El documento presenta un manual y video tutorial acerca de ecuaciones logarítmicas como parte del proyecto de aula en matemáticas de la Universidad Estatal Península de Santa Elena. Se abordan conceptos fundamentales sobre funciones logarítmicas, logaritmos y sus propiedades, así como la resolución de ecuaciones logarítmicas aplicadas a distintas ciencias. Además, el objetivo es facilitar el aprendizaje y mejorar las habilidades en el manejo de gráficas y ecuaciones logarítmicas en el contexto educativo.

1. UNIVERSIDAD ESTATAL PENÍNSULA
DE SANTA ELENA
SISTEMA NACIONAL DE NIVELACIÓN Y ADMISIÓN
PROYECTO DE AULA DE MATEMATICAS
“MANUAL Y VIDEO TUTORIAL DE ECUACIONES
LOGARITMICAS”
AUTORES:
Baque Alejandro Ariel Jonathan
León Paladines Gustavo Andrés
Panchana Cerezo ÁlvaroSebastián
Tomalá Ricardo Denisse Gabriela
CARRERA:
INGENIERÍA EN PETRÓLEO
PET 20
DOCENTE:
Ing. Carlos Malavé Carrera
SANTA ELENA
Agosto 2015

2. ÍNDICE
Introducción........................................................................................... 3
Objetivos................................................................................................ 4
ESQUEMA DE CONTENIDOS.................................................................... 4
Función logarítmica................................................................................ 5
Concepto de función logarítmica....................................................... 5
Logaritmo............................................................................................... 6
Logaritmo común ............................................................................. 6
Logaritmo natural o neperiano.......................................................... 6
Propiedades de los logaritmos ................................................................ 7
Ecuaciones Logarítmicas......................................................................... 8
Ejercicios................................................................................................ 9
Conclusiones........................................................................................ 11
Bibliografía........................................................................................... 11

3. Introducción
John Napier, hacendado escocés, es la imagen
principal de los logaritmos (logos: razón o
cociente, arithmos: número), literalmente son
números que indican una relación o
proporción. Estos facilitan la solución de
problemas aritméticos y geométricos evitando
así las complejas multiplicaciones y divisiones
transformadas a algo más simple.
La función logaritmos es trascendente, en la
actualidad cumplen un rol interesante en las
ciencias sociales y naturales mediante el
cálculo y desarrollo matemático. En efecto, es
imprescindible dominarlos por su aplicación y
relevancia en nuestra profesión pues es una
herramienta muy valorada.
La geología, requiere del planteamiento de ecuaciones logarítmicas para calcular la
intensidad de un evento, en tal caso de un sismo en la escala de Richter.
La física, la función logarítmica se la utiliza para el cálculo de volumen “L” en decibeles
de sólidos.
La química, el pH de una solución se define como −𝑙𝑜𝑔[ 𝐻+], siendo [ 𝐻+] la
concentración de iones de hidrogeno en moles/litro.
La función logarítmica en la escala de Richter, es en base 10, donde cada aumento de
grado en esta escala no corresponde al aumento lineal de magnitud del sismo, más
bien exponencial. Los sismólogos han manifestado diversas escalas de medición para
interpretar los terremotos de forma cuantitativa.
Lo cierto, que el conocerlos no solo radica en nombrarlos u observarlos, mediante la
práctica, día a día se convertirán en algo muy común dentro del aprendizaje. Tal
motivo nos permite estudiarlos y compartir nuestros conocimientos con elcontorno
educativo, esperando mejorar su habilidad en el manejo de gráficas y ecuaciones
logarítmicas.
Se debe profundizar y evaluar los preconceptos que permitirán solucionarecuaciones
logarítmicas y así en ejercicios más complejos se nos facilite el proceso.
El contenido de este trabajo esta reforzado con conocimientos adquiridos en
transcurso de nuestra formación de estudiantes, yestá respaldado por fuentes como:
internet y libros.

4. Objetivos.
 Reconocer los elementos que conceptualizan a la función logarítmica.
 Conocer las 9 propiedades de los logaritmos
 Resolver ecuaciones logarítmicas aplicando sus propiedades y en otros casos la
oportuna factorización.
 Aportar con la educacióny considerar a las ciencias matemáticas un aliado para
su desarrollo profesional.
ESQUEMA DE CONTENIDOS
FUNCIONES
LOGARITMICAS
concepto de
función
logaritmica y
logaritmo
logaritmo
común
logaritmo
naturalo
neperiano
propiedades
de los
logaritmos
ecuaciones
logaritmicas
ejercicios

5. Función logarítmica
Se conoce que unafunciónlogarítmicase originade una funciónexponencial,tal que 4 𝑥 = 64
entonces buscamos hallar el valor de x para que esta igualdad tenga sentido es decir a que
exponente deberá estar elevado la base” 4 “para que su potencia sea 64.
Bajo este preámbulo es la causa del logaritmo.
Concepto defunciónlogarítmica
Es la función f de variable real cuya regla de correspondencia es:
f(x) = logb x, x > 0 𝑦 𝑎 ∈ R+ donde b ≠ 1
La función logarítmica es la inversa de una función exponencial, entonces se afirma lo
siguiente:
f(x) = logb x ≡ 𝑓−1(x) = 𝑏 𝑥
Debemosanalizarcomoel valorde la base “b” incurre enel diseñode la gráfica de un función
logarítmica, dado que b>1 o 0<b>1.
b>1
Cuandob =2, se obtiene lasiguiente tablade valores parala funciónexponencial.
+y
-x +x
-y
x 𝑦 = log2 𝑥
1
8⁄ -3
1
4⁄ -2
1
2⁄ -1
1 0
2 1
4 2
8 3
x 𝑦 = 2 𝑥
-3 1
8⁄
-2 1
4⁄
-1 1
2⁄
0 1
1 2
2 4
3 8
Conocemos que la
forma exponencial es
la inversa de función
logarítmica;
concluimos que
y = log2 𝑥 toma los
siguientesvaloresenla
tabla.
1
2
3
2 3 4 5 6 7 8 91-3 -2 -1
-1
-2
-3

6. 0<b>1
Cuando b =1/2, se obtiene la siguiente tabla de valores para la función exponencial.
Logaritmo
Según el concepto matemático “b” es la base y “x” la potencia, en el ejemplo4 𝑥 = 64se
convierte en un logaritmo siempre y cuando este dado así:
log4 64 = 𝑥; se lee, logaritmo de 64 en base 4 es igual a x.
Logaritmo común
Si un logaritmo dado no especifica su base, debemos suponer que tiene base 10. La
importancia de su concepto se fundamenta en su aplicación en ecuaciones logarítmicas.
Representación:
log( 𝑥) ;paralog10 (x)
Ejemplos:
log10 = 1
log100 = 2
Logaritmo natural o neperiano
Este tipo de logaritmo aparece con frecuencia por un símbolo especial “In” (del latín
“logarithmusnaturalis”cuyabase estádadapor el número e (número deEuler) y se representa
así:
ln( 𝑥) ;paralog 𝑒( 𝑥)
x 𝑦 = log1
2⁄ 𝑥
8 -3
4 -2
2 -1
1 0
1
2⁄ 1
1
4⁄ 2
1
8⁄ 3
x
𝑦 =
1
2
𝑥
-3 8
-2 4
-1 2
0 1
1 1
2⁄
2 1
4⁄
3 1
8⁄
+y
-x +x
-y
Conocemos que la
forma exponencial es
la inversa de función
logarítmica;
concluimos que
y = log1
2
( 𝑥) toma los
siguientesvaloresenla
tabla.
1
2
3
2 3 4 5 6 7 8 91-3 -2 -1
-1
-2
-3

7. Ejemplos:
ln 𝑒 = 1
ln 𝑒3 = 3
Propiedades de los logaritmos
Propiedad Notación Ejemplos
1.Logaritmode la unidad log 𝑎 1 = 0 log5 1 𝑦𝑎 𝑞𝑢𝑒 50
= 1; log23 1 = 0
2.Logaritmode la base log 𝑎 𝑎 = 1 log7 7 = 1, 𝑦𝑎 𝑞𝑢𝑒 71
= 7
3.Logaritmodel producto log 𝑎 ( 𝑌. 𝑍) = log 𝑎 𝑌 + log 𝑎 𝑍 log8 4 + log8 2 = log8 (4.2) = log8 8
= 1
4.Logaritmodel cociente log 𝑎 (
𝑌
𝑍
) = log 𝑎 𝑌 − log 𝑎 𝑍
log 𝑎 (
1
𝐺
) = − log 𝑎 𝐺 ; log 𝑎 1 = 0
log3 108− log3 4 = log3 (
108
4
)
= log3 (27) = 3
5-Logaritmode la potencia log 𝑎 𝑎 𝑃
= 𝑃 log5 52
= 2; log9 94
= 4
6.Logaritmode una potencia log 𝑎 𝑃 𝛿
= 𝛿 log 𝑎 𝑃 log3 42
= 2.log3 4
7.Logaritmode la raíz
enésimade unnúmero
log 𝑐 √𝑃
𝑅
= log 𝑐 (𝑃
1
𝑅⁄
)
=
1
𝑅
.log 𝐶 𝑃
=
log 𝑐 𝑃
𝑅
log3 √9
4
=
1
4
log3 9 =
1
4
.2 =
1
2
8.Logaritmocomo
exponente
𝑎log 𝑎 𝑁
= 𝑁 8log8 3
= 3
9.Cambiode base log 𝑐 𝐷 =
log 𝑎 ( 𝐷)
log 𝑎 ( 𝑐)
log4 5 =
log2 5
log2 4
=
log2 5
2
Ejercicios
Expresarlossiguienteslogaritmosenunosolo.
1.-log2( 𝑎 + 𝑏)3 − log2( 𝑎 + 𝑏)2 = log2
( 𝑎+𝑏)3
( 𝑎+𝑏)2
= log2( 𝑎 + 𝑏)
a) 2
b) 𝑎 + 𝑏
c)log2( 𝑎 + 𝑏)
2.- 4 log( 𝑥 + 𝑑) − 2log( 𝑥 − 𝑑) = log( 𝑥 + 𝑑)4 − log( 𝑥 − 𝑑)2 =
log
( 𝑥 + 𝑑)4
( 𝑥 − 𝑑)2
a)log( 𝑥 + 𝑑)2
b)log
( 𝑥+𝑑)4
( 𝑥−𝑑)2
c)
( 𝑥+𝑑)4
( 𝑥−𝑑)2
3.-log( 𝑥 + 1) + log( 𝑥 − 1) − log( 𝑥 + 1) = log
( 𝑥+1)( 𝑥−1)
( 𝑥+1)
= log( 𝑥 − 1)
a) log( 𝑥 − 1)
b)𝑥2 − 1
c)𝑥 + 1

8. Ecuaciones Logarítmicas
Sabemos que una expresión logaritma se origina de una expresión exponencial, bajo este
criterio no debe sorprendernos que en su efecto sean utilizados dentro de las ecuaciones
logarítmicas en busca de una solución.
Ejemplo:
3log2(5𝑥+6) = 81
3log2(5𝑥+6) = 34
log2(5𝑥 + 6) = 4
log(5𝑥 + 6)
log(2)
= 4
log(5𝑥 + 6) = 4. log(2)
log(5𝑥 + 6) = log(2)4
5𝑥 + 6 = 24
5𝑥 + 6 = 16
5𝑥 = 10
𝑥 = 2
En algunos casos necesariamente una ecuación logarítmica debe ser comprobada una vez
resuelta para su oportuna validez.
Ejemplo:
log( 𝑥 − 1) = log(√5 + 𝑥) + log(√5− 𝑥)
log( 𝑥 − 1) = log(√5+ 𝑥) (√5− 𝑥)
log( 𝑥 − 1) = log (√25 − 𝑥2)
( 𝑥 − 1) = √25 − 𝑥2
( 𝑥 − 1)2 = (√25 − 𝑥2)
2
𝑥2 − 2𝑥 + 1 = 25 − 𝑥2
𝑥2 − 2𝑥 + 1 + 𝑥2 − 25 = 0
2𝑥2 − 2𝑥 − 24 = 0
2( 𝑥2 − 𝑥 − 12) = 0
𝑥2 − 𝑥 − 12 = 0
( 𝑥 − 4)( 𝑥 + 3) = 0
𝑥 − 4 = 0𝑥 + 3 = 0
𝑥 = 4𝑥 = −3
Comprobación: 𝑥 = 4
log( 𝑥 − 1) = log(√5 + 𝑥) + log(√5 − 𝑥)
log(4 − 1) = log(√5 + 4) + log(√5− 4)
log(3) = log(√9) + log(√1)
log(3) = log(3) + log(1) log 1 = 0
log(3) = log(3)
Comprobación: 𝑥 = −3
log( 𝑥 − 1) = log(√5 + 𝑥) + log(√5 − 𝑥)
log(−3 − 1) = log(√5 − 3) + log(√5 + 3)
log(−4) = log(√2) + log(√8)
No es posible; no existen logaritmos
negativos.
Importante:Debesconsiderarque laspropiedadesde los logaritmos facilitan la resolución de
los mismos y que su vez no pueden ser afectados por consideraciones incoherentes.

9. Ejercicios
Ejercicio#1
𝑙𝑜𝑔2 𝑥 + log 𝑥 + 1 =
7
𝑙𝑜𝑔
𝑥
10
El términodel 2domiembropasaal 1er miembro.
𝑙𝑜𝑔2 𝑥 + log 𝑥 + 1 −
7
log 𝑥−log10
= 0 En el 4to tér.se aplicala cuarta propiedad.
𝑙𝑜𝑔2 𝑥 + log 𝑥 + 1 −
7
log 𝑥−1
= 0 En el 4to tér. tenemosunlogaritmobase 10.
𝑎 = log 𝑥 Cambiode variable.
𝑎 2 + 𝑎 + 1 −
7
𝑎−1
= 0Mínimo comúnmúltiplo.
𝑎2( 𝑎−1)+𝑎( 𝑎−1)( 𝑎−1)−7
𝑎−1
= 0 Multiplicarfactores.
𝑎3−𝑎2+𝑎2−𝑎+𝑎−1−7
𝑎−1
= 0Reducciónde términossemejantes.
𝑎3 − 8 = 0Un términoencada miembro.
√𝑎33
= √83
Raíz cúbicapara eliminarexponente enel 1ermiembro.
𝑎 = 2 Conocemosque 𝑎 = log 𝑥.
log 𝑥 = 2El logaritmose convierte enunaexpresiónexponencial.
𝑥 = 102 Hallamosel valorde x.
𝑥 = 100
Ejercicio#2
log3 20 = 𝑎; log3 15 = 𝑏 Estas variables son analizadas enla parte inferior de ejercicio .
log2 360 =
log3 360
log32
=Se aplicalanovenapropiedad.
log3 (40.9)
log3 2
= Se aplicaenel numeradorla tercerapropiedad.
log3 40+ log3 9
log3 2
=
log3(2.20)+log332
log3 2
= En el 1er tér. del numerador se aplica la tercera propiedad.
log32+log320+2
log3 2
= Se cumple con (
𝑎−𝑏+1
2
= log32) y (a = log320).
𝑎−𝑏+1
2
+𝑎+2
𝑎−𝑏+1
2
= Mínimo común múltiplo.
𝑎−𝑏+1+2𝑎+4
2
𝑎−𝑏+1
2
= Eliminamos denominadores y reducimos tér. semejantes.
3𝑎 − 𝑏 + 5
𝑎 − 𝑏 + 1
log3 15 = log3 3 + log3 5
𝑏 = 1 + log35
𝑏 − 1 = log35
a = log320
a = log3(5 ∗ 4)
a = log35 + log34
a = b − 1 + log322
a = b − 1 + 2log32
𝑎 − 𝑏 + 1
2
= log32
Ejercicio#3

10. log5 (5
1
𝑥⁄
+ 125) = log56 + 1 +
1
2𝑥
Colocamosloslogaritmosal 1ermiembro.
log5 (5
1
𝑥⁄
+ 125) − log56 = 1 +
1
2𝑥
Conlogaritmosde basesiguales,cuartapropiedad.
log5
(5
1
𝑥⁄ +125)
6
= 1 +
1
2𝑥
El logaritmoloexpresamosenformaexponencial.
51+
1
2𝑥 =
(5
1
𝑥⁄ +125)
6
El denominadordel 2domiembropasaa multiplicaral 1er miembro
6 ∗ 51 ∗ 5
1
2𝑥 = 5
1
𝑥⁄
+ 125 Se aplicaunapropiedadde lapotenciación.
30 ∗ 5
1
2𝑥 − 5
1
𝑥⁄
− 125 = 0 Se aplicauna propiedadde lapotenciación.
30 ∗ (51/2)1/𝑥 − 5
1
𝑥⁄
− 125 = 0 Hay uncambiode variable.
𝑎 = 5
1
𝑥⁄
30𝑎
1
2⁄
− 𝑎 − 125 = 0 Para facilitarel ejerciciotomamosotravariable.
𝑏 = 𝑎
1
2⁄
𝑏2 − 30𝑏 + 125 = 0 Trinomiode la forma 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐.
(𝑏 − 25)(𝑏 − 5) = 0 Se iguala cada factor a cero.
𝑏 = 25 𝑏 = 5 Conocemosque 𝑏 = 𝑎
1
2⁄
.
(𝑎
1
2⁄
)2 = (25)2(𝑎
1
2⁄
)2 = (5)2 Elevamosal cuadradopara eliminarexponentes.
𝑎 = 625 𝑎 = 25 Conocemosque 𝑎 = 5
1
𝑥⁄
.
5
1
𝑥⁄
= 54 5
1
𝑥⁄
= 52 Con basesiguales,trabajamosconlosexponentes.
1
𝑥
= 4
1
𝑥
= 2 Despejamosx yhallamossuvalor.
𝑥 =
1
4
𝑥 =
1
2
Ejercicio#4
81
1
log5 3 − 27log9 36
− 3
4
log7 9
=
Aplicamos a todos los tér. la novena propiedad.
81
1
log3 3
log3 5 − 27
log3 36
log3 9 − 3
4
log3 9
log3 7 Reducimos términos.
81log3 5
− 27
log3 36
log3 32
− 3
4 log3 7
log3 9
81log3 5
− 27
log3 36
2log3 3 − 3
4 log3 7
log3 32
En el 2do tér. se aplica la sexta propiedad.
81log3 5
− 27
log3 36
2 − 3
4 log3 7
2 log3 3 En el 3er tér. se aplica la segunda propiedad.
81log3 5
− 27
1
2
log3 36
− 32 log3 7
Se simplifica en el 3er término.
81log3 5
− 27log3 36
1
2⁄
− 3log3 72
Se aplica la sexta propiedad.
81log3 5
− 27log3 √36
− 3log3 49
Se reducen términos.
34log3 5
− 33 log3 6
− 3log3 49
Se aplica la octava propiedad.
3log3 54
− 3log3 63
− 49
54
− 63
− 49 Se resuelven potencias.
625 − 216 − 49
360

11. Conclusiones.
El manual didácticohasidorealizadoconel afán de dar a conocer las distintasaplicacionesque
tiene unlogaritmodentrode una ecuación; el desarrollo de los ejercicios es posible siempre
que se consideren las propiedades logarítmicas, estos a su vez se desprenden de conceptos
prioritarios que se encuentra en el manual.
Es ineludible reconocer que un factor transcendental para resolver estas ecuaciones
logarítmicas es dominar números reales.
La funciónlogarítmicatiene múltiples usos dentro del campo profesional, exclusivamente el
campo de ingeniería; por obvias razones la carrera demanda el fácil manejo del logaritmo.
Nuestrodeseoesgenerarresultadossatisfactoriosdespués de potencializar sus habilidades y
destrezas mediante la revisión del manual; logrando además su atracción hacia la ciencia de
los cálculos.
En este link podrán observar la resolución de ecuaciones logarítmicas:
Http://www.youtube.com/watch?v=AOB8dNJ4j8e&feature=youtu.be
Bibliografía
Las matemáticas. (2014). Obtenido de http://lasmatematicas.eu/historia-de-las-
matematicas/divulgacion/historia/logaritmos-contexto-historico-y-aplicaciones-i
Apolinar, E. S. (2010). Obtenido de www.aprendematemáticas.org.mx
ESPOL. (2006). FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS PARA BACHILLERATO. Guayaquil: Ing.
Washington Armas.
Fernández,Barragán, Molina. (2009). Obtenido de
https://blogdemates.files.wordpress.com/2009/11/algunas-de-las-aplicaciones-que-
tienen-los-logaritmos.pdf
Moisés Viilena. (2010). El libro rojo de las matemáticas. Guayaquil: INGRAF.