ALGEBRA LINEAL

1. Mario Fernando Izquierdo Chavarría – Ayudante Académico de Algebra Lineal
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Álgebra Lineal – Parte 2
3 de agosto de 2014
Ángulo Entre Vectores
Con ayuda del producto interno hemos podido observar algunas propiedades geométricas de
vectores en espacios vectoriales abstractos. Una propiedad que viene de haber analizado el ángulo
entre vectores y que fue la primera con la que se introdujo el capítulo es la de la perpendicularidad.
Para que dos vectores sean perpendiculares se dijo que el producto punto entre ellos debe ser igual
a cero, veamos cómo se relaciona eso con producto interno:
Sea 𝜃 =
𝜋
2
= arccos
( 𝑣| 𝑢)
‖𝑣‖‖𝑢‖
cos 𝜃 =
(𝑣|𝑢)
‖𝑣‖‖𝑢‖
= 0
Lo que concluye que:
(𝑣|𝑢) = 0
Podemos entonces dar la siguiente definición de perpendicularidad o, como la llamaremos de ahora
en adelante, ortogonalidad:
Definición: Vectores Ortogonales: Sea (𝑉, (⋅ | ⋅)) un espacio vectorial con producto interno. Sean
𝑣, 𝑢 ∈ 𝑉. Se dice que estos vectores son ortogonales si su producto interno es igual a cero, es decir:
(𝑣|𝑢) = 0
Nota: Dado el primer teorema que se vio en el capítulo, se debe entender que todo vector es
ortogonal con el 0 𝑉
Conjuntos Ortonormales
Ya analizamos la ortogonalidad de vectores, sin embargo hay otra propiedad que es de mucho
interés para el estudio del álgebra lineal, y es la de ortonormalidad. Veamos entonces a qué se
refiere esto.
Definición: Conjunto Ortonormal de Vectores: Sea (𝑉, (⋅ | ⋅)) un espacio vectorial con producto
interno y sea 𝑆 = {𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢 𝑛} un conjunto de vectores de 𝑉. Si 𝑆 satisface:
(𝑢𝑖|𝑢𝑗) = {
1 ; 𝑖 = 𝑗
0 ; 𝑖 ≠ 𝑗
Se dice entonces que 𝑆 es un conjunto ortonormal. Si 𝑆 solo cumple la segunda condición, se dice
que 𝑆 es un conjunto ortogonal.

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Las condiciones propuestas en la definición anterior son las de normalidad y ortogonalidad.
Cualquier vector que cumpla con la condición de normalidad es llamado unitario.
Teorema: Sea (𝑉, (∙ | ∙)) un espacio vectorial con producto interno. Sea 𝑆 = {𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢 𝑛} un
conjunto ortogonal de vectores no nulos de 𝑉. Entonces 𝑆 es linealmente independiente en 𝑉.
Corolario: Todo conjunto ortonormal es linealmente independiente.
Teorema: Proceso de Ortonormalización de Gram-Schmidt: Sea (𝑉, (∙ | ∙)) un espacio vectorial
con producto interno. Suponga que 𝐵 = {𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣 𝑛} es una base de 𝑉.
El objetivo es, utilizando a 𝐵, construir una base ortonormal 𝐵 𝑂𝑁 = {𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢 𝑛}.
Procedimiento:
Etapa 1:
 𝑢1 =
𝑣1
‖𝑣1‖
; 𝑢1 es ahora unitario, y al ser el único vector en 𝐵 𝑂𝑁, no se necesita buscar
ortogonalidad.
Etapa 2:
 Se necesita un vector 𝑣2
′
tal que (𝑣2
′ |𝑢1) = 0 para cumplir condición de ortogonalidad.
 𝑣2
′
= 𝑣2 − (𝑣2|𝑢1)𝑢1; ahora se necesita que 𝑣2
′
sea unitario.
 𝑢2 =
𝑣2
′
‖𝑣2
′‖
Etapa 3:
 Se necesita un vector 𝑣3
′
tal que (𝑣3
′ |𝑢1) = 0 ∧ (𝑣3
′ |𝑢2) = 0
 𝑣3
′
= 𝑣3 − (𝑣3|𝑢1)𝑢1 − (𝑣3|𝑢2)𝑢2; ahora se necesita que 𝑣3
′
sea unitario.
 𝑢3 =
𝑣3
′
‖𝑣3
′‖
Sucesivamente las siguientes etapas.
Etapa 𝑛:
𝑣 𝑛
′
= 𝑣 𝑛 − ∑(𝑣 𝑛|𝑢𝑖)𝑢𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑢 𝑛 =
𝑣 𝑛
′
‖𝑣 𝑛
′ ‖
Corolario: Todo espacio vectorial con producto interno posee una base ortonormal.

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Definición: Proyección Ortogonal: Sea 𝑊 un subespacio vectorial del espacio vectorial 𝑉 con
producto interno (∙ | ∙). Sea 𝐵 𝑊 = {𝑤1, 𝑤2, … , 𝑤 𝑘} una base ortonormal de 𝑊 y sea 𝑣 ∈ 𝑉. La
proyección ortogonal del vector 𝑣 sobre el subespacio 𝑊, con notación 𝑝𝑟𝑜𝑦 𝑊 𝑣, se define como:
𝑝𝑟𝑜𝑦 𝑊 𝑣 = (𝑣|𝑤1)𝑤1 + (𝑣|𝑤2)𝑤2 + ⋯ + (𝑣|𝑤 𝑘)𝑤 𝑘 = ∑(𝑣|𝑤𝑖)𝑤𝑖
𝑘
𝑖=1
Teorema: Sea (𝑉, (∙ | ∙)) un espacio vectorial con producto interno. Sea 𝐵 𝑂𝑁 = {𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢 𝑛} una
base ortonormal de 𝑉 y 𝑣 ∈ 𝑉. Entonces:
𝑣 = (𝑣|𝑢1)𝑢1 + (𝑣|𝑢2)𝑢2 + ⋯ + (𝑣|𝑢 𝑛)𝑢 𝑛 = 𝑝𝑟𝑜𝑦 𝑉 𝑣
Complemento Ortogonal
Si tenemos un vector, podemos encontrar una gran variedad de vectores ortogonales al mismo
(como vimos en el proceso de Gram-Schmidt). Asimismo, se pueden encontrar algunos vectores
que sean ortogonales a todos los elementos de un conjunto en particular. Si el conjunto en cuestión
es un subespacio vectorial, entonces a estos vectores les llamaremos “complemento ortogonal” de
dicho subespacio.
Definición: Complemento Ortogonal: Sea 𝑉 un espacio vectorial con el producto interno (∙ | ∙).
Sea 𝑊 un subespacio vectorial de 𝑉. El complemento ortogonal de 𝑊, con notación 𝑊⊥
se define
como:
𝑊⊥
= {𝑣 ∈ 𝑉 | ∀𝑤 ∈ 𝑊 (𝑣|𝑤) = 0}
Teorema: Sea (𝑉, (∙ | ∙)) un espacio vectorial con producto interno. Sea 𝑊 un subespacio vectorial
de 𝑉. Entonces:
i. 𝑊⊥
es un subespacio vectorial de 𝑉.
ii. 𝑊 ∩ 𝑊⊥
= {0 𝑉}.
iii. dim 𝑊 + dim 𝑊⊥
= dim 𝑉 siempre que 𝑉 sea de dimensión finita.
Teorema: Sea (𝑉, (∙ | ∙)) un espacio vectorial de dimensión finita con producto interno. Sea 𝑊 un
subespacio vectorial de 𝑉. Entonces 𝑉 = 𝑊⨁𝑊⊥
. En otras palabras, todo vector del espacio
vectorial 𝑉 se escribe de manera única como la suma de un vector de 𝑊 y uno de 𝑊⊥
. Es decir:
∀𝑣 ∈ 𝑉 ∃𝑤 ∈ 𝑊 ∃𝑝 ∈ 𝑊⊥
𝑣 = 𝑝 + 𝑤
Además:
𝑤 = 𝑝𝑟𝑜𝑦 𝑊 𝑣 ; 𝑝 = 𝑝𝑟𝑜𝑦 𝑊⊥ 𝑣

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Teorema: Sea (𝑉, (∙ | ∙)) un espacio vectorial con producto interno. Sea 𝑊 un subespacio vectorial
de 𝑉. Sea 𝑣 ∈ 𝑉.
De todos los vectores de 𝑊, “el más cercano” a 𝑣, es el vector 𝑝𝑟𝑜𝑦 𝑊 𝑣. Es decir:
∀𝑤 ∈ 𝑊 ‖𝑣 − 𝑝𝑟𝑜𝑦 𝑊 𝑣‖ ≤ ‖𝑣 − 𝑤‖
Matriz Ortogonal
Cerraremos este capítulo con una definición a la que le daremos uso a futuro. Esta definición se
vuelve importantísima en el estudio de la diagonalización ortogonal y las formas cuadráticas.
Definición: Matriz Ortogonal: Una matriz inversible 𝑄 ∈ 𝑀 𝑛𝑥𝑛 se dice que es ortogonal si:
𝑄−1
= 𝑄 𝑇
Teorema: Si 𝐴 es una matriz ortogonal, entonces:
|𝑑𝑒𝑡(𝐴)| = 1
Teorema: Una matriz 𝑄 ∈ 𝑀 𝑛𝑥𝑛 es ortogonal, si y sólo si, las columnas de 𝑄 constituyen una base
ortonormal para ℝ 𝑛
(producto interno estándar).
Valores y Vectores Propios
Existen casos en los que la representación matricial de un operador lineal respecto a una base
cualquiera es una matriz diagonal. Cuando esto ocurre se dice que ese operador lineal es
diagonalizable y el proceso para encontrar la base con la que eso ocurre es conocido como
diagonalización. No todo operador lineal es diagonalizable, pero aquellos que lo son cumplen
propiedades interesantes, veamos un ejemplo de aquello:
Sea 𝑇: 𝑃2 → 𝑃2 un operador lineal tal que
𝑇(𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥2) = (2𝑎 + 𝑏 + 4𝑐) + (𝑎 + 2𝑏 + 3𝑐)𝑥 + (2𝑐)𝑥2
La matriz asociada de este operador lineal con respecto a la base canónica 𝐵 = {1, 𝑥, 𝑥2} de 𝑃2,
quedaría:
𝐴 𝑇 = (
2 1 4
1 2 3
0 0 2
)
Sin embargo, consideremos la base 𝐵 𝐷 = {1 − 𝑥 , 3 + 4𝑥 − 𝑥2
, 1 + 𝑥}. Nótese que la matriz
asociada a esta base es:

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[𝑇] 𝐵 𝐷
= (
1 0 0
0 2 0
0 0 3
)
Esto ocurre porque:
𝑇(1 − 𝑥) = 1 − 𝑥
𝑇(3 + 4𝑥 − 𝑥2) = 6 + 8𝑥 − 2𝑥2
= 2(3 + 4𝑥 − 𝑥2)
𝑇(1 − 𝑥) = 3 − 3𝑥 = 3(1 − 𝑥)
Y con eso se pueden observar fácilmente las coordenadas con las que queda la matriz asociada.
Para poder obtener la matriz diagonal tiene que ocurrir esta propiedad, de que la transformación
aplicada a determinados vectores sea igual a un escalar multiplicado por dicho vector.
Veamos entonces cómo encontrar aquellos escalares para alguna transformación lineal, cómo
encontrar aquellos vectores que cumplen esto y finalmente cómo aplicar el proceso de
diagonalización.
Definición: Valores Propios de una Transformación Lineal: Sea 𝑉 un espacio vectorial y sea
𝑇: 𝑉 → 𝑉 un operador lineal. Se dice que 𝜆 ∈ ℝ es un valor propio de 𝑇 si existe un vector no nulo
𝑣 ∈ 𝑉 tal que
𝑇(𝑣) = 𝜆𝑣
Si tal es el caso, se dice que 𝑣 es un vector propio de 𝑇 asociado al valor propio 𝜆.
Definición: Valores Propios de una Matriz: Sea 𝐴 ∈ 𝑀 𝑛𝑥𝑛. Se dice que 𝜆 ∈ ℝ es un valor propio
de 𝐴 si existe un vector no nulo 𝑋 ∈ ℝ 𝑛
tal que
𝐴𝑋 = 𝜆𝑋
Si tal es el caso, se dice que 𝑋 es un vector propio de 𝐴 asociado al valor propio 𝜆.
Nota: Los valores y vectores propios también se los conoce como valores y vectores
característicos, o como eigen-valores y eigen-vectores por la palabra alemana eigen que significa
“propio”.
Cabe mencionar que ambas definiciones son equivalentes, pues hemos visto que las
transformaciones lineales pueden quedar representadas por medio de matrices. Ahora la cuestión
sería saber cómo encontrar los valores y vectores propios de una matriz o transformación lineal.
La definición primero busca los valores 𝜆 para luego a cada uno de ellos asociar los vectores no
nulos correspondientes. Veamos cómo encontrarlos:

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Sea 𝐵 una base de 𝑉 y sea 𝐴 la matriz asociada a 𝑇 respecto a la base 𝐵. Sea 𝑋 = [𝑣] 𝐵.
𝑇(𝑣) = 𝜆𝑣
[𝑇(𝑣)] 𝐵 = [𝜆𝑣] 𝐵
𝐴[𝑣] 𝐵 = 𝜆[𝑣] 𝐵
𝐴𝑋 = 𝜆𝑋
𝐴𝑋 − 𝜆𝑋 = 0ℝ 𝑛
(𝐴 − 𝜆𝐼)𝑋 = 0ℝ 𝑛
La última ecuación representa un sistema de ecuaciones de forma matricial. El sistema es lineal
homogéneo, y como deseamos que 𝑋 sea no nulo, si fuese solución única, dicha solución sería la
trivial, por lo que el sistema debe tener infinitas soluciones:
det(𝐴 − 𝜆𝐼) = 0
Esto último es conocido como la ecuación característica de la matriz 𝐴 y de la transformación 𝑇.
La solución de la ecuación será encontrar las raíces del polinomio que se encuentra en el miembro
izquierdo. Dicho polinomio se conoce como el polinomio característico de la matriz 𝐴 y de la
transformación 𝑇 y está en términos de 𝜆, es decir:
𝑝(𝜆) = det(𝐴 − 𝜆𝐼)
Del procedimiento anterior, vemos la equivalencia entre las definiciones dadas anteriormente, pues
para encontrar los valores propios de una transformación lineal, se debe encontrar los de su matriz
asociada a cualquier base 𝐵.
El procedimiento se resume en los siguientes teoremas:
Teorema: Sea 𝐴 la matriz asociada a un operador lineal 𝑇: 𝑉 → 𝑉 en cualquier base 𝐵 de 𝑉.
Entonces 𝐴 y 𝑇 tienen los mismos valores propios.
Teorema: Sea 𝐴 ∈ 𝑀 𝑛𝑥𝑛, el valor 𝜆 es un valor propio de 𝐴, si y sólo si det(𝐴 − 𝜆𝐼) = 0
Notemos qué ocurre con los valores propios de una matriz de 2𝑥2:
Sea 𝐴 = (
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
) entonces:
det(𝐴 − 𝜆𝐼) = 0
det (
𝑎 − 𝜆 𝑏
𝑐 𝑑 − 𝜆
) = 0

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(𝑎 − 𝜆)(𝑑 − 𝜆) − 𝑏𝑐 = 0
𝑎𝑑 − 𝑎𝜆 − 𝑑𝜆 + 𝜆2
− 𝑏𝑐 = 0
𝜆2
− (𝑎 + 𝑑)𝜆 + 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 = 0
𝜆2
− 𝑡𝑟(𝐴)𝜆 + det(𝐴) = 0
Por lo tanto tenemos el siguiente teorema:
Teorema: Sea 𝐴 ∈ 𝑀2𝑥2, el polinomio característico de 𝐴 es 𝑝(𝜆) = 𝜆2
− 𝑡𝑟(𝐴)𝜆 + det(𝐴).
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
TAREA.
Verdadero o Falso:
a) Sea 𝑉 un espacio vectorial de dimensión 𝑛. Sea 𝐵 una base de 𝑉. Sea además la función
𝑓: 𝑉 × 𝑉 → ℝ dada por 𝑓(𝑣1, 𝑣2) = [𝑣1] 𝐵 ⋅ [𝑣2] 𝐵. Entonces 𝑓 es un producto interno en 𝑉.
b) Sean 𝐻, 𝑊 dos subespacios de (𝑉, (⋅ | ⋅)). Si 𝐻 ⊆ 𝑊 entonces 𝑊⊥
⊆ 𝐻⊥
.
c) Se define en 𝑃2 el producto interno 〈𝑝(𝑥), 𝑞(𝑥)〉 = 𝑝(−1)𝑞(−1) + 𝑝(0)𝑞(0) + 𝑝(1)𝑞(1),
entonces ‖1 + 𝑥2‖ ≥ ‖1 + 𝑥‖.
d) Si 𝐴 es una matriz invertible y 𝜆 es un valor propio de 𝐴, entonces 𝜆 es diferente de cero.
e) Sea 𝐴 ∈ 𝑀2𝑥2 tal que 𝑡𝑟(𝐴) = 4 , det(𝐴) = −12. Entonces −2 y 6 son sus valores propios.
f) Sea 𝑉 un espacio vectorial con producto interno (, ). Si para todo 𝑣 ∈ 𝑉 se tiene que
(𝑣, 𝑢) = 0. Entonces 𝑢 es el neutro aditivo de 𝑉.
Sea 𝑉: 𝑀2𝑥2 con las operaciones usuales. Se define en 𝑉 el producto interno:
〈𝐴, 𝐵〉 = 𝑡𝑟(𝐵 𝑡
𝐴)
a) Sea 𝐻 = {𝐴 ∈ 𝑀2𝑥2 | 𝐴 + 𝐴𝑡
= 02𝑥2}, determine 𝐻⊥
.
b) Sea 𝐴 = (
1 1
0 1
), exprese 𝐴 como la suma de dos matrices, una en 𝐻 y una en 𝐻⊥
.
Sea 𝑇: ℝ2
→ ℝ2
un operador lineal. Se conoce que los valores propios de 𝑇 son 1 y −3 y sus
vectores propios son (
3
−2
) y (
1
1
) respectivamente. Determine:
a) La regla de correspondencia de 𝑇.
b) La matriz asociada a 𝑇 en la base 𝐵 = {(
3
−2
) , (
1
1
)}

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Sea 𝑓 un producto interno real en 𝑃1 tal que ‖1‖ = √2, ‖𝑥‖ = 1 y 𝑓(1, 𝑥) = −1.
a) Encuentre la regla de correspondencia de 𝑓.
b) Sea 𝑊 = {𝑝(𝑥) ∈ 𝑃1 | 𝑝(1) = 0} un subespacio vectorial de 𝑃1, encuentre una base y
determine la dimensión de 𝑊⊥
.
c) Construya una base de 𝑃1 usando un vector de 𝑊 y uno de 𝑊⊥
.
Sea 𝑇: 𝑃2 → 𝑃2 el operador lineal 𝑇(𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥2) = 𝑐 + (𝑐 − 𝑏)𝑥 + (𝑐 − 𝑏 − 𝑎)𝑥2
. Determine
una base y la dimensión de 𝐼𝑚(𝑇)⊥
.
Sea 𝑉 = ℝ3
, 𝐻 = 𝑔𝑒𝑛 {(
1
0
−1
) , (
1
−1
0
) , (
0
1
−1
)} y 𝑥 = (
1
2
3
). Usando el producto interno estándar,
determine:
a) El complemento ortogonal de 𝐻.
b) Una base ortonormal de 𝐻.
c) La proyección de 𝑥 sobre 𝐻.
d) El ángulo entre el vector 𝑥 y su proyección sobre 𝐻⊥
.
Sea 𝑇: ℝ 𝑛
→ ℝ 𝑛
un operador lineal definido por una matriz ortogonal 𝑄 tal que 𝑇(𝑋) = 𝑄𝑋.
Considerando el produco interno estándar en ℝ 𝑛
, pruebe que:
a) ∀𝑋 ∈ ℝ 𝑛 ‖𝑇(𝑋)‖ = ‖𝑋‖
b) ∀𝑋1, 𝑋2 ∈ ℝ 𝑛 (𝑋1, 𝑋2) = 0 ⇒ ‖𝑇(𝑋1)‖2
+ ‖𝑇(𝑋2)‖2
= ‖𝑇(𝑋1) + 𝑇(𝑋2)‖2
Sean 𝑢 = (
2
5
0
) y 𝑣 = (
3
−1
1
) dos vectores del espacio euclidiano ℝ3
. Exprese al vector 𝑢 como la
suma de dos vectores 𝑝 y 𝑞 tales que 𝑝 es paralelo a 𝑣 y 𝑞 es ortogonal a 𝑣.
Demuestre los teoremas de la sección teórica.