Geometría del Espacio para estudiantes de 2º curso de Bachillerato (Parte 1)

1. By Miguel Pérez Fontenla, December 2011
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2. ALGEBRA LINEAL
GEOMETRIA DEL ESPACIO I
Usando textos con licencia de Santillana Educación S.L.

3. ALGEBRA LINEAL
•Espacios Vectoriales
•Vectores. Operaciones
•Geometría del Espacio
•La Recta en el espacio
•El plano en el espacio
•Posiciones relativas …
•Producto escalar
•Perpendicularidad
•Aplicaciones, distancias, ángulos …
•Productos vectorial y mixto
•Aplicaciones: Areas, distancias,
•Aplicaciones: Volúmenes, distancias …

4. Repasando ℝ2
•Vectores en el Plano
Un vector en ℝ2 queda determinado por dos puntos A(a1,a2) y
B(b1,b2) (origen A y extremo B) y el orden de éstos:


AB b1 a1 , b2 a2


BA a1 b1 , a2 b2

5. Repasando ℝ2
•Operaciones con vectores

6. Repasando ℝ2

7. Definición: Espacio vectorial
Un conjunto V con dos operaciones, una + y otra * y donde existen 0,1∊V y un
cuerpo K (usualmente ℚ,ℝó ℂ) verificando:
Respecto a +,    
Conmutativa u v v u
       
Asociativa u v w
   
v u w
Elemento neutro u 0 0 u
 
El elemento simétrico de u es su opuesto u
Respecto a *    
Distributiva respecto a la + de vectores u v u v
  
Distributiva respecto a la + de escalares u u u
 
Asociativa mixta u u
 
Elemento neutro u 1 u
Pues bien, a este conjunto formado por {V, +, *, K} que verifique todas las propiedades
anteriores se le llama espacio vectorial sobre el cuerpo K

8. Otras definiciones
Definición: vector
A los elementos del espacio vectorial V se les llama vectores
      

Los denotaremos por letras u , v, w, a, b, c, i, k , j ,...
Definición: escalar
A los elementos del cuerpo (usualmente ℚ,ℝ ó ℂ) se les llama escalares
Los denotaremos con las letras griegas , , , , , , ,....

9. Ejemplos de espacios vectoriales
•ℝ2 plano euclídeo estudiado en Geometría plana
•V2 o conjunto de vectores del plano, estudiado en Geometría plana
• n o conjunto de matrices cuadradas n x n
• o conjunto de polinomios
•V3 o conjunto de vectores libres del espacio
•ℝ3 espacio euclídeo

10. Vectores en el espacio
•Vectores en el espacio
Un vector en ℝ3 queda determinado por dos puntos A y B
(origen A y extremo B) y el orden de éstos.
•Elementos de un vector

11. Vectores en el espacio

12. Operaciones con Vectores

13. Operaciones con Vectores

14. Combinación lineal de vectores

15. Base de un espacio vectorial

16. Base de un espacio vectorial

17. Coordenadas de un vector
•Sistemas de referencia
Un sistema de referencia en el espacio está formado por un
  
punto fijo O y una base del espacio u, v, w
  

Lo denotaremos por O, u, v, w
•El Sistema de referencia canónico
Es el que tiene como punto fijo
O(0,0,0) el origen
y como base tres vectores de
módulo 1
 
y perpendiculares entre si i, j, k

18. Coordenadas de un vector
•Coordenadas y módulo de un vector

19. Coordenadas de un vector
Ejercicio: Calcula las coordenadas y el módulo del vector

20. Coordenadas de un vector
Ejercicio: Calcula las coordenadas y el módulo de estos
vectores

21. Operaciones con coordenadas
Suma y resta de vectores

22. Operaciones con coordenadas
Multiplicación de un vector por un escalar

23. Operaciones con coordenadas

24. Operaciones con coordenadas
Suma de un punto más un vector

25. Operaciones con coordenadas
Dependencia e independencia lineal

26. Operaciones con coordenadas

27. Aplicaciones de los vectores
Punto medio de un segmento
Puntos alineados

28. Aplicaciones de los vectores