Este documento describe los conceptos de base y dimensión de un espacio vectorial. Explica que una base S de un espacio vectorial V debe ser linealmente independiente y generar todo V. Detalla los pasos para encontrar una base como hallar el conjunto generador y probar la independencia lineal. También define la dimensión de V como el número de vectores de una base S y presenta teoremas relacionados a bases y dimensión. Por último, explica cómo completar una base incompleta agregando vectores hasta alcanzar la dimensión del espacio vectorial.

1. BASE
Sea (V, k, +,*)un e.v y
S es base de V si:
a) S es L.I.
b) S genera Av
PASOS PARA HALLAR UNA BASE
a) Hallar el conjunto generador
b) Probar que es L.I.
DIMENSIÓN DE V
DEFINICIÓN: es el número de vectores de S
EJEMPLO:
Encontrar una base del s.e.v W.
a) Hallar el conjunto generador
b) Probar que S es L.I.

2. EJEMPLO:
Encontrar una base del s.e.v W.
Hallar el conjunto generado
Probar que S es L.I.
Teorema 11(libro de trabajo)
Dim (V)= n =# de vectores de S
S es la base de V si tiene n vectores LI

3. Teorema 12(libro de trabajo)
Dim (V)= n =# de vectores de S
S es la base de V si tiene n vectores que generan a V
Teorema:
Para que sea base debe cumplir 2 de las tres condiciones:
Ejemplo:
Demostrar que S es una base de W:
Dim(R3)= 3 =# de vectores de S
S genera a W
Encontrar la dimensión de S con W:

4. Dim( )= 2 =# de vectores de S
Ejemplos:
COMO COMPLETAR UNA BASE
Ejemplo:
Completar la base S para llegar al e.v V=R3.
Teorema
Dim (s.e.v) = dim (e.v) - # restricciones
Dim(W) = Dim(V) - # restricciones

5. 1. Tenemos la base S pero podemos observar que para que se cumpla que sea base de R 3
tienen que haber tres vectores en la base, por lo que aumentamos un vector a la base S
que no cumpla la restricción y lo ponemos seguido a los que ya teníamos.
El vector no cumple que y=x+z
2. Ahora tenemos que es de dimensión tres por lo tanto tenemos la primera condición
para que sea base de R3.
Dim(S’)=3
3. Ahora demostramos si es LI para completar una base de R3.