El documento presenta una serie de ejercicios relacionados con el cálculo de derivadas. En la primera sección se piden derivadas de funciones dadas. La segunda sección contiene ejercicios sobre derivadas de funciones implícitas. La tercera sección incluye problemas más complejos sobre derivadas de funciones compuestas y derivadas de orden superior.

1. CAPITULO 3: La Derivada
Ejercicios Propuestos 3.1
1) a) 2.5 b) 2.3 c) 2.1 d) f ´( 2 ) = 2
1
2) f ´( 3 ) =
2
3) a) f ´( x ) = 3 b) f ´( x ) = −2 c) f ´( x ) = 2 x + 2 d) f ´( x ) = −4 x + 1
e) f ´( x ) = 6 x
2
f) f ´(x) = −3
2
(3x + 2) − 32
Ejercicios Propuestos 3.2
1) f ´(1) = 2 2) No existe 3) No existe 4) a = 6 , b = −4
5) a = 3 , b = −1 6) a = c − 2 ∧ b = 3 − 2c ∧ c∈R
Ejercicios Propuestos 3.3
2
a) f ´( x ) = 4 x
− 23
1) 3
+
− 3e x
x
b) f ´( x ) = 5 x + 3 x + 4 x
4 2
c) f ´( x ) = 2 x + cos x (1 − x − cos x ) − senx (1 + x − senx )
x 2 − 1 cos x ( x + 1)
2
d) f ´( x ) = 2
−
x senx xsen 2 x
e x ⎡(1 + x )( senx + 1) − x cos x ⎤
⎣ ⎦
e) f ´( x ) =
( senx + 1)
2
xe x
f) f ´( x ) = ⎡( x + 2 ) ln x + 1⎤
2 ⎣ ⎦
2) y = 4 x + 1
13
3) y = −3 x +
4
4) y = 2 x + 1 ; y = −2 x + 9
5) y = 12 x + 81 ; y = 12 x − 44
6) P (3,9)
7) 3 5
8) 50!
10
9)
49
Ejercicios Propuestos 3.4
x −1 −x
1. a) f ´( x ) = b) f ´( x ) =
( 2 x − 3)
3
x2 − 2x + 2 2
4e 2 x 2x
c) f ´( x ) = d) f ´( x ) =
(e + 1) (x − 1) (x + 1)
2 1 3
2x 2 2 2 2
⎛ senx ⎞ ⎛ cos x cos 2 x + 2 senxsen 2 x ⎞
2
e) f ´( x ) = 3 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ cos 2 x ⎠ ⎝ cos 2 2 x ⎠
2x 8
f) f ´( x ) = g) f ´( x ) =
( x + 1) ln ( x + 1) x ( x − 4)
2 2

2. − (sin 4 x ) e 1+ cos 2 2 x
3. ( f g )´(x) =
1 + cos 2 2 x
4. a) 4 b) −8 c) 2 d) -10 e) −6
5. 16
Ejercicios Propuestos 3.5
1. a)
d4
dx 4
[cos(x )] = 48x sin (x )+ (16x
2 2 2 4
) ( )
− 12 cos x 2
d 2 ⎡ xsen2 (πx ) ⎤ 2π (sin 2πx + πx cos 2πx )
b) ⎢ ⎥=
dx 2 ⎢ 1 + x ⎥
⎣ ⎦ (1 + x )3
c)
dx n
dn
[ ]
xe x = ne x + xe x
n⎛ 5 ⎞ 5 (n!)
d) Dx ⎜ ⎟=
⎝ 4 − x ⎠ (4 − x )n +1
n ⎡1 + x⎤ 2(n!) 30 ⎡ 1 +x⎤ 2(30!)
e) Dx ⎢ ⎥= entonces Dx ⎢1 − x ⎥ =
⎣ 1 − x ⎦ (1 − x )n +1 ⎣ ⎦ (1 − x )31
⎧(− 1) +1 (n sin x + x cos x ) ;
n +1
dn
[x sin x] = ⎪
2 si n es impar
f) ⎨ entonces
dx n ⎪(− 1) +1 (n cos x − x sin x ) ;
n
⎩ 2 si n es par
d 35
[x sin nx] = −35 sin x − x cos x
dx35
d ⎡ d 2 ⎛ 1 ⎞⎤ 2(1 − 2 x )
2. ⎢x ⎜ ⎟⎥ =
dx ⎢ dx 2 ⎝ 1 + x ⎠⎥ (1 + x )4
⎣ ⎦
3. an (n!)
4. p( x ) = 2 x − 3 x + 3 x − 1
3 2
Ejercicios Propuestos 3.6
y y
1. a) y´= − 3 b) y´= −
x x ( y + 1)
y 2e xy y
c) y´= − d) y´=
xye xy + 1 sec y tan y + sec2 y − x
2y
e) y´= −
(
x 2+ y )
3. y = −5
3 x+ 8 4. y = x − 2 5. y = − x + 2
5
6. y = − x + 2 7. x = 0 8. y = 3 x
2
48 xy 2 − 9 x 4 1
9. (1,1) 10. y´´= 11. y´´= 4 1
3
64 y 3x 3 y 3
12. y´´= −3

3. Ejercicios Propuestos 3.7
t +1
1. a) y´= tan(t ) b) y´=
(
t t2 +1 )
2. y = x + 4 −π a 3. y = 3x − 1 4. y = 3 x + 41
2 8 8
5. y = 5 x 6. a) y´´= cos t , b) y´´´= cos t
Ejercicios Propuestos 3.8
1. y = 2x − 2 2. y = − 3x + 8 3. y = − 3 x + 2 2
4. y − 3 3 =
12 3 + 3
2
x− 3
12 − 3 3
( 2
)
Ejercicios Propuestos 3.9
1. 1 2. 1 3. 2 4. 3
16 5 3
5. x − 5 y + 5 = 0 6. x − 11 y − 9 = 0 7. 2ax + y − 2a (a + 1) = 0 8. 3
9. a) y´= arcsin x +
x
−
1
b) y´= arctg x (2 )
1 − x2 x2 + 1
c) y´=
4
d) y´= e
(
arctg x 3 + senx )⎡
⎢ 3x 2 + cos x ⎤⎥
3 cos x + 5
⎣ (
⎢1 + x3 + senx 2 ⎥
⎦ )
Ejercicios Propuestos 3.10
sec5 x 3 tgx + 1 ⎡ 1 sec x 3 x 2 csc x3ctgx3 ⎤
1. a) y´= ⎢5tgx + + ⎥
csc x3 − 4 ⎢ ⎣ 3 senx + cos x 2 csc x3 − 4 ⎥ ⎦
1 − x2 ⎡ 3 20 + 15 x3 ⎤
3
4 2 x
b) y´= x3 cos 4 x ⎢ − tg 4 x − − ⎥
( 5 4x
4 x − x3 ⎢
⎣ )
3 1− x 2
4 x + x3 ⎥⎦
⎡ ⎤
⎢ ⎥⎡ ⎤
⎢ 1 2 xe x2 2 3 ⎥⎢ x −1 ⎛ 2 ⎞⎥
c) y´= ⎢ + − − ⎥⎢ arcsen⎜ e x ⎟⎥
⎢ 2(x − 1) 3(x + 2) 2(x + 3) ⎥ ⎢ 3 ⎜ ⎟⎥
⎛ x2 ⎞ ⎥ ⎢ (x + 2)2 (x + 3)3 ⎝ ⎠
2
⎢ arcsen⎜ e ⎟ 1 − e 2 x ⎥
⎢ ⎜ ⎟ ⎥⎣ ⎦
⎣ ⎝ ⎠ ⎦
x ⎡ 1⎤
d) y´= x 3 3 x ⎢ln 3 ln x + ⎥
⎣ x⎦
⎡n ⎤
e) y´= x n n x ⎢ + ln n ⎥
⎣x ⎦
⎧ ⎡ ⎤⎫
⎪ ⎡ ⎢ ⎥⎪
⎪ 2 ⎤
⎪ 2 arctan x ⎢ arcsin(sin x) ⎥ ⎢ 1 1 ⎪
⎥⎪
f) y´= y ⎨ ln + 2 arctan 2 x sin x cos x ⎢ − ⎥⎬
⎢ ⎥
⎪ 1 + x2 ⎢ arccos
⎥ ⎢ ⎛ 2 ⎞ 4 x arccos⎛ cos 2 x ⎞ 1 − cos 4 x ⎥⎪
⎪ ⎣ ⎦ ⎢ arcsin⎜ sin x ⎟ 1 − sin ⎜ ⎟ ⎥⎪
⎪
⎩ ⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎦⎪
⎭
⎡ ⎤
(
g) y´= arcsin 1 + e 2 x( ) sec x ⎢
(
sec x tan x ln arcsin 1 + e 2 x +( ) 2 sec xe x ⎥
⎢
⎢
⎣ (
arcsin 1 + e 2 x − 2 + e 2 x ) ( ) ⎥
⎥
⎦
⎡ 3 cos 3 x arctan(cos 3 x ) 3 sin 3 x ln(ln(sin 3 x )) ⎤
h) y´= [ln(sin 3 x )]arctan(cos 3 x ) ⎢ − ⎥
⎣ ln(sin 3 x ) sin 3 x 1 + cos 2 3 x ⎦
2 x (x + y ) − y x 2 + y 2 ( )
i) y´=
(x + y )(x 2 ) (
+ y 2 ln (x + y ) + y x 2 + y 2 − 2 y (x + y ) )
( x⎡
) (
j) y´= 1 + x 2 ⎢ln 1 + x 2 +
⎢
2x2 ⎤
⎥
1 + x2 ⎥
)
⎣ ⎦

4. 2. (ln 2)x − y + 1 = 0
3. x+ y−2 = 0
4. 14
Misceláneos
1. a) V b) V c) F d) V e) V
f) V g) V h) V i) F j) F
k) F l) F m) V n) F o) V
p) F q) F r) F s) F t) V
u) V v) F w) F
2. a) y´=
( )
cos y − 2 xy 2 + 2 x sin x 2 + y 2 ecos (x
) 2
+ y2
2 x y − 2 y sin (x + y )e (
2 ) + x sin y
2 2 cos x 2 + y 2
⎡ ln (x + 1) 2 x ln x ⎤
b) y´= (x + 1) ⎢
ln x 2
+
(x + 1)⎥⎥⎦
2
2
⎢
⎣ x
cos(ln (cos x + e ))ln (cos x + e )(3e − sin x )
2 3x 3x 3x
c) y´=
sin (ln (cos x + e ))(cos x + e )
2 3x 3x
1
d) y´= 3
x y 1
2 + − y 2 arctan
y y2 + 1 y
⎛ x e ⎞ xx x x
e) y´= x ⎜ e ln x +
ex ⎟ + e x (ln x + 1)
⎜ x ⎟
⎝ ⎠
f) y´=
cos x + x
−
(2 )
x + 1 sin x + x
2 x 4 x+ x
6
g) y´=
4 − 9 x2
x2 + 2 1 + arctan x ⎡ x
3
1⎛ 1 ⎞ 1 1 ⎛ ex ⎞⎤
h) y´= ⎢ + ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟⎥
4
1 + ex ⎢ x + 2 3 ⎝ 1 + arctan x ⎠ 1 + x
2 2 4 ⎜ 1 + ex
⎝
⎟⎥
⎠⎦
⎣
⎡ 2x ⎤
y´= ( sin 3 x ) ⎢1 + x 4 ln ( sin 3x ) + 3arctan x cot an3x ⎥
arctan x 2 2
i)
⎣ ⎦
2
x
1 2 arctan x earctan
j) y´= +
x 1 − ln 2 x 1 + x2
x( y − x )
k) y´=
2 x 2 + xy + y 2
l) y´= e
tan x
(sec 2
x tan e x + e x sec2 e x )
2 y
−
x x+ y
m) y´=
ln (x + y ) +
y
x+ y
3. 2 f ( x) f ´(x )
4. a = 2c ∧ b = 1 ∧ d = c + 1 ∧ c ∈ R
5. y = −2 x + 2 3
[
6. Dx (g
e
f )](1) =
2
7. y = x ∧ y = − x
8. y = −6 x + 5

5. 9. f es derivable en (−1,0 ) ∪ (0,1) ∪ (1,2 )
10. k = −8 ∨ k = 3
d3 y
11. = − 1− t2
dx 3
d3y 1
12. =−
dx3 t =1
8
13. a = −3 , b = −4 , c = 1
14. y = 2 x − 2
3 3
15. y = 1 x + 3
2 2
2
d y 2
16. =
dx 2
e (cos t − sin t )3
t
dy
17. =π2 −2
dx
2
18. f ´(1) =
27
3
19. y = x − 2a⎜
⎛ 2⎞
⎟
⎝ 2 ⎠
20. a = c + 1 ∧ b = 1 ∧ c ∈ R
21 y = x + 1
22. y = 6 x − 6
23. y = − 1 x + 3
2 2
24. y = 3x − 1
25. De F (x ) tenemos F ´(x) = cos x f (cos x ) − sin x f ´(cos x )
2
y como F ´(− x) = cos(− x ) f (cos(− x )) − sin 2 (− x ) f ´(cos(− x )) = F ( x)
Por tanto F ´(x) es PAR
26. k = −7
d 50 ⎡ 1 − x ⎤ 2(50!)
27. ⎢ ⎥=
dx50 ⎣1 + x ⎦ (1 + x )51
28. y = − x + 3
29. y = − x − 1
4
⎡ d −1 ⎤
f ⎥ (4 ) =
1
30. ⎢
⎣ dx ⎦ 15