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logartimos, matemática aplicada a los negocios
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- 2. ¿Cómo se puedeescribir la siguiente relación ? 45 = 1024 La raíz quinta de 1024 es 4. 𝟓 𝟏𝟎𝟐𝟒 = 𝟒 1024 es la quinta potencia de 4 El logaritmo de 1024 en base 4 es 5. Es decir, 5 es el numero al cual se eleva 4 para obtener 1024. 𝒍𝒐𝒈𝟒𝟏𝟎𝟐𝟒 = 𝟓
- 3. LOGARITMOS Se llama logaritmode un número en una base dada, el exponente al cual debe elevarse la base para obtener dicho número. Es decir: 𝑏𝑐 = 𝑎 𝑙𝑜𝑔𝑏𝑎 = 𝑐 Exponent e Logaritmo Potencia Número Base de la potencia Base del logaritmo Con 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅+ , 𝑏 ≠ 1, 𝑐 ∈ 𝑅. 𝑁𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠.
- 4. LOGARITMOS Ejem1: 7𝑥 =49. Calcular a que exponente debemos elevar 7 para obtener 49. Estamos calculando un logaritmo, podemos encontrar fácilmente el exponente que es 2. 𝑙𝑜𝑔749 = 𝑥 ↔ 49 = 72 → 72 = 7𝑥 → 𝑥 = 2 Ejem1: 3𝑥 = 729. Calcular a que exponente debemos elevar 3 para obtener 729. Estamos calculando un logaritmo, en este caso el exponente es 6. es decir: 𝑙𝑜𝑔3729 = 𝑥 ↔ 3𝑥 = 729 → 3𝑥 = 36 → 𝑥 = 6 𝑙𝑜𝑔𝑏𝑎 = 𝑐 𝑏𝑐 = 𝑎 exponente Potencia Bas e Logaritm o Base del logaritmo Argumento o antilogaritmo
- 5. Logaritmos – ejemplos 𝑙𝑜𝑔416= 𝑥 𝑙𝑜𝑔232 = 𝑥 𝑙𝑜𝑔327 = 𝑥 𝑙𝑜𝑔644 = 𝑥 𝑙𝑜𝑔255 = 𝑥 4𝑥 = 16, 4𝑥 = 42, 𝑥 = 2 2𝑥 = 32, 2𝑥 = 25 , 𝑥 = 5 3𝑥 = 27, 3𝑥 = 33, 𝑥 = 3 La base menor al argumento y son enteros (logaritmo positivo) 64𝑥 = 4 43𝑥 = 41 3𝑥 = 1 𝑥 = 1/3 25𝑥 = 5 52𝑥 = 51 2𝑥 = 1 𝑥 = 1/2 𝑙𝑜𝑔5 1 25 = 𝑥 5𝑥 = 1/25 5𝑥 = 5−2 𝑥 = −2 𝑙𝑜𝑔7 1 343 = 𝑥 7𝑥 = 1/345 7𝑥 = 7−3 𝑥 = −3 La base mayor al argumento y son enteros (logaritmo racional positivo) La base entera y el argumento es racional (logaritmo entero negativo)
- 6. Propiedades de loslogaritmos 1. 𝐿𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑 2. Logaritmo de la base 3. Logaritmo de una potencia 4. Logaritmo de una raíz 𝑙𝑜𝑔𝑏1 = 0 Donde 𝑏 ≠ 1, 𝑏 > 0 𝒍𝒐𝒈𝟗𝟏 = 𝟎 90 = 1, se lee logaritmo de 1 en base 9 𝑙𝑜𝑔𝑏𝑏 = 1 𝒍𝒐𝒈𝟗𝟗 = 𝟏 𝑙𝑜𝑔𝑏𝐴𝑛 = 𝑛𝑙𝑜𝑔𝑏𝐴 𝑙𝑜𝑔𝑏𝑛𝐴𝑚 = 𝑚 𝑛 𝑙𝑜𝑔𝑏𝐴 𝒍𝒐𝒈𝟕𝟓𝟑 = 𝟑𝒍𝒐𝒈𝟕𝟓 𝒍𝒐𝒈𝟕𝟑𝟖𝟓 = 𝟓 𝟑 𝒍𝒐𝒈𝟕𝟖 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑛 𝐴 = 1 𝑛 𝑙𝑜𝑔𝑏𝐴 𝒍𝒐𝒈𝟐 𝟑 𝑨 = 𝟏 𝟑 𝒍𝒐𝒈𝟐𝑨
- 7. Propiedades de loslogaritmos 5. 𝐿𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 6. Logaritmo de un cociente 7. Cambio de base 8. 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝐴𝑥𝐵 = 𝑙𝑜𝑔𝑏𝐴 + 𝑙𝑜𝑔𝑏𝐵 𝒍𝒐𝒈𝟐 𝟕𝒙𝟖 = 𝒍𝒐𝒈𝟐𝟕 + 𝒍𝒐𝒈𝟐𝟖 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝐴 𝐵 = 𝑙𝑜𝑔𝑏𝐴 − 𝑙𝑜𝑔𝑏𝐵 𝒍𝒐𝒈𝟐 𝟕 𝟖 = 𝑙𝑜𝑔27 − 𝑙𝑜𝑔28 𝑙𝑜𝑔𝑏𝐴 = 1 𝑙𝑜𝑔𝐴𝑏 𝒍𝒐𝒈𝟐𝟗 = 𝟏 𝒍𝒐𝒈𝟗𝟐 𝑙𝑜𝑔𝑏𝐴 = 𝑙𝑜𝑔𝑎𝐴 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏 𝒍𝒐𝒈𝟐𝟗 = 𝒍𝒐𝒈𝟓𝟗 𝒍𝒐𝒈𝟓𝟐 𝑎𝑙𝑜𝑔𝑎𝐴 = 𝐴 𝑒𝑙𝑛𝐴 = 𝐴
- 8. EJERCICIOS 1. Calcula elvalor de «x» en: 𝒍𝒐𝒈𝟐 𝟑𝒙 − 𝟏 = 𝟓 . Solución: Aplicamos la definición de logaritmo: 𝒍𝒐𝒈𝟐 𝟑𝒙 − 𝟏 = 𝟓 ↔ (𝟑𝒙 − 𝟏) = 𝟐𝟓 𝟑𝒙 − 𝟏 = 𝟑𝟐 𝟑𝒙 = 𝟑𝟑 → 𝒙 = 𝟏𝟏 Comprobamos: 𝒍𝒐𝒈𝟐 𝟑. 𝟏𝟏 − 𝟏 = log𝟐 𝟑𝟐 = 𝟓 (cumple) 2. Calcula el valor de «x» en: 𝒍𝒐𝒈𝟕 𝟓𝒙 + 𝟔 = 𝟐 . Solución: Aplicamos la definición de logaritmo: 𝒍𝒐𝒈𝟕 𝟓𝒙 + 𝟔 = 𝟐 ↔ (𝟓𝒙 + 𝟔) = 𝟕𝟐 𝟓𝒙 + 𝟔 = 𝟒𝟗 𝟓𝒙 = 𝟒𝟑 → 𝒙 = 𝟒𝟑 𝟓 Comprobamos: 𝒍𝒐𝒈𝟕 𝟓. 𝟒𝟑 𝟓 + 𝟔 = log𝟕 𝟒𝟗 = 𝟐 (cumple)
- 9. 3. Resuelve: 𝒍𝒐𝒈𝟒 𝟓𝒙− 𝟑 = 𝐥𝐨𝐠𝟒(𝟐𝒙 + 𝟔) Solución: Aplicamos la definición de logaritmo: 𝒍𝒐𝒈𝟒 𝟓𝒙 − 𝟑 = 𝐥𝐨𝐠𝟒(𝟐𝒙 + 𝟔) ↔ (𝟓𝒙 − 𝟑) = (𝟐𝒙 + 𝟔) 𝟑𝒙 = 𝟗 → 𝒙 = 𝟑 Comprobamos: 𝒍𝒐𝒈𝟒 𝟓. 𝟑 − 𝟑 = 𝐥𝐨𝐠𝟒(𝟐. 𝟑 + 𝟔) 𝒍𝒐𝒈𝟒𝟏𝟐 = 𝒍𝒐𝒈𝟒 𝟏𝟐 (cumple) Rpta.: 3 4. Resuelve: 𝒍𝒐𝒈𝟓 𝟖𝒙 + 𝟏 = 𝐥𝐨𝐠𝟓(𝟑𝒙 + 𝟏𝟗) Solución: Aplicamos la definición de logaritmo: 𝒍𝒐𝒈𝟓 𝟖𝒙 + 𝟏 = 𝐥𝐨𝐠𝟓(𝟑𝒙 + 𝟏𝟗) ↔ (𝟖𝒙 + 𝟏) = (𝟑𝒙 + 𝟏𝟗) 𝟓𝒙 = 𝟏𝟖 → 𝒙 = 𝟏𝟖 𝟓 Comprobamos : 𝒍𝒐𝒈𝟓 𝟖. 𝟏𝟖 𝟓 + 𝟏 = 𝐥𝐨𝐠𝟓(𝟑. 𝟏𝟖 𝟓 + 𝟏𝟗) 𝒍𝒐𝒈𝟓 𝟏𝟒𝟗 𝟓 = 𝒍𝒐𝒈𝟓 𝟏𝟒𝟗 𝟓 (cumple) Rpta.: 18/5
- 10. 6. Resuelve: 𝐥𝐨𝐠 𝒙+ 𝟑 + 𝐥𝐨𝐠 𝒙 = 𝟐𝐥𝐨𝐠 𝒙 + 𝟏 Solución: Aplicamos la propiedades de logaritmos: 𝐥𝐨𝐠 𝒙 𝒙 + 𝟑 = 𝐥𝐨𝐠 𝒙 + 𝟏 𝟐 𝒙(𝒙 + 𝟑) = (𝒙 + 𝟏)𝟐 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 = 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟏 𝟑𝒙 − 𝟐𝒙 = 𝟏 → 𝒙 = 𝟏 Comprobamos: 𝐥𝐨𝐠 𝟏 + 𝟑 + 𝐥𝐨𝐠 𝟏 = 𝟐𝐥𝐨𝐠 𝟏 + 𝟏 𝐥𝐨𝐠 𝟒 + 𝟎 = 𝐥𝐨𝐠 𝟐𝟐 Rpta.: 1 5. Resuelve: 𝐥𝐨𝐠 𝒙 + 𝟖 = 𝐥𝐨𝐠 𝒙 − 𝟐 + 𝟏 Solución: Sabemos que: 𝐥𝐨𝐠 𝟏𝟎 = 𝟏 Luego: 𝐥𝐨𝐠 𝒙 + 𝟖 = 𝐥𝐨𝐠 𝒙 − 𝟐 + 𝐥𝐨𝐠 𝟏𝟎 Aplicamos la propiedad de logaritmo: 𝐥𝐨𝐠 𝒙 + 𝟖 = 𝐥𝐨𝐠 𝟏𝟎 𝒙 − 𝟐 𝒙 + 𝟖 = 𝟏𝟎(𝒙 − 𝟐) 𝒙 + 𝟖 = 𝟏𝟎𝒙 − 𝟐𝟎 𝟐𝟖 = 𝟗𝒙 → 𝒙 = 𝟐𝟖 𝟗 Rpta.: 28/9
- 11. 8. Resuelve: 𝐥𝐨𝐠 𝟐𝒙+ 𝟑 − 𝐥𝐨𝐠(𝒙 + 𝟒) = 𝟐 𝐥𝐨𝐠 𝟑 − 𝟑 𝐥𝐨𝐠 𝟐 Solución: Aplicamos la propiedades de logaritmos: 𝐥𝐨𝐠 𝟐𝒙 + 𝟑 − 𝐥𝐨𝐠(𝒙 + 𝟒) = 𝐥𝐨𝐠 𝟑𝟐 − 𝐥𝐨𝐠 𝟐𝟑 𝐥𝐨𝐠 𝟐𝒙 + 𝟑 𝒙 + 𝟒 = 𝐥𝐨𝐠 𝟑𝟐 𝟐𝟑 𝟐𝒙 + 𝟑 𝒙 + 𝟒 = 𝟗 𝟖 𝟏𝟔𝒙 + 𝟐𝟒 = 𝟗𝒙 + 𝟑𝟔 𝟏𝟔𝒙 − 𝟗𝒙 = 𝟑𝟔 − 𝟐𝟒 → 𝒙 = 𝟏𝟐 𝟕 Rpta.: 12/7 7. Resuelve: 𝐥𝐨𝐠(𝒙+𝟏)(𝒙 + 𝟑) = 𝟐 Solución: Aplicamos la definición de logaritmo: 𝐥𝐨𝐠(𝒙+𝟏)(𝒙 + 𝟑) = 𝟐 ↔ 𝒙 + 𝟑 = (𝒙 + 𝟏)𝟐 𝒙 + 𝟑 = 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟏 𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟐 = 𝟎 x +2 x -1 x = -2 v x = 1 Comprobamos: 𝐥𝐨𝐠(−𝟐+𝟏)(−𝟐 + 𝟑) = log−1 𝟏 … ∄ 𝐥𝐨𝐠(𝟏+𝟏)(𝟏 + 𝟑) = log2 𝟒 = 𝟐(cumple) Rpta.: 1