Aplicaciones_de _las _derivadas_para_la_representación_gráfica_de_funciones

APLICACIONES
DE LAS
DERIVADAS
Tema 8

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS Pág. 2
Tema 8
Aplicaciones de la Derivada
 Aplicaciones de la Primera Derivada
Monotonía (Crecimiento/Decrecimiento)
Extremos relativos (Máximos – Mínimos)
 Aplicaciones de la Segunda Derivada
Curvatura (Concavidad/Convexidad)
Puntos de inflexión
 Representación gráfica de funciones
 Optimización

Tema 8
Una función f es creciente en (a, b) si f (x1) < f (x2)
cuando x1 < x2.
Una función f es decreciente en (a, b) si f (x1) > f (x2)
cuando x1 < x2.
Crecimiento/Decrecimiento
Decreciente
Creciente Creciente

Tema 8
Si f (a) > 0  f es estrictamente creciente en x = a.
Si f (a) < 0  f es estrictamente decreciente en x = a.
Derivada y monotonía de una función
Función decreciente en x = –1
Recta tangente
con pendiente
negativa, m < 0
Función creciente en x = 1
Recta tangente
con pendiente
positiva, m > 0
No es creciente ni decreciente
en x = 0.
f (0) = 0
m = f (–1) < 0 m = f (1) > 0

Tema 8
Intervalos de crecimiento y decrecimiento
Pendiente
positiva
f (x) > 0 en a < x < b 
f(x) es creciente en (a, b)
f (x) < 0 en a < x < b 
f(x) es decreciente en (a, b)
Pendiente
negativa
Si f (x) = 0 para cada valor de x
en un intervalo (a, b), entonces f
es constante en (a, b)
Si f (x) < 0 para cada valor de x
es decreciente en (a, b)
Si f (x) > 0 para cada valor de x
es creciente en (a, b)

Tema 8
La función pasa de ser creciente a decreciente, o viceversa, en un punto
x = a en una de las situaciones siguientes:
Por tanto, bastará estudiar los intervalos determinados por estos puntos
para obtener los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
Máximo Mínimo
f (a) = 0 f es discontinua en x = a

Tema 8
Diagrama de signos para determinar los intervalos
donde f (x) es Crec./Decr.:
b. Si f (x) < 0, f es decreciente en ese intervalo.
a. Si f (x) > 0, f es creciente en ese intervalo.
2. Prueba un punto c en cada intervalo para obtener el signo de f (c).
1. Hallar todos los valores de x para los cuales f (x) = 0 o f (x) es
discontinua e identificar intervalos abiertos con estos puntos.

Tema 8
EJEMPLO Determina los intervalos de crecimiento de la función
f(x) = x3 – 6x2 + 1
Calcula la derivada de la función: f (x) = 3x2 – 12x
3x2 – 12x = 0
3x(x – 4) = 0
+ – +
Signo de f (x)

0

4
f es creciente en (–, 0)  (4, +) f es decreciente en (0, 4)
Resuelve la ecuación f (x) = 0 :
3x = 0  x1 = 0
x – 4 = 0  x2 = 4
f ’(x) es un polinomio, luego no tiene
puntos de discontinuidad; así que los
intervalos a considerar son:
(–, 0) (0, 4) (4, +)
Prueba un punto c en cada
intervalo para obtener el
signo de f (c).
f (–1) = 3(–1)2 – 12(–1)
= 15 > 0
f es creciente
en (–, 0)
f es creciente
en (4, +)
f es decreciente
en (0, 4)
f (1) = 3·12 – 12·1
= –9 < 0
f (5) = 3·52 – 12·5
= 15 > 0

Tema 8
EJEMPLO
Determina los intervalos de crecimiento de
x
x
x
f
4
)
(
2


2
2
4
)
(
x
x
x
f



0
4
2
2


x
x
 x2 – 4 = 0
Determinamos los puntos de discontinuidad de f : x = 0
Consideramos los intervalos determinados por las soluciones
de f (x) = 0 y los puntos de discontinuidad de f :
(–, –2), (–2, 0), (0, 2), (2, +)
f (–3) = 5/9 > 0 f (–1) = –3 < 0 f (1) = –3 < 0 f (3) = 5/9 > 0

–2

0

2
Signo de f + – – +
f es creciente en (–, –2)  (2, +) f es decreciente en (–2, 0)  (0, 2)
x = –2
x = 2
Resolvemos
la ecuación
f (x) = 0 

Tema 8
Puntos Críticos de f
(rectas tangentes horizontales, rectas tangentes verticales
y esquinas agudas y puntos de discontinuidad de f)
Un punto crítico de una función f es un punto en el
dominio de f donde
f (x) = 0 o f (x) no existe

Tema 8
x = c es un punto crítico de f(x) en cada uno de los ejemplos siguientes:
f (c) = 0
f (c) = 0
f (c) no existe
f (c) no existe

Tema 8
Extremos Relativos
Una función f tiene un máximo relativo en x = c si existe un
intervalo abierto (a, b) que contiene a c tal que f(x)  f(c) para
todo x en (a, b).
Una función f tiene un mínimo relativo en x = c si existe un
intervalo abierto (a, b) que contiene a c tal que f(x)  f(c) para
todo x en (a, b).
Máximo
Relativo
Mínimo
Relativo

Tema 8
Si una función f derivable tiene un extremo relativo en x = a, entonces f (a) = 0.
El enunciado recíproco no
es cierto. Así, por ejemplo,
si f (x) = x3 , se verifica
que f (0) = 0 y, sin
embargo, x = 0 no es un
extremo de f.
f (a2) = 0
f (a1) = 0
f (a3) = 0
f (a) = 0

Tema 8
Los extremos relativos (Máximos y Mínimos) deberemos buscarlos entre los
puntos que son solución de la ecuación f (x) = 0. Veamos como distinguir si
un punto en el que la primera derivada se hace cero es máximo o mínimo a
partir de:
- El signo de la primera derivada a ambos lados del punto.
- El signo de la segunda derivada en el punto.

Tema 8
La prueba de la Primera Derivada
f(c) es un máximo relativo
f(c) es un mínimo relativo
f(c) no es extremo relativo
f(c) no es extremo relativo

c
Signo de f (x) + –

c
Signo de f (x) – +

c
Signo de f (x) + +

c
Signo de f (x) – –
1. Determina los puntos críticos de f, en los que f (x) = 0
2. Determina el signo de la derivada de f a la izquierda y a la derecha del
punto crítico.

Tema 8
a) Màximo b) Mínimo
c) Sin Máximo ni Mínimo d) Sin Máximo ni Mínimo

Tema 8
EJEMPLO Halla los extremos relativos de f(x) = x3 – 6x2 + 1
f (x) = 3x2 – 12x
3x2 – 12x = 0
3x(x – 4) = 0
+ – +
Signo de f (x)

0

4
Máximo Relativo
f (0) = 1
(0, 1)
Mínimo Relativo
f (4) = –31
(4, –31)
3x = 0  x1 = 0
x – 4 = 0  x2 = 4

Tema 8
EJEMPLO
x2 – 1 = 0 o x3 – 3x = 0
f (x) = 0 f (x) no definida
3 3
3
)
( x
x
x
f 

Halla los extremos relativos de
 
3 2
3
2
3
1
)
(
x
x
x
x
f




x = 0, 1, 3

Mín. relativo
3
2
)
1
( 

f
Máx. relativo
3
2
)
1
( 

f
+ + – – + +
3
 3

–1

0

1


Signo de f (x)

Tema 8
La prueba de la Segunda Derivada
1. Calcula f (x) y f (x).
2. Halla los puntos críticos, c, en los que f (x) = 0.
Si f (a) = 0 y f (a) < 0  f tiene un máximo relativo en x = a.
Si f (a) = 0 y f (a) > 0  f tiene un mínimo relativo en x = a.
f (a) = 0  recta tangente horizontal en x=a
f (a) < 0  las pendientes de las rectas
tangentes decrecen en un entorno de a.
Luego, f tiene un máximo relativo en x = a.
f (a) = 0  recta tangente horizontal en x=a
f (a) > 0  las pendientes de las rectas
tangentes crecen en un entorno de a.
Luego, f tiene un mínimo relativo en x = a.

Tema 8
Clasifica, usando la derivada segunda, los extremos relativos de
EJEMPLO
f (x) = x 4 – 4x3 + 4x2 – 5
f (x) = 4x3 – 12x2 + 8x = 4x(x – 2)(x – 1)
Puntos críticos: x = 0, 1, 2
f (x) = 12x2 – 24x + 8
f (0) = 8 > 0
f (1) = –4 < 0
f (2) = 8 > 0
Máximo rel.: (1, –4) Mínimos rel.: (0, –5)
(2, –5)
Mínimo rel. f (0) = –5
Mínimo rel. f (2) = –5
Máximo rel. f (1) = –4

Tema 8
Curvatura de una función en un punto
En un entorno de a el valor de la
función es mayor que el de la
recta tangente en x = a (la
función está “por encima” de la
recta tangente). Diremos que f es
convexa en x = a.
En un entorno de b el valor de la
función es menor que el de la
recta tangente en x = b (la
función está “por debajo” de la
recta tangente). Diremos que f es
cóncava en x = a.
Si f es una función dos veces derivable en un punto x = a, podemos determinar
su curvatura a partir del signo de la derivada segunda.

Tema 8
Si f (a) > 0  f es convexa en x = a.
Si f (a) < 0  f es cóncava en x = a.
Derivada y curvatura de una función
En el entorno de un punto en el que
la función es convexa, cuando
aumenta el valor de x aumenta
también el valor de las pendientes
de las rectas tangentes.
Por el contrario, en el entorno de un
punto en el que la función es
cóncava, cuando aumenta el valor
de x disminuye el valor de las
pendientes de las rectas tangentes.

Tema 8
Convexa
(hacia arriba)
Convexa Convexa
Cóncava
Cóncava
(hacia abajo)
Sea f una función derivable en (a, b).
1. f es convexa (o cóncava hacia arriba) en (a, b)
si f es creciente en (a, b). Es decir, f (x) > 0 para
cada valor de x en (a, b).
2. f es cóncava (o cóncava hacia abajo) en (a, b)
si f es decreciente en (a, b). Es decir, f (x) < 0
para cada valor de x en (a, b).

Tema 8
La gráfica de f (x) = x3 es cóncava en (–, 0) y convexa en (0, +)

Tema 8
Intervalos de curvatura
Si f (x) > 0, para todo x del intervalo (a, b)  f es convexa en (a, b).
Si f (x) < 0, para todo x del intervalo (a, b)  f es cóncava en (a, b).
Una función pasará de cóncava a convexa, o viceversa, en uno de los puntos
siguientes:
Punto de inflexión
f (a) = 0 f es discontinua en x = a

Tema 8
Determinar los Intervalos de Curvatura
f (c) > 0  f es convexa en el intervalo.
f (c) < 0  f es cóncava en el intervalo.
2. Determina el signo de f en cada intervalo del paso 1 probando un
punto, c , de cada intervalo.
1. Determina los valores para los que la segunda derivada de f es cero
o no definida. Identifica los intervalos abiertos con estos puntos.

Tema 8
EJEMPLO Determina los intervalos de curvatura de la función
f(x) = x3 – 6x2 + 1
f (x) = 3x2 – 12x
f (x) = 6x – 12 = 6(x – 2)
f convexa en
(2, )
f cóncava en
(–, 2)
– +

2
Signo de f
f (x) = 0  6(x – 2) = 0  x = 2

Tema 8
EJEMPLO Halla los intervalos de curvatura de la función f(x) = x4 – 2x3
f (x) = 4x3 – 6x2
f (x) = 12x2 – 12x
12x2 – 12x = 0 
f no tiene puntos de discontinuidad porque es un polinomio
Consideramos los intervalos determinados por las soluciones
de f (x) = 0 y los puntos de discontinuidad de f :
(–, 0), (0, 1), (1, +)
f (–1) = 24 > 0 f (0,5) = –3 < 0 f (2) = 24 > 0

0

1
Signo de f
x = 0 y x = 1
+ – +
f es convexa en (–, 0)  (1, +) f es cóncava en (0, 1)
Resolvemos la ecuación
f (x) = 0 

Tema 8
Puntos de Inflexión
Un punto en la gráfica de f en el que la recta tangente existe y
cambia la concavidad se llama un punto de inflexión.
Para hallar los puntos de inflexión, halla cualquier punto, c,
del dominio donde f (x) = 0 o f (x) no está definida.
Si f cambia de signo de la izquierda a la derecha de c,
entonces (c, f (c)) es un punto de inflexión de f.

Tema 8
Un punto x = a es un punto de inflexión de una función f si en él la función
pasa de ser cóncava a convexa, o viceversa.
Si una función f dos veces derivable tiene un punto de inflexión en x = a,
entonces f (a) = 0.
El enunciado recíproco no es cierto. Para ver si un punto en el que f (a) = 0
es un punto de inflexión podemos utilizar la siguiente prueba:
Si f (a) = 0 y f (a)  0  f tiene un punto de inflexión en x = a.
Convexa
Cóncava
Convexa
Cóncava
Convexa
Cóncava

Tema 8
EJEMPLO Determina los puntos de inflexión de la función
f(x) = x3 – 6x2 + 1
f (x) = 3x2 – 12x
f (x) = 6x – 12 = 6(x – 2)
f convexa en (2, +)
f cóncava en (–, 2)
– +

2
Signo de f
f (x) = 0  6(x – 2) = 0  x = 2
Punto de inflexión:
(2, –15)

Tema 8
Asíntotas Verticales
Asíntotas Horizontales
La recta y = b es una asíntota horizontal de la gráfica
de la función f si
La recta x = a es una asíntota vertical de la gráfica de
la función f si
lím f (x) = b o
x –
lím f (x) = b
x +
lím f (x) =  o
x a–
lím f (x) = 
x a+

Tema 8
Asíntotas de Funciones Racionales
Sea una función racional
)
(
)
(
)
(
x
Q
x
P
x
f 
entonces x = a es una asíntota vertical si Q(a) = 0 pero P(a) ≠ 0.
EJEMPLO
5
1
3
)
(



x
x
x
f
f tiene una asíntota vertical en x = 5.
3
1
3
5
1
3
lim 




 x
x
x
 y = 3 es una asíntota horizontal
x = 5 hace 0 el denominador,
pero no el numerador.

Tema 8
EJEMPLO
f tiene una asíntota horizontal en
5
3


y
2
2
5
1
2
3
)
(
x
x
x
x
x
f









 2
2
5
1
2
3
lim
x
x
x
x
x
5
1
1
2
3
lim
2





x
x
x
x
Divide por la mayor
potencia de x
Asíntotas de Funciones Racionales
5
3


0
0 0
x – 5x2 = 0
x = 0 y x = son asíntotas verticales de f
1
5

Tema 8
1. Dominio de f.
2. Puntos de corte con los ejes de f, si es posible.
4. Asíntotas horizontales y verticales.
3. Comportamiento en el infinito de f.
5. Intervalos donde f es creciente/decrec.
6. Extremos relativos de f.
7. Concavidad de f.
8. Puntos de inflexión de f.
9. Dibuja f, usa puntos adicionales si es necesario.
Esquema para trazar curvas
Representación gráfica de funciones

Tema 8
EJEMPLO Dibuja la gráfica de: f (x) = x3 – 6x2 + 9x +1
1. Dominio: (−, ).
2. Puntos de corte con los ejes: (0, 1)
3. lím f (x) = + y lím f (x) = –
x + x –
4. No tiene asíntotas
8. Punto de Inflexión: (2, 3)
5. f (x) = 3x2 – 12x + 9 f crec. en (−, 1)  (3, ),
dec. en (1, 3)
6. Máximo relativo: (1, 5); mínimo relativo: (3, 1)
f cóncava en (−, 2);
convexa en (2, +).
7. f (x) = 6x – 12

Tema 8
Gráfica: f (x) = x3 – 6x2 + 9x +1
Corte con
eje Y (0, 1)
Máx.
(1, 5)
Mín.
(3, 1)
P.I.
(2, 3)

Tema 8
EJEMPLO Dibuja:
3
3
2
)
(



x
x
x
f
1. Dominio: x  −3
2. Puntos de corte con los ejes: (0, −1) y (3/2, 0)
2
3
3
2
lim 



 x
x
x
3. 2
3
3
2
lim 



 x
x
x
4. Asíntotas  Horizontal: y = 2; Vertical: x = −3
5. 2
)
3
(
6
)
(



x
x
f f es creciente en (−, −3)  (−3, +).
6. No tiene extremos relativos.
f es cóncava hacia abajo en (−3, ) y
cóncava hacia arriba en (−, −3).
8. No tiene puntos de inflexión
7. 3
)
3
(
18
)
(





x
x
f

Tema 8
Gráfica:
2 3
( )
3
x
f x
x



A.H.
y = 2
A.V.
x = −3

Tema 8
Extremos Absolutos
Una función f tiene un máximo absoluto en x = c si f (x)  f (c)
para todo x en el dominio de f.
Una función f tiene un mínimo absoluto en x = c si f (x)  f (c)
para todo x en el dominio de f.
Mínimo
Absoluto
Máximo
Absoluto

Tema 8
Si una función f es continua en un intervalo cerrado [a, b],
entonces f alcanza un máximo y un mínimo absoluto en
[a, b].
Alcanza max.
y min.
Alcanza min.
pero no max.
No min. y no max.
Intervalo abierto No continua
Extremos Absolutos

Tema 8
Extremos Absolutos en un Intervalo Cerrado
Para hallar los extremos absolutos de una función f en un intervalo cerrado [a, b]
1. Halla los puntos críticos de f en (a, b).
2. Calcula f en cada punto crítico y en los extremos del intervalo:
Mayor valor = Máximo Absoluto
Menor valor = Mínimo Absoluto






 4
,
2
1
EJEMPLO Halla los extremos absolutos de f (x) = x3 – 3x2 en
f (x) = 3x2 – 6x = 3x(x – 2)
Valores críticos en x = 0, x = 2
Evalúa
f (0) = 0
f (2) = – 4
f (4) = 16
8
7
2
1









f
Mín. Absoluto
Máx. Absoluto

Tema 8
EJEMPLO
Halla los extremos absolutos de en [3, )
2
1
)
(


x
x
f
Gráficamente:
Máx. Absoluto
(3, 1)
Extremos Absolutos
Nota que el intervalo no es cerrado.
Tiene máximo, pero no tiene mínimo.

Tema 8
1. Asigna una letra a cada variable mencionada en
el problema. Un dibujo pude ayudar.
2. Encuentra una expresión para la cantidad a
optimizar.
3. Usa las condiciones para escribir la expresión
como una función en una variable (observa
cualquier restricción del dominio).
4. Optimiza la función.
Problemas de Optimización

Tema 8
x
x
x
4 – 2x
4 – 2x
x
EJEMPLO
Una caja abierta por arriba se forma cortando cuadrados idénticos en las
esquinas de un cartón cuadrado de 4 dm por 4 dm. Calcula las dimensiones
de la caja que hacen que su volumen sea máximo.
V = largo·ancho·alto = (4 – 2x)(4 – 2x)x; x en [0, 2]
V(x) = 16x – 16x2 + 4x3
V (x) = 16 – 32x + 12x2
16 – 32x + 12x2 = 0
Puntos críticos: x = 2, x = 2/3
V(2) = 0
V(0) = 0
V(2/3)  4,74 dm2
Las dimensiones son 8/3 dm por 8/3 dm por
2/3 dm que dan cajas de volumen máximo
de 4.74 dm3.

Tema 8
Una compañía estima que la demanda de un producto fluctúa con su precio.
La función de demanda es
q = 1800 − 2 p
donde q es el número de unidades demandadas y p el precio de cada
unidad. El costo total de producir q unidades es
C(q) = 135000 + 6 q + 0,1 q2
a) Hallar cuántas unidades q deben producirse para maximizar el beneficio.
b) Hallar el precio que debe fijarse.
c) Hallar el beneficio esperado.
Solución
El beneficio es igual a los ingresos menos los costos. La función de costos la tenemos.
Debemos expresar la función de ingreso I. Sabemos que el ingreso es el producto de las
unidades vendidas por el precio de cada una, I = p · q. El problema se debe resolver en
términos de las unidades q, así que obtenemos p de la ecuación de demanda:
)
1800
(
2
1
q
p 

EJEMPLO

Tema 8
c) El beneficio esperado es B(745) = 894·745 -0,6·7452 – 350 =
= 666030 – 333015 – 135000 = 198015 €
El Beneficio B es Ingresos menos Costos:
2
2
1
900
)
1800
(
2
1
)
( q
q
q
q
q
I 





)
1
,
0
6
135000
(
2
1
900
)
( 2
2
q
q
q
q
q
B 




a) Para obtener el máximo derivamos e igualamos a cero:
Como la segunda derivada B (q) < 0 siempre, estamos en presencia de un máximo.
Así, el número de unidades que proporciona el máximo beneficio es de 745.
b) Al reemplazar las unidades en la función de demanda tendremos el precio que
debe fijarse:
745 = 1800 − 2 p  p = 527,5 €
B (q) = 894 – 1,2q = 0  q = 745
B(q) = I(q) – C(q)
B(q) = 894q – 0,6q2 – 135000
Reemplazando en la función de ingreso:

Tema 8
En un día desapacible, la temperatura T en grados centígrados varió con el
tiempo t en horas según la función
T (t) = t2 – 9t + 8 para 0  t  12.
a) Calcula la temperatura a las dos de la mañana.
b) ¿Cuál fue la temperatura mínima? ¿A qué hora?
c) ¿A qué hora hubo 0 grados?
d) Halla T (2) y explica su significado.
e) Representa gráficamente la función.
Solución
a) Como T (t) = t2 – 9t + 8 , 0  t  12, la temperatura a las dos de la
mañana, T(2), será:
T (2) = 22 – 9·2 + 8 = –6 ºC
b) Hallamos T (t)
T (t) = 2t – 9 = 0 t = 4,5
A las 4,5 horas se alcanzó la temperatura mínima de T(4,5) = –12,25 ºC
EJEMPLO

Tema 8
c) Para obtener la hora en que hubo 0 grados, resolvemos T (t) = 0
T (t) = t2 – 9t + 8 = 0 t = 1 t = 8
d) T (2) = 2·2 – 9 = –5
Significa que a esa hora la
temperatura está bajando a
razón de 5ºC por hora.
Hubo 0 ºC a las 1 horas y a las 8 horas.
e)

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