MA05

1. Republica Bolivariana de Venezuela
Ministerio Del Poder Popular Para La
Educación
Universidad Yacambu
Seccion: MAO7
Integrantes:
• Agrela, Kenedy
• Suarez, Maria
• Dos Santos, Edgar
• Escorcia, Stephany
• Oropeza, Jiselis

2. Derivadas
Implícitas………………………………………..……………………………
Gottfried
………6
Leibniz……………………………………..……….…………………
Ejemplos……………………………...………………………………
…………………8
……………………………10
Ejemplo
1……………………………………..…………………………
Ejemplo
……11
2……………………………………..………………………..
Ejemplo
……..13
3……………………………………..………………………..
Ejemplo
……..15
4……………………………………..………………………..
Ejemplo
……..17
5……………………………………..………………………..
Ejercicios
……..19
Propuestos……………...…………………………………...…………
Derivadas
de
Orden
Superior……………………………
……………..21
……………………………………24
Definición……………………………………..………….……………
………………………….25
Ejemplos……………………………………..………….……………
…………………………...27
2

3. Ejemplo
1……………………………………..…………………………
Ejemplo
……28
2……………………………………..………………………..
Ejemplo
……..30
3……………………………………..………………………..
Ejercicios
……..32
Propuestos……………...…………………………………...…………
Teorema
del
Valor
……………..35
Medio……………………………………………………………………….37
Definición……………………………………..………….……………
………………………….38
Ejemplos……………………………...………………………………
……………………………40
Ejemplo
1……………………………………..…………………………
Ejemplo
……41
2……………………………………..………………………..
Ejemplo
……..44
3……………………………………..………………………..
Ejemplo
……..47
4……………………………………..………………………..
……..49
3

4. Punto Critico, Intervalos de monotonía, intervalos de concavidad
y
puntos
de
inflexión……………………………………..………………………………
Definición……………………………………..……….…………………
…………………52
………………………….53
Punto
Critico…………….………...……………………………………………
Intervalo de
…………………..54
Monotonía.……...……………..……………………………………….....
......55
Extremos
Absolutos….……...……………..………………………………………
….......56 De
Intervalos
Concavidad…...……………..…………………………………………...
Puntos
....57 de
Inflexión…...……………..………………………………………….........
........58
4

5. Ejemplos…………………………………………………………………
…………………59
Ejemplo
1……………………………………..………………………..
Ejemplo
……..60
2……………………………………..………………………..
Ejemplo
……..65
3……………………………………..………………………..
Ejemplo
……..69
4……………………………………..………………………..
Ejemplos
……..74
5…………………………………………………………………
…79
Ejercicios
Propuestos…………………………………………………………………….
84
5

6. 6

7. 7

8. 8

9. Gottfried Wilhelm nació
en Leipzig, Alemania. Se graduó
y fue profesor de la universidad
de Altdor. Se desenvolvió con
excelencia en varios campos:
Matemática, Filosofía, Diplomaci
a, etc.
En 1684 se publicaron
sus investigaciones de lo que
seria el Calculo Diferencial e
Integral.
El,
junto
con
Newton, son considerados como
creadores del calculo. Invento
una maquina de multiplicar.
Siendo embajador de
Paris,
conoció
a
científicos,
como
Huygens, quienes reforzaron su
interés por la matemática.
En 1712, surgió una
larga e infortunada discordia
entre
Newton
y
sus
seguidores, por un lado, y
Leibniz y sus seguidores, en
otro lado, sobre quien de los
matemáticos realmente invento
el
calculo.
Se
lanzaron
acusaciones mutuas de plagio y
9

10. 10

11. 11

12. Derivamos término a término
12

13. 13

14. (Efectuando las Derivadas)
14

15. 15

16. (Efectuando las derivadas)
16

17. 17

18. (Efectuando los derivados indicados)
(Agrupando terminos semejantes)
18

19. 19
19

20. (Efectuando los derivados
indicados)
(Agrupando términos semejantes)
(Factor Común)
20

21. 21

22. 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
22

23. 23

24. 24

25. 25

26. Al derivar una función “f” obtenemos la función derivada “f ” podemos
volver a derivarla obteniendo otra nueva función “(f ) ”, cuyo dominio es el conjunto
de todos los puntos “x” del dominio “f ” para los cuales “f ” es derivable en “x”; o sea
todos los puntos “x” del dominio “f ” para los cuales existe el siguiente limite:
En vista de que “f´´” es la segunda derivada de “f ”, a “f´” la llamaremos primera derivada de
“f ”.
26

27. 27

28. Hallar la primera y segunda derivada de
cada una de las siguientes funciones:
28

29. Hallar la primera y segunda derivada de
cada una de las siguientes funciones:
29

30. 30

31. 31

32. 32

33. 33

34. 34

35. 35

36. 1
2
3
4
5
36

37. 37

38. 38

39. Es una propiedad de las funciones derivables en un intervalo. Algunos matemáticos
consideran que este teorema es el más importante de cálculo. El teorema no se usa para resolver
problemas matemáticos; más bien, se usa normalmente para demostrar otros teoremas.
El teorema de valor medio puede usarse para demostrar el teorema de Taylor ya que es un caso
especial.
El teorema del valor medio es un resultado fuerte. Gracias a él podemos obtener información de
la función F a partir de su función derivada F'. Por ejemplo, es fácil demostrar, usando este
teorema, que si F'(x) es positiva en un intervalo, entonces F ha de ser creciente en ese intervalo.
39

40. 40

41. Compruebe la hipótesis del teorema del valor medio
para la función
es el.
Hallar el valor de “c” que satisface la conclusión del
teorema del valor medio.
41

42. Compruebe la hipótesis del teorema del valor medio
para la función
es el.
Hallar el valor de “c” que satisface la conclusión del
teorema del valor medio.
Así,
42

43. Ahora,
Luego,
43

44. Indica si la función f(x) = x(x-2) verifica las hipótesis del
teorema del teorema de valor medio en el intervalo entre
[0,1] y , en caso afirmativo encontrar el punto intermedio
cuya existencia segura el teorema.
44

45. Indica si la función f(x) = x(x-2) verifica las hipótesis del
teorema del teorema de valor medio en el intervalo entre
[0,1] y , en caso afirmativo encontrar el punto intermedio
cuya existencia segura el teorema.
Tenemos que:
f(1) = -1 ,
f(0) = 0
y f ' (x) = 2x - 2
Luego el punto pedido es: A(1/2, -3/4)
45

46. Por lo tanto la grafica del Teorema del valor medio nos queda de la siguiente manera:
46

47. Hallar un punto de la curva y = x2 donde
la tangente es paralela a la cuerda de
extremos los puntos (0, 0) y (2, 4).
47

48. Hallar un punto de la curva y = x2 donde
la tangente es paralela a la cuerda de
extremos los puntos (0, 0) y (2, 4).
Es decir, el punto es: A(1, 1).
48

49. Indica si la función f(x) = 2x + sen
x verifica las hipótesis del teorema de valor
medio en el intervalo [0, π] y, en caso
afirmativo, encontrar el punto intermedio
cuya existencia asegura el teorema.
49

50. Indica si la función f(x) = 2x + sen
x verifica las hipótesis del teorema de valor
medio en el intervalo [0, π] y, en caso
afirmativo, encontrar el punto intermedio
cuya existencia asegura el teorema.
La función f(x) = 2x + sen x es continua en el
intervalo [0, π] y derivable en (0, π) , por ser la
suma de dos funciones continuas y derivables en R.
tenemos que: f(π) = 2π , f(0) = 0 y f ' (x) = 2 + cosx
Existe un punto c∈(0, π) tal que:
Luego el punto pedido es: A(π/2, 1+π )
50

51. .
51

52. 52

53. 53

54. Es cualquier valor en el dominio en donde la función no es diferenciable o cuando su derivada
es 0. El valor de la función en el punto crítico es un valor crítico de la función. Estas definiciones
admiten generalizaciones a funciones de varias variables, mapas diferenciables entre Rm y Rn, y
mapas diferenciables entre variedades diferenciables.
Es importante notar que f(c) debe estar definida para que el número c sea un valor crítico.
Enunciamos en seguida dos importantes teoremas.
Teorema:
Si una función f(x) tiene un extremo relativo en un número c, entonces c es un valor crítico.
Ejemplo: La función ƒ(x) = x2 + 2x + 3 es diferenciable en todo lugar, con la derivada ƒ′(x) = 2x + 2.
Esta función tiene un único punto crítico −1, debido a que es el único número x0 para el cual 2x0 +
2 = 0. Este punto es un mínimo global de ƒ. El correspondiente valor crítico es ƒ(−1) = 2. La
gráfica de ƒ es una parábola cóncava hacia arriba, el punto crítico es la abscisa del vértice, donde
la línea tangente es horizontal, y el valor crítico es la ordenada del vértice y puede ser
representado por la intersección de esta línea tangente y el eje y.
54

55. Observemos la gráfica de abajo, en ella
tenemos una función creciente y se han trazado
varias rectas tangentes en distintos puntos, los
ángulos que forman todas estas tangentes son
siempre ángulos cuyas medidas están
comprendidas entre 01 y 901 y por tanto su
tangente siempre es positiva, tendremos
entonces que siempre que la función sea
creciente la derivada tiene signo positivo o es
cero..
Por otro lado sea ahora la gráfica de
otra función decreciente, se tiene
entonces que todas las tangentes
trazadas a dicha gráfica forman siempre
ángulos comprendidos entre 901 y
1801 y por tanto la derivada en esos
puntos será siempre negativa, es decir, si
la función es decreciente la derivada
tiene que tener signo negativo o ser cero.
55

56. Toda función continua en un intervalo cerrado tiene extremos absolutos (mínimo absoluto
y máximo absoluto).
El estudiante puede verificar gráficamente el teorema 2 intentando dibujar la gráfica de
una función que sea continua en [a, b] y que no posea extremos absolutos en [a, b]. Cada
intento lo llevará a la convicción de que la propiedad enunciada en el teorema, siempre se
cumple.
Extremos absolutos
Sea f(x) una función definida en un intervalo I, los valores máximo y mínimo de f en I (si los
hay) se llaman extremos de la función.
Se distinguen dos clases:
Un número f(c) es un máximo absoluto de f si f(x) f(c) para todo x en el intervalo I.
Un número f(c) es un mínimo absoluto de f si f(x) f(c) para todox en el intervalo I.
56

57. Una función es cóncava en un intervalo de su dominio cuando:
Dados dos puntos cualesquiera de dicho intervalo x1 y x2, el segmento que une los puntos
(x1, f(x1)) y (x2, f(x2)) siempre queda por debajo de la gráfica.
Una función es convexa en un intervalo de su dominio cuando:
Dados dos puntos cualesquiera de dicho intervalo x1 y x2, el segmento que une los puntos
(x1, f(x1)) y (x2, f(x2)) siempre queda por encima de la gráfica.
Si f y f' son derivables en a, la función es:
Cóncava
Si f''(a) < 0
Convexa
Si f''(a) > 0
57

58. Un punto de inflexión es un punto donde los valores de x de una función continua
pasa de un tipo de concavidad a otra. La curva "atraviesa" la tangente. Matemáticamente
la derivada segunda de la función f en el punto de inflexión es cero, o no existe.
58

59. 59

60. Dada la función
, hallar:
a.) Numero critico ; b.) Intervalos de Monotonía (ascendientes
c.) Los Extremos ; y decrecientes).
e.) Puntos de
Inflexión.
d.) Intervalo de Concavidad
60

61. Dada la función
, hallar:
a.) Numero critico ; b.) Intervalos de Monotonía (ascendientes
c.) Los Extremos ; y decrecientes).
e.) Puntos de
Inflexión.
d.) Intervalo de Concavidad
a.) Números Críticos
(Derivando)
(Igualamos “a” con la derivada
y despejamos “a” ; “x” )
Luego, los numero críticos son
Y
61

62. b.) Intervalos de Monotonía
Decreciente
Creciente
Decreciente
c.) Extremos Absolutos
Si observamos el cuadro anterior podemos observar que según el
criterio de la función derivada es:
62

63. d.) Intervalo de la Concavidad
63

64. Los números críticos de segundo orden son: 0, 6, 2
Decreciente
Creciente
Decreciente
e.) Puntos de Inflexión
64

65. Dada la función
, hallar:
a.) Numero critico ; b.) Intervalos de Monotonía (ascendientes
c.) Los Extremos ; y decrecientes).
e.) Puntos de
Inflexión.
d.) Intervalo de Concavidad
65

66. Dada la función
, hallar:
a.) Numero critico ; b.) Intervalos de Monotonía (ascendientes
c.) Los Extremos ; y decrecientes).
e.) Puntos de
Inflexión.
d.) Intervalo de Concavidad
a.) Números Críticos
66

67. b.) Intervalos de Monotonía
Creciente
Decreciente
c.) Extremos Relativos
Observando el cuadro anterior por el criterio de la función derivada
podemos ver que:
67

68. d.) Intervalos de Concavidad
e.) Puntos de Inflexión
68

69. Dada la función
, hallar:
a.) Numero critico ; b.) Intervalos de Monotonía (ascendientes
c.) Los Extremos ; y decrecientes).
e.) Puntos de
Inflexión.
d.) Intervalo de Concavidad
69

70. Dada la función
, hallar:
a.) Numero critico ; b.) Intervalos de Monotonía (ascendientes
c.) Los Extremos ; y decrecientes).
e.) Puntos de
Inflexión.
d.) Intervalo de Concavidad
a.) Números Críticos
70

71. b.) Intervalos de Monotonía
Creciente
Decreciente
Creciente
c.) Extremos Relativos
Observando el cuadro anterior, según el criterio de la función derivada, tenemos que:
71

72. d.) Intervalos de Concavidad
Decreciente
Creciente
72

73. e.) Puntos de Inflexión
73

74. Dada la función
, hallar:
a.) Numero critico ; b.) Intervalos de Monotonía (ascendientes
c.) Los Extremos ; y decrecientes).
e.) Puntos de
Inflexión.
d.) Intervalo de Concavidad
74

75. Dada la función
, hallar:
a.) Numero critico ; b.) Intervalos de Monotonía (ascendientes
c.) Los Extremos ; y decrecientes).
e.) Puntos de
Inflexión.
d.) Intervalo de Concavidad
a.) Números Críticos
75

76. b.) Intervalos de Monotonía
Decreciente
Creciente
c.) Extremos Relativos
Observando el cuadro anterior por el criterio de la función derivada
podemos ver que:
76

77. d.) Intervalos de Concavidad
77

78. Decreciente
Creciente
e.) Puntos de Inflexión
78

79. Dada la función
, hallar:
a.) Numero critico ; b.) Intervalos de Monotonía (ascendientes
c.) Los Extremos ; y decrecientes).
e.) Puntos de
Inflexión.
d.) Intervalo de Concavidad
79

80. Dada la función
, hallar:
a.) Numero critico ; b.) Intervalos de Monotonía (ascendientes
c.) Los Extremos ; y decrecientes).
e.) Puntos de
Inflexión.
d.) Intervalo de Concavidad
a.) Números Críticos
80

81. b.) Intervalos de Monotonía
Decreciente
Creciente
Decreciente
Creciente
c.) Extremos Relativos
Observando el cuadro anterior por el criterio de la función derivada
podemos ver que:
Mínimos Locales
Máximo local
81

82. d.) Intervalos de Concavidad
Números críticos de segundo orden
y
82

83. Creciente
Decreciente
Creciente
e.) Puntos de Inflexión
83

84. 84

85. Dada las siguientes funciones, hallar:
a.) Numero critico ;
b.) Intervalos de Monotonía (ascendientes y decrecientes).
c.) Los Extremos ;
e.) Puntos de
Inflexión.
d.) Intervalo de Concavidad
1
2
3
4
5
85