Este documento explica los logaritmos, incluyendo su definición como el exponente al que hay que elevar la base para obtener el número, propiedades como que el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores y el logaritmo de un cociente es la diferencia, y también cubre logaritmos naturales y la función exponencial natural.

1. Logaritmos
Se llama logaritmo de un número real positivo, b en base a otro
número a también real positivo y diferente de 1, al número c que es el
exponente a que hay que elevar la base a para obtener el número b
log a b = c si y solo si ac = b .
De acuerdo con la definición tenemos que:
log2 8 = 3 pues 2 3= 8.
log10 √ 10 = 1/2 pues 10 1/2 = √ 10
log1/216 = - 4 pues (1/2)-4 = 2 4 = 16
log 121 = 0 pues (12)0 = 1
log71/49 = -2 pues (7)- 2 = 1/49
log1010 = 1 pues (10)1= 10
Los números negativos no tienen logaritmo en el conjunto de los números
reales .
Cuando la base de los logaritmos es mayor que 1, los números positivos
menores que la unidad tienen logaritmo negativo:
log3 1/81 es igual a -4 pues (3)- 4 = 1/81
Propiedades de los logaritmos
La logaritmación no es distributiva con respecto a la suma
log2( 2 + 4 + 8 + 2) log2 16 = 4 24 = 16
log22 = 1
log2 4 = 2
log2 8 = 3
log2 2 =1
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No se cumple
No es distributiva con respecto a la resta

2. log2(64 - 32) log232 = 5 25
log264 = 6
log2 32 = 5
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No se cumple
Tanto en la suma como en la resta se debe efectuar la operación y luego
calcular el logaritmo.
Producto
El logaritmo de un producto en una base dada, es igual a la suma de los
logaritmos de los factores en esa misma base.
loga( m . n) = logam + logan
log5 (25 . 5) = log525 + log55 =log5 (25 . 5) = 2 + 1 = 3
log5125 = 3 pues53= 125
División
El logaritmo de un cociente en una base dada, es igual a la diferencia entre
el logaritmo del dividendo y el del divisor.
loga( m : n) = logam - logan
log2(64: 16) = log264 - log216 = 6 - 4 = 2
log2 4 = 2
Potencia
loga bn = n. log a b

3. a) log2 8 4 = b) 4 . log 2 8
a) log2 4096 = 12 pues 212 = 4096
b) 4. 3 = 12
Radicación
loga√b = logab
2
a) log2 √16 b) log2 16
2
a) log2 4 = 2
b) 4 = 2
2
Logaritmo recíproco
loga 1 / b = - loga b
log2 1 / 3 = -1 log2 3
Cambio de base
loga b = log b / log a
log2 16 = log 16 / log 2 = 1,2 / 0,301 = 3,98
Logaritmos naturales

4. El cambio de base expresa que todos los logaritmos pueden ponerse en
términos de uno solo.
Los logaritmos comunes son los de base 10 y se designan como log
Los logaritmos de base e que se llaman logaritmos naturales y se designan
como ln .
log x = log 10 x ,
ln x = loge x .
Función exponencial natural
La inversa de la función logaritmo natural ln x , se la denomina
exponencial natural y sela designa como e x
a x = e x ln x
Inversa de la función logarítmica
1
1+x
∫x 1 dt = In( 1 + x ) + C
1+x
ex = lim ( 1 + x + x/ n)x log x = lim n ( x1/x - 1 )
x→∞ x→∞
Gráfica de la función logaritmo
Los gráficos de las funciones exponenciales cuando la base es mayor que 1
y cuando está entre 0 y 1.

5. f ( x ) = log 2 x
La función f ( x ) = log a x es una función biyectiva de ]0, ∞[ en los reales.
Su función inversa que va de los reales en ]0,+ ∞ [ = función
exponencial de base a = a x
la inversa de f ( x ) = log a x
f -1 : R → ]0,+ ∞[ x →a x
log 2 x
f -1 : R → ]0,+ ∞[ x →2 x
Límite función logarítmica