dvbjhsbvzdfvuvefdvdsj promociones

1. LOGARITMOS

2. Se define la función logaritmo como:
Log a b = n
a b n cuando: =
Y dicha expresión se lee: « logaritmo en
base “a” de “b” ».
Nota: Si no se escribe la base del logaritmo,
se considera que la base es 10. Este
logaritmo es muy utilizado, pues lo podemos
hallar con la calculadora. Es decir:
54
54 10
Log
Log 
Base 10
Otro logaritmo muy usado es el logaritmo en
base “e”, al cual se lo llama logaritmo
neperiano, y se escribe: Ln

3. Ejemplos:

8
2
Log 3, porque 8
23


81
3
Log 4, porque 81
34


3
5 5
Log –3, porque
3
3
5
5 


(Nos preguntamos: ¿A qué número tenemos
que elevar el 2 para que nos de 8?)

4 5
3 3
Log
4
5 porque
4 5
4
5
3
3 

01
,
0
Log 2
 porque 01
,
0
10 2









2
1
e
Ln 2
 porque 2
2 1
e
e 

10

4. Es decir: 
a
a
log
n
n
(Veamos más ejemplos)







8
1
2
Log 






3
2
2
1
Log  
3
2 2
Log









9
3
3
Log 








2
2
1
3
3
3
Log 
 2
/
3
3 3
Log









3
5
2
,
0
5
Log 










3
5
5
1
5
Log 









3
1
5
5
5
Log
 
 3
/
4
5 5
Log
–3
–3/2
4/3

5. 






3
25
,
0
4
4
Log 








3
1
4
1
4
4
Log 





 3
2
4
1 4
Log








 3
/
2
4
1
4
1
Log
Ejercicio: Calcula los siguientes logaritmos








 
3
2
16
8
2
log
)
a
6
7











4
3
1
3
9
27
3
log
)
b
4
1

 
3
5 04
,
0
log
)
c
3
2








3
1
,
0
10
10
log
)
d
3
2

–2/3

6. PROPIEDADES DE
LOS
LOGARITMOS

7. 1) La suma de logaritmos es el
logaritmo del producto.
    )
( b
a
Log
b
Log
a
og
L 


Ejemplo:
   
 8
4 2
2 Log
og
L 5
Porque: 22 = 4 y 23 = 8
2 + 3 =

 )
8
4
(
2
Log 
)
32
(
2
Log
Porque: 25 = 32
5

8. 2) La resta de logaritmos es el
logaritmo del cociente.
    







b
a
Log
b
Log
a
og
L
Ejemplo:
   
 10
1000 Log
og
L 2
Porque: 103 = 1000 y 101 = 10
3 – 1 =







10
1000
Log 
)
100
(
Log
Porque: 102 =100
2

9. 3) Logaritmo de una potencia
   
a
Log
n
a
og
L n


Ejemplo:
 
5
3 9
og
L 10
 
 9
5 3
Log  
 2
3 3
5 Log
 
 
5
2
3 3
og
L  
10
3 3
og
L

2
5 10

10. 4) Logaritmo de una raiz
   
n
a
Log
a
og
L n

Ejemplo:
 
125
5
og
L 2
3
  
2
125
5
Log  
2
53
5
Log
 
3
5 5
og
L 





 2
3
5 5
og
L
2
3
2
Recuerda

11. 5) Logaritmo de uno
0
1
a
og
L Porque: 1
0

a
6) Logaritmo de cero o negativos
Por que “a” elevado a cualquier número siempre es
mayor que cero.
7) Cambio de un logaritmo a base 10

b
og
L a No existe si: 0

b
a
Log
b
Log
b
og
L a  Base 10

12. Con estas propiedades también podemos calcular
los logaritmos. Veamos un ejemplo.









4
3
27
3
3
Log
Ejemplo:
   
 4
3
3 27
3
3 Log
Log
     


 4
3
3
3 27
3
3 Log
Log
Log
      



4
27
2
3
3 3
3
3
Log
Log
Log




4
3
2
1
1 


4
3
2
4
4
3

13. ECUACIONES
LOGARITMICAS

14. • Son ecuaciones en las que aparecen
logaritmos.
• Resolverlas, consiste en hallar el valor o valores
de X que hace ciertas dichas ecuaciones.
• Para resolverlas hay que lograr dejar un
logaritmo solo a cada lado.
• Por último, hay que comprobar si la solución
vale o no, porque puede que no exista el
logaritmo (si es de un número negativo o de
cero).

15. Ejemplos:
1
)
1
3
log( 

x 1º ponemos a ambos lados un solo
logaritmo (en este caso en base 10)
10
log
)
1
3
(
log 

x
10 10
1 Tachamos los logaritmos de ambos
lados y nos queda:
10
1
3 

x Resolvemos normalmente
9
3 
x
Y por último comprobamos si la
solución es válida
1
10
log
)
1
3
3
log( 


 Correcto, pues el logaritmo sí existe.
3

x

16.    
5
2
log
3
log
2
1
log 



 x
x
   
5
2
log
9
)
1
(
log 


 x
x
10 10
Tachamos los logaritmos de
ambos lados y nos queda
5
2
9
9 

 x
x Resolvemos normalmente
14
7 

x
Por último comprobamos
si la solución es válida
)
5
)
2
(
2
log(
3
log
2
)
1
2
log( 






 Falso, pues el logaritmo
de negativos no existe.
Aplicamos propiedades
   
5
2
log
3
log
1
log 2



 x
x
ESTA ECUACIÓN NO TIENE SOLUCIÓN
Ejemplos:
2


x

17. Ejercicio: Resuelve las siguientes ecuaciones
   
4
log
2
6
log
log
) 



 x
x
x
a
8
: 
x
Solución Sí vale
  1
3
log
2
29
log
) 

 x
x
b
1
: 
x
Solución Sí vale
 
3
log
6
log
3
log
2
1
) 2
2
2
x
x
x
c 




2
3
: 
x
Solución No vale porque: log(3/2-3) es
negativo
   
1
3
log
2
2
1
log
) 3
2
3 



 x
x
d
3
4
: 
x
Solución Sí vale

18. Ejercicio: Resuelve los siguientes sistemas









2
5
log
log
2
1
log
3
log
)
x
y
y
x
a
1
,
10
1
: 
 y
x
Solución Sí vale







0
log
3
log
100
)
4
2
y
x
y
x
b
10
1
,
1000
: 
 y
x
Solución Sí vale

19. ECUACIONES
EXPONENCIALES

20. • Son ecuaciones en las que aparecen la x en el
exponente.
• Resolverlas, consiste en hallar el valor o valores
de X que hace ciertas dichas ecuaciones.
• Para resolverlas:
– Si podemos, tenemos que expresar como potencias
en la misma base a ambos lados para luego igualar
los exponentes.
– Si no, tomaremos logaritmos en base 10 (que es lo
que halla la calculadora) a ambos lados y aplicamos
la propiedad 3 para “bajar” los exponentes
multiplicando.

21. Ejemplos:
3
9
3 1
5



x Expresamos como potencias en
base 3 a ambos lados
2
5
1
5
2
1
2
1
5
3
3
3
3
3





x
x
Tachamos los treses e
igualamos los exponentes
2
5
1
5 

x Resolvemos normalmente
10
7
2
7
5


x
x
Solución

22. Ejemplos:
1
4
2
3
5 

 x
x
No podemos expresar como
potencias en igual base a ambos
lados. Luego tomamos logaritmos en
base 10 a ambos lados.
1
4
2
3
log
5
log 

 x
x
Hallamos los logratimos con
la calculadora.
    48
,
0
1
70
,
0
4
2 



 x
x Resolvemos normalmente
56
,
3
28
,
3
92
,
0
48
,
0
48
,
0
8
,
2
4
,
1







x
x
x
x
Solución
Aplicamos las propiedades
de los logaritmos
    3
log
1
5
log
4
2 



 x
x

23. Ejercicio: Resuelve las siguientes ecuaciones
x
x
a 







8
1
2
) 10
2
5
,
2
: 2
1 

 x
x
Soluciones
1
5
2
9
3
1
)
2








 x
x
b
10
,
0
: 2
1 

 x
x
Soluciones
1
3
5
4
) 

 x
x
c
25
: 
x
Solución