Este documento presenta definiciones y propiedades relacionadas con los límites de funciones. Define el límite de una función cuando x tiende a un valor a y presenta propiedades como que el límite de una función constante es la constante, el límite de una función identidad es el valor al que tiende x, y el límite de la suma o diferencia de funciones es la suma o diferencia de sus límites individuales. También incluye ejemplos de cálculo de límites usando estas propiedades.

1. LÍMITES Y CONTINUIDAD
MATEMÁTICA 1

2. Definición de límite
Se dice que el número real L es el límite de f(x) cuando
x tiende a a, al cual denotaremos por:
límx  a
f(x) = L
Propiedades:
a) Límite de una función constante. Si c es una constante,
entonces para cualquier número a, en la función f(x) = c,
se tiene:
 >0, >0/0<|x – a|<,|f(x) – L|< 
límx  a
f(x) = límx  a
c = c
límx  a
f(x) = límx  a
5 = 5

3. b) Límite de una función identidad. Si f(x) = x, se tiene:
límx  a
f(x) = límx  a
x = a
lím
x  4
f(x) = lím
x  4
x = 4
c) Límite de una función lineal. Sean m y b dos constantes
cualesquiera, entonces:
límx  a
f(x) = límx  a
(mx + b) = ma + b
lím
x  3
f(x) = lím
x  3
(2x + 4) =

4. d) Límite de la suma y la diferencia de dos funciones. Si:
límx  a
f(x)  g(x) = L  M
Dados: f(x) = 2x + 3 y g(x) = 5x – 7; hallar:
lím
x  a
f(x) = L y lím
x  a
g(x) = M
lím
x  1
f(x) + g(x) =

5. e) Límite del producto de dos funciones. Si:
límx  a
f(x) . g(x) = L . M
Dados: f(x) = 2x + 5 y g(x) = 3x – 1; hallar:
lím
x  a
f(x) = L y lím
x  a
g(x) = M; entonces:
lím
x  -2
f(x) + g(x) =

6. f) Límite de la enésima potencia de una función. Si:
límx  a
f(x)n = Ln
Si: f(x) = 5x + 7; hallar:
lím
x  a
f(x) = L y n  Z; entonces:
lím
x  -2
f(x)4 =

7. g) Límite del cociente de dos funciones.
límx  a
f(x)
Si: f(x) = x y g(x) = -7x + 8; hallar:
límx  a
f(x) = L y
=
Si: lím
x  a
g(x) = M; entonces:
g(x)  L
M
; si M  0
lím
x  4
f(x)
=g(x) 

8. h) Límite de la raíz enésima de una función.
límx  a f(x) = L
Hallar:
lím
x  a
f(x) = L y n  Z; entonces:
lím
x  3
x + 5
n n Con la restricción de que si n es par,
L > 0
7x + 6
3

9. i) Unicidad del límite de una función.
El límite de una función si existe, es único,
es decir:
límx  a
f(x) = L1 ySi: lím
x  a
f(x) = L2  L1 = L2
límx  a
f(x) = L, si y sólo si,Si: lím
t  0
f(t + a) = L

10. j) Teorema de Sandwich.
Sean f(x), g(x) y h(x), tres funciones, tales
que:
límx  a
g(x) = L
i) f(x)  g(x)  h(x); x  a, y
ii) f(x) = h(x) = Llímx  a
límx  a
Entonces se cumple:

11. Ejercicios
Mediante la definición de límite demostrar que:
1. lím
x  2
5x2 - 20
= 20 x - 2
Sabemos que:
límx  a
f(x) = L  >0, >0/0<|x – a|<,|f(x) – L|< 

12. 2. lím
x  2 (4x – 5) = 3
Sabemos que:
límx  a
f(x) = L  >0, >0/0<|x – a|<,|f(x) – L|< 

13. 3. lím
x  3 (7 - 3x) = -2
Sabemos que:
límx  a
f(x) = L  >0, >0/0<|x – a|<,|f(x) – L|< 

14. 4. lím
x  3
x2 - 9
= 6 x - 3
Sabemos que:
límx  a
f(x) = L  >0, >0/0<|x – a|<,|f(x) – L|< 

15. Aplicando las propiedades, calcularlos siguientes
límites:
5. lím
x  -1 = 3x3 – 6x2 - 9x
x3 – 5x2 - 3x - 3

16. 6. lím
x  2 = x2 - 4
x4 + x3 - 24

17. 7. lím
x  2 = x - 2
x3 - 4 - 2

18. 8. lím
x  4 = x2 - 3x - 4
2x + 1 - 3

19. 9. lím
x  4 =  5 - x - 1
x + 5 - 3

20. 10. lím
x  1 = 2x – 1 - x
3x - 2 + x - 5x -1

21. 11. lím
x  1 = x – 1
x2 - x

22. 12. lím
x  0 = x + x2
1 + x2 - 1 - 2x
3 4

23. Teorema de Sandwich
1. Calcular: lím
x  2
g(x)
Si: f(x)  g(x)  h(x)
Además: f(x) =
x – 2
x2 - 4 h(x) =
|x| + x
(x + 2)2
y

24. 2. Calcular:
Si: f(x)  g(x)  h(x)
Además: f(x) =
x2 - 2x
x2 - 2x + 1
h(x) =
y
lím
x  0
g(x)
x3 - 2x2 – 4x
x2 + 2x + 2

25. 1. lím
x  1
= x4 + 2x - 3
x4 + 3x3 + 7x2 - 5x - 6
Trabajo grupal
2. lím
x  2 = x - 2
3x - 2 + x + 6 - 4
3

26. Cálculo de límites laterales
a. Límite por la derecha.
Sea f una función definida en
cada número del intervalo
abierto a, c. Entonces, el
límite de f(x), conforme x
tiende a a por la derecha, es L
y se denota:
límx a+
f(x) = L>0, >0/0< x – a < , |f(x) – L|< 

27. Sea f una función definida en
cada número del intervalo
abierto d, a. Entonces, el
límite de f(x), conforme x
tiende a a por la izquierda, es
L y se denota:
límx a-
f(x) = L>0, >0/0< |x – a| < , |f(x) – L|< 
b. Límite por la izquierda.

28. Teorema fundamental
El lím f(x) existe y es igual a L,x a
si y sólo si, ylím
x a-
f(x) lím
x a+
f(x)
existen y son iguales a L.

29. Ejercicios
01. El costo total en nuevos soles de un pedido
de x kilogramos de un producto es:
C(x) =
2x, si 0  x  10
1,8x, si x > 10
Calcular si existe el lim C(x)
x 10
10
1,8x
Por la derechaPor la izquierda
2x

30. 02. Calcular si existe, el donde:
f(x) =
si x  5
si x < 5
lím
x  5 f(x)

31. 03. Calcular el límite de la función máximo
entero (parte entero o mayor entero) f(x) = x
cuando x tiende a cero por la izquierda y por la
derecha.

32. 04. Calcular si existe, el , si:
x + |1 – x|
x2 + 1
lím
x  1 f(x)
lím
x  1

33. x -1| – x
x2 - x|
lím
x  -3
f(x)
lím
x  -3
05. Calcular si existe, el , si:

34. lím
x  0
f(x)06. Calcular si existe, el , si:

35. x y
-0.125 0
-0.12 -0.14
-0.1 -0.3
-0.075 -0.4
-0.05 -0.46
-0.04 -0.47
-0.035 -0.48
-0.03 -0.49
-0.02 -0.49
-0.01 -0.50
-0.005 -0.50
-0.0005 -0.50
-0.00005 -0.50
0.00005 0.50
0.0005 0.50
0.005 0.50
0.01 0.50
0.02 0.49
0.03 0.49
0.035 0.48
0.04 0.47
0.05 0.46
0.07 0.41
0.075 0.4
0.08 0.38
0.1 0.3
0.12 0.14
0.125 0
16
4
1
)( 2

x
xxf
-0.75
-0.5
-0.25
0
0.25
0.5
0.75
-0.15 -0.125 -0.1 -0.075 -0.05 -0.025 0 0.025 0.05 0.075 0.1 0.125 0.15
Gráfica de f(x) = x1/(4x2) - 16

36. lím
x  0
f(x)07. Calcular si existe, el , si:
3x +|x|
7x - 5x|
lím
x  0

37. lím
x  1
f(x)08. Calcular si existe, el , donde:
f(x) =
si x > 1
si x < 1


38. Cálculo de límites indeterminados
a) Primer caso: Indeterminación
01. Halle: x2 - 9
x - 3
lím
x  3

39. 02. Halle: 6x2 + 12x - 18
2 x - 2
lím
x  1

40. 03. Halle: t - 3
t + 1 - 2
lím
t  3

41. 04. Halle: 3 - xlím
t  3
(x - 3)2

42. 05. Halle: lím
t  4
x - 4
x + 5 - 3

43. 06. Halle: lím
t  2
x - 2
x - 2

44. 07. Halle: lím
t  1
x + 3 - 2
1 - 3x - 2

45. b) Segundo caso: Indeterminación
01. Halle: x3 + 3x2 + x4 + 1lím
x  
x + x3 - 3

46. 02. Halle: x3 + 3x2 - 1lím
x  
5x3 - 2x - 2

47. 03. Halle: 3x2 + 2x - 3lím
x  
x4 + 5x3 - 4x

48. 04. Halle: x2 + x - x2 + 9lím
x  

49. 05. Halle: x4 + x2 + 1 -  x8 + x6 + 1límx  
4

50. c) Tercer caso: Indeterminación  - 
01. Determine el valor de:
lím
x  2

51. 02. Halle: lím
x/2

52. 03. Calcule: (csc x - cot x)límx  0

53. d) Cuarto caso: Indeterminación 0.
01. Halle: lím
x -3

54. 02. Halle: lím
x  0
sen (3x) . csc (3x)

55. 03. Halle: lím
x  2

56. 04. Halle: lím
x/2
tg (x) . cos (x)

57. 01. Halle: lím
x 0
Ejercicios adicionales

58. 02. Halle: lím
z 0

59. lím
x  2
f(x)01. Calcular si existe, el , donde:
x3 - 2x2 - 4x + 8
x - 2|
lím
x  2
02. Halle: (x +  x2 - x3 + 1 )límx  
3
Trabajo grupal
a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2)

60. Repaso
01. Halla el dominio de:

61. 02. Determine el rango de la función f, definida
por:
f(x) = cos (2x) – sen2(x), |x| < /4

62. 03. Calcular (f + g)(x) de las funciones:
f(x) =
x2 + 1, si |x|  2
x, si x > 2

g(x) =
x - 1, si 0  x  3
x + 1, si x < 0

63. 04. Aplicando las propiedades, halla el límite de
la función:
lím
x  1

64. 05. Calcular si existe el siguiente límite:
lím
x  +

65. 06. Calcular si existe el siguiente límite:
lím
x  

66. lím
x  0
sen xi).
Límites trigonométricas
x = 1
lím
x  0
tan xii).
x = 1
lím
x  0
1 - cos xiii).
x = 0
lím
x  0
1 - cos xiv).
x2
=
1
2

67. lím
x  0
sen (2x)
01. x

68. lím
x  0
1 – cos (x)
02.
sen (x)

69. lím
x  0
sen (6x)
03.
x
lím
x  0
sen (ax)
04.
sen (bx)

70. lím
x  2
sen(x - 2)
05.
3x - 6

71. lím
x  1
sen(1 - x)
06.
x - 1

72. lím
x  0
tan (x) – sen (x)
07.
x3

73. lím
x  0
6x – sen (2x)
08.
2x + 3 sen (4x)

74. lím
x  0
cos (mx) – cos (nx)
09.
x2

75. lím
x  0
1 + sen (x) – cos (x)
10.
1 - sen (x) – cos (x)

76. lím
x  0
sen (7x) - sen (3x)
11.
x.cos (x)

77. lím
x  /3
1 - 2cos (x)
12.
 - 3x

78. lím
x  0
cos (x) - cos (sen x)
13.
x2

79. lím
x  0
1 – cos sen (4x)
14.
sen2 sen (3x)

80. lím
x  /4
sen (2x) - cos (x) - 1
15.
sen (x) - cos (x)

81. lím
x  1
arc sen (x – 1/2)
16.
arc tan (x)

82. DESARROLLO DE LA PRACTICA CALIFICADA
01. Halla el dominio de la función:

83. 02. Si x0; , determine el rango de la función
f, cuya regla de correspondencia es:
f(x) = 2.sen (x) - cos (2x)

84. 03. Calcular (f + g)(x) de las funciones:
f(x) =
2x + 1, si x  1
x2 - 2 si x < 0
g(x) =
3x + 1, si x  8
3x3 + 1, si x > 10


85. 04. Aplicando las propiedades, halla el límite de:

86. 05. Halla el límite de:

87. Trabajo grupal
01. Halla el límite de:
02. Calcula el límite de:

88. Límite de funciones exponenciales
a) Función exponencial
Si b > 0  b  1, entonces una función
exponencial es:
y = f(x) = bx
El dominio de una función exponencial es el
conjunto de números reales. Df = R
Rf = 0, +
El eje x, es decir, y = 0, es una asíntota
horizontal para la gráfica de f.

89. Ejemplo 1
Grafique la
función: y = f(x)
= 2x.
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
6.5
7
7.5
8
8.5
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
Gráfico de la función exponencial f(x) = 2x
Cuando la base b > 1
límx  -
bx
= 0
límx  +
bx
= +
Asíntota horizontal

90. Ejemplo 2
Grafique la
función: y = f(x)
= (1/2)x.
Cuando la base
0 < b < 1
límx  -
bx
= +
límx  +
bx
= 0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
-2 -1 0 1 2 3 4
Gráfico de la función exponencial f(x) = (1/2)x
Asíntota horizontal

91. b) Función logarítmica
La función logarítmica con base b > 0  b 
1, se define por:
y = logb(x), si y sólo si, x = by
Dominio: Df = 0; + Rango: Rf = R
El eje y, es decir, x = 0, es una asíntota
vertical para la gráfica de f.
La función f es uno a uno.

92. Utilizando la propiedad principal,
y = logb(x), si y sólo si, x = by
y = logb(x) = logb(by)
x = blogb(x)
se infieren:
2 = 10log2(10)

93. c) Logaritmo natural
Es el logaritmo con base e > 0  e  1, y se
define como:
y = ln(x), si y sólo si, x = ey
Además:
ln(1) = 0, si y sólo si, e0 = 1
ln(e) = 1, si y sólo si, e1 = e

94. Gráfica de y = f(x) = log2(x)
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Gráfico de la función logarítmica f(x) = log2x
Cuando la base
b > 1
límx  + logb(x) = +
límx  0 = -logb(x)
Asíntotavertical

95. d) El número e
Ideado por John Napier en 1618 y
popularizado por Leonard Euler (1736).
e también es límite de la sucesión:
Haciendo: h = 1/x, si x tiende , h tiende a 0.

96. e) Cálculo de los límites de la forma:
f) Para funciones logarítmicas:

97. Calcula los siguientes límites:
01)

98. 02)

99. 03)

100. 04)

101. 05)

102. 06)

103. 07)

104. 08)

105. 09)

106. Derivada de funciones exponenciales y logarítmicas
i) Si y = e f(x) = e f(x) . f ’(x)
d( y)
dx
ii) Si y = ln[ f(x)]
f ’(x)d( y)
dx f (x)
=
iii) Si y = ax
d( y)
dx
ax.ln(a)=
iv) Si y = a f(x)
d( y)
dx
a f(x). f ’(x).ln(a)=

107. Casos especiales de funciones exponenciales y logarítmicas
i) ln(ex) = x ii) eln(x) = x
1
x1 +( )
x
lím
x  +∞
= eiii)
1 + x( )
1/x
lím
x  0
= eiv)

x1 +( )
x
lím
x  +∞
= ev)

108. Casos especiales de funciones exponenciales y logarítmicas
ax - 1
x( )lím
x  0
= ln(a)vi) Si a >1  a 1
ex - 1
x( )lím
x  0
= 1vii)

109. 10) 7x - 1
x
lím
x  0
( )

110. 11) 7x - 5x
x
lím
x  0
( )

111. 12) 9x - 7x
lím
x  0
( )8x - 6x

112. 13) ex - ex
lím
x  0
( )x

113. 14) ex - ex
lím
x  0 ( )sen x – sen x

114. 15) sen 2xlím
x  0 ( )ln (1 + x)

115. 16) lím
x  /2 (1 + cos x)3.sec x

116. 17) lím
x  0
(1 + 3.tan2 x)
cot2 x

117. 18)

118. 01)
Trabajo grupal
02)

119. Asíntotas de una función
a) Si una recta L y un punto A que se desplaza a lo
largo de la curva C: y = f(x), la distancia entre la
recta L y el punto A de la curva tiende a cero,
cuando el punto A tiende al infinito; en este caso, la
recta L se denomina asíntota de la curva C.

120. b) La recta x = a, es una asíntota vertical de la
curva C: y = f(x), si se cumple una de las
siguientes relaciones:
i) lím
x  a
f(x) = ±∞
ii) lím
x  a+
f(x) = ±∞
iii) lím
x  a-
f(x) = ±∞
-∞
+∞

121. c) La recta y = k, es una asíntota horizontal de
la curva C: y = f(x), si se cumple una de las
siguientes relaciones:
i) lím
x  +∞
f(x) = k
ii) lím
x  -∞
f(x) = k
iii) lím
x  ∞
f(x) = k
Asíntota horizontal

122. d) La recta y = mx + b, es una asíntota oblicua
de la curva C: y = f(x), si se cumple que:
i) lím
x  +∞
[f(x) – (mx + b)] = 0
ii) lím
x  -∞
[f(x) – (mx + b)] = 0
Formas de encontrar los valores de “m” y “b”.
f(x)lím
x  ±∞( )xm =
[f(x) – mx]lím
x  ±∞b =

123. 01. Halla las asíntota de la función:
x2 + x - 1
x - 3y = f(x) =

124. -50
-45
-40
-35
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Gráfico de la función: y = (x2 + x -1)/(x - 3)
Curva Asíntota oblicua
Asíntotavertical
Asíntota vertical:
x = 3
Asíntota oblicua:
y = x + 4
Asíntota horizontal:
No existe

125. 02. Halla las asíntota de la función:
2x2 – 5x + 3
x - 1y = f(x) =

126. 03. Halla las asíntota de la función:
2x2 + 5x - 8
x + 3y = f(x) =

127. 04. Halla las asíntota de la función:
x2 + 2x - 8
x2 - 4y = f(x) =

128. 05. Halla las asíntota de la función:
x + 3
x + 2
y = f(x) =

129. 06. Halla las asíntota de la función:
6x2 + 8x - 3
3x2 + 2
y = f(x) =
-3
-2
-1
0
1
2
3
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Gráfica de la función
Asíntota horizontal