Este documento contiene 34 ejercicios sobre cálculo vectorial. Los ejercicios involucran el cálculo de derivadas parciales de primer y segundo orden, gradientes, direcciones de máxima y mínima variación, ecuaciones de planos y rectas tangentes y normales. Los ejercicios cubren una variedad de funciones de dos y tres variables.

1. C´lculo Vectorial
a
Pr´ctica No 3
a
∂f ∂f
1. Encuentre ∂x y ∂y
1
a) f (x, y) = 2x2 − 3y − 4 b) f (x, y) =
x+y
c) f (x, y) = ln(x + y) d) f (x, y) = xy
2. Calcule fx , fy y fz
a) f (x, y, z) = 1 + xy 2 − 2z 2 b) f (x, y, z) = x − y2 + z2
c) f (x, y, z) = ln(x + 2y + 3z) d) f (x, y, z) = exp−xyz
3. Calcule la derivada parcial de la funci´n con respecto a cada variable.
o
2u
a) f (t, α) = cos(2πt − α) b) g(u, v) = v 2 e v
c) h(ρ, φ, θ) = ρsenφ cos θ d) g(r, θ, z) = r(1 − cos θ) − z
4. Encuentre todas las derivadas parciales de segundo orden de las siguientes funciones.
a) f (x, y) = x + y + xy b) g(x, y) = x2 y + cos y + ysenx
y
c) s(x, y) = tan−1 ( ) d) r(x, y) = ln(x + y)
x
5. Verifique que wxy = wyx .
a) w = ln(2x + 3y) b) w = exp x + x ln y + y ln y
c) w = xy 2 + x2 y 3 + x3 y 4 d) w = xseny + ysenx + xy
6. ¿ Cu´l orden de derivaci´n calcular´ fxy m´s r´pido: x o y ? Trate de contestar sin
a o a a a
escribir.
x
a) f (x, y) = xseny + ey b) f (x, y) = y + ( )
y
c) f (x, y) = y + x2 y + 4y 3 − ln(y 2 + 1) d) f (x, y) = x ln(xy)
1

2. 7. La derivada parcial de quinto orden ∂ 5 f /∂x2 ∂y 3 se anula para cada una de las siguientes
funciones. Para mostrar esto lo m´s r´pidamente posible, ¿ con respecto a cu´l variable
a a a
derivar´ primero, x o y? Trate de contestar sin escribir.
ıa
a) f (x, y) = y 2 x4 ex + 2 b) f (x, y) = y 2 + y(senx − x4 )
2 /2
c) f (x, y) = x2 + 5xy + senx + 7ex d) f (x, y) = xey
8. Use la definici´n de derivada parcial mediante l´
o ımites para calcular las derivadas parciales
de las funciones en los punto dados.
∂f ∂f
a) f (x, y) = 1 − x + y − 3x2 y, ∂x y ∂y en (1, 2)
∂f ∂f
b) f (x, y) = 4 + 2x − 3y − xy 2 , ∂x y ∂y en (−2, 1)
9. Sea w = x2 yz 2 una funci´n de de tres variables independientes. Escriba la definici´n formal
o o
de la derivada parcial ∂f /∂z en (x0 , y0 , z0 ) . Use esta definici´n para calcular ∂f /∂z en
o
(1, 2, 3).
10. Sea w = −2xy 2 +yz 2 una funci´n de de tres variables independientes. Escriba la definici´n
o o
formal de la derivada parcial ∂f /∂y en (x0 , y0 , z0 ) . Use esta definici´n para calcular ∂f /∂y
o
en (−1, 0, 3).
11. Determine el valor de ∂z/∂x en el punto (1, 1, 1), si la ecuaci´n
o
xy + z 3 x − 2yz = 0
define a z como funci´n de las dos variables independientes x y y, y la derivada parcial
o
existe.
12. Muestre que cada una de las siguientes funciones satisface la ecuaci´n de Laplace
o
∂2f ∂2f ∂2f
∂x2
+ ∂y 2
+ ∂z 2
= 0.
a) f (x, y, z) = x2 + y 2 − 2z 2 b) f (x, y) = e−2y cos 2x
c) f (x, y) = ln x2 + y 2 d) f (x, y, z) = e3x+4y cos 5z
2
∂2w
13. Muestre que todas las siguientes funciones son soluci´n de la ecuaci´n de onda
o o ∂t2
= c2 ∂ f .
∂x2
a) w = sen(x + ct) b) w = ln(2x + 2ct)
c) w = 5 cos(3x + 3ct) + ex+ct d) w = cos(2x + 2ct)
2

3. 14. En los siguientes ejercicios :
a) Exprese dw/dt como funci´n de t, use la regla de la cadena y exprese w en t´rminos de
o e
t; derive en forma directa con respecto a t.
b) Eval´e dw/dt en el valor de t.
u
• w = x2 + y 2 , x = cos t, y = sent, t=π
√
• w = ln(x2 + y 2 + z 2 ), x = cos t, y = sent, z=4 t
• w = z − senxy, x = t, y = ln t, z = et−1 , t=1
• w = x2 + y 2 , x = cos t + sent, y = cos t − sent. t = 0
15. En los siguientes ejercicios :
a) Exprese ∂z/∂u y ∂z/∂v como funciones de u y v, use la regla de la cadena y exprese z
en t´rminos de u y de v antes de derivar.
e
b) Eval´e ∂z/∂u y ∂z/∂v en el punto dado (u, v).
u
• z = 4 expx ln y, x = ln(u cos v), y = usenv, (u, v) = (2, π/4)
• z = tan−1 (x/y), x = u cos v, y = usenv, (u, v) = (1.3, π/6)
16. Trace un diagrama de ´rbol y escriba una f´rmula con la regla de la cadena para cada
a o
derivada
dz
a) dt para z = f (x, y), x = g(t), y = h(t)
dz
b) dt para z = f (u, v, w), u = g(t), v = h(t), w = k(t)
∂w ∂w
c) ∂x y ∂y para w = g(u, v), u = h(x, y), v = k(x, y)
∂y
d) ∂r para y = f (u), u = g(r, s)
17. Determine ∂w/∂r cuando r = 1, s = −1 si w = (x + y + z)2 , x = r − s, y = cos(r + s), z =
sen(r + s).
18. Determine ∂w/∂v cuando u = −1, v = 2 si w = xy + ln z, x = v 2 /u, y = u + v, z = cos u.
19. Determine ∂z/∂u y ∂z/∂v cuando u = ln 2, v = 1 si z = 5 tan−1 x y x = eu + ln v.
√
20. Determine ∂z/∂u y ∂z/∂v cuando u = 1 y v = −2 si z = ln q y q = v + 3tan−1 u.
3

4. 21. En los siguientes ejercicios determine el gradiente de la funci´n en el punto dado. Luego
o
trace el gradiente junto con la curva de nivel que pasa por el punto.
a) f (x, y) = y − x, (2, 1) b) f (x, y) = ln(x2 + y 2 ), (1, 1)
x2 y 2 √
c) g(x, y) = y − x2 , (−1, 0) d) g(x, y) = − , ( 2, 1)
2 2
22. En los siguientes ejercicios determine f en el punto dado..
a) f (x, y, z) = x2 + y 2 − 2z 2 + z ln x, (1, 1, 1)
b) f (x, y, z) = 2x3 − 3(x2 + y 2 )z + tan−1 xz, (1, 1, 1)
1
c) f (x, y, z) = (x2 + y 2 + z 2 )− 2 + ln(xyz), (−1, 2, −2)
d) f (x, y, z) = ex+y cos z + (y + 1)sen−1 x, (0, 0, π/6)
23. Encuentre la derivada de la funci´n en Po en la direcci´n de A.
o o
a) f (x, y) = 2xy − 3y 2 , Po (5, 5), A = 4i + 3j
b) f (x, y) = 2x2 + y 2 , Po (−1, 1), A = 3i − 4j
c) g(x, y, z) = 3ex cos yz, Po (0, 0, 0), A=i+j+k
d) h(x, y, z) = cos xy + eyz + ln zx, Po (1, 0, 1/2), A = i + 2j + 2k
24. En los siguientes ejercicios determine las direcciones en que las funciones crecen y decrecen
m´s r´pidamente en Po . Luego encuentre las derivadas de las funciones en estas direcciones.
a a
a) f (x, y) = x2 + xy + y 2 , Po (−1, 1)
b) f (x, y, z) = ( x ) − yz,
y Po (1, ln 2, 1/2)
c) h(x, y, z) = ln(x2 + y 2 − 1) + y + 6z, Po (1, 1, 0)
d) f (x, y, z) = ln xy + ln yz + ln xz, Po (1, 1, 1)
25. Trace la curva f (x, y) = c junto con f y la recta tangente en el punto dado. Luego
escriba una ecuaci´n de la recta tangente.
o
√ √
a) x2 + y 2 = 4, ( 2, 2) b) xy = −4, (2, −2)
√
c) x2 − y = 1, ( 2, 1) d) x2 − xy + y 2 = 7, (−1, 2)
26. ¿ En qu´ direcci´n se anula la derivada de f (x, y) = xy + y 2 en P (3, 2)?
e o
4

5. 27. ¿ En qu´ direcciones se anula la derivada e f (x, y) = (x2 − y 2 )/(x2 + y 2 ) en P (1, 1)?.
e
28. ¿ Existe una direcci´n u en que la raz´n de cambio de f (x, y) = x2 − 3xy + 4y 2 en P (1, 2)
o o
sea igual a 14 ? Justifique su respuesta.
29. ¿ Existe una direcci´n u en que la raz´n de cambio de la funci´n temperatura T (x, y, z) =
o o o
2xy − yz (temperatura en grados Celsius, distancia en pies) en P (1, −1, 1) sea igual a
−3◦ /pie? Justifique su respuesta.
√
30. La derivada de f (x, y) en P0 (1, 2) en la direcci´n i + j es 2 2 y en la direcci´n de −2j es
o o
−3.¿ Cu´l es la derivada de f en la direcci´n de −i − 2j?. Justifique su respuesta.
a o
31. La derivada de f (x, y, z) en P alcanza su m´ximo en la direcci´n de v = i + j − k. En esta
a o
√
direcci´n, el valor de la derivada es 2 3
o
(a) ¿C´mo es
o f en P ? Justifique su respuesta.
(b) ¿Cu´l es la derivada de f en P en la direcci´n de i + j?
a o
32. ¿ Cu´l es la relaci´n entre la derivada de una funci´n diferenciable f (x, y, z) en un punto P0
a o o
en la direcci´n de un vector unitario u, y la componente escalar de ( f )P0 en la direcci´n
o o
de u? Justifique su respuesta.
33. ¿ Suponiendo que las derivadas necesarias de f (x, y, z) est´n definidas, ¿ Cu´l es la relaci´n
a a o
entre Di f, Dj f, Dk f y fx , fy .
34. En los siguientes ejercicios encuentre las ecuaciones para : (i) el plano tangente y (ii) la
recta normal en el punto P0 , en la superficie dada.
(a) x2 + y 2 + z 2 = 3, P0 (1, 1, 1)
(b) x2 + y 2 − z 2 = 18, P0 (3, 5, −4)
(c) cos πx − x2 y + exz + yz = 4, P0 (0, 1, 2)
(d) x + y + z = 1, P0 (0, 1, 0)
35. En los siguientes ejercicios encuentre ecuaciones param´tricas para la recta tangente a la
e
curva de intersecci´n de las superficies en el punto dado:
o
a) Superficies : x + y 2 + 2z = 4, x = 1
Punto: (1,1,1)
5

6. b) Superficies : xyz = 1, x2 + 2y 2 + 3z 2 = 6
Punto: (1,1,1)
c) Superficies : x3 + 3x2 y 2 + y 3 + 4xy − z 2 = 0, x2 + y 2 + z 2 = 11
Punto: (1,1,3)
36. ¿ A cu´nto asciende el cambio de
a
f (x, y, z) = ln x2 + y 2 + z 2
si el punto P (x, y, z) se mueve desde P0 (3, 4, 12) una distancia de ds = 0.1 unidades en la
direcci´n de 3i + 6j − 2k
o
37. ¿ A cu´nto asciende el cambio de
a
f (x, y, z) = expx cos yz
si el punto P (x, y, z) se mueve desde P0 (2, −1, 0) una distancia de ds = 0.2 unidades en la
direcci´n de 2i + 2j − 2k
o
38. Suponga que la temperatura Celsius en el punto (x, y) en el plano xy es T (x, y) = xsen2y y
que la distancia en el plano xy se mide en metros. Una part´
ıcula se mueve en el sentido de
las manecillas del reloj alrededor de la circunferencia de radio 1m con centro en el origen,
a la raz´n constante de 2m/s.
o
(a) ¿ Con qu´ rapidez cambia la temperatura experimentada por la part´
e ıcula, en grados
√
Celsius por metro, en el punto P (1/2, 3/2)?
(b) ¿ Con qu´ rapidez cambia la temperatura experimentada por la part´
e ıcula, en grados
Celsius por segundo en P ?
39. Determine la linealizaci´n L(x, y) de la funci´n en cada punto.
o o
(a) f (x, y) = x2 + y 2 + 1 en a.(0, 0), b.(1, 1)
(b) f (x, y) = (x + y + 2)2 en a.(0, 0), b.(1, 2)
(c) f (x, y) = 3x − 4y + 5 en a.(0, 0), b.(1, 1)
(d) f (x, y) = exp2y−x en a.(0, 0), b.(1, 2)
40. Determine la linealizaci´n L(x, y, z) de las funciones de los siguientes ejercicios en los
o
puntos dados:
6

7. (a) f (x, y, z) = xy + yz + xz en
a.(1, 1, 1) b.(1, 0, 0) c.(0, 0, 0)
(b) f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 en
a.(1, 1, 1) b.(0, 1, 0) c.(1, 0, 0)
(c) f (x, y, z) = expx + cos(y + z) en
a.(0, 0, 0) b.(0, π/2, 0) c.(0, π/4, π/4)
41. Usted planea calcular el ´rea de un rect´ngulo largo y delgado a partir de las medidas de
a a
su largo y ancho, ¿ Cu´l dimensi´n debe medir con m´s cuidado? Justifique su respuesta.
a o a
42. a. Alrededor del punto (1,0), ¿ la funci´n f (x, y) = x2 (y + 1) es m´s sensible a los cambios
o a
en x o los cambios en y? Justifique su respuesta.
b. ¿ Cu´l raz´n entre dx y dy har´ que df sea igual a cero en (1, 0)?
a o a
43. Una lata com´n de 12 onzas l´
u ıquidas de refrescos es en esencia un cilindro de radio r = 1
pulgada y altura h = 5 pulgadas.
a. Con estas dimensiones, ¿ cu´n sensible es el volumen de la lata a un peque˜o cambio
a n
en el radio, en comparaci´n con un peque˜o cambio de altura?
o n
b. ¿ Podr´ dise˜ar una lata que pareciera contener m´s refresco, pero que de hecho
ıa n a
contenga las mismas 12 onzas l´
ıquidas ? ¿Cuales ser´n sus dimensiones ? (Hay m´s de
a a
una respuesta correcta).
44. La f´rmula de Wilson para el tama˜ o de un lote Esta f´rmula de econom´ dice
o n o ıa
que la cantidad m´s econ´mica Q de bienes (radios, zapatos, cepillos, etc´tera) para
a o e
un pedido de una tienda est´ dada por la f´rmula Q =
a o 2KM/h, donde K es el
costo de elaboraci´n del pedido, M es el n´mero de art´
o u ıculos vendidos por semana y
h es el costo de almacenamiento semanal para cada art´
ıculo (costo del espacio, utiler´
ıa,
seguridad, etc´tera). ¿ A cu´l de las variables K, M y h es m´s sensible Q cerca del punto
e a a
(K0 , M0 , h0 ) = (2, 20, 0.05)? Justifique su respuesta.
7