Este documento contiene 7 problemas de cálculo con sus respectivas soluciones. Los problemas involucran conceptos como derivadas, funciones continuas, derivables, tangentes y puntos de intersección de gráficos. Las soluciones usan métodos como el teorema del valor medio, reglas de derivación y ecuaciones para determinar puntos donde gráficos se intersectan con pendientes iguales.

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Pontificia Universidad Catolica de Chile
Facultad de Matema ´ticas
´
Departamento de Matematica
Primer Semestre de 2010
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Calculo I - MAT1610
Secciones 1 y 2
Ayudant´ 7
ıa
Derivadas
Problema 1. Sean f y g tales que f (a) = g(a) y f ′ (a) = g′ (a). Considere h tal que ∀x ∈ (a − δ, a + δ)
con δ > 0 se tiene que
f (x) ≤ h(x) ≤ g(x).
Demuestre que h es derivable en a con h′ (a) = f ′ (a) = g′ (a).
Problema 2. Sean f, g : R → R derivables tales que f (0) = 0, g(0) = 1 y adem´s,
a
f ′ (x) = g(x) ; g′ (x) = f (x).
Demuestre que h(x) = (f (x))2 − (g(x))2 es constante y determine su valor.
Problema 3. Dada la funci´n
o
(x − a)2 x≤3
f (x) = ,
b − (x − 5)2 x>3
determine los valores de a, b ∈ R de modo que f sea continua y derivable en R.
Problema 4. Derive alegremente:
i) cos2 2x2 + 2x + 1
√
ii) exp (arctan x))
iii) xx
Problema 5. Sea f una funci´n tal que f (x+y) = f (x)f (y), ∀x, y ∈ R. Adem´s, f (x) = 1 + xg(x)
o a
con l´ g(x) = 1. Demuestre que f ′ (x) = f (x).
ım
x→0
Problema 6. Considere la funci´n f definida como
o
1
g(x) sin x x=0
f (x) = ,
f (x) = 0 x=0
con g(0) = g′ (0) = 0. Determine si existe f ′ (0) y calc´lela.
u
Problema 7. Determinar un valor de k ∈ R de modo que los gr´ficos de las funciones
a
f (x) = kx3 y g(x) = ln x se intersequen en un punto donde las rectas tangentes a ambos gr´ficos
a
coincidan.
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Calculo I - MAT1610
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Ayudant´ 7
ıa
Soluciones
Problema 1. Notemos que
f (a) ≤ h(a) ≤ g(a),
pero f (a) = g(a) ⇒ h(a) = f (a) = g(a). Sea x tal que x ∈ (a, a + δ), entonces
f (x) − f (a) h(x) − h(a) g(x) − g(a)
≤ ≤ .
x−a x−a x−a
ımite cuando x → a+ se tiene que
Luego, tomando l´
f (x) − f (a) h(x) − h(a) g(x) − g(a)
l´
ım ≤ l´
ım ≤ l´
ım .
x→a+ x−a x→a + x−a x→a + x−a
→f ′ (a) →g ′ (a)
Si x → a− el resultado es an´logo. As´ usando el Teorema del Sandwich, concluimos que
a ı,
h′ (a) = f ′ (a) = g ′ (a).
Problema 2. Derivando,
h′ (x) = 2f (x)f ′ (x) − 2g(x)g′ (x).
Pero f (x) = g′ (x) y f ′ (x) = g(x), entonces h′ (x) = 0. Luego, h es una funci´n constante y para
o
calcular su valor podemos evaluar en alg´n punto de su dominio. Finalmente,
u
h(x) ≡ h(0) = (f (0))2 − (g(0))2 = −1.
Problema 3. Claremente f es continua en R − {3} por ser operaci´n y composici´n bien
o o
definida de continuas. Luego, para que f sea continua estudiamos
l´ f (x).
ım
x→3
Es claro que, por como est´ definida f , se tiene que
a
l´ f (x) = f (3) = (3 − a)2 .
ım
x→3−
En cambio,
l´ f (x) = l´ b − (x − 5)2 = b − (3 − 5)2 = b − 4.
ım ım
x→3+ x→3+
As´ para la continuidad necesitamos que
ı,
(3 − a)2 = b − 4. (1)
Por otro lado, para que f sea derivable necesitamos que
f (x) − f (3)
l´
ım
x→3 x−3
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exista. Cuando x → 3+ se tiene que
f (x) − f (3) b − (x − 5)2 − (3 − a)2
l´
ım = l´
ım .
x→3+ x−3 x→3+ x−3
Usando la condici´n (1), se tiene que
o
f (x) − f (3) b − (x − 5)2 − (b − 4) −x2 + 10 − 21 −(x − 3)(x − 7)
l´
ım = l´
ım = l´
ım = l´
ım = 4.
x→3+ x−3 x→3 + x−3 x→3 + x−3 x→3 + x−3
Cuando x → 3− se tiene que
f (x) − f (3) (x − a)2 − (3 − a)2 ′
l´
ım = l´
ım = (x − a)2 = 2(x − a)|x=3+ = 2(3 − a).
x→3− x−3 x→3+ x−3 x=3+
Finalmente, para que el l´
ımite exista es necesario que
2(3 − a) = 4 ⇒ a = 1.
Reemplazando en (1) se tiene que (3 − 1)2 = b − 4 ⇒ b = 8.
Problema 4. Para calcular estas derivadas, recordar la regla de la cadena f ◦g(x)′ = f ′ (g(x))g′ (x).
As´
ı,
i) Derivando,
′ ′
cos2 (2x2 + 2x + 1) = 2 cos 2x2 + 2x + 1 · cos 2x2 + 2x + 1
′
= 2 cos 2x2 + 2x + 1 · − sin 2x2 + 2x + 1 · 2x2 + 2x + 1
= −2 cos 2x2 + 2x + 1 sin 2x2 + 2x + 1 (4x + 2) .
ii) Derivando,
√ √
√
arctan( x)
′ √
arctan( x) √ ′ earctan( x) √ ′ earctan( x)
e =e · arctan x = √ 2 · x = √ .
x +1 2 x (x + 1)
iii) Notamos que
xx = exp (ln (xx )) = exp (x ln x) = ex ln x .
As´
ı,
′
(xx )′ = ex ln x = ex ln x (x ln x)′ = xx (x)′ ln x + x (ln x)′ = xx (1 + ln x) .
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Problema 5. Por la definici´n de derivada,
o
f (x + h) − f (x) f (x)f (h) − f (x)
f ′ (x) = l´
ım = l´
ım
h→0 h h→0 h
f (h) − 1 hg(h) + 1 − 1
= f (x) l´
ım = f (x) l´
ım
h→0 h h→0 h
= f (x) l´ g(h) = f (x).
ım
h→0
Que es lo que se quer´ probar.
ıa
Problema 6. Notemos que
f (h) − f (0) g(h) sin(1/h)
f ′ (0) = l´
ım = l´
ım .
h→0 h h→0 h
Ahora,
g(h) g(h) − g(0)
l´
ım = l´
ım = g′ (0) = 0.
h→0 h h→0 h
Luego,
g(h) sin(1/h)
f ′ (0) = l´
ım = 0,
h→0 h
pues sin(1/h) est´ acotado.
a
Problema 7. Las rectas tangentes a f, g, en x = c est´n dadas por
a
y = f ′ (c)x + n1 ; y = g′ (c)x + n2 ,
respectivamente, con n1 , n2 constantes por determinar. Para que ambas rectas coincidan se
necesita que sus pendientes sean iguales, es decir que
1
f ′ (c) = g′ (c) ⇒ 3kc2 = ⇒ 3kc3 = 1. (2)
c
Por otro lado, para que las gr´ficas se intersequen en x = c es necesario que
a
f (c) = g(c) ⇒ kc3 = ln c. (3)
Reemplazando (2) en (3) se obtiene
1 1
= ln c ⇒ c = e 3 (4)
3
Finalmente, reemplazando (4) en (2) tenemos que
1
k= .
3e
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