porque poronga me piden que suba algo, se supone que el conocimiento tiene que ser gratis. menos mal que no es tan difícil evadir esto jaja XD

1. Logaritmo
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Adasas_2Logaritmo.a5
La potenciación admite dos operaciones inversas, la radicación y la logaritmación.
Sea la potencia 103
= 1000.
Teniendo en cuenta el ejemplo propuesto, se tiene que:
Dada la potencia 1.000 y el exponente 3, la radicación calcula la base de la potencia.
√1.000
3
= 10 ya que 103
= 1.000
Dada la potencia 1.000 y la base 10, la logaritmación determina el exponente de la potencia.
log10 1.000 = 3 ya que 103
= 1.000
Notación: log10 1.000 se lee: Logaritmo en base 10 de 1.000.
Por todo lo dicho, aceptamos la siguiente:
Definición: Logaritmo de un número positivo, en determinada base, también positiva, es el exponente al que
debe elevarse la base para obtener dicho número.
Notación: Es log𝑏 𝑎 = 𝑥 si 𝑏𝑥
= 𝑎
En donde “log” es la función logaritmo, “b” es la base del logaritmo y “a” es el argumento.
Ejemplos:
log2 4 = 2 ya que 22
= 4
log10 10.000 = 4 ya que 104
= 10.000
log3 27 = 3 ya que 33
= 27
log3 81 = 4 ya que 34
= 81
log5 1 = 0 ya que 50
= 1
log8 8 = 1 ya que 81
= 8
log2
1
4
= −2 ya que 2−2
=
1
4
log10
1
1.000
= −3 ya que 10−3
=
1
103 =
1
1.000
Estos ejemplos nos indican que puede haber distintos sistemas de logaritmos, de acuerdo a la base que se
adopte.
El primer sistema de logaritmos que se ideó para los números fue el llamado neperiano1
. Tiene por base el
número irracional 𝑒 = 2,71828182845904523536028747135266249775724709369995……………
1
Juan Neper (1550-1617), matemático escocés, fue quien ideó el sistema de logaritmos en base e = 2,7182....., llamados
neperianos o naturales. Neper se interesó en la aplicación trigonométrica de los logaritmos, pues parece que se refería a los
logaritmos de senos y no de números.
Leonardo Euler (1707-1783), dio por primera vez la definición de logaritmos como operación inversa a la potenciación,
siendo éste el origen del estudio algebraico de los mismos.
Juan Kepler (1571-1630), padre de la astronomía moderna, fue quien aplicó, en forma práctica los logaritmos, al estudiar
los movimientos del planeta Marte.

2. Logaritmo
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Pero se necesitó crear un sistema adaptable a nuestro sistema decimal.
El matemático inglés Henry Briggs (1561-1631) adoptó como base de los logaritmos el número 10, y preparó
las primeras tablas de logaritmos con esta base.
Estos logaritmos de base 10, llamados decimales, son los más usados en la práctica, pues conducen a cálculos
más sencillos.
Observaciones:
 El logaritmo de base 10 se llama decimal y por convención el 10 no se escribe. Así por ejemplo,
logaritmo decimal de 100 se escribe: log 100.
Luego: log 100 = 2 ⇔ 102
= 100
 El logaritmo que toma como base el número irracional 𝑒 ≈ 2,71828182845904523536…………… se
llama natural o neperiano.
Por convención este logaritmo se prefiere escribir ln 5 en lugar de log𝑒 5.
 En la notación log𝑏 𝑎 = 𝑥 si 𝑏𝑥
= 𝑎, el número b debe ser positivo para que pueda calcularse el
logaritmo.
Propiedades de los logaritmos:
1. El logaritmo de 1 es 0 (cero) en cualquier base.
log𝑎 1 = 0
2. El logaritmo de la base es siempre 1.
log𝑎 𝑎 = 1
3. El logaritmo de base “a” de una potencia en base “a” es igual al exponente.
log𝑎 𝑎𝑛
= 𝑛
4. El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.
log𝑎 (𝑥 ∙ 𝑦) = log𝑎 𝑥 + log𝑎 𝑦
5. El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador.
log𝑎 (
𝑥
𝑦
) = log𝑎 𝑥 − log𝑎 𝑦
6. El logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de la base de la potencia.
log𝑎 𝑥𝑛
= 𝑛 ∙ log𝑎 𝑥
7. El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicando dividido por el índice de la raíz.
log𝑎 √𝑥
𝑦
=
1
𝑦
∙ log𝑎 𝑥 =
log𝑎 𝑥
𝑦

3. Logaritmo
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8. El logaritmo de un número negativo no existe.
log𝑎 (−𝑥) = 𝑛𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒
9. No existe el logaritmo con base negativa.
log−𝑎 𝑥 = 𝑛𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒
10. No existe el logaritmo de 0 (cero).
log𝑎 0 = 𝑛𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒
Nota: La logaritmación no es distributiva con respecto a la suma y a la resta.
Ambos logaritmos están incorporados en la memoria de la calculadora científica con las teclas log y ln. Dichas
teclas se pueden usar para calcular el logaritmo de un número o bien el valor del número si se conoce su logaritmo.
Por ejemplo:
Para calcular log 1.000, se presiona la tecla log y luego el número 1.000 obteniéndose 3 como resultado. Si se
conoce que log 𝑥 = 2,3456 y se quiere obtener x, se hace shift (o inv) log 2,3456 y el valor buscado es 221,6154326
o 221,645 (con aproximación al milésimo).
Cuando se necesitan calcular logaritmos que no sean en base 10, se realiza un cambio de base a logaritmos con
bases convenientes o logaritmos decimales o naturales, los cuales pueden resolverse con la calculadora.
Por ejemplo:
log8 4 =
log2 4
log2 8
=
2
3
log5 3 =
log 3
log 5
≈ 0,68261 log2 7 =
ln 7
ln 2
≈ 2,80735
IMPORTANTE: Cuando no se tenga la oportunidad de tener funciones en la calculadora (como en el modelo
CASIO fx-991ES PLUS: " log ") que nos permitan calcular logaritmos de bases diferente a 10 como:
log2 19 ≈ 4,247927 log5 8 ≈ 1,292029
log7 4 ≈ 0,712414 log12 7 ≈ 0,783091
log8 24 ≈ 1,528320 log37 574 ≈ 1,759283
tendremos que aplicar el logaritmo en base 10 del argumento sobre el logaritmo en base 10 de la base:
log𝑏 𝑎 =
log 𝑎
log 𝑏
log2 19 =
log 19
log 2
≈ 4,247927 log5 8 =
log 8
log 5
≈ 1,292029
log7 4 =
log 4
log 7
≈ 0,712414 log12 7 =
log 7
log 12
≈ 0,783091
log8 24 =
log 24
log 8
≈ 1,528320 log37 574 =
log 574
log 37
≈ 1,759283

4. Logaritmo
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También, estos cocientes de logaritmos en base 10, podrán calcularse con la base “e” o usando “ln”:
log2 19 =
log𝑒 19
log𝑒 2
=
ln 19
ln 2
≈ 4,247927 log5 8 =
log𝑒 8
log𝑒 5
=
ln 8
ln 5
≈ 1,292029
log7 4 =
log𝑒 4
log𝑒 7
=
ln 4
ln 7
≈ 0,712414 log12 7 =
log𝑒 7
log𝑒 12
=
ln 7
ln 12
≈ 0,783091
log8 24 =
log𝑒 24
log𝑒 8
=
ln 24
ln 8
≈ 1,528320 log37 574 =
log𝑒 574
log𝑒 37
=
ln 574
ln 37
≈ 1,759283
Ejercicios:
(cuando no halla respuesta completarla)
Calcular el valor de “x” en las siguientes expresiones:
1) log2 𝑥 = 3 Rta.:
2) log2 𝑥 =
1
2
Rta.:
3) log𝑥
1
8
= 3 Rta.:
4) log4 16 = 𝑥 Rta.:
5) log2 𝑥 = 4 Rta.:
6) log2 𝑥 = −
1
2
Rta.:
7) log𝑥
1
4
= −2 Rta.:
8) log5 25 = 𝑥 Rta.:
9) log4 𝑥 = 1 Rta.:
10) log𝑥 27 = 3 Rta.:
11) log2 32 = 𝑥 Rta.:
12) log1
2
4 = 𝑥 Rta.:
13) log5 𝑥 = 0 Rta.:
14) log𝑥 16 = 4 Rta.:
15) log3 81 = 𝑥 Rta.:
16) log 1
64
2 = 𝑥 Rta.:
Resolver, aplicando las propiedades de los logaritmos:
17) log𝑏 𝑏 + log𝑏 (𝑏𝑐) = 21) log𝑐 𝑙 + log𝑏 𝑏𝑛
+ log𝑑 𝑑𝑛
=
Rta.: Rta.:
18) log𝑏 𝑙 ∙ log𝑎 𝑎 = 22) log𝑏
𝑏
𝑐
+ log𝑏 (𝑏𝑐) =
Rta.: Rta.:
19) 3 log𝑝 𝑝4
= 23) log𝑎 (𝑎𝑐) + log𝑝 𝑝3
+ log𝑏 𝑏 − log𝑎 𝑐 =
Rta.: Rta.:
20) log𝑎 𝑎3
+ log𝑏 𝑏5
= 24) log𝑏 √𝑏
3
+ log𝑐 √𝑐
4
=
Rta.: Rta.:

5. Logaritmo
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Aplicando las propiedades de los logaritmos, desarrollá las siguientes expresiones:
25) log (2𝑎𝑏) = 28) log
3𝑎
4
= 31) log
2𝑎2
3
=
Rta.: Rta.: Rta.:
26) log (𝑎5
𝑏4) = 29) log
2
𝑎𝑏
= 32) log √𝑎𝑏 =
Rta.: Rta.: Rta.:
27) log
√𝑥
2𝑦
= 30) log
3𝑎 √𝑏
3
𝑐
= 33) log
5𝑎2𝑏 √𝑐
4
2𝑥𝑦
=
Rta.: Rta.: Rta.:
Aplicando las propiedades de los logaritmos, reducir a la mínima expresión logarítmica los siguientes
desarrollos:
34) log 𝑎 + log 𝑏 + log 𝑐 = 37) log 𝑥 − log 𝑦 =
Rta.: Rta.:
35) 2 log 𝑥 + 3 log 𝑦 = 38)
1
2
log 𝑥 +
1
2
log 𝑦 =
Rta.: Rta.:
36) log 𝑎 − log 𝑥 − log 𝑦 = 39) log 𝑎2
+ log 𝑏 − log 𝑎 =
Rta.: Rta.:
Calcular utilizando una calculadora científica y expresar con 5 decimales:
49) log 35 = 54) log 845 =
50) log 12,38 = 55) log 0,04 =
51) log4 126 = 56) log8 125 =
52) log 834,12 = 57) log 1.001 =
53) log 41,05 = 58) log 9.909 =

6. Logaritmo
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Aplicando la propiedad de cambio de base y con la ayuda de una calculadora científica, determina el valor de
los siguientes logaritmos:
59) log5 12 = 64) log2 8 =
60) log3 35 = 65) log4 81 =
61) log4 126 = 66) log8 125 =
62) log9 25,3 = 67) log3 34,82 =
63) log14 45,06 = 68) log4 0,2 =
Resolver las siguientes ecuaciones:
69) log 𝑥 + log (𝑥 + 2) = log 3 73) log (𝑥 + 5) = log (3𝑥 − 8)
Rta.: 𝑥1 = 1; 𝑥2 = −3 Rta.: 𝑥 =
13
2
70) log (𝑥 + 3) + log 7 = log (𝑥 − 3) 74) log 2 + log (𝑥 + 3) = log 7
Rta.: 𝑥 = −4 Rta.:
1
2
71) log (𝑥 − 3) − log (𝑥 + 5) = log 8 75) log (𝑥 − 3) = log (8𝑥 + 2)
Rta.: 𝑥 = −
43
7
Rta.: −
5
7
72) log (𝑥 + 5) = log (2𝑥 − 3)
Rta.: 𝑥 = 8
Plantear en forma de logaritmos los siguientes problemas:
76) ¿A qué número se debe elevar 5 para obtener 8?
77) Para obtener 256, ¿a qué número se debe elevar 9?
78) ¿A qué número se debe elevar 10 para obtener 3,45?
79) ¿A qué número se debe elevar 32 para obtener 4?
80) ¿A qué número se debe elevar 12 para obtener 2?
Calcular el valor de x aplicando la definición de logaritmo:
81) log3 𝑥 = 3 Rta.: 𝑥 = 27
82) log3 √243 = 𝑥 Rta.: 𝑥 =
5
2
83) log𝑥 125 = 3 Rta.: 𝑥 = 5
Resolver, verificar y escribir el conjunto solución:
84) 0,5𝑥
= 16 Rta.: 𝑥 = −4

7. Logaritmo
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85) log3 (𝑥 − 1) = 2 Rta.: 𝑥 = 10
86) 4
2𝑥−3
5 = 64 Rta.: 𝑥 = 9
Aplicar propiedades de los logaritmos y desarrollar la expresión.
87) log
𝑥 𝑦 𝑧
𝑡
= Rta.:
88) log
4𝜋𝑅3
3
= Rta.:
89) log 𝑥√4√𝑧 = Rta.:
Reducir a la mínima expresión aplicando logaritmos:
90) 2 log 𝑥 + 1 = 4 Rta.: 𝑥 = 103 2
⁄
91) log 𝑥 − log 𝑦 + 2 log 𝑧 − 2 = Rta.:
92) log 𝑥 − 2 log 𝑥 + 1 = Rta.: 𝑥 = 10
Hallar el valor de x que verifica:
93) 2 log 𝑥 + 1 = 4 Rta.: 𝑥 = 10√10 ≈ 31,6227766
94) 10 log5 𝑥 − 5 log5 𝑥 + 5 = 0 Rta.: 𝑥 = 5
95) log0,5 8 = log0,5 𝑥 + log0,5 2𝑥 Rta.: 𝑥 = 0,5−
1
2, S: {⊘}
96) log3 𝑥 = log3 5 + log3
1
2
Rta.: 𝑥 =
5
2
97) 81 =
1
3𝑥−1 Rta.: 𝑥 = 4
98) log12 (𝑥 − 5) + log12 (𝑥 − 5) = 2 Rta.: 𝑥 = −3
99) log1
7
𝑥 + log1
7
(5𝑥 − 28) = −2 Rta.: 𝑥1 = 7; 𝑥2 = −
7
5
100) 2𝑥+3
− 2𝑥+5
+ 3 = 0 Rta.: 𝑥 = −3
101) 125:
1
53𝑥 = 25𝑥−2
Rta.: 𝑥 = −7
102) 23𝑥
∙ 2 = 4𝑥
∙ 45
Rta.: 𝑥 = 9
103) (
9
4
)
−
1
2
𝑥2
=
2
3
∙ (
8
27
)
𝑥−1
Rta.: 𝑥1 = 2; 𝑥2 = 1
Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales:
104) 4𝑥
=
1
16
Rta.: 𝑥 = −2
105) 5−𝑥
= 125 Rta.: 𝑥 = −3
106) 3 ∙ 2𝑥+3
= 12 Rta.: 𝑥 = −1
107) 3𝑥
+ 3𝑥+1
= 36 Rta.: 𝑥 = 2