1) Las ecuaciones exponenciales tienen la forma a^x = b, donde la variable x se encuentra en el exponente de un número. 2) Para resolverlas, primero se verifica si b es múltiplo de a, permitiendo igualar exponentes. 3) Si b no es múltiplo de a, se debe usar logaritmos, cuya operación inversa a la potenciación permite determinar el valor de x.

1. ECUACIONES EXPONENCIALES
A diferencia de la ecuaciones de 1er grado ( ax+b=0 ) o de 2do grado ( ax 2  bx  c  0 ) , la variable
de una ecuación exponencial se encuentra precisamente en el “exponente” de un número.
Por lo cual podemos reconocerla como : a x  b , para todo número a y b  a R , con a  0, a  1 .
Nuestro objetivo es resolver dicha ecuación, por lo tanto debemos reconocer que a y b  a R pueden
tomar cualquier valor de R , sin embargo para , para ésta 1era parte consideraremos el caso en el que
“ b es un múltiplo de a” , dicho de otra manera , es posible descomponer b en tantas veces como sea
posible en a.
Ejemplo:
Resolver : 3 x 1  243
Solución: Verificamos que 243 sea múltiplo de 3, 2+4+3=9, ok. Entonces 243 es múltiplo de 3.
3 x 1  243  3 5 ( por descomposición )
3 x 1  3 5
x 1  5 (si las bases son iguales, entonces sus exponentes también son iguales)
x6
Ejemplo:
1 1
Resolver: x

2 64
Solución: A pesar que la variable se encuentra en el exponente del denominador , no perdamos el
punto de vista que: “la variable está en el exponente de un número” , por lo cual recurrimos a nuestra
teoría de exponentes para “preparar” ésta expresión .
1 1 1
x
  6 ( reconocemos la descomposición del 64)
2 64 2
1 1
x
 6 ( a pesar de ello todavía no podemos decir que x=6)
2 2
x 6
1 1
     ( sabemos que 1 a cualquier exponente siempre será 1 )
 2  2
x6 (Ahora si, las bases son iguales, entonces sus exponentes también son iguales)
Ahora: que pasaría si “no es posible descomponer b en tantas veces como sea posible en a”. Este caso
corresponde a otro tema , es decir , se hace necesario emplear otros recursos como el logaritmo.
LOGARITMOS
Si nos encontramos frente a la resolución de una ecuación exponencial y no es posible determinar de
un modo directo a través de la descomposición, entonces debemos reconocer que: a) la variable a
encontrarse no es un número entero ( Z ) , b) Sabemos que tendremos como respuesta un número
raciona ( Q ) o irracional ( I ) . La pregunta es, ¿Cómo determinar su valor?.
Así como la operación de la suma tiene un proceso inverso que es la resta, al mismo tiempo para la
multiplicación existe la división. El proceso inverso para hallar el valor de un exponente “x”, se llama
logaritmación , el cual se define :
Para : a x  b , Existe log a b  x sí y solo sí b  a
x
donde a es la base del logaritmo
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2. También debemos reconocer que existe una “estrecha relación” entre la potenciación y la
logaritmación, la cual queda verificada en la gráfica de: la función exponencial y función logaritmo.
A continuación podemos observar la función exponencial: y  10 x y la función logarítmica:
y  log x ( cuya base es igual a 10) y la recta y  x .
y = 10^x 7 y
y = log(x)
y = x 6
5
4
3
2
1
x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-1
-2
-3
De la observación de éstas graficas podemos decidir que:
1. El logaritmo de 1, en cualquier base, siempre será “0”.
2. El logaritmo de a en base a, siempre será “1”.
3. No existen logaritmos de números enteros negativos. Su dominio será R 
4. El valor del logaritmo puede tomar cualquier de R (reales).
5. El valor del logaritmo es negativo cuando x  0  a  1
6. El valor del logaritmo es positivo cuando x  a  1
Propiedades de los logaritmos:
Para desarrollar o simplificar expresiones con logaritmos podemos emplear las siguientes propiedades:
• Logaritmo de un producto: log a xy  log a x  log a y
x
• Logaritmo de un cociente: log a  log a x  log a y
y
• Logaritmo de una potencia: log a x p  p log a x
1
• Logaritmo de una raíz: log a n x  log a x
n
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3. • Logaritmo de un número igual a la base: log a a  1
• Potencia cuyo exponente es un logaritmo: a loga N  N
log b x
• Cambio de base: log a x 
log b a
1
• Potencia de la base: log a m x  log a x
m
Ejemplo:
 8a 2 
Desarrolle la expresión del logaritmo, empleando sus propiedades: log 2   3

 b 
Solución: Observamos que el “número”( lo que está dentro del paréntesis ) es el resultado de de un
cociente cuyo numerador es un producto y el denominador es una raíz. También observamos que la
base del logaritmo es el número 2.
 8a 2 
log 2  
 3   log 2 (8a )  log 2 b ( prop. logaritmo de un cociente )
2 3
 b 
1
log 2 (8a 2 )  log 2 b 3  log 2 8  log 2 a 2  log 2 b 3 (prop. del producto y de raíz)
2
1 3
log 2 8  log 2 a 2  log 2 b 3  log 2 2 3  2 log 2 a  log 2 b (prop. de potencia)
2 2
3 3
log 2 2 3  2 log 2 a  log 2 b  3 log 2 2  2 log 2 a  log 2 b
2 2
3
 3  2 log 2 a  log 2 b (expresión desarrollada)
2
Ejemplo:
1
Simplificar la expresión: A  3 log b x  log b ( x  2)  4 log b ( x  3)
3
Solución: Observamos que existen sumas y restas , las cuales provienen necesariamente de producto y
cociente ; pero antes debemos “preparar” las expresiones para aplicar las propiedades. Es decir no
debe haber ningún número delante de cualquier logaritmo.
A  log b x 3  log b 3 ( x  2 )  log b ( x  3) 4 ( proceso inverso de prop. de potencia y raíz)
A  log b x 3 3 ( x  2 )  log b ( x  3) 4 (proceso inverso de prop. del producto)
x3 3 ( x  2)
A  log b (proceso inverso de prop. del cociente)
( x  3) 4
Nota:
No olvidemos que al desarrollar o simplificar expresiones con logaritmos , debemos observar si todos
tienen la “misma base” , de lo contrario no será posible aplicar las propiedades.
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