Este documento resume conceptos básicos de vectores en 3 dimensiones. Explica la suma y producto por escalar de vectores, así como bases ortogonales y coordenadas de puntos en R3. Finalmente, establece la equivalencia entre vectores libres en R3 y puntos en este espacio tridimensional a través de sus coordenadas.

2. contenido:
1.-Equivalencia de vectores
2.-Suma de vectores
3.-Producto por un escalar
4.-Normalización
5.-Bases
6.-Componentes de un vector
7.-Coordenadas de un punto
8.-Biyeccion entre el conjunto
v3
de los vectores libres y r3

3. 2. Suma de vectores:
Existen dos procedimientos que
Se pueden emplear para la suma
De vectores.
se dibuja el vector (u)de el punto
terminal de(u)se dibuja el
vector (v), el vector (u+v)es el
vector que va Desde el punto
inicial de (u) hasta el Punto
terminal de(u) . este método de
suma de vectores
se conoce como la regla del
triángulo.
dibujamos las representantes de los
vectores (v1)y (v2)desde el mismo
punto (se hacen coincidir los puntos
iniciales de (v1) y (v2) y se completa el
paralelogramo, la diagonal trazada
desde el punto común representa la
suma. (v1) +(v2) Este se conoce como
la regla de paralelo grama

4. 3. Producto por un escalar:
Dados dos vectores (u) y (v) y dos
escalares (A) y(β). Entonces
El producto es un vector
determinado de manera única.
El producto (A ,V) es un vector
determinado de manera única.
ejemplo:
(A + β)v= A (βV)
(A + β)v=Av + βv
(A + β)v= Av + βv
A(u + v)=Au + Av
u=u
Esta operación presenta las
siguientes propiedades
Algebraicas:
Asociativa respecto al producto
por escalar:
Distributiva respecto a la suma
de vectores:
Distributiva respecto a la suma
de escalares:

5. Base ortogonal:
Es aquella formada por tres
vectores unitarios y ortogonales
entre si.
Base ortogonal dextrógira:
Es aquella base que,
además de ser ortogonal
tiene a sus tres vectores
ordenados según la regla de
la mano derecha: Si los
dedos de la mano derecha
van del primero al segundo,
el pulgar apunta en la
dirección y sentido del
tercero.

6. 5. Bases
Combinación lineal:
Uniendo las propiedades de la
suma de vectores y el producto
de un vector por un escalar,
podemos definir
una combinación
lineal de vectores mediante la
Expresión
Ejemplo:
Sistema generador:
Un conjunto de vectores que
permiten obtener todos los
demás mediante combinaciones
lineales se denomina sistema
generador del espacio.
Base:
Un sistema generador
Cuyos vectores componentes son
todos linealmente independientes
entre sí (ninguno se puede poner
como combinación lineal del
resto) se denomina una base.

7. 7. Coordenadas de un punto:
Los puntos del espacio pueden
etiquetarse mediante letras, O, P,
Q,… Sin embargo, para operar
con ellos, es conveniente
Emplear coordenadas, que no son
más que etiquetas numéricas que
identifican cada punto de forma
unívoca.
Ejemplo:
Vector ligado

8. Una base para V3 es un conjunto
de vectores linealmente
independientes, de manera que
cualquier vector de V3 se pueda
escribir como una combinación
lineal de dicho vectores. la base
canónica esta formada por los
vectores: i = (1, 0, 0) ; j = (0,1, 0) y
k = (0, 0,1)

9. Si tenemos vectores desde el
origen, la coordenada del
extremo donde está la flecha,
se puede expresar de la forma
(x,y,z)
y esto es una expresión vectorial.
Es decir, el vector que termina en
el punto x=2 ; y=1, z=3
se puede expresar como terna
(2,1,3)
y si tenemos otro vector que
termina en (x=1, y=4; z= 5)
que se expresa como terna
(1,4,5)
se puede decir que la suma de
los vectores
se corresponde con la suma de
las ternas, simplemente
sumando los componentes.
(2,1,3) + (1,4,5) = (3,5,8)