Este documento describe los espacios y subespacios vectoriales. Un espacio vectorial es un conjunto de vectores que cumplen propiedades como asociatividad, conmutatividad y distributividad bajo las operaciones de suma y multiplicación por escalares. Un subespacio vectorial es un subconjunto de un espacio vectorial que también cumple estas propiedades y por lo tanto es un espacio vectorial en sí mismo. Para que un subconjunto sea considerado un subespacio vectorial, debe cumplir cuatro axiomas relacionados con la suma y el producto como leyes de compos

1. Espacios y subespacios vectoriales Realizado por : Jhimmy González

2. ESPACIOSVECTORIALES Es un conjunto V no vacio cuyos elementos reciben el nombre de vectores conformado de dos operaciones: La primera.- Una interna llamada suma que cumple las siguientes propiedades: I. Asociativa: (u + v) + w = u + (v + w) II. Conmutativa: u + v = v + u III. Elemento neutro, Hay un elemento 0 en V tal que u + 0 = u IV. Elemento opuesto, Cada elemento u tiene su elemento opuesto –u tal que u + (-u) = 0 , es decir (V, +) es un grupo conmutativo. La segunda.- Una operación externa llamada producto de números reales por vectores que asocia a cada número real α y a cada vector u el vector αu y que verifica las siguientes propiedades: I. Distributiva respecto a la suma de escalares: (α + β).u = αu + βu II. Distributiva respecto a la suma de vectores: α.(u + v) = αu +αv III. Asociativa para escalares: α.(βu)= (αβ)u. IV. Elemento neutro: 1.u = u A los números reales se les llama escalares. Por cumplir las propiedades mencionadas diremos que la terna (V, +, ・) “es un espacio vectorial.”

3. SUBESPACIOSVECTORIALES Un subespacio vectoriales el subconjunto de un espacio vectorial,que debe cumplir varias características. La definición es la siguiente. Sean (V, +, K, *) un espacio vectorial y S un subconjunto de V. S es subespacio vectorial de V si (S, +, K, *) es espacio vectorial en sí mismo, siendo (+) y (*) las mismas operaciones definidas en V. Las bases de un subespacio son elsubconjunto de "alfa" y "beta" en el menor subespacio formado por la recta que pasa pordos puntos. Condición de existencia del subespacio. El criterio para la verificación de que S sea subespacio de V, es que ambas operaciones (+ entre elementos del conjunto S y * con escalares del cuerpo K) sean cerradas, es decir, den como resultado elementos que también pertenezcan a S. Estas antes mencionadas se dan con la suma y la multiplicacion para los vectores. Para ello se definen 4 axiomas que garantizan la existencia del subespacio vectorial. Sea V un espacio vectorial, se define S como subespacio vectorial si y solo si: 1. S no es un conjunto vacío. 2. S es igual o está incluido en V. 3. La suma es ley de composición interna. 4. El producto es ley de composición externa. Si estas condiciones se cumplen entonces el conjunto es un subespacio vectorial.