1) El documento explica el concepto de integral definida y cómo se utiliza para calcular el área bajo una curva entre dos puntos. 2) Describe propiedades clave de la integral definida como linealidad y cómo se relaciona con la derivada a través del teorema fundamental del cálculo. 3) Explica cómo calcular áreas entre curvas y volúmenes de cuerpos de revolución usando integrales definidas.
En esta sección, repasamos el concepto integral definida, motivada por áreas bajo curvas y algunas de las propiedades. Definimos de manera rigurosa la integra como el límite de una suma de Riemann.
En esta sección, repasamos el concepto integral definida, motivada por áreas bajo curvas y algunas de las propiedades. Definimos de manera rigurosa la integra como el límite de una suma de Riemann.
Esta es un presentación hecha especialmente para jóvenes en nivel medio superior que desean conocer un poco sobre el uso de las integrales.
Este texto es INFORMATIVO y no utiliza el lenguaje matemático formal.
En estas notas, revisamos el teorema fundamental del cálculo, el cuál relaciona los conceptos de antiderivada (integral indefinida) con área bajo la curva (integral definida).
Esta es un presentación hecha especialmente para jóvenes en nivel medio superior que desean conocer un poco sobre el uso de las integrales.
Este texto es INFORMATIVO y no utiliza el lenguaje matemático formal.
En estas notas, revisamos el teorema fundamental del cálculo, el cuál relaciona los conceptos de antiderivada (integral indefinida) con área bajo la curva (integral definida).
1. UNIVERSIDAD FERMIN TORO
ESCUELA DE INGENIERIA
CABUDARE ESTADO LARA
MATEMATICA II
INTEGRAL DEFINIDA
ALBA ALVARADO
NOVIEMBRE 2012
2. INTEGRAL DEFINIDA
RESUMEN DEL TEMA (PARTE PRÁCTICA)
1.-INTEGRAL DEFINIDA
El concepto de integral definida surge al intentar calcular el área encerrada bajo
una función continua , es decir, nuestro objetivo es calcular el área encerrada
entre el eje X, dos rectas paralelas al eje Y x = a y x = b , y la función continua:
Definición: Sea f una función continua en [a,b tal que f(x) 0 en el intervalo.
El área encerrada entre la gráfica de f, el eje X y las abcisas x = a y x=b, la
b
llamaremos integral definida de f(x) entre a y b y se designa por f ( x)dx .
a
b
Hay que hacer notar que el resultado de f ( x)dx no depende de la variable x ya
a
que se trata de un valor numérico puesto que es el resultado de calcular un área.
b b
Así f ( x)dx = f ( t )dt .
a a
2. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
a
1. f ( x)dx = 0 cualquiera que sea f . Esta claro que su valor es 0 ya que no existe
a
un recinto del que podamos calcular un área.
2. Si f(x) > 0 y continua en [a,b , entonces
b
f ( x)dx > 0 y si f(x) < 0 y continua en [a,b ,
a
b
entonces f ( x)dx < 0.
a
3. b c c
3. Si a < b < c y f es continua en [a,c , entonces : f ( x)dx + f ( x)dx = f ( x)dx
a b a
Las propiedades 2 y 3 nos dan la clave para calcular el área bajo una función
que cambia de signo en el intervalo dónde lo estamos calculando, así en el
9
siguiente ejemplo si calculamos directamente f ( x)dx obtendremos 5-3+1 = 3
2
2
u lo cuál es falso ya que el área correspondiente a la
parte negativa también se debe sumar y no restar. Para
evitar esto debemos calcular la integral en cada uno de
los intervalos de forma que la función sea siempre
positiva o siempre negativa y cambiar de signo a la que
5
le corresponde la parte negativa: Área = f ( x)dx -
2
8 9
f ( x)dx f ( x)dx = 5+3+1=9 u2.
5 8
b b b
4. f ( x)dx + g( x)dx = ( f ( x) g( x))dx
a a a
b b
5. K· f ( x)dx = K • f ( x)dx Para K un número real cualquiera.
a a
b b
6. Si para cada x [a,b se cumple que f(x) g(x), entonces f ( x)dx g( x)dx .
a a
7. Si f es una función continua en [a,b , entonces existe c [a,b tal que:
b
f ( x)dx = f(c) (b-a) (Teorema del valor medio del cálculo integral)
a
3. LA INTEGRAL Y SU RELACIÓN CON LA DERIVADA
x
Función área: Dada una función f continua en [a,b podemos calcular f ( t )dt
a
para cualquier x [a,b (corresponderá al área comprendida entre a y x). Por
x
tanto podemos considerar la función F(x) = f ( t )dt , que asigna a cada x [a,b
a
el valor del área bajo f(x) entre a y el punto x.
4. Teorema fundamental del cálculo integral: Si f es una función continua en
x
[a,b , entonces F(x) = f ( t )dt con x [a,b , es derivable y además F´(x) = f(x).
a
Regla de Barrow: Si f(x) es una función continua en [a,b y G(x) es una
b
primitiva suya, entonces : f ( x)dx = G(b) -G(a)
a
EJEMPLO
3
Queremos calcular (x2 x)dx :
1
2 x3 x2
1. Calculamos una primitiva de f(x) : ( x x)dx = = G(x)
3 2
2. Calculo G(1) = 5/6 y G(3) = 27/2
3
2 x3 x2 x 3
3. Calculo: ( x x)dx = x 1
= 27/2 -5/6 = 76/6 =38/3 u2
3 2
1
4. CÁLCULO DE ÁREAS MEDIANTE INTEGRALES
A) CÁLCULO DEL ÁREA ENCERRADA BAJO UNA FUNCIÓN ENTRE
DOS PUNTOS:
EJEMPLO : Nos piden calcular el área comprendida entre f(x)= x3-9x , los
puntos de abcisa x=-2, x=3 y el eje X.
3
Para ello calcularemos: (x3 9 x)dx Si aplicamos directamente la regla de
2
Barrow obtendremos un resultado erróneo ya que no hemos comprobado si
existen tramos negativos de la función en el intervalo (-2, 3) .
Para calcular el área pedida seguiremos los siguientes pasos:
5. 1. Resolvemos la ecuación x3-9x = 0 para calcular dónde corta al eje X. El
resultado son los puntos -3, 0 y 3.
2. Seleccionamos las raíces afectadas en nuestro problema, que son las que
pertenezcan al intervalo [-2,3 : en nuestro caso 0 y 3.
0 3
3
3. Descomponemos Área = | ( x 9 x)dx | +| ( x 3 9 x)dx |
2 0
4. Calculamos una primitiva de x - 9x : G(x) = x4/4-9x2/2.
3
0
5. Calculamos cada una de las integrales definidas (x3 9 x)dx = 0 -(4- 18) =14
2
3
u2 y (x3 9 x)dx = 81/4 - 81/2 -0 = -81/4 y ya podemos concluir que el área
0
buscada es 14 + 81/4 = 137/4 u2
B) ÁREA COMPRENDIDA ENTRE DOS CURVAS
El área comprendida entre dos curvas f y g es igual al área de f menos el área de
g entre los puntos de corte de f y g.
En el dibujo tenemos f(x) = -x2 +6x -4 y g(x) = x . Calculamos los puntos de
corte y resultan x =1 y x = 4 y calculamos f(x)-g(x) = -x2 +5x -4 y calculamos el
área comprendida entre 1, 4 bajo f-g:
Resolvemos -x2 +5x -4=0 y resulta 1 y 4 que coinciden con los extremos de la
integral definida .
Calculamos
4
x3 5x 2 4 64 1 5 3 2
x2 5x 5 )dx 5x 1 40 20 ( 5) u
3 2 3 3 2 2
1
B) VOLUMEN DE UN CUERPO DE REVOLUCIÓN
6. Un trozo de curva y = f (x) en el intervalo [a, b , se hace girar alrededor del eje
X y se engendra un cuerpo de revolución:
b
El volumen del cuerpo será igual a f 2 ( x)dx
a