Este documento presenta definiciones y propiedades relacionadas con los límites de funciones. Define el límite de una función cuando x tiende a un valor a y presenta propiedades como que el límite de una función constante es la constante, el límite de una función identidad es el valor al que tiende x, y el límite de la suma o diferencia de funciones es la suma o diferencia de sus límites individuales. También incluye ejemplos de cálculo de límites usando estas propiedades.
En esta presentación se trabaja desde la idea intuitiva del límite, hasta el cálculo de las indeterminaciones y sus aplicaciones directas en cuanto al calculo de asíntotas y el estudio de la continuidad de funciones y especialmente de los tipos de discontinuidad
En esta presentación se trabaja desde la idea intuitiva del límite, hasta el cálculo de las indeterminaciones y sus aplicaciones directas en cuanto al calculo de asíntotas y el estudio de la continuidad de funciones y especialmente de los tipos de discontinuidad
Presentación para ser utilizada como introducción al tema de las funciones lineales, su expresión algebraica y sus características con algunos gráficos para su comprensión y entendimiento. Nivel de educación media, curso 10 y 11
Explicación y presentación de ejemplos del concepto del límite. Incluye estudio de los métodos númerico, gráfico y algebraico para hallar el límite de una función. Curso Cálculo I. Dr. Juan R. Mejías Ortiz.
Presentación para ser utilizada como introducción al tema de las funciones lineales, su expresión algebraica y sus características con algunos gráficos para su comprensión y entendimiento. Nivel de educación media, curso 10 y 11
Explicación y presentación de ejemplos del concepto del límite. Incluye estudio de los métodos númerico, gráfico y algebraico para hallar el límite de una función. Curso Cálculo I. Dr. Juan R. Mejías Ortiz.
Cálculo Diferencial, se abordarán el concepto del límite de forma informal, para establecer la notación y la existencia del límite cuando sus límites laterales son iguales.
Introducción a vectores
Análisis vectorial
Producto interno de vectores
Producto vectorial
Método del paralelogramo
Método del polígono
Descomposición rectangular de vectores
Guía para desarrollar la primera sesión de aprendizaje de Física utilizando el enfoque indagatorio.
Compartamos nuestras experiencias.
Espero sugerencias.
Gracias colegas.
Today is Pentecost. Who is it that is here in front of you? (Wang Omma.) Jesus Christ and the substantial Holy Spirit, the only Begotten Daughter, Wang Omma, are both here. I am here because of Jesus's hope. Having no recourse but to go to the cross, he promised to return. Christianity began with the apostles, with their resurrection through the Holy Spirit at Pentecost.
Hoy es Pentecostés. ¿Quién es el que está aquí frente a vosotros? (Wang Omma.) Jesucristo y el Espíritu Santo sustancial, la única Hija Unigénita, Wang Omma, están ambos aquí. Estoy aquí por la esperanza de Jesús. No teniendo más remedio que ir a la cruz, prometió regresar. El cristianismo comenzó con los apóstoles, con su resurrección por medio del Espíritu Santo en Pentecostés.
2. Definición de límite
Se dice que el número real L es el límite de f(x) cuando
x tiende a a, al cual denotaremos por:
límx a
f(x) = L
Propiedades:
a) Límite de una función constante. Si c es una constante,
entonces para cualquier número a, en la función f(x) = c,
se tiene:
>0, >0/0<|x – a|<,|f(x) – L|<
límx a
f(x) = límx a
c = c
límx a
f(x) = límx a
5 = 5
3. b) Límite de una función identidad. Si f(x) = x, se tiene:
límx a
f(x) = límx a
x = a
lím
x 4
f(x) = lím
x 4
x = 4
c) Límite de una función lineal. Sean m y b dos constantes
cualesquiera, entonces:
límx a
f(x) = límx a
(mx + b) = ma + b
lím
x 3
f(x) = lím
x 3
(2x + 4) =
4. d) Límite de la suma y la diferencia de dos funciones. Si:
límx a
f(x) g(x) = L M
Dados: f(x) = 2x + 3 y g(x) = 5x – 7; hallar:
lím
x a
f(x) = L y lím
x a
g(x) = M
lím
x 1
f(x) + g(x) =
5. e) Límite del producto de dos funciones. Si:
límx a
f(x) . g(x) = L . M
Dados: f(x) = 2x + 5 y g(x) = 3x – 1; hallar:
lím
x a
f(x) = L y lím
x a
g(x) = M; entonces:
lím
x -2
f(x) + g(x) =
6. f) Límite de la enésima potencia de una función. Si:
límx a
f(x)n = Ln
Si: f(x) = 5x + 7; hallar:
lím
x a
f(x) = L y n Z; entonces:
lím
x -2
f(x)4 =
7. g) Límite del cociente de dos funciones.
límx a
f(x)
Si: f(x) = x y g(x) = -7x + 8; hallar:
límx a
f(x) = L y
=
Si: lím
x a
g(x) = M; entonces:
g(x) L
M
; si M 0
lím
x 4
f(x)
=g(x)
8. h) Límite de la raíz enésima de una función.
límx a f(x) = L
Hallar:
lím
x a
f(x) = L y n Z; entonces:
lím
x 3
x + 5
n n Con la restricción de que si n es par,
L > 0
7x + 6
3
9. i) Unicidad del límite de una función.
El límite de una función si existe, es único,
es decir:
límx a
f(x) = L1 ySi: lím
x a
f(x) = L2 L1 = L2
límx a
f(x) = L, si y sólo si,Si: lím
t 0
f(t + a) = L
10. j) Teorema de Sandwich.
Sean f(x), g(x) y h(x), tres funciones, tales
que:
límx a
g(x) = L
i) f(x) g(x) h(x); x a, y
ii) f(x) = h(x) = Llímx a
límx a
Entonces se cumple:
11. Ejercicios
Mediante la definición de límite demostrar que:
1. lím
x 2
5x2 - 20
= 20 x - 2
Sabemos que:
límx a
f(x) = L >0, >0/0<|x – a|<,|f(x) – L|<
12. 2. lím
x 2 (4x – 5) = 3
Sabemos que:
límx a
f(x) = L >0, >0/0<|x – a|<,|f(x) – L|<
13. 3. lím
x 3 (7 - 3x) = -2
Sabemos que:
límx a
f(x) = L >0, >0/0<|x – a|<,|f(x) – L|<
14. 4. lím
x 3
x2 - 9
= 6 x - 3
Sabemos que:
límx a
f(x) = L >0, >0/0<|x – a|<,|f(x) – L|<
26. Cálculo de límites laterales
a. Límite por la derecha.
Sea f una función definida en
cada número del intervalo
abierto a, c. Entonces, el
límite de f(x), conforme x
tiende a a por la derecha, es L
y se denota:
límx a+
f(x) = L>0, >0/0< x – a < , |f(x) – L|<
27. Sea f una función definida en
cada número del intervalo
abierto d, a. Entonces, el
límite de f(x), conforme x
tiende a a por la izquierda, es
L y se denota:
límx a-
f(x) = L>0, >0/0< |x – a| < , |f(x) – L|<
b. Límite por la izquierda.
28. Teorema fundamental
El lím f(x) existe y es igual a L,x a
si y sólo si, ylím
x a-
f(x) lím
x a+
f(x)
existen y son iguales a L.
29. Ejercicios
01. El costo total en nuevos soles de un pedido
de x kilogramos de un producto es:
C(x) =
2x, si 0 x 10
1,8x, si x > 10
Calcular si existe el lim C(x)
x 10
10
1,8x
Por la derechaPor la izquierda
2x
30. 02. Calcular si existe, el donde:
f(x) =
si x 5
si x < 5
lím
x 5 f(x)
31. 03. Calcular el límite de la función máximo
entero (parte entero o mayor entero) f(x) = x
cuando x tiende a cero por la izquierda y por la
derecha.
32. 04. Calcular si existe, el , si:
x + |1 – x|
x2 + 1
lím
x 1 f(x)
lím
x 1
33. x -1| – x
x2 - x|
lím
x -3
f(x)
lím
x -3
05. Calcular si existe, el , si:
88. Límite de funciones exponenciales
a) Función exponencial
Si b > 0 b 1, entonces una función
exponencial es:
y = f(x) = bx
El dominio de una función exponencial es el
conjunto de números reales. Df = R
Rf = 0, +
El eje x, es decir, y = 0, es una asíntota
horizontal para la gráfica de f.
89. Ejemplo 1
Grafique la
función: y = f(x)
= 2x.
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
6.5
7
7.5
8
8.5
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
Gráfico de la función exponencial f(x) = 2x
Cuando la base b > 1
límx -
bx
= 0
límx +
bx
= +
Asíntota horizontal
90. Ejemplo 2
Grafique la
función: y = f(x)
= (1/2)x.
Cuando la base
0 < b < 1
límx -
bx
= +
límx +
bx
= 0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
-2 -1 0 1 2 3 4
Gráfico de la función exponencial f(x) = (1/2)x
Asíntota horizontal
91. b) Función logarítmica
La función logarítmica con base b > 0 b
1, se define por:
y = logb(x), si y sólo si, x = by
Dominio: Df = 0; + Rango: Rf = R
El eje y, es decir, x = 0, es una asíntota
vertical para la gráfica de f.
La función f es uno a uno.
92. Utilizando la propiedad principal,
y = logb(x), si y sólo si, x = by
y = logb(x) = logb(by)
x = blogb(x)
se infieren:
2 = 10log2(10)
93. c) Logaritmo natural
Es el logaritmo con base e > 0 e 1, y se
define como:
y = ln(x), si y sólo si, x = ey
Además:
ln(1) = 0, si y sólo si, e0 = 1
ln(e) = 1, si y sólo si, e1 = e
94. Gráfica de y = f(x) = log2(x)
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Gráfico de la función logarítmica f(x) = log2x
Cuando la base
b > 1
límx + logb(x) = +
límx 0 = -logb(x)
Asíntotavertical
95. d) El número e
Ideado por John Napier en 1618 y
popularizado por Leonard Euler (1736).
e también es límite de la sucesión:
Haciendo: h = 1/x, si x tiende , h tiende a 0.
96. e) Cálculo de los límites de la forma:
f) Para funciones logarítmicas:
106. Derivada de funciones exponenciales y logarítmicas
i) Si y = e f(x) = e f(x) . f ’(x)
d( y)
dx
ii) Si y = ln[ f(x)]
f ’(x)d( y)
dx f (x)
=
iii) Si y = ax
d( y)
dx
ax.ln(a)=
iv) Si y = a f(x)
d( y)
dx
a f(x). f ’(x).ln(a)=
107. Casos especiales de funciones exponenciales y logarítmicas
i) ln(ex) = x ii) eln(x) = x
1
x1 +( )
x
lím
x +∞
= eiii)
1 + x( )
1/x
lím
x 0
= eiv)
x1 +( )
x
lím
x +∞
= ev)
108. Casos especiales de funciones exponenciales y logarítmicas
ax - 1
x( )lím
x 0
= ln(a)vi) Si a >1 a 1
ex - 1
x( )lím
x 0
= 1vii)
119. Asíntotas de una función
a) Si una recta L y un punto A que se desplaza a lo
largo de la curva C: y = f(x), la distancia entre la
recta L y el punto A de la curva tiende a cero,
cuando el punto A tiende al infinito; en este caso, la
recta L se denomina asíntota de la curva C.
120. b) La recta x = a, es una asíntota vertical de la
curva C: y = f(x), si se cumple una de las
siguientes relaciones:
i) lím
x a
f(x) = ±∞
ii) lím
x a+
f(x) = ±∞
iii) lím
x a-
f(x) = ±∞
-∞
+∞
121. c) La recta y = k, es una asíntota horizontal de
la curva C: y = f(x), si se cumple una de las
siguientes relaciones:
i) lím
x +∞
f(x) = k
ii) lím
x -∞
f(x) = k
iii) lím
x ∞
f(x) = k
Asíntota horizontal
122. d) La recta y = mx + b, es una asíntota oblicua
de la curva C: y = f(x), si se cumple que:
i) lím
x +∞
[f(x) – (mx + b)] = 0
ii) lím
x -∞
[f(x) – (mx + b)] = 0
Formas de encontrar los valores de “m” y “b”.
f(x)lím
x ±∞( )xm =
[f(x) – mx]lím
x ±∞b =
123. 01. Halla las asíntota de la función:
x2 + x - 1
x - 3y = f(x) =
