…cie a la recta perpendicular al plano
tangente en el punto de contacto P1 = (x1; y1; z1).
Si la ecuación de la super…cie está dada de forma explícita en un sistema de coorde-
nadas cartesianas, z = f(x; y), donde f(x; y) es una función diferenciable, la ecuación del
plano tangente en el punto P1 = (x1; y1; z1) a la super…cie es:
z z1 = f0
x(x1; y1)(x x1) + f0
y(x1; y1)(y y1),
donde z1 = f(x1; y1) y x; y; z, son las coordenadas variables de los puntos del plano
tangente.
Las ecuaciones de la normal tienen la forma:
x x1
f0
x(x1;y1)
= y y1
f0
y(x1;y1)
= z z1
1
,
donde x; y; z, son las coordenadas variables de los puntos de la normal.

De…nición 1.22 Si la ecuación de la super…cie regular está dada en forma implícita
F(x; y; z) = 0 y F(x1; y1; z1), las ecuaciones correspondientes del plano tangente y de la
normal tendrán la forma:
F0
x(x1; y1; z1)(x x1) + F0
y(x1; y1; z1)(y y1) + F0
z(x1; y1; z1)(z z1) = 0
x x1
F0
x(x1;y1;z1)
= y y1
F0
y(x1;y1;z1)
= z z1
F0
z(x1;y1;z1)
1.3.3. Extremo de una función de dos variables
De…nición 1.23 Se dice que una función z = f(x; y) tiene un máximo (o mínimo) en el
punto P1 = (x1; y1) cuando x = x1 e y = y1) si f(x1; y1) > f(x; y) (si f(x1; y1) < f(x; y))
para todos los puntos P = (x; y) próximos al punto P1 = (x1; y1).y distintos de este punto.
El máximo o mínimo de una función recibe también el nombre de extremo de la misma.
De igual manera se determina el extremo de una función de tres o más variables.
1.3.4. Condiciones necesarias para la existencia de un extremo
Teorema 3 Si la función z = f(x; y) toma un extremo, cuando x = x1e y = y1, entonces
cada derivada parcial de primer orden de z o bien se anula para estos valores de los
argumentos, o bien no existe.
Los puntos donde @z
@x
= 0 (o no existe) y @z
@y
= 0 (o no existe), se llaman puntos
críticos de la función z = f(x; y).
Si la función alcanza el extremo en cualquier punto, esto puede tener lugar (en virtud
del teorema anterior) sólo en el punto crítico.
Teorema 4 Sea z = f(x; y) una función de…nida en un dominio que comprende el punto
P1 = (x1; y1). Esta función tiene derivadas parciales continuas de hasta tercer orden
inclusive. Si P1 = (x1; y1) es un punto crítico de z = f(x; y), es decir:@f(x1;y1)
@x
= 0,
@f(x1;y1)
@y
= 0. Entonces, para x = x1, x = y1:
i) f(x; y) tiene un máximo, si:
@2f(x1;y1)
@x2
@2f(x1;y1)
@y2
@2f(x1;y1)
@x@y
2
> 0 y @2f(x1;y1)
@x2 < 0.
ii) f(x; y) tiene un mínimo, si:
@2f(x1;y1)
@x2
@2f(x1;y1)
@y2
@2f(x1;y1)
@x@y
2
> 0 y @2f(x1;y1)
@x2 > 0.

iii) f(x; y) no tiene máximo ni mínimo, si:
@2f(x1;y1)
@x2
@2f(x1;y1)
@y2
@2f(x1;y1)
@x@y
2
< 0.
v) Si @2f(x1;y1)
@x2
@2f(x1;y1)
@y2
@2f(x1;y1)
@x@y
2
= 0, puede existir o no el extremo (en este
caso hay que realizar un estudio más detallado sobre la función).
Para simpli…car las expresiones se designa a las letras A, B, C los valores de las
segundas derivadas parciales evaluadas en el punto P1 = (x1; y1; z1), es decir:
A = @2f(x1;y1)
@x2 , B = @2f(x1;y1)
@y2 y @2f(x1;y1)
@x@y
= C.
Luego: = AC B2
, se denomina discriminante de la función en dicho punto.
De…nición 1.24 Se denomina extremo condicionado de una función z = f(x; y), en el
caso más simple, al máximo o mínimo de esta función, alcanzado con la condición que
sus argumentos estén ligados entre sí por la ecuación '(x; y) = 0 (ecuación de enlace).
Para determinar el extremo condicionado de la función f(x; y), con la ecuación de
enlace '(x; y) = 0, se forma la denominada función de Lagrange:
F(x; y) = f(x; y) + '(x; y),
donde es un multiplicador constante indeterminado, y se busca el extremo ordinario
de esta función auxiliar.
Las condiciones necesarias para que haya un extremo se reducen al sistema de tres
ecuaciones con tres incógnitas, x; y; , de las que, en general, se pueden deducir éstas.
8
<
:
@F
@x
= @f
@x
+ @'
@x
= 0;
@F
@y
= @f
@y
+ @'
@y
= 0;
'(x; y) = 0
El problema de la existencia y el carácter del extremo condicionado se resuelve sobre
la base del estudio del signo que tiene la segunda diferencial de la función de Lagrange
@2
F(x; y) = @2F
@x2 dx2
+ 2 @2F
@x@y
dxdy + @2F
@y2 dy2
Para el sistema de valores de x; y; que se investigó, obtenido del sistema, con la
condición de que dx y dy estén relacionados entre sí por la ecuación
@'
@x
dx + @'
@y
dy = 0 (dx2
+ dy2
6= 0).

La función f(x; y) tendrá un máximo condicionado, si d2
F < 0, y un mínimo condi-
cionado, si d2
F > 0.
En particular, si el discriminante = AC B2
para la función F(x; y) en el punto
estacionario es positivo, en este punto habrá un máximo condicionado de la función f(x; y),
si A < 0 (o C < 0) y un mínimo condicionado, si A > 0 (o C > 0).
De manera similar se determinan los extremos condicionados de las funciones de tres
y más variables cuando existen una o más ecuaciones de enlace (cuyo número debe ser
menor que el de variables). En este caso, hay que incluir en la función de Lagrange tantos
multiplicadores indeterminados como ecuaciones de enlace haya.
De…nición 1.25 Toda función, diferenciable en una región acotada y cerrada, alcanza
su valor máximo (mínimo) absoluto, o en un punto estacionario, o en un punto de la
frontera de la región.
Aplicando las de…niciones y propiedades de los temas tratados en esta tercera parte,
se resuelve los ejercicios y/o problemas siguiente:
1. Veri…que que las expresiones diferenciales siguientes son exactas. Si lo son, determine
la función donde proviene:
a. 3x2
tan(y) 2y3
x3 dx + x3
sec2
(y) + 4y3
+ 3y2
x2 dy
De la expresión diferencial, vemos que:
P(x; y) = 3x2
tan(y) 2y3
x3 ; Q(x; y) = x3
sec2
(y) + 4y3
+ 3y2
x2
Derivando P(x; y) y Q(x; y) respecto a y y x respectivamente, obtenemos:
@P
@y
= 3x2
sec2
(y) 6y2
x3 = @Q
@x
De acuerdo con la condición de las identidades, la expresión diferencial es exacta.
Como la expresión diferencial es exacta, procedemos a encontrar la función u(x; y; z)
donde proviene esta expresión. Para ello hacemos lo siguiente:
Comparamos los términos de la expresión diferencial con los del diferencial
dz(x; y) = @z(x;y)
@x
dx + @z(x;y)
@y
dy, donde vemos que:
@z(x;y)
@x
= 3x2
tan(y) 2y3
x3 , es decir:
z(x; y) =
R
3x2
tan(y) 2y3
x3 dx ! z(x; y) = x3
tan y + y3
x2 + '(y)

Derivando z(x; y) respecto a y, tenemos:
@z(x;y)
@y
= x3
sec2
(y) + 3y2
x2 + '0
(y)
Igualando @z(x;y)
@y
con la expresión diferencial y despejando, vemos:
@z(x;y)
@y
= x3
sec2
(y) + 3y2
x2 + '0
(y) = x3
sec2
(y) + 4y3
+ 3y2
x2
'0
(y) = 4y3
! '(y) =
R
4y3
dy = y4
+ C
Por último; sustituimos '(y) en z(x; y).
Luego:
z(x; y) = x3
tan y + y3
x2 + y4
+ C.
b. x2 yz
x2y
dx + y2 xz
y2z
dy + z2 xy
xz2 dz
De la expresión diferencial, vemos que:
P(x; y; z) = x2 yz
x2y
; Q(x; y; z) = y2 xz
y2z
; R(x; y; z) = z2 xy
xz2
Derivando P(x; y; z); Q(x; y; z) y R(x; y; z) respecto a x; y y z respectivamente,
obtenemos:
@P
@y
= 1
y2 = @Q
@x
; @Q
@z
= 1
z2 = @R
@y
; @P
@z
= 1
x2 = @R
@x
De acuerdo con la condición de las identidades, la expresión diferencial es exacta.
Como la expresión diferencial es exacta, procedemos a encontrar la función u(x; y; z)
de donde proviene esta expresión. Para ello hacemos lo siguiente:
Comparamos los términos de la expresión diferencial con los del diferencial
du(x; y; z) = @u(x;y;z)
@x
dx + @u(x;y;z)
@y
dy + @u(x;y;z)
@z
dz, donde vemos que:
@u(x;y;z)
@x
= x2 yz
x2y
, es decir:
u(x; y; z) =
R x2 yz
x2y
dx ! u(x; y; z) = x
y
+ z
x
+ '(y; z)
Derivando u(x; y; z) respecto a y y z e igualando con los términos de la expresión
diferencial, tenemos:
@u(x;y;z)
@y
= x
y2 + '0
y(y; z) = y2 xz
y2z
'0
y(y; z) = 1
z
! '(y; z) =
R 1
z
dy = y
z
+ '(z)

@u(x;y;z)
@z
= 1
x
+ '0
z(y; z) = z2 xy
xz2
'0
z(y; z) = y
z2
Derivando '(y; z) = y
z
+'(z) respecto a z e igualando con '0
z(y; z) = y
z2 , obtenemos:
'0
z(y; z) = y
z2 + '0
(z) = y
z2 ; '0
(z) = 0 ! '(z) = C:
Por último; sustituimos '(y; z) y '(z) en u(x; y; z).
Luego:
u(x; y; z) = x
y
+ z
x
+ y
z
+ C.
2. Pruebe que la función z, determinada por la ecuación F(x az; y bz) = 0, donde
F es una función diferenciable, satisface la ecuación a@z
@x
+ b@z
@y
= 1.
Sea u = x az; v = y bz, entonces F(u; v) = 0
Derivando implicitamente F(u; v) = 0 respecto a x e y, tenemos:
A) @F
@u
@u
@x
+ @F
@v
@v
@x
= 0 y B) @F
@u
@u
@y
+ @F
@v
@v
@y
= 0
Las derivadas parciales @u
@x
, @v
@x
, @u
@y
y @v
@y
, son:
@u
@x
= 1 a@z
@x
, @v
@x
= b@z
@x
, @u
@y
= a@z
@y
, @v
@y
= 1 b@z
@x
Reemplazando @u
@x
, @v
@x
, @u
@y
y @v
@y
en A) y B), obtenemos:
@F
@u
1 a@z
@x
+ @F
@v
b@z
@x
@v
@x
= 0 ! @z
@x
=
@F
@u
a @F
@u
+b@F
@v
@F
@u
a@z
@y
+ @F
@v
1 b@z
@y
@v
@x
= 0 ! @z
@y
=
@F
@v
a @F
@u
+b@F
@v
Sustituyendo @z
@x
y @z
@y
en la ecuación diferencial, obtenemos la identidad:
a@z
@x
+ b@z
@y
= a
@F
@u
a @F
@u
+b@F
@v
+ b
@F
@v
a @F
@u
+b@F
@v
=
a @F
@u
+b@F
@v
a @F
@u
+b@F
@v
= 1.
3. Determine @z
@x
y @z
@y
, si x cos(y) + y cos(z) + z cos(x) = 1.
Diferenciando la expresión, tenemos:
cos(y)dx xsen(y)dy + cos(z)dy ysen(z)dz + cos(x)dz zsen(x)dx = 0
Despejando dz; obtenemos:

dz = (zsen(x) cos(y))dx+(xsen(y) cos(z))dy
cos(x) ysen(z)
Para obtener @z
@x
y @z
@y
, hacemos dy = 0 y dx = 0, respectivamente. Es decir:
@z = (zsen(x) cos(y))@x+(xsen(y) cos(z)) 0
cos(x) ysen(z)
= (zsen(x) cos(y))@x
cos(x) ysen(z)
! @z
@x
= zsen(x) cos(y)
cos(x) ysen(z)
.
@z = (zsen(x) cos(y)) 0+(xsen(y) cos(z))@y
cos(x) ysen(z)
= (xsen(y) cos(z))@y
cos(x) ysen(z)
! @z
@y
= xsen(y) cos(z)
cos(x) ysen(z)
.
4. Determine @z
@x
y @z
@y
, si x = eu+v
; y = eu v
y z = uv.
Derivando x = eu+v
y y = eu v
, primero respecto a x y luego respecto a y, se forman
dos sistemas de ecuaciones:
(1)
1 = eu+v @u
@x
+ @v
@x
;
0 = eu v @u
@x
@v
@x
;
! @u
@x
= @v
@x
= e (u+v)
2
(2)
8
<
:
0 = eu+v @u
@y
+ @v
@y
1 = eu v @u
@y
@v
@y
! @u
@y
= e (u v)
2
y @v
@y
= e (u v)
2
De la función z = uv, obtenemos:
A)@z
@x
= v@u
@x
+ u@v
@x
y B)@z
@y
= v@u
@y
+ u@v
@y
Por último; sustituimos @u
@x
, @v
@x
, @u
@y
, @v
@y
en A) y B). Es decir:
@z
@x
= ve (u+v)
2
+ ue (u+v)
2
= u+v
2
e (u+v)
= ln(x)
2x
.
@z
@y
= ve (u v)
2
+ u e (u v)
2
= v u
2
e (u v)
= ln(y)
2y
.
5. Transformar la ecuación dy
dx
= x2+y2
x2 y2 a coordenadas polares.
Diferenciando las expresiones de transformación x = r cos( ), y = rsen( ), tenemos:
dx = cos( )dr rsen( )d y dy = sen( )dr + r cos( )d
Sustituyendo las expresiones x, y, dx y dy en la ecuación, obtenemos:
sen( )dr+r cos( )d
cos( )dr rsen( )d
= r2 cos2( )+r2sen2( )
r2 cos2( ) r2sen2( )
= 1
cos2( ) sen2( )
Simpli…cando y agrupando los términos, obtenemos la ecuación transformada a
coordenadas polares:
dr
d
= r
(sen2( ) cos2( ))cos( ) sen( )
(sen2( ) cos2( )) cos( ) sen( )
.

6. ¿En qué puntos del elipsoide x2
+ y2
2
+ z2
3
= 1 la normal forma ángulos iguales con
los ejes coordenados?
Sea f(x; y; z) = x2
+ y2
2
+ z2
3
1.
Si la normal forma ángulos iguales con los ejes coordenados es porque los cosenos
directores son iguales, es decir:
cos( ) = cos( ) = cos( ) ! @f
@x
= @f
@y
= @f
@z
Derivando respecto a x, y y z la función f, tenemos:
@f
@x
= 2x, @f
@y
= y; @f
@z
= 2
3
z
Reemplazando en la condición, obtenemos:
2x = y = 2
3
z ! y = 2x, z = 3x
Sustituyendo x e y en la ecuación, determinamos el valor de x, y y z:
x2
+ 4x2
2
+ 9x2
3
= 1 ! 6x2
= 1.
Luego:
x =
p
6
6
; y =
p
6
3
; z =
p
6
2
.
7. Dada la super…cie 2x2
+ y2
+ 3z2
= 18, determine a ella planos tangentes que sean
paralelos al plano x + 4y + 6z = 0.
Sea f(x; y; z) = 2x2
+ y2
+ 3z2
= 18.
Derivando f respecto a x, y, z y evaluando en el punto P1 = (x1; y1; z1), tenemos:
@f
@x (x1;y1;z1)
= 4x1 , @f
@y (x1;y1;z1)
= 2y1 y @f
@z (x1;y1;z1)
= 6z1
Como los planos son paralelos a x + 4y + 6z = 0, igualamos las derivadas parciales
evaluadas en P1 = (x1; y1; z1) con los coe…cientes del plano y obtenemos:
4x1 = 1; 2y1 = 4; 6z1 = 6 ! x1 = 1
4
; y1 = 2; z1 = 1
Por último; comparando la ecuación del plano a (x x1) + b (y y1) + c(z z1) = d
con el plano paralelo y vemos que a = 1, b = 4 y c = 6, de donde obtenemos la
ecuación del plano que buscamos:
x 1
4
+ 4 (y 2) + 6 (z 1) = 0 ! 4x + 16y + 24z 57 = 0.
8. Determine el máximo o mínimo de la función z(x; y) = ex y
(x2
2y2
).
Gra…cando la función, vemos

4
-4
-2
2 -4
-2
-4
-2
0z
y
0
4
2
x
0
2
4
z = ex y
(x2
2y2
)
Derivando z respecto a x y y, tenemos:
@z(x;y)
@x
= ex y
(x2
+ 2x 2y2
); @z(x;y)
@x
= ex y
(x2
2y2
+ 4y)
Igualando a cero @z(x;y)
@x
y @z(x;y)
@y
, formamos el sistema de ecuaciones para determinar
los puntos estacionarios y hacer el análisis de la función:
(1) ex y
(x2
+ 2x 2y2
) = 0 ! x2
+ 2x 2y2
= 0
(2) ex y
(x2
2y2
+ 4y) = 0 ! x2
2y2
+ 4y = 0
Resolviendo el sistema, vemos que:
x2
+ 2x 2y2
= 0
x2
2y2
+ 4y = 0
! [x = 0; y = 0] ; [x = 4; y = 2]
Calculando @2z
@x2 , @2z
@y2 y @2z
@x@y
, obtenemos:
@2z
@x2 = ex y
(x2
+ 4x 2y2
+ 2); @2z
@y2 = ex y
( x2
+ 2y2
8y + 4)
@2z
@x@y
= ex y
(x2
+ 2x 2y2
+ 4y)
Evaluando @2z
@x2 , @2z
@y2 y @2z
@x@y
en el punto estacionarios P1 = (0; 0), tenemos:
@2z
@x2 (0; 0) = A = e0 0
(02
+ 4 0 2 02
+ 2) = 2
@2z
@y2 (0; 0) = C = e0 0
( 02
+ 2 02
8 0 + 4) = 4
@2z
@x@y
(0; 0)
2
= B2
= ( e0 0
(02
+ 2 0 2 02
+ 4 0))
2
= 0
Como AC B2
= 2 ( 4) 0 = 8 < 0, en este punto no existe extremo.

Evaluando @2z
@x2 , @2z
@y2 y @2z
@x@y
en el punto estacionarios P2 = ( 4; 2), se tiene:
@2z
@x2 ( 4; 2) = A = e 4+2
(( 4)2
+ 4 ( 4) 2( 2)2
) = 8e 2
@2z
@y2 ( 4; 2) = C = e
4+2
( 4)2
+ 2( 2)2
8( 2) + 4 = 12e 2
@2z
@x@y
( 4; 2)
2
= B2
= ( e 4+2
(( 4)2
+ 2( 4) 2( 2)2
+ 4( 2)))2
= 64e 4
Como AC B2
= 32e 4
> 0 y A = 8e 2
< 0, la función tiene un máximo en el
punto P2 = ( 4; 2), es decir:
zmax = f( 4; 2) = e 4 2
(( 4)2
2( 2)2
) = 8e 6
.
9. Entre todos los triángulos de perímetro igual a p, determine el que tenga mayor
área.
Sea x, y y z los lados del triángulo que observamos en la grá…ca siguiente
z
y
x
A(x,y,z)
El perímetro respecto a los lados y el área en función del perímetro y sus lados, son:
p = x + y + z; A(x; y; z; p) = 2
p
p(p x)(p y)(p z)
Despejando z = p x y y remplazando en la función del área, tenemos:
A(x; y; z; p) = 2
p
p(p x)(p y)(x + y)
Derivando A(x; y; z) respecto a x y y obtenemos:
@
@x
2
p
p(p x)(p y)(x + y) = 1
2
p (p y) 2x p+yp
p(p x)(p y)(x+y)
@
@y
2
p
p(p x)(p y)(x + y) = 1
2
p (p x) x p+2yp
p(p x)(p y)(x+y)
Igualando a cero @A(x;y;z)
@x
y @A(x;y;z)
@y
; formamos un sistema de ecuaciones para
determinar los puntos estacionarios y hacer el análisis del área máxima:
(1) 1
2
p (p y) 2x p+yp
p(p x)(p y)(x+y)
= 0 ! 2x p + y = 0
(2) 1
2
p (p x) x p+2yp
p(p x)(p y)(x+y)
= 0 ! x p + 2y = 0

Resolviendo el sistema, tenemos: x = 1
3
p; y = 1
3
p
Como z = p x y ! z = 1
3
p
Por tanto, el mayor triángulo es equilátero y tiene un área máxima igual a
A(x; y; z) = 2
q
p(p 1
3
p)(p 1
3
p)(1
3
p + 1
3
p) = 2 2p
6
9
p2
.
10. ¿En qué punto de la elipse 4x2
+ 9y2
= 36 la tangente a ésta forma con los ejes
coordenados el triángulo de menor área?
Gra…cando la elipse y la recta tangente que intercepta a los ejes, vemos que:
4x2
+9y2
=36
x/a+y/b=1
0 X
Y
3-3
-2
2
a
b
Formando la función del área con el operador de Lagrange, tenemos:
A(a; b) = ab
2
+ (x
a
+ y
b
1), donde ab
2
es el área del triángulo.
Derivando A(a; b) respecto a a y b, obtenemos:
@A(a;b)
@a
= 1
2a2 (a2
b 2x ) y @A(a;b)
@b
= 1
2b2 (ab2
2y )
Igualando a cero @A(a;b)
@a
, @A(a;b)
@b
, formamos un sistema de ecuaciones para determinar
los puntos estacionarios y hacer el análisis del triángulo con menor área:
8
<
:
a2
b 2x = 0
ab2
2y
x
a
+ y
b
= 1
! a = 2x; b = 2y; = 4xy; b
a
= y
x
Como la pendiente de la recta L es tan( ) = b
a
y la pendiente de la tangente a la
elipse 4x2
+ 9y2
= 36; es tan( ) = 4
9
x
y
.
Igualando ambas ecuaciones de la tangente, tenemos:
tan( ) = b
a
= 4
9
x
y
! b
a
= 4
9
x
y
= y
x
, de donde: 4x2
= 9y2
Sustituyendo 4x2
= 9y2
en la elipse 4x2
+ 9y2
= 36, obtenemos:
8x2
= 36 ! x = 3
p
2
2
^ 18y2
= 36 ! y =
p
2.

11. Calcule el mayor volumen posible que puede tener un paralelepípedo rectangular
inscrito en un elipsoide.
Grá…camente observamos el paralelepípedo inscrito en el elipsoide
Z
0
X
Y
x
2
/a
2
+y
2
/b
2
+z
2
/c
2
=1
y
z
x
Las ecuaciones del elipsoide y volumen del paralelepípedo rectangular son:
x2
a2 + y2
b2 + z2
c2 = 1; V (x; y; z) = xyz
Despejando z del elipsoide, tenemos:
z = c
q
1 x2
a2
y2
b2
Sustituyendo z en la función del volumen:
V (x; y; z) = cxy
q
1 x2
a2
y2
b2 = c
ab
xy
p
a2b2 b2x2 a2y2
Derivando V (x; y; z) respecto a x y y obtenemos:
@V (x;y;z)
@x
= c
ab
y( a2b2+a2y2+2b2x2
)p
a2b2 a2y2 b2x2
; @V (x;y;z)
@y
= c
ab
x( a2b2+2a2y2+b2x2
)p
a2b2 a2y2 b2x2
Igualando a cero @V (x;y;z)
@x
y @V (x;y;z)
@y
; formamos un sistema de ecuaciones para
determinar los puntos estacionarios y hacer el análisis del máximo volumen:
(1) c
ab
y( a2b2+a2y2+2b2x2
)p
a2b2 a2y2 b2x2
= 0 ! a2
y2
+ 2b2
x2
= a2
b2
(2) c
ab
x( a2b2+2a2y2+b2x2
)p
a2b2 a2y2 b2x2
= 0 ! 2a2
y2
+ b2
x2
= a2
b2
Resolviendo el sistema, tenemos:
a2
y2
+ 2b2
x2
= 2a2
y2
+ b2
x2
! b2
x2
= a2
y2

Sustituyendo b2
x2
= a2
y2
en (1) y (2), obtenemos:
3b2
x2
= a2
b2
! x =
p
3
3
a; 3a2
y2
= a2
b2
! y =
p
3
3
b
Realizando el mismo proceso respecto a y y z:
Despejando x del elipsoide, tenemos:
x = a
q
1 y2
b2
z2
c2
Sustituyendo z en la función del volumen:
V (x; y; z) = ayz
q
1 y2
b2
z2
c2 = a
bc
yz
p
b2c2 c2y2 b2z2
Derivando V (x; y; z) respecto a y y z obtenemos:
@V (x;y;z)
@y
= a
bc
z( b2c2+b2z2+2c2y2
)p
b2c2 b2z2 c2y2
; @V (x;y;z)
@z
= a
bc
y( b2c2+2b2z2+c2y2
)p
b2c2 b2z2 c2y2
Igualando a cero @V (x;y;z)
@y
y @V (x;y;z)
@z
, formamos un sistema de ecuaciones para
determinar los puntos estacionarios y hacer el análisis del máximo volumen:
(1’) a
bc
z( b2c2+b2z2+2c2y2
)p
b2c2 b2z2 c2y2
= 0 ! b2
z2
+ 2c2
y2
= b2
c2
(2’) a
bc
y( b2c2+2b2z2+c2y2
)p
b2c2 b2z2 c2y2
= 0 ! 2b2
z2
+ c2
y2
= b2
c2
Resolviendo el sistema, tenemos:
b2
z2
+ 2c2
y2
= 2b2
z2
+ c2
y2
! c2
y2
= b2
z2
Sustituyendo c2
y2
= b2
z2
en (1’) y (2’), obtenemos:
3c2
y2
= b2
c2
! y =
p
3
3
b; 3b2
z2
= b2
c2
! z =
p
3
3
c
Como: x =
p
3
3
a; y =
p
3
3
b; z =
p
3
3
c
Por tanto, el paralelepípedo rectangular tiene un volumen máximo igual a:
V (x; y; z) =
p
3
3
a
p
3
3
b
p
3
3
c =
p
3
9
abc.

1.4. ACTIVIDADES DE REFUERZO 1 39
1.4. Actividades de refuerzo 1
Con la …nalidad de aclarar y fortalecer su aprendizaje respecto a las funciones en varias
variables, se propone al estudiante realizar las siguientes actividades:
Dominios de de…nición, curvas de nivel, derivadas parciales y diferenciales.
1. Si V (x; y) es el voltaje en un punto (x; y) en el plano, las curvas de nivel de V se
llaman curvas equipotenciales. Trace las curvas equipotenciales para V = 1
2
, 1, 2, 4.
2. Calcule f0
x( 1; 1) y f0
y( 1; 1), si f(x; y) = ey
cosh(x).
3. Si f(x; y; z) = e xyz
ln (xy z2
), determine fxyz(x; y; z).
4. Pruebe que @u
@x
+ @u
@y
+ @u
@z
= 1, si z = x + x y
x+y
.
5. Muestre que z = ln (x a)2
+ (y b)2
satisface @2z
@x2 + @2z
@x2 = 0.
6. Pruebe que la función de…nida como f(x; y; z) = xyz
x3+y3+z3 para (x; y; z) 6= (0; 0; 0)
y f(0; 0; 0) = 0 no es continua en (0; 0; 0).
7. Determine df( 1; 1; 1), si f(x; y; z) = arctan(yz
x2 ).
8. Evalúe d2
f(1; 0; 1), si f(x; y; z) = 2x3 5y2z
3z2x+xyz
.
Incrementos, gradientes, planos tangentes y normales.
9. Calcule aproximadamente 10; 025;98
.
10. El volumen V de un cilindro circular recto está dado por V = r2
h, donde r es
el radio y h es la altura. Si h se mantiene …jo en h = 5 metros, determine la razón
de cambio de V respecto a r cuando r = 2 metros.
11. Determine la derivada direccional de f(x; y) = arctan(3xy). ¿Cuál es su valor en
el punto (4; 2) en la dirección !u =
2p
3
2
!
i 1
2
!
j ?
12. Determine el gradiente de f(x; y; z) = sen
p
x2 + y2 + z2 . Demuestre que el
gradiente siempre apunta hacia el origen o fuera del origen.
13. Si la temperatura en cualquier punto de un cuerpo homogéneo es:
T = exy
xy2
x2
yz, ¿cuál es la dirección de mayor descenso de temperatura en
el punto (1; 1; 2)?.

14. Determine la ecuación del plano tangente y la recta normal a la super…cie z = xe 2y
en el punto (1; 0; 1).
15. Determine un punto sobre la super…cie x2
+ 2y2
+ 3z2
= 12 donde el plano
tangente es perpendicular a la recta x 1
2
= y 3
8
= z 1
6
.
Derivadas parciales de funciones compuestas, diferenciales exactas, máximos y
mínimos.
16. Determine @z
@x
y @z
@y
, si z = uv, donde u = x2
y2
, v = exy
.
17. Pruebe que la función z = f(xy) +
p
xyg x
y
satisface y2 @2z
@y2 x2 @2z
@x2 = 0.
18. Si u = x + y2
, v = y + z2
, w = z + x2
, determine @x
@u
, @y
@u
y @z
@u
considerando que las
ecuaciones de…nen x, y y z como funciones dos veces diferenciables de u; v y w.
19. Veri…que que las expresiones diferenciales son exactas. Si lo son, determine la
función donde proviene:
a. y2
(x y)2
1
x
dx + 1
y
x2
(x y)2 dy, b.xdx+ydy+zdzp
x2+y2+z2
.
20. Determine los valores máximos y/o mínimos (si existen) de f(x; y) = xy + 2
x
+ 4
y
.
21. Determine la forma del triángulo de mayor área que puede inscribirse en un círculo
de radio r. Si ; y son los ángulos que subtienden los tres lados del triángulo,
muestre que él área del triángulo es A = 1
2
r2
[sen( ) + sen( ) sen( + )].
22. Un cable de electricidad está tendido desde una planta de energía hasta una fábrica
que se encuentra al otro lado de un río. El río tiene un ancho de 120 metros y la
fabrica está 100 metros río abajo y a 150 metros de la orilla. Tender el cable bajo
el agua cuesta $1000 por metro, $200 por metro a lo largo de la ribera y $500 por
metro tenderlo de la ribera a la fábrica. ¿Qué trayectoria debe elegirse para
minimizar el costo y cuál es el costo mínimo?

1.5. ANEXO 1 41
1.5. Anexo 1
Representación grá…ca de algunas funciones en dos variables tratadas en el capítulo 1,
mediante el software Scienti…c WorkPlace 5.5.
-2
-4
-20
-10
y x
00
0
2
z
2
4 4
-2
20
10 -4
f(x; y) = x2
y+1
2
2
z
y x
-2
0
00
-4
-2 -2
2
4
f(x; y) = 2
p
4 x2 y2
44
0 0
0
xy
z
2 2
-2
-4
-4
-2-2
-42
4
f(x; y) = x
2
p
2y 2p
x
0 0
-2
-2
xy
-4 22
-20
2 -4-4
4
z
4
4
f(x; y) = sin(x2
+ y2
)
-4
-2
-4
4
-4
z
y
-2
-2 00
2
4
0
2
2
x4
f(x; y) = 3x2
2xy4
+ 5x3
y2
+ y3
4
0
0
y
z-2
-2
-4
-4
x
22
0
4
-2
-42
4
f(x; y) = ln(x2
+ y2
)

44
2 2
z
y x
00
-2 -2
-2
-4
-4
0
-42
4
f(x; y) = 2
p
x2 + y 2
-4
-2
-4
z-2
-4
-2
2
0
0
0
2
2
y4 x
4
4
f(x; y) = y cos(x2
+ y2
)
44
22
0 0
xy
z 0
-4
-4
-2
-2-2
2 -4
4
f(x; y) = 2
p
x y + 1
-2
-4
y
-4
-2
x
00
2 2
44
z-2 0
-4 2
4
f(x; y) = ln 2
q
x2 y2
x2+y2
-2
z
y2
-2
0
x
0
2
20
15
10
5
z = ex2+y2
2
y
-2
-2
-2
z
1
-1
-10
00
1
1
-1
x2
2
x2
+ y2
2
+ z2
3
= 1

1.5. ANEXO 1 43
-4
y
-4
4
-2
x
-4
4
2
0 0
z-2 -20
2
2
4
2x2
+ y2
+ 3z2
= 18 ^ 4x + 16y + 24z 57 = 0 ^ x + 4y + 6z = 0

Capítulo 2
Integrales múltiples
2.1. Fundamentos conceptuales
De…nición 2.1 Se denomina integral doble de una función continua z = F(x; y) sobre
un recinto cerrado y acotado S del plano xy, al límite de la suma integral doble:
R R
(S)
F(x; y)dxdy = l m
max xi !0
max yj !0
mP
i=1
nP
j=1
F(xi; yj) xi yj,
donde xi = xi+1 xi, yj = yj+1 yj y la suma se extiende a aquellos valores de i
y j, para todos los puntos (xi; yj) que pertenecen al recinto S:
La …gura siguiente, nos permite observar lo expresado en la de…nición:
Z
0
Y
yj-1
y1 y2yj+1yj
x1
xi-1
x2
xi
xi+1
S
SIJ
PIJ
P=(xi,yj,zk)
z=F(x,y)
X
xi
yi
45

46 CAPÍTULO 2. INTEGRALES MÚLTIPLES
2.1.1. Límites de integración en la integral doble
Para ubicar los límites de integración en la integral doble, identi…camos dos formas de
recintos de integración:
1. El recinto de integración S, se encuentra limitado de izquierda a derecha por las
rectas x = x1 y x = x2 (x1 < x2), mientras que de abajo hacia arriba por las curvas
continuas y = f1(x) e y = f2(x) (f2(x) f1(x)), cada una de las cuales se corta con la
vertical x = X (x1 < X < x2) en un solo punto como se indica en la …gura a.
En el recinto S, la variable x varia entre x1hasta x2 y la variable y, cuando x permanece
constante, varia entre y1 = f1(x) e y2 = f2(x). El cálculo de la integral puede realizarse
reduciendola a una integral reiterada de la forma:
R R
(S)
F(x; y)dxdy =
x2R
x1
f2(x)R
f1(x)
F(x; y)dydx,
donde, al calcular
f2(x)R
f1(x)
F(x; y)dy, se considera x como cantidad constante.
Y
X
0
A
B
C
D
S
y2=f2(x)
y1=f1(x)
x1 X x2
Figura a
2. El recinto de integración S, se encuentra limitado de abajo hacia arriba por las
rectas y = y1 y y = y2 (y1 < y2), mientras que de izquierda a derecha por las curvas
continuas x = g1(y) e x = g2(y) (g2(y) g1(y)), cada una de las cuales se corta con la
horizontal y = Y (y1 < Y < y2) en un solo punto como se indica en la …gura b.
En el recinto S, la variable y varia entre y1hasta y2 y la variable x, cuando y permanece
constante, varia entre x1 = g1(y) e x2 = g2(y). En forma similar al caso anterior, el cálculo
de la integral se reduce a una integral reiterada de la forma:

R R
(S)
F(x; y)dxdy =
y2R
y1
g2(y)R
g1(y)
F(x; y)dxdy,
donde, al calcular
g2(y)R
g1(y)
F(x; y)dx, se considera y como cantidad constante.
Y
X
0
A B
C D
Y x2=g2(y)x1=g1(y)
y2
y1
S
Figura b
2.1.2. Integral doble en coordenadas polares
Cuando en la integral doble pasamos de coordenadas rectangulares x, y a polares r,
, éstas relacionadas con las primeras por x = r cos( ), y = rsen( ) y r2
= x2
+ y2
;
veri…camos la expresión
R R
(S)
F(x; y)dxdy =
R R
(S)
F (r cos( ); rsen( )) rdrd .
Si el recinto de integración S está limitado por los rayos r = y r = ( < ) y
por las curvas r = r1( ) y r = r2( ), donde r1( ) y r2( ) (r1( ) r2( )) son funciones
uniformes en el intervalo , entonces la integral doble se calcula por la expresión:
R R
(S)
F(r; )rdrd =
R r2( )R
r1( )
F(r; )rdrd ,
donde F(r; ) = F (r cos( ); rsen( )).
Al calcular la integral
r2( )R
r1( )
F(r; )rdr, se considera como cantidad constante.

2.1.3. Integral doble en coordenadas curvilíneas
Si la integral doble
R R
(S)
F(x; y)dxdy se quiere pasar de las variables x, y a las variables
u, v, relacionadas con aquellas por medio de las expresiones continuas y diferenciables
x = '(u; v), y = (u; v), que establecen una correspondencia biunívoca y continua en
ambos sentidos, entre los puntos del recinto S del plano xy y los puntos de un recinto
determinado S0
del plano uv, al mismo tiempo que el jacoviano:
J = D(x;y)
D(u;v)
=
@x
@u
@y
@u
@x
@v
@y
@v
conserva invariante su signo en el recinto S, será válida la expresión
R R
(S)
F(x; y)dxdy =
R R
(S)
F('(u; v); (u; v)) jJj dudv.
Los límites de esta nueva integral se determinan de acuerdo con las reglas generales,
sobre la base de la forma que tenga el recinto S0
.
2.1.4. Cálculo de áreas de …guras planas
De…nición 2.2 El área A de un recinto plano (S), se determina mediante la expresión
A =
R R
(S)
dxdy
Si el recinto (S) está limitado por las desigualdades x1 x x1, f1(x) y f2(x),
se tiene:
A =
x2R
x1
f2(x)R
f1(x)
dydx
Si el recinto (S) está limitado por las desigualdades y1 y y1, g1(y) x g2(y),
se tiene:
A =
y2R
y1
g2(y)R
g1(y)
dxdy.
De…nición 2.3 Si el recinto (S) está determinado, en coordenadas polares r y , por las
desigualdades 1 2, f1( ) r f2( ), se tiene:
A =
R R
(S)
rd dr =
R 2
1
R f2( )
f1( )
rdrd .

Aplicando las de…niciones y propiedades de los temas tratados en esta primera parte,
1. Calcule las integrales siguientes:
a.
1R
0
2R
1
dxdy
Resolviendo la integral interior y la exterior, obtenemos:
1R
0
2R
1
dxdy =
1R
0
[x]2
1 dy =
1R
0
(2 1) dy =
1R
0
dy = y j1
0 = 1 0 = 1.
b.
2R
1
2R
1
x
x2
y2 dydx
Resolviendo la integral interior, tenemos:
2R
1
2R
1
x
x2
y2 dydx =
2R
1
x2
h
1
y
i2
1
x
dx =
2R
1
x2 1
2
+ x dx = 1
2
2R
1
x2
dx +
2R
1
x3
dx
Luego:
2R
1
2R
1
x
x2
y2 dydx = 1
2
2R
1
x2
dx +
2R
1
x3
dx = x3
6
j2
1 + x4
4
j2
1 = 8 1
6
+ 16 1
4
= 31
12
.
c.
1R
0
p
yR
y
xydxdy
1R
0
p
yR
y
xydxdy =
1R
0
y
h
x2
2
ip
y
y
dy =
1R
0
y y y2
2
dy = 1
2
1R
0
y2
dy 1
2
1R
0
y3
dy
Luego:
1R
0
p
yR
y
xydxdy = 1
2
1R
0
y2
dy 1
2
1R
0
y3
dy = 1
6
y3
j1
0
1
8
y4
j1
0 = 1
6
1
8
= 1
24
.
d.
2R
0
aR
asen( )
rdrd

2R
0
aR
asen( )
rdrd =
2R
0
1
2
r2 a
asen( )
d = 1
2
2R
0
(a2
a2
sen2
( )) d = a2
2
2R
0
cos2
( )d
Utilizando la identidad cos2
( ) = 1+cos(2 )
2
, la integral toma la forma:
2R
0
aR
asen( )
rdrd = a2
2
2R
0
1+cos(2 )
2
d = a2
4
2R
0
d +
2R
0
cos(2 )d
Luego:
2R
0
aR
asen( )
rdrd = a2
4
+ sen(2 )
2
2
0
= a2
4
(2 0) = a2
2
.
e.
2R
0
2R
0
r2
cos( )drd
2R
0
2R
0
r2
cos( )drd =
2R
0
cos( )
h
r3
3
i2
0
d =
2R
0
8
3
cos( )d
Luego:
2R
0
2R
0
r2
cos( )drd ==
2R
0
8
3
cos( )d = 8
3
sen( ) 2
0 = 8
3
sen(2
) sen(0) = 8
3
.
f.
1R
0
2
p
1 y2
R
0
2
p
1 x2 y2dxdy
1R
0
2
p
1 y2
R
0
2
p
1 x2 y2dxdy =
1R
0
2
p
1 y2
R
0
2
p
(1 y2) x2dxdy
=
1R
0
1 y2
2
arcsen xp
1 y2
+ 1
2
x
p
(1 y2) x2
2
p
1 y2
0
dy
=
1R
0
h
1 y2
2
(arcsen(1) arcsen(0)) + 1
2
(0 0)
i
dy
=
1R
0
h
1 y2
2 2
0
i
dy = 4
1R
0
(1 y2
) dy
Luego:
1R
0
2
p
1 y2
R
0
2
p
1 x2 y2dxdy = 4
1R
0
(1 y2
) dy = 4
h
y y3
3
i1
0
= 4
1 1
3
= 4
2
3
= 6
.

2. Invertir el orden de integración y calcular las integrales iguientes:
a.
1R
0
2R
1
dxdy
De los límites de la integral, vemos que:
y1 = 0; y2 = 2; g(y1) = x1 = 1 y g(y2) = x2 = 2
Gra…cando estas expresiones, observamos el recinto S
Y
X0
y1=0
y2=2
x1=1 x2=2
S
Invirtiendo el orden y de…niendo los nuevos límites en la integral, tenemos:
1R
0
2R
1
dxdy =
2R
1
1R
0
dydx
Resolviendo la integral, obtenemos:
2R
1
1R
0
dydx =
2R
1
[y]1
0 dx =
2R
1
dx = 2 1 = 1.
b.
2R
1
2R
1
x
x2
y2 dydx
x1 = 1; x2 = 2; f(x1) = y1 = 1
x
y f(x2) = y2 = 2
Y
X0
x1=1 x2=2
y2=2
y1=1/x
S

Invirtiendo el orden y de…niendo los nuevos límites, tenemos:
2R
1
2R
1
x
x2
y2 dydx =
1R
1
2
2R
1
y
x2
y2 dxdy +
2R
1
2R
1
x2
y2 dxdy
Resolviendo la integral interior, obtenemos:
1R
1
2
2R
1
y
x2
y2 dxdy +
2R
1
2R
1
x2
y2 dxdy =
1R
1
2
1
y2
h
x3
3
i2
1
y
dy +
2R
1
1
y2
h
x3
3
i2
1
dy
=
1R
1
2
1
y2
8 1
y3
3
dy +
2R
1
1
y2
8 1
3
dy
= 8
3
1R
1
2
1
y2 dy 1
3
1R
1
2
1
y5 dy + 7
3
2R
1
1
y2 dy
Luego:
2R
1
2
2R
1
y
x2
y2 dxdy = 8
3
1R
1
2
1
y2 dy 1
3
1R
1
2
1
y5 dy + 7
3
2R
1
1
y2 dy
= 8
3
1
y
1
1
2
+ 1
12
1
y4
1
1
2
7
3
1
y
j2
1
= 8
3
(1 2) + 1
12
(1 16) 7
3
1
2
1 = 31
12
.
c.
1R
0
p
yR
y
f(x; y)dxdy
y1 = 0; y2 = 1; g(y1) = x1 = y y g(y2) = x2 =
p
y
Y
0
X
S
x1=y
x2=y1/2
y2=x
y1=x

2.2. CÁLCULO DE VOLÚMENES Y SUPERFICIES 53
Invirtiendo el orden y de…niendo los nuevos límites, tenemos:
1R
0
p
yR
y
xydxdy =
1R
0
xR
x2
xydydx
Resolviendo la integral interior, obtenemos:
1R
0
xR
x2
xydydx =
1R
0
x
h
y2
2
ix
x2
dx =
1R
0
x x2 x4
2
dx = 1
2
1R
0
(x3
x5
) dx
Luego:
1R
0
xR
x2
xydydx = 1
2
1R
0
x3
dx 1
2
1R
0
x5
dx = 1
8
x4
j1
0
1
12
x6
j1
0 = 1
8
1
12
= 1
24
.
2.2. Cálculo de volúmenes y super…cies
2.2.1. Volúmenes
De…nición 2.4 El volumen V de un cilindroide, limitado por arriba por la super…cie
continua z = F(x; y), por abajo por el plano z = 0 y lateralmente por la super…cie
cilíndríca recta que corta en el plano xy el recinto S como se indica en la …gura, es
igual a
V =
R R
(S)
F(x; y)dxdy.
2.2.2. Áreas super…ciales
De…nición 2.5 El área As de una super…cie regular z = F(x; y) que tenga como proyec-
ción en el plano xy un recinto S, es igual a
As =
R R
(S)
2
r
1 + @z
@x
2
+ @z
@y
2
dxdy.
Aplicando las de…niciones y propiedades de los temas tratados en esta segunda parte,
1. Determine el área limitada por la elipse (y x)2
+ x2
= 1:
Desarrollando la ecuación, toma la forma: 2x2
2xy + y2
1 = 0.

Gra…cando vemos que se trata de una elipse rotada un ángulo = 4
rad:
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2
x
y
2x2
2xy + y2
1 = 0
Despejando y de la ecuación, tenemos: y = x 2
p
1 x2.
El área de la elipse(recinto (S)), se determina por:
A =
R x2
x1
R f(x2)
f(x1)
dydx =
R 1
1
R x+ 2p
1 x2
x 2p
1 x2 dydx = u2
.
2. Calcule el área de la …gura situada sobre el eje x, limitada por este eje, la curva
y2
= 4ax y la recta x + y = 3a.
Gra…cando y resolviendo el sistema entre y2
= 4ax y x + y = 3a, vemos que estas
se intersecan en los puntos P1 = (a; 2a) y P2 = (9a; 6a).
Y
0 X
y
2
=4ax
x+y=3a
x=a
y=0
S
El área de la región comprendida, se determina por:
A =
R y2
y1
R g2(y)
g1(y)
dxdy =
R 2a
0
R 3a y
y2
4a
dxdy = 10
3
a2
u2
.

3. Obtenga el área limitada por las parábolas y2
= 10x + 25 y y2
= 6x + 9.
Gra…cando y resolviendo el sistema entre las parábolas, vemos que se intersecan en
los puntos P1 = 1;
p
15 y P2 = ( 1;
p
15).
Y
0
X
x=-1
y
2
=10x+25
S
y
2
=-6x+9 P2
P1
El área de la región comprendida entre las dos parábolas, se determina por:
A =
R x2
x1
R f2(x)
f1(x)
dydx =
R 1
5
2
R 2p
10x+25
2p
10x+25
dydx +
R 3
2
1
R 2p
9 6x
2p
9 6x
dydx = 16
3
p
15 u2
.
4. Determine el área limitada por las siguientes líneas, pasando a coordenadas polares,
x2
+ y2
= 2x, x2
+ y2
= 4x, y = x, y = 0.
Gra…cando las líneas x2
+ y2
= 2x, x2
+ y2
= 4x, y = x, y = 0, vemos el recinto (S)
Y
0 X
y=x
x
2
+y
2
=4x
x
2
+y
2
=2x
S
y=0

Transformando a coordenadas polares cada una de las líneas, obtenemos las ecuaciones:
8
>><
>>:
x2
+ y2
= 2x ! r = 2 cos( )
x2
+ y2
= 4x ! r = 4 cos( )
y = x ! = 4
= 0
El área de la región comprendida entre las líneas, se determina por:
A =
R 2
1
R f2( )
f1( )
rdrd =
R
4
0
R 4 cos( )
2 cos( )
rdrd = 3
4
+ 3
2
= 3
4
( + 2) u2
.
5. Calcule el área limitada por las curvas r = a (1 + cos( )) y r = a cos( ) (a < 0).
Gra…cando las curvas, vemos que se trata de un círculo interior a una cardioide:
0.5 1.0 1.5 2.0
-1.0
-0.5
0.5
1.0
x
y
r = a (1 + cos( )) ^ r = a cos( )
El área de la región comprendida entre las curvas, se determina por:
A =
R 2
1
R f2( )
f1( )
rdrd = 2
R
2
0
R a(1+cos( ))
a cos( )
rdrd + 2
R
2
R a(1+cos( ))
0
rdrd = 5
4
a2
u2
.
6. Obtenga el área limitada por la línea (x2
+ y2
)
2
= 8 (x2
y2
).
Sustituyendo x = r cos( ), y = rsen( ) y x2
+ y2
= r2
para transformar la línea a
coordenadas polares, obtenemos la ecuación:
(r2
)
2
= 8r2
(cos2
( ) sen2
( )); r2
= 8 cos (2 ) ! r = 2
p
2
p
cos(2 )
Gra…cando la curva r = 2
p
2
p
cos(2 ), observamos que es continua en los intervalos:
0 4
; 34
; 34
54
y 74
2 :

-4 -2 2 4
-4
-2
2
4
x
y
r = 2
p
2
p
cos(2 )
El área de la región comprendida por la curva, se determina por:
A =
R 2
1
R f2( )
f1( )
rdrd = 4
R
4
0
R 2 2p
2 2
p
cos(2 )
0
rdrd = 8u2
.
7. Calcule el área limitada por la elipse (x 2y + 3)2
+ (3x + 4y 1)2
= 100.
Gra…cando la elipse, observamos:
Y
0
(x-2y+3)
2
+(3x+4y-1)
2
=100
X
Sea
u = x 2y + 3
v = 3x + 4y 1
! x = 2u+v 5
5
; y = v 3u+10
10
.
Realizando el cálculo del Jacobiano, tenemos:
J (u; v) =
@x
@u
@x
@v
@y
@u
@y
@v
=
2
5
1
5
3
10
1
10
= 2
50
+ 3
50
= 1
10
.
A =
R R
(S)
jJ (u; v)j dudv = 1
10
R R
(S)
dudv

Reduciendo la ecuación en términos de u y v, tenemos un círculo, es decir:
u2
+ v2
= 102
, donde el radio es r = 10:
Gra…cando el círculo, vemos:
V
0
u2
+v2
=100
U
Calculando el área de este círculo, obtenemos:
A = 4
R R
(S)
1
10
dudv = 4
h
1
10
R
2
0
R 10
0
rdrd
i
= 2
5
R
2
0
h
r2
2
i10
0
d = 20
R
2
0
d = 10 u2
.
8. Determine el área de la región limitada por los arcos de las curvas y2
= ax, y2
= bx,
xy = c, xy = d (0 < a < b, 0 < c < d).
Gra…cando las curvas, observamos el recinto (S)
Y
0 X
xy=c
y
2
=ax
y
2
=bx
xy=d
S
Sea
(
y2
x
= a
y2
x
= b
! u = y2
x
; a u b;
xy = c
xy = d
! v = xy; c v d.
El recinto comprendido por las curvas en función de u y v, es el conjunto de puntos:
R = f(u; v) =a u b; c v dg.

Como
y2
x
= u
xy = v
; y2
x
xy = uv !
y = u
1
3 v
1
3
x = u
1
3 v
2
3
.
Calculando el Jacobiano, tenemos:
J (u; v) =
@x
@u
@x
@v
@y
@u
@y
@v
=
1
3
u
4
3 v
2
3
2
3
u
1
3 v
1
3
1
3
u
2
3 v
1
3
1
3
u
1
3 v
2
3
= 1
3u
.
A =
R R
(S)
jJ (u; v)j dudv = 1
3
R R
(S)
dudv
u
.
Calculando el área del recinto en términos de u y v, obtenemos:
A = 1
3
R R
(S)
1
u
dudv = 1
3
R d
c
R b
a
1
u
dudv = 1
3
R d
c
ln b
a
dv = 1
3
ln b
a
(c d) u2
.
9. Calcule el volumen del cuerpo limitado por el paraboloide hiperbólico z = x2
y2
y los planos y = 0, z = 0, x = 2.
Sustituyendo z = 0 en z = x2
y2
, obtenemos la linea y = x.
Gra…cando las líneas y = 0, x = 2 y y = x, observamos el recinto (S)
Y
0 X2
x=y
S
El volumen del cuerpo limitado por el recinto (S), se determina por:
V =
R x2
x1
R f2(x)
f1(x)
dydx =
R 2
0
R x
0
(x2
y2
) dydx = 8
3
u3
.
10. Un sólido está limitado por las super…cies z = x + y, xy = 2, xy = 1, y = 2x,
y = x, z = 0 (x > 0, y > 0). Calcule su volumen.
Gra…cando las líneas xy = 1, xy = 2, y = x, y = 2x y obteniendo los puntos de corte
entre ellas P1 =
p
2
2
;
p
2 , P2 = (1; 1), P3 = (1; 2) y P4 =
p
2;
p
2 , vemos el
recinto (S)

Y
0 X
xy=1
y=x
y=2x
xy=2
Sc
c
x=1 v2v2/2
P1
P2
P4
P3
El volumen del cuerpo limitado por el recinto (S), se determina por:
V =
R x2
x1
R f2(x)
f1(x)
dydx =
R 1
2p
2
2
R 2x
1
x
(x + y) dydx +
R 2p
2
1
R 2
x
x
(x + y) dydx = 4
3
1
3
p
2 u3
.
11. Calcule el área de la parte de la super…cie del paraboloide z2
+ x2
= 2y,
comprendida entre el cilindro x2
= y y el plano y = 1.
Como:
z2
+ x2
= 2y
x2
= y
!
z =
p
2y x2
x =
p
y
Gra…cando las líneas x2
= y y y = 1, vemos el recinto (S)
Y
X0
x2
=y
y=1
S
Determinando @z
@x
y @z
@y
, tenemos:
@z
@x
= xp
2y x2
; @z
@y
= 1p
2y x2
El área super…cial del cuerpo limitado por el recinto (S), se determina por:

As =
R y2
y1
R g2(y)
g1(y)
2
q
1 + @z
@x
2
+ @z
@x
2
dxdy
= 4
R 1
0
R p
y
0
2
q
1 + x2
2y x2 + 1
2y x2 dxdy
= 4
R 1
0
R p
y
0
q
2y+1
2y x2 dxdy
= 3
3
p
3 1 u2
.
12. En la esfera x2
+ y2
+ z2
= k2
se corta un ori…cio, con salida de base cuadrada,
cuyo lado es igual al radio. El eje de este ori…cio coincide con el diámetro de la
esfera. Calcule el área de la super…cie de ésta cortada por el ori…cio.
Gra…cando la salida del ori…cio de base cuadrada y la esfera frontalmente en el plano
xy, vemos:
Y
0
X
x2
+y2
+z2
=k2
S
a/2
a/2
-a/2
-a/2
k
Como x2
+ y2
+ z2
= k2
, entonces z = 2
p
k2 x2 y2
Determinando @z
@x
y @z
@x
, obtenemos:
@z
@x
= xp
k2 x2 y2
, @z
@y
= yp
k2 x2 y2
As =
R y2
y1
R g2(y)
g1(y)
2
q
1 + @z
@x
2
+ @z
@x
2
dxdy
= 8
R k
2
0
R k
2
0
2
q
1 + x2
k2 x2 y2 + y2
k2 x2 y2 dxdy
= 8k
R k
2
0
R k
2
0
dx
2
p
k2 x2 y2
dy
= 8k2
arctan
p
2
5
u2
.

13. Calcule el área de la intersección de la super…cie y2
= 2x cortada por la esfera
x2
+ y2
+ z2
= 4x:
Sustituyendo y2
= 2x en x2
+ y2
+ z2
= 4x, tenemos: x2
+ z2
= 2x:
Luego: z = 2
p
2x x2
Para obtener los puntos de corte en el plano xy, hacemos z = 0 en la esfera, es decir:
x2
+ y2
= 4x:
Gra…cando y resolviendo el sistema entre x2
+ y2
= 4x y y2
= 2x, vemos que se
intersecan en los puntos P1 = (x = 0; y = 0), P2 = (x = 2; y = 2) y
P3 = (x = 2; y = 2)
Y
0 X
y2
=2x
x2
+y2
=4x
SP1=(0,0)
P3=(2,-2)
P2=(2,2)
Determinando @y
@x
y @y
@z
de y2
= 2x, obtenemos:
@y
@x
=
p
2
2
p
x
, @y
@z
= 0
As =
R x2
x1
R h2(x)
h1(x)
2
q
1 + @y
@x
2
+ @y
@z
2
dzdx
= 4
R 2
0
R 2p
2x x2
0
2
q
1 + 1
2x
+ 0dzdx
= 4
R 2
0
R 2p
2x x2
0
2
q
2x+1
2x
dzdx
= 4
R 2
0
2
q
2x+1
2x
2
p
2x x2dx
= 2
p
2
R 2
0
2
p
2 + 3x 2x2dx
Resolviendo la integral
R 2
p
2 + 3x 2x2dx, se obtenemos:
R 2
p
2 + 3x 2x2dx = 13
4
arcsen
2p
26
13
x 3
2
+ x 3
2
2
p
2 + 3x 2x2
Luego:
As = 2
p
2
h
13
4
arcsen(
p
26
26
) + arcsen(3
p
26
26
) + 3
p
2
2
i
u2
.

2.3. INTEGRAL TRIPLE EN COORDENADAS RECTANGULARES 63
2.3. Integral triple en coordenadas rectangulares
De…nición 2.6 Se denomina integral triple de una función u = F(x; y; z) sobre un recinto
V , al límite de la correspondiente suma triple
R R R
(V )
F(x; y; z)dxdydz = l m
max xi !0
max yj !0
max zk !0
"
nP
i=1
nP
j=1
nP
k=1
F(xi; yj; zk) xi yj zk
#
,
donde xi = xi+1 xi, yj = yj+1 yj y zk = zk+1 zk la suma se extiende a
aquellos valores de i, j y k, para todos los puntos (xi; yj; zk) que pertenecen al recinto V .
El cálculo de la integral triple se reduce a calcular sucesivamente tres integrales ordi-
narias(simples) o a calcular una doble y una simple.
2.3.1. Integral triple en coordenadas cilíndricas
En coordenadas cilíndricas la posición de un punto P en el espacio se determina
mediante tres números w, r, z, donde w y r son las coordenadas polares de la proyección
del punto P sobre el plano xy, y z es la cota del mismo punto P, es decir, su distancia
hasta el plano xy; la última es positiva si el punto está sobre el plano xy y es negativo en
caso contrario.
Y
Z
X
0
P=(r,w,z)
w
r
z
Si la integral triple de la función u = F(x; y; z) está dada en coordenadas rectangulares,
es muy simple transformarla a coordenadas cilíndricas.
Sustituyendo x = r cos(w), y = rsen(w), z = z, obtenemos:
R R R
(V )
F(x; y; z)dxdydz =
R R R
(V )
F(r; w; z)rdrdwdz,
donde F(r cos(w); rsen(w); z) = F(r; w; z).
Los límites de integración son determinados por la forma del recinto V .

2.3.2. Integral triple en coordenadas esféricas
En coordenadas esféricas la posición de un punto P en el espacio la determinan tres
números w, r, v, donde r es la distancia del punto al origen de coordenadas, llamado
radio vector del punto, v es el ángulo entre el radio vector y el eje 0z, w es el ángulo
entre la proyección del radio vector sobre el plano xy y el eje 0x. El último ángulo lo
tomamos a partir del eje 0x, en la dirección positiva (sentido antihorario) como indica
la …gura.
Y
Z
X
0
P=(r,w,v)
w
r z
v
x
y
Para todo punto del espacio se tiene:
0 r < 1, 0 v , 0 w 2 .
Si la integral triple de la función u = F(x; y; z) está dada en coordenadas rectangulares,
no es di…cil transformarla a coordenadas cilíndricas.
Reemplazando x = rsen(v) cos(w), y = rsen(v)sen(w), z = r cos(v), obtenemos:
R R R
(V )
F(x; y; z)dxdydz =
R R R
(V )
F(w; r; v)r2
sen(v)drdwdv,
donde F(rsen(v) cos(w); rsen(v)sen(w); r cos(v)) = F(w; r; v).
Los límites de integración son determinados por la forma del recinto V .
2.3.3. Cambio de variables en la integral triple
Si en la integral triple
R R R
(V )
F(x; y; z)dxdydz hay que pasar de las variables x; y; z; a
las variables u; v; w, relacionadas con los primeros por las igualdades x = '1(u; v; w),
y = '2(u; v; w), z = '3(u; v; w), donde las funciones '1; '2; '3:
i). Son continuas, junto con sus derivadas parciales de primer orden.

ii). Establecen una correspondencia biunívoca continua en ambos sentidos, de un
recinto determinado V 0
del espacio 00
UV W y
iii) El Jacobiano de estas funciones conserva invariante su signo en el recinto V ,
entonces, es válida la expresión
R R R
(V )
F(x; y; z)dxdydz =
R R R
(V 0)
F ['1(u; v; w); '2(u; v; w); '3(u; v; w)] jJj dudvdw,
donde
J = D(x;y;z)
D(u;v;z)
=
@x
@u
@y
@u
@z
@u
@x
@v
@y
@v
@z
@v
@x
@w
@y
@w
@z
@w
.
2.3.4. Cálculo de volúmenes con la integral triple
De…nición 2.7 El volumen de un recinto (V ), del espacio tridimencional xyz se deter-
mina mediante la expresión
V =
R R R
(V )
dxdydz
Si el recinto (V ) está limitado por las desigualdades x1 x x1, f1(x) y f2(x),
g1(x; y) z g2(x; y), se tiene:
V =
x2R
x1
f2(x)R
f1(x)
g2(x;y)R
g1(x;y)
dzdydx.
Si el recinto (V ) está limitado por las desigualdades y1 y y2, f1(y) x f2(y),
g1(y; z) z g2(y), se tiene:
V =
y2R
y1
f2(y)R
f1(y)
g2(y;z)R
g1(y;z)
dzdxdy.
Si el recinto (V ) está limitado por las desigualdades z1 z z2, f1(z) x f2(z),
g1(y; z) y g2(y), se tiene:
V =
z2R
z1
f2(z)R
f1(z)
g2(y;x)R
g1(y;x)
dydxdz.

Aplicando las de…niciones y propiedades de los temas tratados en esta tercera parte,
1. Evalúe las integrales triples siguientes:
a.
R 1
1
R 2
2
R 3
3
dzdydx
R 1
1
R 2
2
R 3
3
dzdydx =
R 1
1
R 2
2
R 3
3
dz dydx =
R 1
1
R 2
2
6dy dx =
R 1
1
24dx = 48.
b.
R 1
0
R 1
0
R 2
2
p
x2+y2 xyzdzdydx
R 1
0
R 1
0
R 2
2
p
x2+y2 xyzdzdydx =
R 1
0
R 1
0
xy
R 2
2
p
x2+y2 zdz dydx
=
R 1
0
R 1
0
xy 2 1
2
x2 1
2
y2
dydx
=
R 1
0
2x
R 1
0
ydy 1
2
x3
R 1
0
ydy 1
2
x
R 1
0
y3
dy dx
=
R 1
0
7
8
x 1
4
x3
dx
= 3
8
.
2. Calcule
R 2
0
R 2p
2x x2
0
R a
0
z 2
p
x2 + y2dzdydx, transformando previamente a coordenadas
cilíndricas.
De…niendo el dominio por medio de los límites superior e inferior de cada integral,
tenemos:
D =
8
<
:
0 x 2
0 y 2
p
2x x2
0 z a
Como el límite superior es un semicírculo y = 2
p
2x x2 ! x2
+ y2
= 2x, pasando a
coordenadas polares, obtenemos la ecuación r = 2 cos ( ) :
Representado el dominio en el plano xy podemos apreciar el semicírculo:

Y
0 X
y=(2x-x
2
)
1/2
2
S
Luego:
I =
R 2
0
R 2p
2x x2
0
R a
0
z 2
p
x2 + y2dzdydx =
R
2
0
R 2 cos( )
0
R a
0
zr2
dzdrd = 8
9
a2
.
3. Calcule
R 2R
0
R 2p
2Rx x2
2p
2Rx x2
R 2
p
4R2 x2 y2
0
dzdydx, pasando a coordenadas cilíndricas.
De…niendo el dominio por medio de los límites superior e inferior de cada integral,
tenemos:
D =
8
<
:
0 x 2R
2
p
2Rx x2 y 2
p
2Rx x2
0 z 2
p
4R2 x2 y2
Como el límite superior es un círculo y = 2
p
2Rx x2 ! x2
+ y2
= 2Rx, pasando
a coordenadas polares, obtenemos la ecuación r = 2R cos ( ) :
Gra…cando x2
+ y2
= 2Rx, vemos:
Y
0 X
x2
+y2
=2Rx
2R
S

Luego:
I = 2
R
2
0
R 2R cos( )
0
R 2p
4R2 r2
0
rdzdrd = 2
R
2
0
R 2R cos( )
0
r
p
4R2 r2drd
= 16R3
3
R
2
0
sin3
( ) 1 d = 16R3
3
1
12
cos(3 ) 3
4
cos( ) 2
0
= 16R3
3
2
3 2
= 8R3
3
4
3
.
4. Calcule el volumen de la región encerrada en la esfera x2
+ y2
+ z2
= 25 y el
cono z2
sen2
( ) = (x2
+ y2
) cos2
( ), siendo una constante tal que 0 .
Gra…cando la esfera y el cono, podemos ver la región encerrada
-2
-2
-4
0
x2
4
0
0
y
z
-2
-4 -4
2
4
4
2
x2
+ y2
+ z2
= 25 ^ z2
sen2
( ) = (x2
+ y2
) cos2
( )
Transformando la ecuación del cono en coordenadas esféricas, tenemos:
r2
cos2
(v)sen2
( ) = (r2
sen2
(v) cos2
(w) + r2
sen2
(v)sen2
(w)) cos2
( )
= r2
sen2
(v) cos2
( )
Es decir, cos2
(v)sen2
( ) = sen2
(v) cos2
( ), de donde tan(v) = tan( )
Luego: v = _ v = .
En cambio la esfera transformada a coordenadas esféricas es r = 5
El volumen del cuerpo limitado, entre la esfera y el cono, se determina por
V = 4
R
0
R
2
0
R 5
0
r2
sin(v)drdwdv = 500
3
u3
.

5. Determine el volumen de la región limitada por el cilindro parabólico x2
+ z = 4
y los planos y = 0, y = 5 y z = 0:
Sustituyendo z = 0 en x2
+ z = 4, tenemos los planos x = 1; x = 1.
Gra…cando cilindro parabólico y los planos, podemos ver la región
-4
z
-2
-4 2
-4
-2
0
2
-2
x
0 0
4
4
y 2
4
x2
+ z = 4 ^ (y = 0; y = 4; x = 2; x = 2)
El volumen del cuerpo limitado, entre cilindro parabólico y los planos, se determina
por:
V =
x2R
x1
f2(x)R
f1(x)
g2(x;y)R
g1(x;y)
dzdydx =
R 2
2
R 4
0
R 4 x2
0
dzdydx = 128
3
u3
.

2.4. Actividades de refuerzo 2
Con la …nalidad de aclarar y fortalecer su aprendizaje respecto a las integrales dobles
y triples, se propone al estudiante realizar las actividades siguientes:
Evaluación de integrales dobles y cálculo de áreas planas.
1. Evalúe las integrales:
a.
R ln(3)
0
R ln(2)
0
ex+y
dydx b.
R
2
0
R 2sen( )
0
r cos( )drd c.
R 4
0
R 2
x
2
ey2
dydx
2. Coloque los límites de integración en la integral
R R
(S)
F(x; y)dxdy, para los recintos:
a. S es un anillo circular limitado por las circunferencias concentricas en el origen
de radios r y R.
b. S está limitado por la circunferencia x2
+ y2
= 16 y la hipérbola x2
y2
= 4.
Considere la parte que esta en el origen de coordenadas.
3. Invierta el orden de integración en las integrales:
a.
R 1
0
R 1 y
2
p
1 y2
F(x; y)dxdy b.
R 5
3
R x2
x
F(x; y)dxdy c.
R
2
0
R sen(y)
0
F(x; y)dxdy
4. Evalúe
R R
(S)
(x2
+ x4
y) dxdy, donde S = f(x; y) =1 x2
+ y2
4g.
5. Determine el área limitada por la circunferencia 4x2
+ 9y2
= 36 y la parábola
y = x2
= 4.
6. Calcule el área interior a la cardioide r = 2(1+cos( )) y exterior a la circunferencia
r = 2.
7. Calcule el área limitada por la elipse (x + 3y 2)2
+ (2x y + 1)2
= 25.
Cálculo de volúmenes y áreas super…ciales.
8. Determine el volumen del sólido en el primer octante fx 0, y 0, z 0g acotado
por el paraboloide circular z = x2
+ y2
, el cilindro x2
+ y2
= 9 y los planos de
coordenadas.
9. Un cuerpo está limitado por el paraboloide hiperbólico z = x2
y2
y los planos
x = 2, y = 0, z = 0:¿Cuá es su volumen?
10. Determine el área super…cial de la parte del paraboloide z = x2
+y2
recortada por
el plano z = 4.
11. Muestre que el área super…cial de una esfera es: As = 4 r2
.

2.4. ACTIVIDADES DE REFUERZO 2 71
Evaluación de integrales triples y cálculo de volúmenes.
12.Evalúe las integrales:
a.
R 3
2
R 2
1
R 1
0
dzdydx b.
R 2
0
R
0
R 10
0
r4
sen( )drdwdv c.
R 5
0
R 1 y
0
R 2 y
5
x
5
0
xydzdxdy
13. Pruebe que el volumen de un elipsoide es: V = 4
3
abc.
14. Calcule
R R R
(V )
F(x; y; z)dxdydz, donde V es el recinto limitado por las super…cies
x2
+ y2
+ z2
= 2z, x2
+ y2
= z2
y que contiene el punto (0; 0; 1).
15. Calcule
R R R
(V )
2
p
x2 + y2 + z2dxdydz, donde V es la parte interna de la esfera
x2
+ y2
+ z2
y.
16. Determine el volumen del sólido dentro de la esfera x2
+ y2
+ z2
= 16, fuera del
cono z = 2
p
x2 + y2 y por arriba del plano xy.

2.5. Anexo 2
Representación grá…ca de algunas funciones en dos variables tratadas en el capítulo 2,
mediante el software Scienti…c WorkPlace 5.5.
-4
-2 -2
-4
-2
-4
4
0
y4
2
0
z 0
2
4x
2
x2
+ y2
+ z2
= 4x ^ y2
= 2x
y
-2
-4 -4
-4
0 0
0
x
z -2-2
2
2
4
2
4 4
x2
+ y2
+ z2
= 25
-4
-2
2
0
x4
-20
z
y
0
2
4
-2
-4 2 -4
4
z2
sen2
( ) = (x2
+ y2
) cos2
( )
-2
-4-4 2
0
4
x4
2
-2 0
4y
2
z -2
-4
0
z = x2
y2
x
-4
-2
-4
0
4
-2
2
0
2
y
0
4
z-2
-4
4
2
z = xy
44
22
0 0
0-2
xy
z -2
-4 -4
-4
-2
4
2
z = x2
y2

2.5. ANEXO 2 73
4 4
2 2
00
-10
-20-2
xy
z
-4 -4
10
z = x + y
-2
-4-4 2
0
4
4x
0
2
-2
-2
-4
0
z
y4
2
z = x2
y2
^ x = 2 ^ y = 0
-4
-4
-2
-2 0
2
4
z
y
-4
00
-2
22
4 x4
(y = 0; y = 4) ^ (x = 2; x = 2)
-4
-4
-2 -2
-4
-2
x
0
2
2
0 0
4
4
2
y
z
4
x2
+ z = 4
-2
-4-4
-4
-2
-2
4
2
xy
z 0
0
4
2
4
2
0
z2
+ x2
= 2y

Referencias bibliográ…cas
01. Frank Ayres, Jr. Cálculo diferencial e integral. Editorial McGraw-Hill (Shaum).
Cali 1.977.
02. Piskunov, Nicolai. Cálculo diferencial e integral. Editorial Limusa. México 2.010.
03. Demidóvich, B. P. 5000 Problemas de análisis matemático. Editorial. Thomson-
Paraninfo. Novena edición. España 2.010.
04. Purcel, E. Varberg, D. Rindon, S. Cálculo. Editorial Pearson Educación. México
2.007.
05. Murray R, Spiegel. Cálculo superior. Editorial McGraw-Hill (Shaum). México
2.000.
06. Tijonov, A. Kostomarov, D. Algo acerca de la matemática aplicada. Editorial Mir.
Moscú 1.982.
07. Lara, J. Benalcázar, H. Análisis matemático I. Editorial Centro de matemática
U. C. Quito 1.990.
08. Tom M, Apostol. Cálculus I. Editorial Publishing Company. California 1967.
09. Bueno, Rodolfo. Análisis vectorial. Editorial Escuela Politécnica Nacional. Quito
1.979.

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