Se describen brevemente los conceptos de espacio y subespacio vectorial, base y dimensión.

1. Introducción al algebra superior
MT-MIAS-1602-B2-001
TSU. Matemáticas
Unidad 4 – Foro
Espacios vectoriales
Eduardo Castillo López
ES162001459
Noviembre 20, 2016

2. ¿Qué es un espacio vectorial?
R. Es un conjunto no vacío de V de objetos, llamados vectores, en el que están definidas dos
operaciones, llamadas suma y multiplicación por escalares (números reales), sujetas a los diez
axiomas (o reglas) que se enlistan a continuación. Los axiomas deben ser válidos para todos los
vectores u, v y w en V y todos los escalares c y d.
1. La suma de u y v, denotada mediante u + v, está en V.
2. u + v = v + u.
3. (u + v) + w = u + (v + w).
4. Existe un vector cero 0 en V tal que u + 0 = u.
5. Para cada u en V, existe un vector −u en V tal que u + (−u) = 0.
6. El múltiplo escalar de u por c, denotado mediante cu, está en V.
7. c(u + v) = cu + cv.
8. ( c + d)u = cu + du.
9. c (du) = (cd)u.
10. 1u = u.
¿De qué se trata la dependencia e independencia lineal?
R. Un conjunto de vectores en ℝ 𝑛
, 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣 𝑘 es linealmente dependiente si existen constantes
𝑐1, 𝑐2, … , 𝑐 𝑘 no todos ceros tales que:
𝑐1 𝑣1 + 𝑐2 𝑣2 + ⋯ + 𝑐 𝑘 𝑣 𝑘 = 0
Un conjunto de vectores que no es linealmente dependiente se dice linealmente independiente, es
decir, cuando la única combinación lineal de los vectores que da el vector cero es la que tienen todos
sus coeficientes cero.
¿Qué es un subespacio vectorial?
R. Un subespacio de un espacio vectorial V es un subconjunto H de V que tiene tres propiedades:
1. El vector cero de V está en H.
2. H es cerrado bajo la suma de vectores. Esto es, para cada u y v en H, la suma u + v está en
H.
3. H es cerrado bajo la multiplicación por escalares. Esto es, para cada u en H y cada escalar c,
el vector cu está en H.
Todo subespacio es un espacio vectorial. De manera recíproca, todo espacio vectorial es un
subespacio de sí mismo o posiblemente de espacios mayores.
¿A qué se refiere ”base” y “dimensión”?
Según (Grossman & Flores Godoy, 2012) un conjunto finito de vectores {𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣 𝑛} es una base
para un espacio vectorial V si:
i. {𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣 𝑛} es linealmente independiente

3. ii. {𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣 𝑛} genera a V
Por otro lado si V es generado por un conjunto finito, se dice que V es de dimensión finita, y la
dimensión de V, que se escribe dim V, es el número de vectores en una base de V. La dimensión del
espacio vectorial cero {0} se define como cero. Si V no es generado por un conjunto finito, entonces
se dice que V es de dimensión infinita. (Lay, 2007).
Bibliografía
Grossman, S. I., & Flores Godoy, J. J. (2012). Algebra Lineal. McGraw Hill.
Lay, D. C. (2007). Algebra Linear y sus Aplicaciones. Pearson.
UnADM. (2016). UnADM. Obtenido de
https://unadmexico.blackboard.com/bbcswebdav/institution/DCEIT/2016_S1-
B2/MT/01/MIAS/U4/Unidad%204.%20Espacios%20vectoriales.pdf