Matrices y Sistemas Lineales

República Bolivariana de Venezuela
Universidad Nacional Experimental Politécnica
“Antonio José de Sucre”
Vice-Rectorado Barquisimeto
Departamento de Estudios Generales y Básicos
Sección de Matemática
Apuntes de Álgebra Lineal
Autores: MSc. Jorge F. Campos S.
MSc. Dorka M. Chaves E.
Barquisimeto, 2008

Índice general
Índice general I
1. Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales 1
1.1. Operaciones con Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1. Suma de Matrices y Multiplicación por Escalar . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2. Producto de Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.3. Transposición o Trasposición de Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2. Operaciones Elementales por Filas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3. Sistemas de Ecuaciones Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.4. Inversa de una Matriz Cuadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.5. Determinantes. Propiedades de los Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1.6. Matriz Adjunta. Regla de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
1.7. Determinantes de Matrices Triangulares por Bloques . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2. Espacios Vectoriales 76
2.1. Espacios Vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.2. Subespacios Vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2.3. Combinación Lineal y Espacio Generado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
2.4. Independencia y Dependencia Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
2.5. Bases y Dimensión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
2.6. Rango, Nulidad, Espacio Fila y Espacio Columna de una Matriz . . . . . . . . . . 107
3. Matriz de Cambio de Base. Espacios con Producto Interno 117
3.1. Cambio de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
3.2. Espacios con producto Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
3.3. Bases Ortonormales y Proceso de Ortonormalización de Gram-Schmidt . . . . . . 132
3.4. Complemento Ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
4. Transformaciones Lineales. Autovalores y Autovectores de una Matriz 149
4.1. Transformaciones Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
4.2. Representación Matricial de una Transformación Lineal . . . . . . . . . . . . . . . 161
4.3. Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
4.4. Autovalores y Autovectores de una Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
4.5. Diagonalización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
i

Índice general ii
4.6. Autovectores y Autoespacios Generalizados. Forma Canónica de Jordan . . . . . . 191
Apéndices 207
A. Campos y Números Complejos 208
A.1. Campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
A.2. El Campo de los Números Complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
B. Algo más sobre Espacios Vectoriales 226
B.1. K-Espacios Vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
B.2. Espacios Vectoriales de Dimensión Infinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
B.3. Espacios con Producto Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
B.4. Espacios Normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
C. Algo más sobre Transformaciones Lineales 229
C.1. Transformaciones Lineales Invertibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
C.2. Autovalores y Autovectores de Transformaciones Lineales . . . . . . . . . . . . . . 234
D. Demostraciones de Algunos Teoremas 238

Cap´ıtulo 1
Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales
1.1. Operaciones con Matrices
Definición 1.1. Sean m, n ∈ Z+
. Una matriz real A de orden m por n (m × n) es un
arreglo bidimensional de números reales dispuestos en m filas y n columnas como sigue
A = (aij)m×n =







a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
...
...
am1 am2 · · · amn







=







a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
...
...







donde aij ∈ R para cada i ∈ {1, . . ., m} y cada j ∈ {1, . . ., n}, el cual es llamado componente
ij-ésima de A.
Para cada i ∈ {1, . . ., m} la i-ésima fila de A la denotaremos por A(i) y está dada por
A(i) = ai1 ai2 · · · ain
Para cada j ∈ {1, . . ., n} la j-ésima columna de A la denotaremos por A(j)
y está dada por
A(j)
=







a1j
a2j
...
amj







Cuando m = n, diremos que A es una matriz cuadrada de orden n, en este caso, las
componentes a11, a22, . . ., ann forman lo que llamaremos diagonal principal de A.
Cuando m = 1, diremos que A es una matriz fila y cuando n = 1, diremos que A es una
matriz columna.
La notación A = (aij)m×n, significa que A es la matriz de orden m × n cuya ij-ésima compo-
nente es aij para cada i ∈ {1, . . ., m} y cada j ∈ {1, . . ., n}.
El conjunto formado por todas las matrices reales de orden m×n lo denotaremos por Mm×n(R).
1

Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales 2
Observación 1.1. Podemos considerar matrices sobre un campo K (ver apéndice B), por
ejemplo K = C, en lugar de matrices reales, en cuyo caso las componentes de las matrices son
elementos de K.
Observación 1.2. Se debe tener cuidado cuando se usa la notación (aij)m×n, el cambio de
´ındices no significa que se trata de otra matriz, los ´ındices son “mudos”, esto es
(aij)m×n = (akr)m×n = (apq)m×n = (aji)m×n
Ejemplo 1.1.
1. A =
−2 0
√
5
2
3
4 1
es una matriz real de orden 2×3, la componente 2, 1 de A es a2,1 = 2
3
,
la fila 2 de A es A(2) = 2
3
4 1 , la columna 3 de A es A(3)
=
√
5
1
2. B =




−1 4 0
5 12 −3
0 2 −8



 es una matriz cuadrada real de orden 3, las componentes de la
diagonal principal son a1,1 = −1, a2,2 = 12, a3,3 = −8.
3. La matriz In = (δij)n×n, donde δij =
1 si i = j
0 si i = j
, para cada i, j ∈ {1, . . . , n}, es llamada
matriz identidad de orden n, esto es,
In =







1 0 · · · 0
0 1
...
...
...
...
... 0
0 · · · 0 1







n×n
4. La matriz 0/
m×n = (ξij)m×n, donde ξij = 0 para cada i ∈ {1, . . ., m} y cada j ∈ {1, . . . , n},
es llamada matriz nula de orden m × n, es decir
0/
m×n =




0 · · · 0
...
...
0 · · · 0




m×n

Cuando m = n, sólo escribiremos 0/
n en lugar de 0/
n×n, es decir,
0/
n =




0 · · · 0
...
...
...
0 · · · 0




n×n
Definición 1.2. Sea A ∈ Mn×n(R). Diremos que A = (aij)n×n es
1. Triangular superior si aij = 0 para i, j ∈ {1, . . ., n} con i > j.
2. Triangular inferior si aij = 0 para i, j ∈ {1, . . ., n} con i < j.
3. Diagonal si aij = 0 para i, j ∈ {1, . . . , n} con i = j, es decir, A es triangular superior e
inferior simultáneamente.
4. Escalar si es diagonal y existe λ ∈ R tal que aii = λ para i ∈ {1, . . . , n}.
Observación 1.3. Una matriz cuadrada es triangular superior (respectivamente inferior) si y
sólo si todas sus componentes bajo (respectivamente sobre) la diagonal principal son iguales a
cero.
Observación 1.4. Cuando A ∈ Mn×n(R) es diagonal y las componentes en la diagonal principal
son λ1, λ2, . . . , λn ∈ R, entonces escribiremos A = diag(λ1, λ2, . . . , λn)
Ejemplo 1.2.
1. Para cada n ∈ Z+
, In y 0/
n son matrices escalares, y por lo tanto diagonales y consecuente-
mente triangulares superior e inferior.
2. A =







−5 4 0 −7
0 3 12 5
0 0 2 1
0 0 0 0







es triangular superior.
3. A =







−5 0 0 0
0 4 0 0
0 −1 0 0
9 13 −3 8







es triangular inferior.

4. A =







6 0 0 0
0 −3 0 0
0 0 −5 0
0 0 0 0







es diagonal, en cuyo caso podemos escribir A = diag(6, −3, −5, 0).
5. A =







8 0 0 0
0 8 0 0
0 0 8 0
0 0 0 8







es escalar, en cuyo caso podemos escribir A = diag(8, 8, 8, 8).
Definición 1.3. Sean A, B ∈ Mm×n(R). Diremos que A y B son matrices iguales, lo cual
denotaremos por A = B, si la componente ij-ésima de A es igual a la componente ij-ésima de
B para cada i ∈ {1, . . . , m} y cada j ∈ {1, . . ., n}, es decir, si A = (aij)m×n y B = (bij)m×n,
diremos que A y B son iguales si
aij = bij para cada i ∈ {1, . . ., m} y cada j ∈ {1, . . ., n}
Observación 1.5. Nótese que para que dos matrices sean iguales, en primer lugar deben ser
del mismo orden.
Ejemplo 1.3. Si A =
5 −1 0
−6 8 3
; B =




5 7
0 y
−2 4



 y C =




x 7
0 −3
−2 4



, entonces A = B
pues ni siquiera son del mismo orden; B = C si y sólo si x = 5 e y = −3.
El siguiente teorema es una consecuencia directa de la definición de igualdad de matrices, su
demostración la dejamos como ejercicio.
Teorema 1.1. Sean A, B ∈ Mm×n(R). Entonces las siguientes proposiciones son equivalentes
1. A = B.
2. A(i) = B(i) para cada i ∈ {1, . . ., m}.
3. A(j)
= B(j)
para cada j ∈ {1, . . ., n}.
Demostración. ¡Ejercicio!

1.1.1. Suma de Matrices y Multiplicación por Escalar
En esta sección definiremos dos operaciones con matrices que dotarán al conjunto Mm×n(R)
de una estructura algebraica conocida como espacio vectorial, dicha estructura será tratada
en el cap´tulo 2 del presente trabajo.
Definición 1.4. Sean A, B ∈ Mm×n(R) con A = (aij)m×n y B = (bij)m×n. Definiremos la
matriz suma de A con B, como la matriz A + B ∈ Mm×n(R) cuya ij-ésima componente viene
dada por aij + bij para cada i ∈ {1, . . ., m} y cada j ∈ {1, . . ., n}, esto es, si A + B = (cij)m×n,
entonces cij = aij + bij para cada i ∈ {1, . . ., m} y cada j ∈ {1, . . ., n}.
Observación 1.6. Para poder sumar dos matrices estas deben ser del mismo orden.
Ejemplo 1.4. Si A =




4 −9 0 8
−7 3 5 −12
1 0 −6 2



 y B =




−3 9 5 −4
1 −13 3 9
10 4 7 11



, entonces
A + B =




4 −9 0 8
−7 3 5 −12
1 0 −6 2



 +




−3 9 5 −4
1 −13 3 9
10 4 7 11




=




4 + (−3) −9 + 9 0 + 5 8 + (−4)
−7 + 1 3 + (−13) 5 + 3 −12 + 9
1 + 10 0 + 4 −6 + 7 2 + 11



 =




1 0 5 4
−6 −10 8 −3
11 4 1 13




Definición 1.5. Sean A ∈ Mm×n(R) y α ∈ R (α es llamado escalar), con A = (aij)m×n.
Definiremos la multiplicación de α por A ( multiplicación por escalar) como la matriz
α · A ó simplemente αA cuya ij-ésima componente es αaij para cada i ∈ {1, . . . , m} y cada
j ∈ {1, . . ., n}, esto es, si αA = (bij)m×n, entonces bij = αaij para cada i ∈ {1, . . . , m} y cada
j ∈ {1, . . . , n}.
Observación 1.7. La notación de multiplicación por escalar es α · A o αA y no A · α ni Aα,
se debe colocar primero el escalar luego la matriz.
Observación 1.8. Toda matriz escalar de orden n es un múltiplo escalar de In, ms an, A ∈
Mn×n(R) es una matriz escalar si y sólo si existe λ ∈ R tal que A = λIn.

Ejemplo 1.5. Sea A la matriz del ejemplo 1.4, entonces
2 · A = 2 ·




4 −9 0 8
−7 3 5 −12
1 0 −6 2



 =




2 · 4 2(−9) 2 · 0 2 · 8
2(−7) 2 · 3 2 · 5 2(−12)
2 · 1 2 · 0 2(−6) 2 · 2




=




8 −18 0 16
−14 6 10 −24
2 0 −12 4




Teorema 1.2. Sean A, B, C ∈ Mm×n(R) y α, β ∈ R cualesquiera. Entonces
1. A + B = B + A (conmutatividad de la suma).
2. (A + B) + C = A + (B + C) (asociatividad de la suma).
3. A + 0/
m×n = A = 0/
m×n +A (neutro aditivo).
4. Existe una matriz D ∈ Mm×n(R) tal que A + D = 0/
m×n = D + A (opuesto aditivo).
5. α(A + B) = αA + αB (distributividad de la multiplicación por escalar respecto a la suma
matricial).
6. (α + β)A = αA + βA (distributividad de la multiplicación por escalar respecto a la suma
escalar).
7. α(βA) = (αβ)A = β(αA) (asociatividad de la multiplicación por escalar).
8. 1 · A = A (neutro de la multiplicación por escalar).
Demostración. Sean A = (aij)m×n, B = (bij)m×n y C = (cij)m×n.
1. Hagamos A + B = E = (eij)m×n y B + A = F = (fij)m×n. Por definición de suma de
matrices, tenemos que para cada i ∈ {1, . . ., m} y cada j ∈ {1, . . ., n}
eij = aij + bij = bij + aij = fij
Luego A + B = E = F = B + A (definición de igualdad de matrices).

2. Hagamos A + B = E = (eij)m×n, (A + B) + C = E + C = F = (fij)m×n, B + C = G =
(gij)m×n y A + (B + C) = A + G = H = (hij)m×n. As´ı que por definición de suma de
matrices
fij = eij + cij = (aij + bij) + cij = aij + (bij + cij) = aij + gij = hij
De donde (A + B) + C = F = H = A + (B + C) (definición de igualdad de matrices).
3. Recordemos que 0/
m×n = (ξij)m×n donde ξij = 0 para cada i ∈ {1, . . . , m} y cada j ∈
{1, . . . , n}. As´ı que si A + 0/
m×n = E = (eij)m×n, entonces, por definición de suma de
matrices, para cada i ∈ {1, . . . , m} y cada j ∈ {1, . . . , n}
eij = aij + ξij = aij + 0 = aij
Por lo tanto A + 0/
m×n = E = A y por conmutatividad
A + 0/
m×n = A = 0/
m×n +A
4. Definamos D = (dij)m×n con dij = −aij para cada i ∈ {1, . . ., m} y cada j ∈ {1, . . ., n}.
Hagamos A + D = E = (eij)m×n. Entonces, por definición de suma de matrices, para cada
i ∈ {1, . . ., m} y cada j ∈ {1, . . ., n}
eij = aij + dij = aij + (−aij) = 0
Por lo tanto A + D = E = 0/
m×n y por conmutatividad
A + D = 0/
m×n = D + A
5. Hagamos A + B = E = (eij)m×n, α(A + B) = αE = F = (fij)m×n, αA = G = (gij)m×n,
αB = H = (hij)m×n y αA + αB = G + H = P = (pij)m×n. Entonces, para cada
i ∈ {1, . . ., m} y cada j ∈ {1, . . ., n} tenemos que
fij = αeij (definición de multiplicación por escalar)
= α(aij + bij) (definición de suma de matrices)
= αaij + αbij
= gij + hij (definición de multiplicación por escalar)
= pij (definición de suma de matrices)
Luego
α(A + B) = F = P = αA + αB

6. Hagamos (α + β)A = E = (eij)m×n, αA = F = (fij)m×n, βA = G = (gij)m×n y αA + βA =
F + G = H = (hij)m×n. En consecuencia, para cada i ∈ {1, . . . , m} y cada j ∈ {1, . . ., n}
se tiene que
eij = (α + β)aij (definición de multiplicación por escalar)
= αaij + βaij
= fij + gij (definición de multiplicación por escalar)
= hij (definición de suma de matrices)
De donde
(α + β)A = E = H = αA + βA
7. Hagamos βA = E = (eij)m×n, α(βA) = αE = F = (fij)m×n y (αβ)A = G = (gij)m×n.
As´ı que, por definición de multiplicación de por escalar, para cada i ∈ {1, . . ., m} y cada
j ∈ {1, . . . , n} obtenemos
fij = αeij = α(βaij) = (αβ)aij = gij
Luego α(βA) = F = G = (αβ)A y en consecuencia
β(αA) = (βα)A = (αβ)A
Por lo tanto
α(βA) = (αβ)A = β(αA)
8. Hagamos 1 · A = E = (eij)m×n. As´ı que al usar la definición de multiplicación por escalar,
se tiene que para cada i ∈ {1, . . ., m} y cada j ∈ {1, . . ., n}
eij = 1 · aij = aij
En consecuencia
1 · A = E = A
Teorema 1.3.
1. La matriz nula 0/
m×n es la única matriz real de orden m×n tal que para cada A ∈ Mm×n(R)
se cumple que A + 0/
m×n = A = 0/
m×n +A.

2. Para cada matriz A ∈ Mm×n(R), existe una única matriz D ∈ Mm×n(R) tal que A + D =
0/
m×n = D + A, tal matriz D es llamada matriz opuesta de A y se denota por −A.
Demostración. La parte 3 del teorema 1.2 garantiza que la matriz nula 0/
m×n satisface que para
cada A ∈ Mm×n(R) se cumple que A + 0/
m×n = A = 0/
m×n +A. Además, la existencia de la matriz
D es garantizada en la parte 4 del mismo teorema. Sólo faltar´ıa probar la unicidad de ambas
matrices.
1. Supongamos que P ∈ Mm×n(R) es tal que A + P = A = P + A para cada A ∈ Mm×n(R),
luego
P = P + 0/
m×n (por la parte 3 del teorema 1.2)
= 0/
m×n (hipótesis)
2. Sea A ∈ Mm×n(R) cualquiera. Supongamos que existen D, E ∈ Mm×n(R) tales que
A + D = 0/
m×n = D + A (1.1)
A + E = 0/
m×n = E + A (1.2)
En consecuencia
D = D + 0/
m×n (teorema 1.2 parte 3)
= D + (A + E) (por la ecuación 1.2)
= (D + A) + E (teorema 1.2 parte 2)
= 0/
m×n +E (por la ecuación 1.1)
= E (teorema 1.2 parte 3)
Teorema 1.4. Sean A, B, C ∈ Mm×n(R) tales que A + B = A + C. Entonces B = C.
Teorema 1.5. Sean A ∈ Mm×n(R) y α ∈ R cualesquiera. Entonces
1. 0 · A = 0/
m×n.

2. α 0/
m×n = 0/
m×n.
3. (−1)A = −A.
4. Si αA = 0/
m×n, entonces α = 0 ó A = 0/
m×n.
Demostración.
1. Sabemos que
0 · A + 0/
m×n = 0 · A (¿por qué?)
además
0 · A = (0 + 0)A = 0 · A + 0 · A
as´ı que
0 · A + 0 · A = 0 · A + 0/
m×n
y por el teorema 1.4, se tiene que 0 · A = 0/
m×n
2. Por un lado
α · 0/
m×n = α · 0/
m×n + 0/
m×n (¿por qué?)
por otro lado
α · 0/
m×n = α(0/
m×n + 0/
m×n) = α · 0/
m×n +α · 0/
m×n
luego
α · 0/
m×n + 0/
m×n = α · 0/
m×n +α · 0/
m×n
y nuevamente, usando el teorema 1.4, tenemos que α 0/
m×n = 0/
m×n
3. Basta probar que A + (−1)A = 0/
m×n, y por unicidad, obtendr´ıamos el resultado. Veamos
A + (−1)A = 1 · A + (−1)A (teorema 1.2 parte 8)
= (1 + (−1))A (teorema 1.2 parte 6)
= 0 · A
= 0/
m×n (por la parte 1)
Luego, por unicidad de la matriz opuesta, (−1)A = −A

4. Supongamos que αA = 0/
m×n. Si α = 0, no hay nada que probar, supongamos entonces que
α = 0, as´ı que
A = 1 · A (teorema 1.2 parte 8)
= (α−1
α)A
A = α−1
(αA) (teorema 1.2 parte 7)
= α−1
0/
m×n (por hipótesis)
= 0/
m×n (por la parte 2)
Con lo cual, se concluye la prueba.
Definición 1.6. Sean A, B ∈ Mm×n(R). Definiremos A − B = A + (−B).
Ejemplo 1.6. Si A =







4 −12 0
−6 5 −3
6 −1 2
7 0 1







y B =







5 −10 −6
6 −1 11
4 0 5
−2 −6 −1







, entonces
A − B = A + (−B) =







4 −12 0
−6 5 −3
6 −1 2
7 0 1







+







−







5 −10 −6
6 −1 11
4 0 5
−2 −6 −1














=







4 −12 0
−6 5 −3
6 −1 2
7 0 1







+







−5 10 6
−6 1 −11
−4 0 −5
2 6 1







=







−1 −2 6
−12 6 −14
2 −1 −3
9 6 2







1.1.2. Producto de Matrices
A diferencia de las dos operaciones definidas en la sección anterior, la multiplicación de matrices
no se define de manera “natural”, como veremos luego, no por ello deja de ser importante dicha
operación.

Definición 1.7. Sean A = (aij)m×n ∈ Mm×n(R) y B = (bjk)n×p ∈ Mn×p(R). Definiremos el
producto de A por B como la matriz C = (cik)m×p ∈ Mm×p(R), denotada por AB ó A · B, tal
que para cada i ∈ {1, . . ., m} y cada k ∈ {1, . . . , p} se tiene que
cik =
n
j=1
aijbjk = ai1b1k + ai2b2k + · · · + ainbnk
Observación 1.9. Nótese que para poder definir el producto AB, la cantidad de columnas de
A debe coincidir con la cantidad de filas de B, además, la matriz resultante, es una matriz cuya
cantidad de filas coincide con la cantidad de filas de A y su cantidad de columnas es igual a la
cantidad de columnas de B.
Ejemplo 1.7. Sean A =
2 −1 0
0 3 1
y B =




3 1 0
2 −1 −2
−4 −2 3



. Entonces
AB = A · B
=
2 · 3 + (−1)2 + 0(−4) 2 · 1 + (−1)(−1) + 0(−2) 2 · 0 + (−1)(−2) + 0 · 3
0 · 3 + 3 · 2 + 1(−4) 0 · 1 + 3(−1) + 1(−2) 0 · 0 + 3(−2) + 1 · 3
=
6 − 2 + 0 2 + 1 + 0 0 + 2 + 0
0 + 6 − 4 0 − 3 − 2 0 − 6 + 3
=
4 3 2
2 −5 −3
Observación 1.10. Nótese que en el ejemplo anterior, el producto BA no está definido, esto
nos dice que el producto de matrices no es conmutativo, más aún, a pesar de que ambos productos
están definidos, AB y BA, no necesariamente son ambos del mismo orden, además, siendo ambos
productos del mismo orden, en cuyo caso necesariamente A y B deben ser cuadradas y del mismo
orden, las matrices AB y BA no tienen por que ser iguales, cuando esto ocurre, es decir, cuando
AB = BA, se dice que A y B son matrices que conmutan.
A continuación enunciaremos un teorema que expone las principales propiedades del producto
de matrices
Teorema 1.6. Sean A ∈ Mm×n(R); B, C ∈ Mn×p(R); C ∈ Mp×q(R) y α ∈ R. Entonces
1. (AB)D = A(BD) (asociatividad del producto de matrices).
2. A(B + C) = AB + AC (distributividad a izquierda del producto de matrices).

3. (B + C)D = BD + CD (distributividad a derecha del producto de matrices).
4. α(AB) = (αA)B = A(αB) (asociatividad del producto de matrices y la multiplicación por
escalar).
5. ImA = A = AIn (neutros del producto de matrices).
6. B 0/
p×q = 0/
n×q y 0/
m×n B = 0/
m×p.
Demostración. Sean A = (aij)m×n; B = (bjk)n×p; C = (cjk)n×p y D = (dkl)p×q.
1. Hagamos AB = E = (eik)m×p; (AB)D = ED = F = (fil)m×q; BD = G = (gjl)n×q y
A(BD) = AG = H = (hil)m×q. Entonces, usando la definición de producto matricial, para
cada i ∈ {1, . . . , m} y cada k ∈ {1, . . . , p}
eik =
n
j=1
aijbjk
para cada j ∈ {1, . . ., n} y cada l ∈ {1, . . . , q}
gjl =
p
k=1
bjkdkl
y para cada i ∈ {1, . . . , m} y cada l ∈ {1, . . ., q}
fil =
p
k=1
eikdkl; hil =
n
j=1
aijgjl
Luego
fil =
p
k=1
eikdkl =
p
k=1
n
j=1
aijbjk dkl =
p
k=1
n
j=1
aijbjkdkl =
n
j=1
p
k=1
aijbjkdkl
=
n
j=1
aij
p
k=1
bjkdkl =
n
j=1
aijgjl = hil
Por lo tanto, usando la definición de igualdad de matrices
(AB)D = F = H = A(BD)

2. Hagamos B + C = E = (ejk)n×p; A(B + C) = AE = F = (fik)m×p; AB = G = (gik)m×p;
AC = H = (hik)m×p y AB + AC = G + H = R = (rik)m×p. Entonces, para cada i ∈
{1, . . . , m} y cada k ∈ {1, . . ., p}
fik =
n
j=1
aijejk (definición de producto de matrices)
=
n
j=1
aij(bjk + cjk) (definición de suma de matrices)
=
n
j=1
(aijbjk + aijcjk) =
n
j=1
aijbjk +
n
j=1
aijcjk
= gik + hik (definición de producto de matrices)
= rik (definición de suma de matrices)
En consecuencia
A(B + C) = F = R = AB + AC
3. Análogo a la demostración de la parte 2.
4. Sean AB = E = (eik)m×p; α(AB) = αE = F = (fik)m×p; αA = G = (gij)m×n y (αA)B =
GB = H = (hik)m×p. Entonces, para cada i ∈ {1, . . . , m} y cada k ∈ {1, . . . , p}
fik = αeik (definición de multiplicación por escalar)
= α
n
j=1
aijbjk (definición de producto de matrices)
=
n
j=1
α(aijbjk) =
n
j=1
(αaij)bjk
=
n
j=1
gijbjk (definición de multiplicación por escalar)
= hik (definición de producto de matrices)
De donde α(AB) = F = H = (αA)B. De manera análoga se prueba que α(AB) = A(αB),
as´ı que
α(AB) = (αA)B = A(αB)
5. Recordemos que In = (δjk)n×n, donde
δjk =
1 si j = k
0 si j = k
(1.3)

para cada j, k ∈ {1, . . . , n}.
Hagamos AIn = E = (eik)m×n. Entonces, para cada i ∈ {1, . . ., m} y cada k ∈ {1, . . ., n}
eik =
n
j=1
aijδjk (definición de producto de matrices)
= ai1δ1k + · · · + ai(k−1)δ(k−1)k + aikδkk + ai(k+1)δ(k+1)k + · · · + ainδnk
= ai1 · 0 + · · · + ai(k−1) · 0 + aik · 1 + ai(k+1) · 0 + · · · + ain · 0 (por 1.3)
= aik
Por lo tanto AIn = E = A, análogamente puede probarse que ImA = A, en consecuencia
AIn = A = ImA
6. ¡Ejercicio!
Ejercicio 1.1. Pruebe que si A ∈ Mm×n(R) y B ∈ Mn×p(R), entonces
1. AB = AB(1)
AB(2)
· · · AB(p) (desarrollo por columnas del producto AB), es decir,
la k-ésima columna de AB, que es (AB)(k)
, es igual a A por la k-ésima columna de B,
AB(k)
, para cada k ∈ {1, . . . , p}.
2. AB =







A(1)B
A(2)B
...
A(m)B







(desarrollo por filas del producto AB), es decir, la i-ésima fila de AB,
que es (AB)(i), es igual a la i-ésima fila de A por B, A(i)B, para cada i ∈ {1, . . . , m}.
Ejercicio 1.2. Dada una matriz A ∈ Mn×n(R), para k ∈ N definamos
Ak
=



0/
n si A = 0/
n y k ≥ 1
In si A = 0/
n y k = 0
Ak−1
A si A = 0/
n y k ≥ 1
Pruebe que Ak
Ar
= Ak+r
para cualesquiera k, r ∈ N.
Definición 1.8. Una matriz N ∈ Mn×n(R) es llamada nilpotente si existe p ∈ N tal que
Np
= 0/
n, además, si p es tal que Np−1
= 0/
n, diremos que N es nilpotente de orden p.

Observación 1.11. La matriz nula de orden n es nilpotente y conveninos en que es nilpotente
de orden 0.
Ejemplo 1.8. Las siguientes matrices son nilpotentes
N1 =







−1 1 0 0
−1 0 1 0
−1 0 1 0
−1 0 1 0







; N2 =







0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0







N1 es de orden 3 y N2 es de orden 4 (¡verif´ıquelo!).
1.1.3. Transposición o Trasposición de Matrices
Definición 1.9. Sea A = (aij)m×n ∈ Mm×n(R). Definiremos la transpuesta o traspuesta de
A como la matriz AT
= (bji)n×m ∈ Mn×m(R) tal que
bji = aij para cada i ∈ {1, . . ., m} y cada j ∈ {1, . . ., n}
Ejemplo 1.9. Sea
A =




−2 5 0 7
3 0 1 −6
−5 12 −2 9




Entonces
AT
=







−2 3 −5
5 0 12
0 1 −2
7 −6 9







Observación 1.12. Nótese que las filas de A “pasan” a ser las columnas de AT
y las columnas
de A “pasan” a ser las filas de AT
, más propiamente
A(i)
T
= AT (i)
para cada i ∈ {1, . . ., m}
A(j) T
= AT
(j)
para cada j ∈ {1, . . ., n}
Teorema 1.7. Sean A, B ∈ Mm×n(R), C ∈ Mn×p(R) y α ∈ R. Entonces

1. AT T
= A (propiedad de involución de la transposición de matrices)
2. (A + B)T
= AT
+ BT
(transpuesta de la suma)
3. (αA)T
= αAT
(transpuesta de la multiplicación por escalar)
4. (AC)T
= CT
AT
(transpuesta del producto matricial)
5. (In)T
= In y (0/
m×n)T
= 0/
n×m
Demostración. Sean A = (aij)m×n; B = (bij)m×n y C = (cjk)n×p.
1. Hagamos AT
= D = (dji)n×m y AT T
= DT
= E = (eij)m×n. Entonces, para cada
i ∈ {1, . . ., m} y cada j ∈ {1, . . ., n}, por definición de transpuesta
eij = dji = aij
Luego
AT T
= E = A
2. Sean A + B = D = (dij)m×n; (A + B)T
= DT
= E = (eji)n×m; AT
= F = (fji)n×m;
BT
= G = (gji)n×m y AT
+BT
= F+G = H = (hji)n×m. Entonces, para cada i ∈ {1, . . ., m}
y cada j ∈ {1, . . ., n}
eji = dij (definición de transpuesta)
= aij + bij (definición de suma de matrices)
= fji + gji (definición de transpuesta)
= hji (definición de suma de matrices)
Por lo tanto
(A + B)T
= E = H = AT
+ BT
3. Hagamos αA = D = (dij)m×n; (αA)T
= DT
= E = (eji)n×m; AT
= F = (fji)n×m; y
αAT
= αF = G = (gji)n×m. Entonces, para cada i ∈ {1, . . ., m} y cada j ∈ {1, . . ., n}
eji = dij (definición de transpuesta)
= αaij (definición de multiplicación por escalar)
= αfji (definición de transpuesta)
= gji (definición de multiplicación por escalar)

As´ı que
(αA)T
= E = G = αAT
4. Sean AC = D = (dik)m×p; (AC)T
= DT
= E = (eki)p×m; CT
= F = (fkj)p×n; AT
=
G = (gji)n×m y CT
AT
= FG = H = (hki)p×m. Entonces, para cada i ∈ {1, . . ., m} y cada
k ∈ {1, . . . , p}
eki = dik (definición de transpuesta)
=
n
j=1
aijcjk (definición de producto)
=
n
j=1
gjifkj (definición de transpuesta)
=
n
j=1
fkjgji = hki (definición de producto)
De donde
(AC)T
= E = H = CT
AT
5. ¡Ejercicio!
Definición 1.10. Sea A ∈ Mn×n(R). Diremos que
1. A es simétrica si AT
= A.
2. A es antisimétrica si AT
= −A.
Ejemplo 1.10.
1. In es simétrica para todo n ∈ N.
2. 0/
n es simétrica y antisimétrica para todo n ∈ N ¿existe alguna otra matriz que sea simétrica
y antisimétrica simultáneamente?
3. La matriz
A =







0 5 7 −6
−5 0 −4 8
−7 4 0 12
6 −8 −12 0








es antisimétrica pues
AT
=







0 −5 −7 6
5 0 4 −8
7 −4 0 −12
−6 8 12 0







= −A
4. La matriz
A =







5 −9 3 0
−9 2 −1 13
3 −1 0 7
0 13 7 −3







es simétrica ya que
AT
=







5 −9 3 0
−9 2 −1 13
3 −1 0 7
0 13 7 −3







= A
Teorema 1.8. Sea A ∈ Mn×n(R). Entonces
1. A es simétrica si y sólo si aij = aji para cualesquiera i, j ∈ {1, . . ., n}.
2. A es antisimétrica si y sólo si aij = −aji para cualesquiera i, j ∈ {1, . . . , n}.
3. Si A es antisimétrica, entonces aii = 0 para cualquiera i ∈ {1, . . ., n}.
1.2. Operaciones Elementales por Filas
Las operaciones elementales por filas son herramientas usadas con mucha frecuencia en
la resolución de los sistemas de ecuaciones lineales al igual que en cálculo de la inversa
de una matriz cuadrada. Estas operaciones las usaremos a lo largo de todo el curso, por ello
deben ser manejadas con la mayor perfección posible por parte del estudiante que desee aprender
la materia. Comencemos por definir dichas operaciones.
Denotemos por Fm(R) el conjunto formado por todas las matrices reales con m filas.

Definición 1.11. Una operación elemental por filas (OEF) es una función f : Fm(R) →
Fm(R) la cual es de uno de los siguientes tipos
OEF Tipo 1. Si f(A) = B, entonces existen s ∈ {1, . . . , m} y α = 0 tales que B(i) = A(i)
para cada i ∈ {1, . . . , m}, con i = s, y además B(s) = αA(s), esto es, una de las filas
de A es multiplicada por un escalar no nulo y el resto de las filas permanecen iguales.
f(A) = f






























A(1)
...
A(s−1)
A(s)
A(s+1)
...
A(m)






























=















A(1)
...
A(s−1)
αA(s)
A(s+1)
...
A(m)















= B
Por comodidad, en lugar de escribir B = f(A), escribiremos A
Fs → αFs
→B.
OEF Tipo 2. Si f(A) = B, entonces existen s, t ∈ {1, . . . , m}, con s = t, y α ∈ R tales
que B(i) = A(i) para cada i ∈ {1, . . ., m}, con i = s, y además B(s) = A(s) + αA(t),
es decir, a una fila de A le sumamos un múltiplo escalar de alguna otra fila de A,
distinta de la primera, dejando el resto de las filas intactas.
f(A) = f






























A(1)
...
A(s−1)
A(s)
A(s+1)
...
A(m)






























=















A(1)
...
A(s−1)
A(s) + αA(t)
A(s+1)
...
A(m)















= B
Al igual que antes, en lugar de escribir B = f(A), escribiremos A
Fs → Fs + αFt
→B.
OEF Tipo 3. Si f(A) = B, entonces existen s, t ∈ {1, . . ., m} tales que B(i) = A(i) para
cada i ∈ {1, . . . , m}, con i = s e i = t y además B(s) = A(t) y B(t) = A(s), dicho de
otra manera, intercambiamos dos filas de A y dejamos el resto sin alterar.

f(A) = f






















































A(1)
...
A(s−1)
A(s)
A(s+1)
...
A(t−1)
A(t)
A(t+1)
...
A(m)






















































=



























A(1)
...
A(s−1)
A(t)
A(s+1)
...
A(t−1)
A(s)
A(t+1)
...
A(m)



























= B
Nuevamente, en lugar de escribir B = f(A), escribiremos A
Fs ↔ Ft
→B.
Observación 1.13. Nótese que si A ∈ Mm×n(R) y f : Fm(R) → Fm(R) es una OEF, entonces
f(A) ∈ Mm×n(R).
Ejercicio 1.3. Pruebe que toda OEF f : Fm(R) → Fm(R) es una función invertible y que su
inversa f−1
: Fm(R) → Fm(R) es también una OEF del mismo tipo que f.
Ejemplo 1.11. Sea
A =







−2 4 −5
6 3 4
2 −1 8
−6 21 −15







Entonces
A =







−2 4 −5
6 3 4
2 −1 8
−6 21 −15







F1 ↔ F3
→
(OEF 3)







2 −1 8
6 3 4
−2 4 −5
−6 21 −15







F4 → 1
3
F4
→
(OEF 1)







2 −1 8
6 3 4
−2 4 −5
−2 7 −5







F3 → F3 + F1
→
(OEF 2)







2 −1 8
6 3 4
0 3 3
−2 7 −5







= B

Observación 1.14. Se pueden aplicar más de dos operaciones por filas en un solo paso, lo único
que debemos cuidar es no transformar, en el mismo paso, una fila más de una vez y no
transformar, en el mismo paso, una fila que va ser usada para transformar a otra(s).
Observación 1.15. De manera análoga a como se definieron las operaciones elementales por
filas, pueden definirse operaciones elementales por columnas (OEC), sin embargo, estas
últimas sólo se usarán para el cálculo de determinantes y no para la resolución de sistemas
de ecuaciones lineales ni para hallar la inversa de una matriz cuadrada, en estos últimos dos
problemas sólo usaremos las operaciones elementales por filas.
Definición 1.12. Sea A = (aij)m×n ∈ Mm×n(R). Diremos que A es una matriz
Escalonada
1. Si todas las filas nulas de A, si las hay, están ubicadas en las últimas posiciones,
esto es, si A(i) es una fila no nula de A, entonces A(s) también es no nula para cada
1 ≤ s < i.
2. Si A(i) y A(i+1) son dos filas no nulas de A, entonces la primera componente no nula de
A(i) (contada de izquierda a derecha) está mas a la izquierda de la primera componente
no nula de A(i+1), es decir, si j, k ∈ {1, . . ., n} son tales que aij = 0; a(i+1)k = 0 y
ais = 0 = a(i+1)t para cada 1 ≤ s < j y cada 1 ≤ t < k, entonces j < k.
Reducida por Filas (RF)
1. Si A(i) es una fila no nula de A, entonces la primera componente no nula de A(i) es
igual a 1 (uno), dicha componente es llamada pivote, es decir, si j ∈ {1, . . ., n} es
tal que aij = 0 y ais = 0 para cada 1 ≤ s < j, entonces aij = 1.
2. Si A(j)
es una columna de A que tiene un pivote, entonces el resto de las componentes
de A(j)
son iguales a 0 (cero), esto es, si i ∈ {1, . . . , m} es tal que aij = 1 y ais = 0
para cada 1 ≤ s < j, entonces akj = 0 para cada k ∈ {1, . . ., m} con k = i.
Escalonada Reducida por Filas (ERF) si es escalonada y reducida por filas simultánea-
mente.
Ejemplo 1.12.

1. Para cualesquiera m, n ∈ Z+
, In y 0/
m×n son matrices escalonadas reducidas por filas.
2. E =







2 −1 3 8 3
0 5 1 6 −4
0 0 0 8 −7
0 0 0 0 0







es escalonada pero no es reducida por filas.
3. R =










1 0 0 7
0 0 0 0
0 0 1 −9
0 0 0 6
0 1 0 1










es reducida por filas pero no es escalonada.
4. F =










1 0 −5 0 8
0 1 3 0 −1
0 0 0 1 −2
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0










es escalonada reducida por filas.
Ejercicio 1.4. Sea A ∈ Mm×n(R). Pruebe que:
1. Si A es una matriz escalonada, entonces la cantidad de filas no nulas de A es, a lo sumo,
el m´ınimo entre m y n.
2. Si A es una matriz RF, entonces la cantidad de pivotes de A es, a lo sumo, el m´ınimo entre
m y n.
Ejercicio 1.5. Pruebe que si A ∈ Mn×n(R) es una matriz escalonada, entonces A es triangular
superior.
Definición 1.13. Sean A, B ∈ Mm×n(R). Diremos que B es equivalente por filas a A si
existen OEF f1, f2, . . . , fr : Fm(R) → Fm(R) tales que B = (f1 ◦ f2 ◦ · · · ◦ fr)(A)
Ejemplo 1.13. Consideremos las matrices A y B del ejemplo 1.11. Entonces B es equivalente
por filas a A (¿por qué?).
Teorema 1.9. Sean A, B, C ∈ Mm×n(R). Tenemos que

1. A es equivalente por filas a A.
2. Si B es equivalente por filas a A, entonces A es equivalente por filas a B.
3. Si C es equivalente por filas a B y B es equivalente por filas a A, entonces C es equivalente
por filas a A.
Observación 1.16. La parte 2 del teorema 1.9, nos permite decir A y B son equivalentes por
filas en lugar de B es equivalente por filas a A ó A es equivalente por filas a B.
Teorema 1.10. Toda matriz A ∈ Mm×n(R) es equivalente por filas a
1. Una matriz escalonada.
2. Una matriz reducida por filas.
3. Una única matriz escalonada reducida por filas, la cual llamaremos la forma escalonada
reducida por filas (FERF) de A.
Demostración. Ver apéndice D
Observación 1.17. A ∈ Mn×n(R) es equivalente por filas a In si y sólo si In es la FERF de A.
El siguiente ejemplo ilustra el procedimiento a seguir para hallar la FERF de una matriz.
Ejemplo 1.14. Hallar la FERF de
A =







6 −1 −15 2 13
−1 0 2 −1 −3
0 −3 −9 0 9
7 1 −11 3 10







Solución.
A =







6 −1 −15 2 13
−1 0 2 −1 −3
0 −3 −9 0 9
7 1 −11 3 10







F1 ↔ F2
→







−1 0 2 −1 −3
6 −1 −15 2 13
0 −3 −9 0 9
7 1 −11 3 10








F1 → −F1
→







1 0 −2 1 3
6 −1 −15 2 13
0 −3 −9 0 9
7 1 −11 3 10







F2 → F2 − 6F1
→
F4 → F4 − 7F1







1 0 −2 1 3
0 −1 −3 −4 −5
0 −3 −9 0 9
0 1 3 −4 −11







F2 → −F2
→







1 0 −2 1 3
0 1 3 4 5
0 −3 −9 0 9
0 1 3 −4 −11







F3 → F3 + 3F2
→
F4 → F4 − F2







1 0 −2 1 3
0 1 3 4 5
0 0 0 12 24
0 0 0 −8 −16







F3 → 1
12
F3
→







1 0 −2 1 3
0 1 3 4 5
0 0 0 1 2
0 0 0 −8 −16







F1 → F1 − F3
F2 → F2 − 4F3
→
F4 → F4 + 8F3







1 0 −2 0 1
0 1 3 0 −3
0 0 0 1 2
0 0 0 0 0







As´ı que la FERF de A es
C =







1 0 −2 0 1
0 1 3 0 −3
0 0 0 1 2
0 0 0 0 0







Definición 1.14. Una matriz E ∈ Mn×n(R) es llamada matriz elemental si existe una OEF
f : Fn(R) → Fn(R) tal que E = f(In), es decir, E se obtiene de In por medio de una única OEF.
Ejemplo 1.15.
1. E1 =







1 0 0 0
0 1 0 0
−5 0 1 0
0 0 0 1







es elemental, pues
I4 =







1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1







F3 → F3 − 5F1
→







1 0 0 0
0 1 0 0
−5 0 1 0
0 0 0 1







= E1

2. E2 =




1 0 0
0 4 0
0 0 1



 es elemental, ya que
I3 =




1 0 0
0 1 0
0 0 1



 F2 → 4F2
→




1 0 0
0 4 0
0 0 1



 = E2
3. E3 =










1 0 0 0 0
0 0 0 0 1
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 1 0 0 0










es elemental, dado que
I5 =










1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1










F2 ↔ F5
→










1 0 0 0 0
0 0 0 0 1
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 1 0 0 0










= E3
Teorema 1.11. Sean A ∈ Mm×n(R), B ∈ Mn×p(R) y f : Fm(R) → Fm(R) una OEF. Entonces
1. f(AB) = f(A)B.
2. (f(A))(j)
= f A(j)
para cada j ∈ {1, . . ., n} de donde
f(A) = f A(1)
f A(2)
· · · f A(n)
es decir, la fila j-ésima de f(A) es igual a f aplicada a la j-ésima fila de A.
Demostración. Ver apéndice D.
Como una consecuencia directa de este teorema tenemos el siguiente resultado.
Corolario 1.12. Si A ∈ Mm×n(R), B ∈ Mn×p(R) y f, f1, f2, . . . , fr : Fm(R) → Fm(R) son OEF,
entonces

1. f(A) = f(Im)A.
2. (f1 ◦ f2 ◦ · · · ◦ fr)(AB) = (f1 ◦ f2 ◦ · · · ◦ fr)(A)B.
3. ((f1 ◦ f2 ◦ · · · ◦ fr)(A))(j)
= (f1 ◦ f2 ◦ · · · ◦ fr) A(j)
para cada j ∈ {1, . . ., m}.
Otra consecuencia del mismo teorema, en conjunción con el corolario anterior, es la siguiente.
Corolario 1.13. Sean A, B ∈ Mm×n(R) dos matrices equivalentes por filas. Entonces existen
matrices elementales E1, E2, . . . , Er ∈ Mm×m(R) tales que B = E1E2 · · · ErA
1.3. Sistemas de Ecuaciones Lineales
La presente sección esta muy relacionada con las OEF y las matrices, y es quizás, junto con la
sección anterior, la más importante del presente cap´ıtulo.
Definición 1.15. Un sistema de ecuaciones lineales con m ecuaciones y n incógnitas es
un conjunto de ecuaciones de la forma



a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2
...
...
...
...
...
am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm
(1.4)
donde x1, x2, . . . , xn son las incógnitas del sistema 1.4 y toman valores en R; aij ∈ R son
números fijos para cada i ∈ {1, . . ., m} y cada j ∈ {1, . . . , n} y los llamaremos coeficientes del
sistema 1.4 y b1, b2, . . . , bm ∈ R son fijos y son los términos independientes del sistema 1.4.
Si b1 = b2 = · · · = bm = 0, diremos que el sistema 1.4 es homogéneo, en caso contrario
diremos que es no homogéneo.
Cuando m = n, se dice que el sistema 1.4 es un sistema cuadrado.

Si hacemos
A = (aij)m×n =







a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
...
...







; b =







b1
b2
...
bm







y x =







x1
x2
...
xn







,
el sistema 1.4 puede escribirse como la ecuación matricial Ax = b (¡verif´ıquelo!), que llamare-
mos representación matricial del sistema 1.4. La matriz A es llamada matriz de coefi-
cientes o matriz del sistema 1.4, la matriz
[A|b] =







a11 a12 · · · a1n b1
a21 a22 · · · a2n b2
...
...
...
...
am1 am2 · · · amn bm







es llamada matriz ampliada del sistema 1.4, x se conoce con el nombre de matriz incógnita
o matriz de incógnitas y b es conocida como matriz de términos independientes.
El sistema 


a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = 0
a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = 0
...
...
...
...
...
am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = 0
(1.5)
es llamado sistema homogéneo asociado al sistema 1.4.
Diremos que c1, c2, . . . , cn es una solución del sistema 1.4 si al sustituir x1 = c1, x2 =
c2, . . . , xn = cn en 1.4, las igualdades son satisfechas.
Se dice que el sistema 1.4 es
Inconsistente si no tiene solución alguna.
Consistente si tiene al menos una solución, cuando tiene una única solución, se dice que
es consistente determinado, si tiene más de una solución, se dice que es consistente
indeterminado.
Observación 1.18. En general, no haremos diferencia al referirnos al sistema y a su repre-
sentación matricial.

Observación 1.19. Todo sistema homogéneo Ax = 0/
m×1 es consistente, x = 0/
n×1 es solución
de éste, la cual es llamada solución trivial.
Observación 1.20. Es claro si A ∈ Mm×n(R) y x =







x1
x2
...
xn







∈ Mn×1(R), entonces
Ax = x1A(1)
+ x2A(2)
+ · · · + xnA(n)
Ejemplo 1.16.
1.
3x1 +2x2 −6x3 = 0
−x1 +5x2 −7x3 = 4
es un sistema de ecuaciones lineales de dos ecuaciones y tres incógnitas, es no homogéneo,
su representación matricial es
3 2 −6
−1 5 −7




x1
x2
x3



 =
0
4
La matriz es y la matriz ampliada del sistema son, respectivamente
3 2 −6
−1 5 −7
y
3 2 −6 0
−1 5 −7 4
las matrices incógnitas y de términos independientes son, respectivamente




x1
x2
x3



 y
0
4
2.



6x −2y +9z = 1
−5x +12y −3z = −2
x 6z = 6
es un sistema de ecuaciones lineales cuadrado con tres ecuaciones y tres incógnitas, es no
homogéneo y su representación matricial es





6 −2 9
−5 12 −3
1 0 6








x
y
z



 =




1
−2
6




El sistema homogéneo asociado a este sistema es



6x −2y +9z = 0
−5x +12y −3z = 0
x 6z = 0
Una pregunta que surge de manera inmediata es ¿cómo garantizar que un sistema de ecuaciones
lineales es consistente o inconsistente? y en caso de que sea consistente ¿cómo resolver dicho
sistema? Haremos uso de las matrices y las OEF para responder ambas preguntas, pero antes
daremos las bases teóricas que nos permitan usar dichas herramientas.
Teorema 1.14. Sean Ax = b y Cx = d las representaciones matriciales de dos sistemas de
ecuaciones lineales con m ecuaciones y n incógnitas. Supongamos que las matrices [A|b] y [C|d]
son equivalentes por filas. Entonces ambos sistemas tienen exactamente las mismas soluciones o
ninguno tiene solución.
Demostración. Dado que las matrices [A|b] y [C|d] son equivalentes por filas, entonces existen
OEF f1, f2, . . . , fr : Fm(R) → Fm(R) tales que
(f1 ◦ f2 ◦ · · · ◦ fr)([A|b]) = [C|d]
por la parte 3 del corolario 1.12
(f1 ◦ f2 ◦ · · · ◦ fr)(A) = C y (f1 ◦ f2 ◦ · · · ◦ fr)(b) = d
y por la parte 2 del mismo corolario, tenemos que
(f1 ◦ f2 ◦ · · · ◦ fr)(Ax) = (f1 ◦ f2 ◦ · · · ◦ fr)(A)x
As´ı que, si Ax = b, entonces
Cx = (f1 ◦ f2 ◦ · · · ◦ fr)(A)x = (f1 ◦ f2 ◦ · · · ◦ fr)(Ax) = (f1 ◦ f2 ◦ · · · ◦ fr)(b) = d

Además, en virtud del ejercicio 1.3, f1, f2, . . . , fr son invertibles y f−1
1 , f−1
2 , . . . , f−1
r son también
OEF sobre Fm(R), luego, si Cx = d, entonces
Ax = (f1 ◦ f2 ◦ · · · ◦ fr)−1
(C)x = (f−1
r ◦ · · · ◦ f−1
2 ◦ f−1
1 )(C)x
= (f−1
r ◦ · · · ◦ f−1
2 ◦ f−1
1 )(Cx) = (f−1
r ◦ · · · ◦ f−1
2 ◦ f−1
1 )(d) = (f1 ◦ f2 ◦ · · · ◦ fr)−1
(d) = b
Por lo tanto Ax = b si y sólo si Cx = d, en consecuencia, o ambos sistemas son inconsistentes o
ambos tienen la(s) misma(s) solución(es).
Observación 1.21. Cuando la matriz del sistema es una matriz ERF, es fácil decidir si el
sistema es o no consistente, y en caso de serlo, es sencillo hallar la(s) solución(es) de este. La
idea es hallar la FERF de la matriz ampliada del sistema, y en virtud del teorema 1.14, resolver,
de manera sencilla, el sistema dado.
Corolario 1.15. Sean A, C ∈ Mm×n(R) y b, d ∈ Mm×1(R) tales que [C|d] es la FERF de [A|b].
El sistema Ax = b tiene solución si y sólo si el número de filas no nulas de [C|d] es igual al
número de filas no nulas de C.
Ejemplo 1.17. Decidir cuál de los siguientes sistemas son consistentes y cuáles no, en caso de
serlo, mostrar su(s) solución(es).
1.



2x +y −z = 1
2x −y +5z = 5
−y +3z = 2
2.



2x +y −z = 2
x −2y +4z = −3
5x −4y +8z = −9
−y +3z = 2
3.



x +y −2z +w = 1
4x +2y +2z = −2
2y −10z +3w = 3

4.



x +y −2z +w = 1
4x +2y +2z = −2
2y −10z +4w = 3
Solución.
1. La matriz ampliada del sistema es




2 1 −1 1
2 −1 5 5
0 −1 3 2




Hallemos su FERF




2 1 −1 1
2 −1 5 5
0 −1 3 2



 F1 → 1
2
F1
→




1 1
2
−1
2
1
2
2 −1 5 5
0 −1 3 2



 F2 → F2 − 2F1
→




1 1
2
−1
2
1
2
0 −2 6 4
0 −1 3 2




F1 → −1
2
F1
→




1 1
2
−1
2
1
2
0 1 −3 −2
0 −1 3 2




F1 → F1 − 1
2
F2
→
F3 → F3 + F2




1 0 1 3
2
0 1 −3 −2
0 0 0 0




La última fila de esta última matriz equivale a la ecuación 0 · x + 0 · y + 0 · z = 0, que no
aporta nada a la solución. As´ı que el sistema dado es equivalente al sistema
x +z = 3
2
y −3z = −2
que a su vez equivale a
x = −z + 3
2
y = 3z − 2
Luego el sistema dado es consistente indeterminado. Haciendo z = α, con α ∈ R, obtenemos
x = −α +
3
2
; y = 3α − 2
En consecuencia la solución del sistema dado viene dada por
x = −α +
3
2
; y = 3α − 2; z = α; con α ∈ R

o bien 



x
y
z



 =




−α +3
2
3α −2
α



 = α




−1
3
1



 +




3
2
−2
0



 ; con α ∈ R
2. En este caso la matriz del sistema es







2 1 −1 2
1 −2 4 −3
5 −4 8 −9
0 −1 3 2







Vamos a hallar su FERF







2 1 −1 2
1 −2 4 −3
5 −4 8 −9
0 −1 3 2







F1 ↔ F2
→







1 −2 4 −3
2 1 −1 2
5 −4 8 −9
0 −1 3 2







F2 → F2 − 2F1
→
F3 → F3 − 5F1







1 −2 4 −3
0 5 −9 8
0 6 −12 6
0 −1 3 2







F2 ↔ F4
→







1 −2 4 −3
0 −1 3 2
0 6 −12 6
0 5 −9 8







F2 → −F2
→







1 −2 4 −3
0 1 −3 −2
0 6 −12 6
0 5 −9 8







F1 → F1 + 2F2
→
F3 → F3 − 6F2
F4 → F4 − 5F2







1 0 −2 −7
0 1 −3 −2
0 0 6 18
0 0 6 18







F3 → 1
6
F3
→







1 0 −2 −7
0 1 −3 −2
0 0 1 3
0 0 6 18







F1 → F1 + 2F3
→
F2 → F2 + 3F3
F4 → F4 − 6F3







1 0 0 −1
0 1 0 7
0 0 1 3
0 0 0 0







Luego, el sistema dado es equivalente al sistema



x = −1
y = 7
z = 3

Por lo tanto el sistema es consistente determinado y su soluci´on es
x = −1; y = 7; z = 3
o bien 



x
y
z



 =




−1
7
3




3. Hallemos la FERF de la matriz ampliada del sistema que es




1 1 −2 1 1
4 2 2 0 −2
0 2 −10 3 3








1 1 −2 1 1
4 2 2 0 −2
0 2 −10 3 3



 F2 → F2 − 4F1
→




1 1 −2 1 1
0 −2 10 −4 −6
0 2 −10 3 3




F2 → −1
2
F2
→




1 1 −2 1 1
0 1 −5 2 3
0 2 −10 3 3




F1 → F1 − F2
→
F3 → F3 − 2F2




1 0 3 −1 −2
0 1 −5 2 3
0 0 0 −1 −3




F3 → −F3
→




1 0 3 −1 −2
0 1 −5 2 3
0 0 0 1 3




F1 → F1 + F3
→
F2 → F2 − 2F3




1 0 3 0 1
0 1 −5 0 −3
0 0 0 1 3




En consecuencia el sistema dado es equivalente al sistema



x +3z = 1
y −5z = −3
w = 3
o equivalentemente 


x = −3z + 1
y = 5z − 3
w = 3

Por lo tanto el sistema original es consistente indeterminado. Haciendo z = α, con α ∈ R,
tenemos que la solución del sistema es







x
y
z
w







=







−3α +1
5α −3
α
3







= α







−3
5
1
0







+







1
−3
0
3







; con α ∈ R
4. Hallemos la FERF de la matriz




1 1 −2 1 1
4 2 2 0 −2
0 2 −10 4 3




que es la matriz ampliada del sistema




1 1 −2 1 1
4 2 2 0 −2
0 2 −10 4 3



 F2 → F2 − 4F1
→




1 1 −2 1 1
0 −2 10 −4 −6
0 2 −10 4 3




F3 → F3 + F2
→




1 1 −2 1 1
0 −2 10 −4 −6
0 0 0 0 −3




Sin necesidad de llegar a la FERF de la matriz, vemos que la última fila de esta última
matriz equivale a la ecuación
0 · x + 0 · y + 0 · z + 0 · w = −3
la cual es contradictoria, en consecuencia, el sistema original es inconsistente.
Teorema 1.16. El sistema homogéneo Ax = 0/
m×1, con A ∈ Mm×n(R), tiene infinitas soluciones
si m < n, esto es, si el sistema homogéneo Ax = 0/
m×1 tiene más incógnitas que ecuaciones,
entonces es consistente indeterminado.

Teorema 1.17. Sea A ∈ Mm×n(R). Supongamos que x1, x2 ∈ Mn×1(R) son soluciones del
sistema homogéneo Ax = 0/
m×1. Entonces, para cada α ∈ R, se tiene que x1 + x2 y αx1 son
también soluciones del sistema.
Teorema 1.18. Sean A ∈ Mm×n(R) y b ∈ Mm×1(R). Supongamos que xp es una solución del
sistema Ax = b. Entonces, para cada solución xg del sistema Ax = b, existe una solución xh de
Ax = 0/
m×1 tal que xg = xh + xp.
Demostración. Dado que xp es solución del sistema Ax = b, tenemos que Axp = b.
Sea xg una solución cualquiera de Ax = b. Entonces Axg = b. Definamos xh = xg − xp. As´ı que
Axh = A(xg − xp) = Axg − Axp = b − b = 0/
m×1
es decir, xp es solución del sistema homogéneo Ax = 0/
m×1 y además xg = xh + xp.
Ejemplo 1.18. Para el sistema de la parte 1 del ejemplo 1.17 tenemos que
xp =




3
2
−2
0



 ; xh = α




−1
3
1



 ; con α ∈ R
Para el sistema de la parte 2 del mismo ejemplo, se tiene que
xp =




−1
7
3



 ; xh =




0
0
0




Nótese que en este caso xg = xp.
Finalmente, para el sistema de la parte 3 del ejemplo en cuestión
xp =







1
−3
0
3







; xh = α







−3
5
1
0







; con α ∈ R
Ejercicio 1.6. Sea A ∈ Mm×n(R). Pruebe que si el sistema Ax = b tiene solución para cada
b ∈ Mm×1(R), entonces m ≤ n.

1.4. Inversa de una Matriz Cuadrada
En la presente sección, presentaremos un breve estudio sobre las matrices invertibles y
sus aplicaciones en la resolución de los sistemas de ecuaciones, cabe destacar que se pueden
definir inversas laterales de matrices no cuadradas, sin embargo, sólo estudiaremos el caso de
matrices cuadradas.
Definición 1.16. sea A ∈ Mn×n(R). diremos que A es invertible si existe una matriz B ∈
Mn×n(R) tal que
AB = In = BA
Cualquier matriz B que satisfaga las igualdades anteriores es llamada inversa de A.
Ejemplo 1.19. Si A =
2 −2
−3 4
, entonces B =
2 1
3
2
1
es una inversa de A ya que
AB =
2 −2
−3 4
2 1
3
2
1
=
4 − 3 2 − 2
3 − 3 −3 + 4
=
1 0
0 1
= I2
AB =
2 1
3
2
1
2 −2
−3 4
=
4 − 3 −4 + 4
3 − 3 −3 + 4
=
1 0
0 1
= I2
Teorema 1.19. Si A ∈ Mn×n(R) es invertible, entonces A tiene sólo una inversa, es decir,
existe una única matriz B ∈ Mn×n(R) tal que AB = In = BA, tal matriz es denotada por A−1
.
Demostración. Supongamos que A ∈ Mn×n(R) es invertible y que B, C ∈ Mn×n(R) son inver-
sas de A. Entonces
AB = In = BA (1.6)
AC = In = CA (1.7)
Luego
C = CIn (por la parte 5 del teorema 1.6)
= C(AB) (por la ecuación 1.6)
= (CA)B (por la parte 1 del teorema 1.6)
= InB (por la ecuación 1.7)
= B (por la parte 5 del teorema 1.6)

Teorema 1.20. Sean A, B ∈ Mn×n(R) dos matrices invertibles y α ∈ R con α = 0. Entonces
1. A−1
es invertible y (A−1
)
−1
= A (propiedad involutiva de la inversa)
2. AB es invertible y (AB)−1
= B−1
A−1
(inversa del producto matricial)
3. αA es invertible y (αA)−1
= α−1
A−1
(inversa del múltiplo escalar)
4. AT
es invertible y AT −1
= (A−1
)
T
(inversa de la transpuesta)
Demostración.
1. Se deduce directamente de la definición de matriz invertible.
2. En primer lugar
(AB)(B−1
A−1
) = ABB−1
A−1
(teorema 1.6 parte 1)
= A(BB−1
)A−1
= AInA−1
(definición de matriz inversa)
= (AIn)A−1
= AA−1
= In (definición de matriz inversa)
Además
(B−1
A−1
)(AB) = B−1
A−1
AB (teorema 1.6 parte 1)
= B−1
(A−1
A)B (teorema 1.6 parte 1)
= B−1
InB (definición de matriz inversa)
= (B−1
In)B (teorema 1.6 parte 1)
= B−1
B (teorema 1.6 parte 5)
Luego, por el teorema 1.19, tenemos que AB es invertible y (AB)−1
= B−1
A−1
.

3. Veamos
(αA)(α−1
A−1
) = (α−1
(αA))A−1
= ((α−1
α)A)A−1
= (1 · A)A−1
= AA−1
Análogamente, se prueba que (α−1
A−1
)(αA) = In. Nuevamente, usando el teorema 1.19,
se tiene que αA es invertible y (αA)−1
= α−1
A−1
.
4. Por un lado
AT
(A−1
)T
= (A−1
A)T
= (In)T
= In (teorema 1.7 parte 5)
Por otro lado
(A−1
)T
AT
= (AA−1
)T
= (In)T
= In (teorema 1.7 parte 5)
Por lo tanto, haciendo uso del teorema 1.19, se tiene que AT
es invertible y AT −1
=
(A−1
)
T
.
Teorema 1.21. Toda matriz elemental es invertible y su inversa es también una matriz elemen-
tal.
Demostración. Sea E ∈ Mn×n(R) una matriz elemental. Entonces existe una OEF f : Fn(R) →
Fn(R) tal que E = f(In). El ejercicio 1.3 garantiza que f es invertible y su inversa f−1
es también
una OEF sobre Fn(R), as´ı que F = f−1
(In) es una matriz elemental, además
EF = f(In)f−1
(In)
= f(f−1
(In)) (corolario 1.12 parte 1)
= In

y
FE = f−1
(In)f(In)
= f−1
(f(In)) (corolario 1.12 parte 1)
= In
Luego, E es invertible y E−1
= F, es decir, (f(In))−1
= f−1
(In).
Ahora bien ¿cómo saber si una matriz cuadrada A es o no invertible? y en caso de que lo
sea ¿cómo hallar A−1
? Estas dos preguntas pueden ser respondidas mediante un procedimiento
único. Daremos un ejemplo sencillo que ilustrará tal procedimiento.
Ejemplo 1.20. En cada uno de los siguientes casos decidir si A es o no invertible, en caso
afirmativo, hallar A−1
.
1. A =
2 −2
−3 4
2. A =
2 −8
−3 12
Solución.
1. Supongamos que A es invertible y sea
B =
x y
z w
tal que AB = I2, as´ı que
A
x
z
=
1
0
y A
y
w
=
0
1
como la matriz de ambos sistemas es la misma, a saber A, podemos resolverlos de manera
simultánea considerando la siguiente matriz 2 veces ampliada
[A|I2] =
2 −2 1 0
−3 4 0 1

Al hallar la FERF de esta matriz, las tercera y cuarta columnas nos darán, respectivamente,
las soluciones del primer y segundo sistema, si existen, que a su vez nos darán, respecti-
vamente, las primera y segunda columnas de B, si existe. Hallemos entonces la FERF de
esta matriz.
[A|I2] =
2 −2 1 0
−3 4 0 1
F1 → 1
2
F1
→
1 −1 1
2
0
−3 4 0 1
F2 → F2 + 3F1
→
1 −1 1
2
0
0 1 3
2
1
F1 → F1 + F2
→
1 0 2 1
0 1 3
2
1
Por lo tanto
B =
2 1
3
2
1
El lector puede verificar que BA = I2, por lo tanto, A es invertible y
A−1
= B =
2 1
3
2
1
Comparar este resultado con el ejemplo 1.20.
2. Como en el caso anterior, supongamos que existe
B =
x y
z w
tal que AB = I2, al igual que antes, hallemos la FERF de la matriz [A|I2]
[A|I2] =
2 −8 1 0
−3 12 0 1
F1 → 1
2
F1
→
1 −4 1
2
0
−3 12 0 1
F2 → F2 + 3F1
→
1 −1 1
2
0
0 0 3
2
1
La última fila de esta última matriz equivale a las ecuaciones
0 · x + 0 · z =
3
2
0 · y + 0 · w = 1
Por lo tanto, no existe matriz B tal que AB = I2, en consecuencia, A no es invertible.

Estos dos ejemplos, como dijimos antes, ilustran el procedimiento general para decidir si una
matriz cuadrada A es o no invertible, además, en caso afirmativo, nos permite hallar A−1
.
Algoritmo para decidir si una matriz A ∈ Mn×n(R) es o no invertible, y en caso
afirmativo mostrar la matriz A−1
.
Paso 1. Formar la matriz ampliada [A|In].
Paso 2. Hallar la FERF de la matriz en el paso previo.
Paso 3. Si la matriz en el paso previo es [In|B], entonces A es invertible y A−1
= B, sino
A no es invertible.
Ejemplo 1.21. Decidir si la matriz
A =







2 0 3 1
−1 1 1 3
1 −1 2 −2
0 1 −1 2







es invertible o no, en caso afirmativo, hallar A−1
.
Solución.







2 0 3 1 1 0 0 0
−1 1 1 3 0 1 0 0
1 −1 2 −2 0 0 1 0
0 1 −1 2 0 0 0 1







F1 ↔ F3
→







1 −1 2 −2 0 0 1 0
−1 1 1 3 0 1 0 0
2 0 3 1 1 0 0 0
0 1 −1 2 0 0 0 1







F2 → F2 + F1
→
F3 → F3 − 2F1







1 −1 2 −2 0 0 1 0
0 0 3 1 0 1 1 0
0 2 −1 5 1 0 −2 0
0 1 −1 2 0 0 0 1







F2 ↔ F4
→







1 −1 2 −2 0 0 1 0
0 1 −1 2 0 0 0 1
0 2 −1 5 1 0 −2 0
0 0 3 1 0 1 1 0








F1 → F1 + F2
→
F3 → F3 + 2F2







1 0 1 0 0 0 1 1
0 1 −1 2 0 0 0 1
0 0 1 1 1 0 −2 −2
0 0 3 1 0 1 1 0







F1 → F1 − F3
→
F2 → F2 + F3
F4 → F4 − 3F3







1 0 0 −1 −1 0 3 3
0 1 0 3 1 0 −2 −1
0 0 1 1 1 0 −2 −2
0 0 0 −2 −3 1 7 6







F4 → −1
2
F4
→







1 0 0 −1 −1 0 3 3
0 1 0 3 1 0 −2 −1
0 0 1 1 1 0 −2 −2
0 0 0 1 3
2
−1
2
−7
2
−3







F1 → F1 + F4
→
F2 → F2 − 3F4
F3 → F3 − F4







1 0 0 0 1
2
−1
2
−1
2
0
0 1 0 0 −7
2
3
2
17
2
8
0 0 1 0 −1
2
1
2
3
2
1
0 0 0 1 3
2
−1
2
−7
2
−3







Luego A es invertible y
A−1
=







1
2
−1
2
−1
2
0
−7
2
3
2
17
2
8
−1
2
1
2
3
2
1
3
2
−1
2
−7
2
−3







=
1
2







1 −1 −1 0
−7 3 17 16
−1 1 3 2
3 −1 −7 −6







El siguiente teorema nos será muy útil a la hora de saber si una matriz es o no invertible.
Teorema 1.22. Sea A ∈ Mn×n(R). Entonces las siguientes proposiciones son equivalentes.
1. A es invertible.
2. El sistema Ax = b tiene una única solución para cada b ∈ Mn×1(R).
3. El sistema homogéneo Ax = 0/
n×1 tiene como única solución la trivial.
4. A es equivalente por filas a In.

5. Existen matrices elementales E1, E2, . . . , Er ∈ Mn×n(R) tales que A = E1E2 · · · Er.
Demostración.
(1. ⇒ 2.) Supongamos que A es invertible. Entonces, por definición de matriz inversa, existe
A−1
∈ Mn×n(R) tal que AA−1
= In = A−1
A
Sean b ∈ Mn×1(R) cualquiera y x0 ∈ Mn×1(R) una solución del sistema Ax = b. Entonces
x0 = Inx0 (teorema 1.6 parte 5)
= (A−1
A)x0 (por definición de inversa)
= A−1
(Ax0) (teorema 1.6 parte 1)
= A−1
b (pues x0 es solución del sistema Ax = b)
As´ı que el sistema Ax = b tiene como única solución x0 = A−1
b.
(2. ⇒ 3.) Supongamos que el sistema Ax = b tiene una única solución para cada b ∈ Mn×1(R).
Entonces el sistema homogéneo Ax = 0/
n×1 tiene una única solución, pero sabemos que
x = 0/
n×1 es solución de este sistema (observación 1.19), as´ı que la única solución de dicho
sistema es la solución trivial.
(3. ⇒ 4.) Supongamos que el sistema homogóneo Ax = 0/
n×1 tiene como única solución la trivial.
Procederemos por reducción al absurdo. Supongamos que A no es equivalente por filas a
In. Por lo tanto, usando la observación 1.17, si CA es la FERF de A, entonces CA debe
tener alguna fila nula (¿por qué?), la cual debe estar ubicada en la última posición pues
CA es escalonada reducida por filas, esta fila equivale a la ecuación
0 · x1 + 0 · x2 + · · · + 0 · xn = 0
donde
x =







x1
x2
...
xn







y en consecuencia no aporta ninguna información a la solución del sistema Ax = 0/
n×1.
Definamos DA ∈ M(n−1)×n(R) la matriz que se obtiene al eliminar la última fila de CA.
Luego el sistema homogéneo Ax = 0/
n×1 es equivalente al sistema homogéneo DAx = 0/
(n−1)×1

el cual, en virtud del teorema 1.16, tiene infinitas soluciones, de donde, el sistema Ax = 0/
n×1
tiene infinitas soluciones, lo cual contradice la hipótesis, por lo tanto A es equivalente por
filas a In.
(4. ⇒ 5.) Supongamos que A es equivalente por filas a In. Entonces existen OEF f1, f2, . . . , fr :
Fn(R) → Fn(R) tales que
A = (f1 ◦ f2 ◦ · · · ◦ fr)(In)
Luego, usando recursivamente el corolario 1.12 partes 1 y 2, tenemos que
A = f1(In)f2(In) · · ·fr(In)
As´ı que la matriz Ei = fi(In) es elemental para cada i ∈ {1, . . . , r} y además
A = E1E2 · · · Er
(5. ⇒ 1.) Supongamos que A = E1E2 · · · Er donde E1, E2, . . ., Er ∈ Mn×n(R) son matrices ele-
mentales. Dado que toda matriz elemental es invertible (teorema 1.21) y usando recursiva-
mente la parte 2 del teorema 1.20, se tiene que A es invertible.
Lo cual concluye la prueba.
Teorema 1.23. Sean A, B ∈ Mn×n(R). Si AB = In, entonces BA = In; y en consecuencia
A−1
= B.
Demostración. Supongamos que AB = In. Sea xh una solución del sistema homogéneo Bx =
0/
n×1. Entonces
Bxh = 0/
n×1 (1.8)
Luego
xh = Inxh (teorema 1.6 parte 5)
= (AB)xh (por hipótesis)
= A(Bxh) (teorema 1.6 parte 1)
= A 0/
n×1 (por ecuación 1.8)
= 0/
n×1 (teorema 1.6 parte 6)

As´ı que la única solución del sistema homogéneo Bx = 0/
n×1 es la trivial, y en virtud del teorema
1.22, B es invertible. Además
A = AIn (teorema 1.6 parte 5)
= A(BB−1
) (definición de matriz inversa)
= (AB)B−1
= InB−1
(por hipótesis)
= B−1
Por lo tanto BA = In (definición de inversa) y como consecuencia de la parte 1 del teorema 1.20
A−1
= (B−1
)−1
= B.
Observación 1.22. El teorema 1.23 nos permite garantizar que A−1
= B sólo con probar que
AB = In ó BA = In.
Ejercicio 1.7. Sean A, B ∈ Mn×n(R). Pruebe que si AB es invertible, entonces A y B también
son invertibles
1.5. Determinantes. Propiedades de los Determinantes
En esta sección trataremos los determinantes y algunas de sus propiedades, en primer lugar
definiremos los determinantes de orden 2, continuando luego con los determinantes de
orden 3, para finalmente definir los determinantes de orden n.
Definición 1.17. Sea A =
a11 a12
a21 a22
∈ M2×2(R). Definiremos el determinante de A, como
el número real det(A) = |A|, dado por
det(A) = |A| =
a11 a12
a21 a22
= a11a22 − a12a21
este tipo de determinante se suele llamar determinante de orden 2.
Ejemplo 1.22. Hallar det(A) para A =
−6 5
−7 6

Solución. det(A) =
−6 5
−7 6
= (−6)6 − 5(−7) = −36 + 35 = −1
Ejercicio 1.8. Pruebe que A =
a11 a12
a21 a22
∈ M2×2(R) es invertible si y sólo si det(A) = 0.
Además, si A es invertible, entonces A−1
=
1
det(A)
a22 −a12
−a21 a11
Definición 1.18. Dada la matriz
A =




a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33



 ∈ M3×3(R)
Definiremos el determinante de A, denotado por det(A) ó |A|, como
det(A) = |A| =
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
= a11
a22 a23
a32 a33
− a12
a21 a23
a31 a33
+ a13
a21 a22
a31 a32
este tipo de determinante es llamado determinante de orden 3.
Observación 1.23. Nótese que estamos definiendo el determinante de orden 3 en función de
determinantes de orden 2.
Ejemplo 1.23. Hallar det(A) para A =




2 −3 −1
−6 1 5
−7 0 6




Solución.
det(A) = |A| =
2 −3 −1
−6 1 5
−7 0 6
= 2
1 5
0 6
− (−3)
−6 5
−7 6
+ (−1)
−6 1
−7 0
= 2(6 − 0) + 3(−36 + 35) − (0 + 7) = 2

Observación 1.24. Una forma muy sencilla recordar la fórmula de determinantes de orden 3
es la siguiente
a11 a12 a13
ց ւ
a21 a22 a23
ցւ ցւ
a31 a32 a33
= a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23
− a13a22a31 − a23a32a11 − a33a12a21
ցւ ցւ
a11 a12 a13
ւ ց
a21 a22 a23



←
no es parte del determinante, es sólo para
ayudar a recordar la fórmula
Los productos generados por las flechas rojas (ց) se colocan con signo positivo, los que son
generados por las flechas azules (ւ) se colocan con signo negativo.
Puede verificar que la igualdad anterior es cierta. También se puede hacer el cálculo si en lugar
de colocar las dos primeras filas al final, se colocan las dos últimas filas en la parte superior, las
dos primeras columnas a la derecha o las dos últimas columnas a la izquierda.
Este método se conoce como la método de Sarrus para el cálculo de determinantes de orden
3 y sólo es aplicable a determinantes de orden 3.
Ejemplo 1.24. Calculemos el determinante del ejemplo 1.23 usando este método.
Solución.
2 −3 −1
−6 1 5
−7 0 6
= 2 · 1 · 6 + (−6)0(−1) + (−7)(−3)5 − (−1)1(−7) − 5 · 0 · 2 − 6(−3)(−6)
2 −3 −1
−6 1 5
2 −3 −1
−6 1 5
−7 0 6
= 12 + 0 + 105 − 7 − 0 − 108 = 2
Compare este resultado con el obtenido en el ejemplo 1.23.

Antes de definir determinantes de orden n, daremos dos definiciones previas.
Definición 1.19. Sea A =∈ Mn×n(R). Para cada i, j ∈ {1, . . ., n} definamos la matriz MA
ij ∈
M(n−1)×(n−1)(R) que se obtiene de A al eliminar su i-ésima fila y su j-ésima columna, dicha
matriz es llamada ij-ésimo menor de A.
Observación 1.25. Si en lugar de eliminar una fila y una columna de A, eliminamos dos filas
y dos columnas de A, la matriz que se obtiene se denomina menor de segundo orden de A,
estas matrices se denotan por MA
ij,kl, lo que significa que se han eliminado las filas i e j (con
i = j) y las columnas k y l (con k = l) de A. De manera análoga se pueden definir menores de
A ∈ Mn×n(R) hasta de orden n − 1.
Observación 1.26. Es claro que MA
ij,kl = MA
ji,lk = MA
ji,kl = MA
ij,lk para cada i, j, k, l ∈ {1, . . ., n}
con i = j y k = l.
Ejemplo 1.25. Consideremos la matriz
A =







−9 2 −1 4
0 8 −5 7
1 6 3 −6
−4 1 0 3







Hallar MA
23; MA
42 y MA
22.
Solución.
MA
23 =




−9 2 4
1 6 −6
−4 1 3



 ; MA
42 =




−9 −1 4
0 −5 7
1 3 −6



 y MA
22 =




−9 −1 4
1 3 −6
−4 0 3




Definición 1.20. Sea A ∈ Mn×n(R). Para cada i, j ∈ {1, . . ., n} definiremos el ij-ésimo co-
factor de A como el número real CA
ij dado por
CA
ij = (−1)i+j
det MA
ij
Ejemplo 1.26. Para la matriz del ejemplo 1.25 se tiene que

CA
23 = (−1)2+3
det MA
23 = −
−9 2 4
1 6 −6
−4 1 3
= −(−162 + 4 + 48 + 96 − 54 − 6) = 74
CA
42 = (−1)4+2
det MA
42 =
−9 −1 4
0 −5 7
1 3 −6
= −270 + 0 − 7 + 20 + 189 − 0 = −68
CA
22 = (−1)2+2
det MA
22 =
−9 −1 4
1 3 −6
−4 0 3
= −81 + 0 − 24 + 48 − 0 + 3 = −54
Pasemos ahora a definir los determinantes de orden n. En primer lugar notemos que la fórmula
dada en la definición 1.18 puede ser escrita como
det(A) = |A| = a11CA
11 + a12CA
12 + a13CA
13
La idea es generalizar esta fórmula para una matriz A de orden n.
Definición 1.21. Sea A ∈ Mn×n(R). Definiremos el determinante de A, determinante de
orden n, como el número real det(A) = |A| dado por
det(A) = |A| =
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
...
...
...
an1 an2 · · · ann
=
n
j=1
a1jCA
1j =
n
j=1
a1j(−1)1+j
det MA
1j
Ejemplo 1.27. Hallar el determinante de la matriz del ejemplo 1.25
Solución.
det(A) = |A| =
−9 2 −1 4
0 8 −5 7
1 6 3 −6
−4 1 0 3
= (−9)(−1)1+1
det MA
11 + 2(−1)1+2
det MA
12 + (−1)(−1)1+3
det MA
13
+4(−1)1+4
det MA
14

det(A) = −9
8 −5 7
6 3 −6
1 0 3
− 2
0 −5 7
1 3 −6
−4 0 3
−
0 8 7
1 6 −6
−4 1 3
− 4
0 8 −5
1 6 3
−4 1 0
= −9(72 + 0 + 30 − 21 − 0 + 90) − 2(0 + 0 − 120 + 84 − 0 + 15)
−(0 + 7 + 192 + 168 − 0 − 24) − 4(0 − 5 − 96 − 120 − 0 − 0)
= −1539 + 42 − 343 + 884 = −956
Ejemplo 1.28. Calcular el determinante de la matriz
A =










2 0 0 0 0
12 1 0 0 0
−3 0 −3 0 0
5 −8 7 −1 0
−9 6 −7 0 −6










Soluci´on. Notemos primero que A es triangular inferior.
det(A) = |A| =
2 0 0 0 0
12 1 0 0 0
−3 0 −3 0 0
5 −8 7 −1 0
−9 6 −7 0 −6
= 2(−1)1+1
det MA
11 + 0(−1)1+2
det MA
12 + 0(−1)1+3
det MA
13
+0(−1)1+4
det MA
14 + 0(−1)1+5
det MA
15
= 2(−1)1+1
det MA
11 + 0(−1)1+2
det MA
12 + 0(−1)1+3
det MA
13
+0(−1)1+4
det MA
14 + 0(−1)1+5
det MA
15
= 2
1 0 0 0
0 −3 0 0
−8 7 −1 0
6 −7 0 −6

det(A) = 2



1(−1)1+1
−3 0 0
7 −1 0
−7 0 −6
+ 0(−1)1+2
0 0 0
−8 −1 0
6 0 −6
+0(−1)1+3
0 −3 0
−8 7 0
6 −7 −6
+ 0(−1)1+4
0 −3 0
−8 7 −1
6 −7 0




= 2 · 1
−3 0 0
7 −1 0
−7 0 −6
= 2 · 1 (−3)(−1)1+1
−1 0
0 −6
+ 0(−1)1+2
7 0
−7 −6
+ 0(−1)1+3
7 −1
−7 0
= 2 · 1(−3)
−1 0
0 −6
= 2 · 1(−3)((−1)(−6) − 0 · 0)
= 2 · 1(−3)(−1)(−6) = −36
¡El determinante de A es el producto de las componentes de la diagonal principal! este resultado
se cumple siempre que A es una matriz triangular, superior o inferior, como veremos luego.
La demostración del teorema que enunciaremos a continuación escapa del objetivo del curso,
sin embargo, de él se derivan el resto de las propiedades que serán enunciadas más adelante, en
el apéndice D se puede encontrar una demostración de este.
Teorema 1.24. Si A = (aij)n×n ∈ Mn×n(R), entonces
1. det(A) =
n
j=1
aijCA
ij =
n
j=1
aij(−1)i+j
det MA
ij para cada i ∈ {1, . . ., n} (Desarrollo del
determinante de A mediante la fila i-ésima).
2. det(A) =
n
i=1
aijCA
ij =
n
i=1
aij(−1)i+j
det MA
ij para cada j ∈ {1, . . ., n} (Desarrollo del
determinante de A mediante la columna j-ésima).
Demostración. Ver apéndice D.

Ejemplo 1.29. Calcular el determinante de la matriz A del ejemplo 1.23 al desarrollar el de-
terminante mediante la tercera fila y mediante la segunda columna.
Solución. En primer lugar hallemos el determinante de A desarrollándolo mediante la tercera
fila.
det(A) = |A| =
2 −3 −1
−6 1 5
−7 0 6
= −7(−1)3+1 −3 −1
1 5
+ 0(−1)3+2 2 −1
−6 5
+ 6(−1)3+3 2 −3
−6 1
= −7(−15 + 1) + 0 + 6(2 − 18) = 2
Ahora desarrollemos el determinante de A mediante la segunda columna.
det(A) = |A| =
2 −3 −1
−6 1 5
−7 0 6
= −3(−1)1+2
−6 5
−7 6
+ 1(−1)2+2
2 −1
−7 6
+ 0(−1)3+2
2 −1
−6 5
= 3(−36 + 35) + (12 − 7) + 0 = 2
Teorema 1.25. Si A ∈ Mn×n(R), entonces det AT
= det(A).
Sugerencia: proceder por inducción sobre n y usar el teorema 1.24
Teorema 1.26. Si A = (aij)n×n ∈ Mn×n(R) una matriz triangular (superior o inferior), en-
tonces det(A) = a11a22 · · · ann.
Demostración. Procedamos por inducción sobre n. Supongamos, sin perder generalidad que
A es una matriz triangular superior.
Verifiquemos que la tesis se cumple para n = 2. Sea
A =
a11 a12
0 a22

Entonces
det(A) = a11a22 − a12 · 0 = a11a22
Supongamos ahora que la tesis se cumple para n − 1, esto es, supongamos que para cualquier
matriz triangular superior A = (aij)(n−1)×(n−1) ∈ M(n−1)×(n−1)(R) se cumple que det(A) =
a11a22 · · · a(n−1)(n−1) (Hipótesis Inductiva).
Probemos ahora que se cumple para n. Sea
A =







a11 a12 · · · a1n
0 a22 · · · a2n
...
...
...
...
0 · · · 0 ann







Entonces, al desarrollar el determinante de A mediante la fila n, obtenemos
det(A) = 0 · CA
n1 + · · · + 0 · CA
n(n−1) + annCA
nn = ann(−1)n+n
det(MA
nn) = ann det MA
nn
Pero
MA
nn =







a11 a12 · · · a1(n−1)
0 a22 · · · a2(n−1)
...
...
...
...
0 · · · 0 a(n−1)(n−1)







es decir, MA
nn es una matriz triangular superior de orden (n−1), por lo tanto, usando la Hipótesis
Inductiva, se tiene que det MA
nn = a11a22 · · · a(n−1)(n−1). Luego
det(A) = anna11a22 · · · a(n−1)(n−1) = a11a22 · · · a(n−1)(n−1)ann
Lo cual concluye la prueba.
Los teoremas que enunciaremos a continuación, nos presentan las propiedades básicas del
determinante, estas propiedades nos permitirán hallar el determinante de una matriz sin hacer
demasiados cálculos. Los enunciados de estas propiedades se darán sólo para filas, sin embargo,
en virtud del teorema 1.25, se pueden enunciar propiedades análogas para columnas.
Teorema 1.27. Sea A ∈ Mn×n(R). Si existe s ∈ {1, . . ., n} tal que A(s) = 0/
1×n, entonces
det(A) = 0, es decir, si A tiene una fila nula, su determinante es cero.

Demostración. Sea A = (aij)n×n. Como A(s) = 0/
1×n, entonces asj = 0 para cada j ∈ {1, . . ., n}.
As´ı que, al desarrollar el determinante de A por medio de la fila s, se tiene que
det(A) =
n
j=1
asjCA
sj =
n
j=1
0 · CA
sj = 0
Teorema 1.28. Sean A, B ∈ Mn×n(R) y α ∈ R. Si existe s ∈ {1, . . ., n} tal que B(s) = αA(s)
y B(i) = A(i) para i = s, entonces det(B) = α det(A), esto es, si multiplicamos una fila de A
por un escalar α, entonces el determinante de la matriz resultante es igual al determinante de A
multiplicado por α.
Demostración. Sean A = (aij)n×n y B = (bij)n×n. Como B(s) = αA(s) y B(i) = A(i) para i = s,
entonces bsj = αasj para cada j ∈ {1, . . ., n} y además, la matriz que se obtiene al eliminar la
fila s de B coincide con la matriz que se obtiene al eliminar la fila s de A. Luego MA
sj = MB
sj para
cada j ∈ {1, . . ., n} (¿por qué?).
Por lo tanto
CB
sj = (−1)s+j
det(MB
sj) = (−1)s+j
det(MA
sj) = CA
sj
para cada j ∈ {1, . . . , n}.
As´ı, al desarrollar el determinante de B por medio de la fila s, obtenemos
det(B) =
n
j=1
bsjCB
sj =
n
j=1
αasjCA
sj = α
n
j=1
asjCA
sj = α det(A)
Ejemplo 1.30. Sea
A =




2 −1 2
12 −16 4
−2 0 3




Entonces
det(A) =
2 −1 2
12 −16 4
−2 0 3
=
2 −1 2
4 · 3 4(−4) 4 · 1
−2 0 3
= 4
2 −1 2
3 −4 1
−2 0 3
= 4[2(−4)3 + 3 · 0 · 2 + (−2)(−1)1 − 2(−4)(−2) − 1 · 0 · 2 − 3(−1)3]
= 4[−24 + 0 + 2 − 16 − 0 + 9] = 4(−29) = −116

Teorema 1.29. Sean A, B, C ∈ Mn×n(R). Si existe s ∈ {1, . . ., n} tal que C(s) = A(s) + B(s)
y C(i) = B(i) = A(i) para i = s, entonces det(C) = det(A) + det(B), dicho de otra manera, si
tenemos tres matrices A, B, C cuyas filas son idénticas excepto la fila s, y que la fila s de C es
igual a la suma de la fila s de A con la fila s de B, entonces el determinante de C es igual a la
suma del determinante de A con el determinante de B.
Demostración. Sean A = (aij)n×n, B = (bij)n×n y C = (cij)n×n. Sean A, B, C ∈ Mn×n(R).
Como C(s) = A(s) + B(s) y C(i) = B(i) = A(i) para i = s, entonces csj = asj + bsj para cada
j ∈ {1, . . . , n} y además, las matrices que se obtienen al eliminar la fila s de A, B y C son
iguales, as´ı que MA
sj = MB
sj = MC
sj para cada j ∈ {1, . . ., n}.
Por lo tanto
CC
sj = CB
sj = CA
sj
para cada j ∈ {1, . . . , n} (¿por qué?).
En consecuencia
det(C) =
n
j=1
csjCC
sj =
n
j=1
(asj + bsj)CC
sj =
n
j=1
asjCC
sj +
n
j=1
bsjCC
sj
=
n
j=1
asjCA
sj +
n
j=1
bsjCB
sj = det(A) + det(B)
Ejemplo 1.31. Sea A la matriz del ejemplo 1.30. Entonces
det(A) =
2 −1 2
12 −16 4
−2 0 3
=
4 + (−2) −1 2
6 + 6 −16 4
1 + (−3) 0 3
=
4 −1 2
6 −16 4
1 0 3
+
−2 −1 2
6 −16 4
−3 0 3
= [4(−16)3 + 6 · 0 · 2 + 1(−1)4 − 2(−16)1 − 4 · 0 · 4 − 3(−1)6] +
[−2(−16)3 + 6 · 0 · 2 + (−3)(−1)4 − 2(−16)(−3) − 4 · 0(−2) − 3(−1)6]
= [−192 + 0 − 4 + 32 − 0 + 18] + [96 + 0 + 12 − 96 − 0 + 18]
= −146 + 30 = −116
Teorema 1.30. Sean A, B ∈ Mn×n(R). Si existen s, t ∈ {1, . . ., n} tales que s = t, B(s) = A(t),
B(t) = A(s) y B(i) = A(i) para i = s y i = t, entonces det(B) = − det(A), en otras palabras,
si intercambiamos dos filas distintas de A, el determinante de la matriz resultante es igual al
determinante de A multiplicado por −1.

Demostración. Ver Apéndice D.
Ejemplo 1.32. Sea A la matriz del ejemplo 1.30 y sea
B =




2 −1 2
4 −16 12
3 0 −2




Las columnas 1 y 3 de B son, respectivamente, las columnas 3 y 1 de A y las fila 2 de B es igual
a la fila 2 de A. Además
det(B) =
2 −1 2
4 −16 12
3 0 −2
= 2(−16)(−2) + 4 · 0 · 2 + 3(−1)12 − 2(−16)3 − 12 · 0 · 2 − (−2)(−1)4
= 64 + 0 − 36 + 96 − 0 − 8 = 116 = − det(A)
Teorema 1.31. Sea A ∈ Mn×n(R). Si existen s, t ∈ {1, . . ., n} tales que s = t y A(s) = A(t),
entonces det(A) = 0, es decir, si A tiene dos filas iguales, su determinante es igual a cero.
Demostración. Sea B ∈ Mn×n(R) la matriz que se obtiene al intercambiar las filas s y t de A.
Como A(s) = A(t), entonces B = A y as´ı det(B) = det(A).
Por otro lado, dado que s = t y según el teorema 1.30, det(B) = − det(A).
As´ı que det(A) = det(B) = − det(A) y en consecuencia det(A) = 0.
Ejemplo 1.33. Sea
A =




2 −1 −2
4 −16 12
2 −1 −2




Entonces
det(A) =
2 −1 −2
4 −16 12
2 −1 −2
= 2(−16)(−2) + 4(−1)(−2) + 2(−1)12 − (−2)(−16)2 − 12(−1)2 − (−2)(−1)4
= 64 + 8 − 24 − 64 + 24 − 8 = 0

Teorema 1.32. Sean A ∈ Mn×n(R) y α ∈ R. Si existen s, t ∈ {1, . . ., n} tales que s = t y
A(s) = αA(t), entonces det(A) = 0, esto es, si una fila de A es un múltiplo escalar de alguna otra
fila de A, su determinante es igual a cero.
Demostración. Sea B ∈ Mn×n(R) tal que B(i) = A(i) para cada i ∈ {1, . . . , n} con i = s y
B(s) = A(t) = B(t). Por lo tanto, en virtud del teorema 1.31, se tiene que det(B) = 0.
Por otro lado, como A(s) = αA(t) = αB(t) = αB(s), entonces, usando el teorema 1.28, se tiene
que det(A) = α det(B) = α0 = 0.
Ejemplo 1.34. Sea
A =




2 8 2
−4 −16 1
3 12 −2




Entonces la columna A(2)
= 4A(1)
, además
det(A) =
2 8 2
−4 −16 1
3 12 −2
= 2(−16)(−2) + (−4)12 · 2 + 3 · 8 · 1 − 2(−16)3 − 1 · 12 · 2 − (−2)8(−4)
= 64 − 96 + 24 + 96 − 24 − 64 = 0
Teorema 1.33. Sean A, B ∈ Mn×n(R) y α ∈ R. Si existen s, t ∈ {1, . . ., n} tales que s = t,
B(s) = A(s) + αA(t) y B(i) = A(i) para i = s, entonces det(B) = det(A), dicho de otra forma, si
a una fila de A le sumamos un múltiplo escalar de alguna otra fila de A, el determinante de la
matriz resultante es igual al determinante de A.
Demostración. Sea C ∈ Mn×n(R) tal que C(i) = B(i) = A(i) para i = s y C(s) = αA(t). Por lo
tanto, dado que s = t y en virtud del teorema 1.32, det(C) = 0.
Además, como B(s) = A(s) + αA(t) = A(s) + C(s) y en virtud del teorema 1.29
det(B) = det(A) + det(C) = det(A) + 0 = det(A)

Ejemplo 1.35. Sea A la matriz del ejemplo 1.30 y sea
B =




2 −1 2
−2 −9 −10
−2 0 3




As´ı que B(2) = A(2) − 7A(1) (¿verif´ıquelo!). Además
det(B) =
2 −1 2
−2 −9 −10
−2 0 3
= 2(−9)3 + (−2)0 · 2 + (−2)(−1)(−10) − 2(−9)(−2) − (−10)0 · 2 − 3(−1)(−2)
= −54 + 0 − 20 − 36 − 0 − 6 = −116 = det(A)
El siguiente ejemplo nos da un método para calcular el determinante de una matriz A haciendo
uso de las propiedades dadas en los siete teoremas precedentes, como veremos, el cálculo resulta
mucho más sencillo que al usar la definición.
Como se dijo en la observación 1.15, usaremos tanto OEF como operaciones elementales por
columnas (OEC) para el cálculo de determinantes, estas operaciones las indicaremos de manera
análoga a las OEF, salvo que en lugar de usar F usaremos C.
Ejemplo 1.36. Hallar el determinante de la matriz
A =










6 −1 2 13 2
−1 0 −1 −3 −1
0 −3 0 9 0
7 1 3 12 3
0 −2 4 1 −3










Solución.
det(A) =
6 −1 2 13 2
−1 0 −1 −3 −1
0 −3 0 9 0
7 1 3 12 3
0 −2 4 1 −3
=
6 −1 2 10 2
−1 0 −1 −3 −1
0 −3 0 0 0
7 1 3 15 3
0 −2 4 −5 −3
C4 → C4 + 3C2
por teorema 1.33

det(A) = −3(−1)3+2
6 2 10 2
−1 −1 −3 −1
7 3 15 3
0 4 −5 −3
desarrollando el determinante
mediante la tercera fila
= 3
0 −4 −8 −4
−1 −1 −3 −1
0 −4 −6 −4
0 4 −5 −3




F1 → F1 + 6F2
F3 → F3 + 7F2
por teorema 1.33




= 3(−1)(−1)2+1
−4 −8 −4
−4 −6 −4
4 −5 −3
mediante la primera columna
= 3
0 −13 −7
0 −11 −7
4 −5 −3




F1 → F1 + F3
F2 → F2 + F3
por teorema 1.33




= 3 · 4(−1)3+1
−13 −7
−11 −7
mediante la primera columna
= 12(−13(−7) − (−7)(−11)) = 12 · 14 = 168
Resuelva este ejercicio sin hacer uso de OEF ni OEC y compare ambos métodos ¿cuál de los dos
le parece más sencillo?
Teorema 1.34. Sea A = (aij)n×n ∈ Mn×n(R). Entonces para cualesquiera s, t ∈ {1, . . ., n} con
s = t se tiene que
n
k=1
askCA
tk = 0 y
n
k=1
aksCA
kt = 0
Demostración. Sea s, t ∈ {1, . . . , n} con s = t. Definamos B = (bij)n×n tal que B(i) = A(i)
para cada i ∈ {1, . . . , n} con i = t y B(t) = A(s). As´ı que, usando el teorema 1.31, det(B) = 0.
Por otro lado, las matrices que se obtienen al eliminar la fila t de B y la fila t de A, son iguales,
por lo tanto MB
tk = MA
tk para cada k ∈ {1, . . ., n}, de donde CB
tk = CA
tk. Luego, al desarrollar el
determinante de B mediante la fila t, se tiene que
det(B) =
n
k=1
btkCB
tk =
n
k=1
askCA
tk
En consecuencia
n
k=1
askCA
tk = 0, análogamente se prueba que
n
k=1
aksCA
kt = 0.

Teorema 1.35. Si E ∈ Mn×n(R) es una matriz elemental, entonces para cada A ∈ Mn×n(R) se
tiene que det(EB) = det(E) det(B).
Demostración. Como E ∈ Mn×n(R) es una matriz elemental, existe una OEF f : Fn(R) →
Fn(R) tal que E = f(In). Luego, sando la parte 1 del corolario 1.12, se tiene que EA = f(In)A =
f(A).
Debemos proceder por casos sobre el tipo de OEF.
Caso 1. f es una OEF tipo 1. As que existen s ∈ {1, . . ., n} y α = 0 tales que E(s) = α(In)(s)
(donde (In)(s) es la fila s de In) y para i = s se tiene que E(i) = (In)(i). Luego
(f(A))(s) = αA(s) y para i = s tenemos (f(A))(i) = A(i).
Por lo tanto, según el teorema 1.28,
det(E) = α det(In) = α · 1 = α
y
det(EA) = det(f(A)) = α det(A) = det(E) det(A).
Caso 2. f es una OEF tipo 2. Luego existen s, t ∈ {1, . . . , n}, con s = t, y α ∈ R tales que
E(s) = (In)(s) + α(In)(t) y E(i) = (In)(i) para i = s. As que (f(A))(s) = A(s) + αA(t) y
(f(A))(i) = A(i) para i = s.
Usando el teorema 1.33, tenemos que
det(E) = det(In) = 1
y
det(EA) = det(f(A)) = det(A) = 1 · det(A) = det(E) det(A)
Caso 3. f es una OEF tipo 3. Por lo tanto existen s, t ∈ {1, . . ., n} tales que E(s) = (In)(t),
E(t) = (In)(s) y E(i) = (In)(i) para i = s e i = t. De donde (f(A))(s) = A(s) + αA(t) y
(f(A))(i) = A(i) para i = s e i = t.
Si s = t, entonces E = In y f(A) = A, as que
det(E) = det(In) = 1

y
det(EA) = det(f(A)) = det(A) = 1 · det(A) = det(E) det(A)
Si s = t, podemos usar el teorema 1.30 y obtenemos
det(E) = − det(In) = −1
y
det(EA) = det(f(A)) = − det(A) = (−1) det(A) = det(E) det(A)
Observación 1.27. De la prueba del teorema 1.35, se tiene que si E ∈ Mn×n(R) es una matriz
elemental, entonces det(E) = 0.
Corolario 1.36. Sean E1, E2, . . . , Er ∈ Mn×n(R) matrices elementales. Entonces, para cada
A ∈ Mn×n(R), se tiene que det(E1E2 · · · ErA) = det(E1) det(E2) · · ·det(Er) det(A).
Teorema 1.37. Si A ∈ Mn×n(R) es una matriz ERF, entonces det(A) = 0 si y sólo si A = In.
Demostración. Sea A = (aij)n×n. Como A es ERF, entonces A es triangular superior (ver
ejercicio 1.5), as´ı que aij = 0 para i > j y det(A) = a11a22 · · · ann.
Supongamos que det(A) = 0. Luego aii = 0 para cada i ∈ {1, . . . , n}. Como aij = 0 para i > j,
entonces para cada i ∈ {1, . . . , n}, la primera componente no nula en la i-ésima fila es aii, y por
ser A una matriz ERF, se tiene que aii = 1 para cada i ∈ {1, . . . , n}, es decir, aii es un pivote y
por lo tanto aij = 0 para i = j (¿por qué?). En resumen
aij =
1 si i = j
0 si i = j
Es decir, A = In.
Rec´ıprocamente, si A = In, entonces det(A) = 1 = 0.
En el siguiente teorema se da una nueva equivalencia que involucra la inversa de una matriz
cuadrada.

Teorema 1.38. Sea A ∈ Mn×n(R). Entonces A es invertible si y sólo si det(A) = 0.
Demostración. Sea B ∈ Mn×n(R) la FERF A. Entonces existen matrices elementales E1, E2, . . ., Er ∈
Mn×n(R) tales que B = E1E2 · · · ErA. Como det(Ei) = 0 para cada i ∈ {1, . . . , r}, entonces
det(A) = 0 si y sólo si det(B) = 0; y usando el teorema 1.37 se tiene que B = In. Por lo tanto
det(A) = 0 si y sólo si la FERF de A es In, lo cual concluye la prueba.
Teorema 1.39. Sean A, B ∈ Mn×n(R). Entonces det(AB) = det(A) det(B).
Demostración.
Caso 1. det(A) = 0. As´ı que, en virtud del teorema 1.38, A no es invertible. Luego, usando
el ejercicio 1.7, se tiene que AB no es invertible, y nuevamente por el teorema 1.38 se
tiene que det(AB) = 0. Por lo tanto
det(AB) = 0 = 0 det(B) = det(A) det(B)
Caso 2. det(A) = 0. Luego A es invertible, en virtud del teorema 1.38. As´ı que, al usar
el teorema 1.22, tenemos que existen matrices elementales E1, E2, . . . , Er ∈ Mn×n(R)
tales que A = E1E2 · · · Er. Luego, por el corolario 1.36
det(A) = det(E1E2 · · · Er) = det(E1) det(E2) · · ·det(Er) y
det(AB) = det(E1E2 · · · ErB) = det(E1) det(E2) · · ·det(Er) det(B) = det(A) det(B)
1.6. Matriz Adjunta. Regla de Cramer
En esta sección definiremos la adjunta de una matriz y enunciaremos la regla de Cramer,
que a pesar de no ser una herramienta muy usada en la actualidad, es una interesante aplicación
de los determinantes.
Definición 1.22. Sea A ∈ Mn×n(R). Se define la matriz adjunta de A como la matriz adj(A) ∈
Mn×n(R) cuya ij-ésima componente es el ji-ésimo cofactor de A para cada i, j ∈ {1, . . ., n}, es
decir, si adj(A) = (bij)n×n, entonces bij = CA
ji para cualesquiera i, j ∈ {1, . . . , n}.

Observación 1.28. Si C = (CA
ij )n×n, es decir, si C es la matriz real cuadrada cuya ij-ésima
componente es el ij-ésimo cofactor de A para cada i, j ∈ {1, . . ., n}, entonces adj(A) = CT
.
Ejemplo 1.37. Hallar la adjunta de
A =




2 −1 3
1 0 2
4 −1 7




Solución. Necesitamos hallar cada uno de los cofactores de A. Veamos
CA
11 = (−1)1+1 0 2
−1 7
= 2; CA
12 = (−1)1+2 1 2
4 7
= 1; CA
13 = (−1)1+3 1 0
4 −1
= −1;
CA
21 = (−1)2+1 −1 3
−1 7
= 4; CA
22 = (−1)2+2 2 3
4 7
= 2; CA
23 = (−1)2+3 2 −1
4 −1
= −2;
CA
31 = (−1)3+1 −1 3
0 2
= −2; CA
32 = (−1)3+2 2 3
1 2
= −1; CA
33 = (−1)3+3 2 −1
1 0
= 1;
As que
adj(A) =




CA
11 CA
21 CA
31
CA
12 CA
22 CA
32
CA
13 CA
23 CA
33



 =




2 4 −2
1 2 −1
−1 −2 1




Teorema 1.40. Sea A ∈ Mn×n(R). Entonces A adj(A) = det(A)In = adj(A)A.
Demostración. Hagamos adj(A) = (bjk)n×n. As´ı que para cada j, k ∈ {1, . . . , n}, se tiene que
bjk = CA
kj.
Si hacemos A adj(A) = D = (dik)n×n, entonces, para cada i, k ∈ {1, . . ., n}, tenemos que
dik =
n
j=1
aijbjk =
n
j=1
aijCA
kj.
Pero n
j=1
aijCA
ij = det(A)

y según el teorema 1.34, si i = k, entonces
n
j=1
aijCA
kj = 0
Por lo tanto
dik =
det(A) si i = k
0 si i = k
= det(A)
1 si i = k
0 si i = k
= det(A)δik
donde In = (δik)n×n. En consecuencia A adj(A) = det(A)In. De manera análoga se prueba que
adj(A)A = det(A)In, lo cual concluye la prueba.
Teorema 1.41. Si A ∈ Mn×n(R) es invertible, entonces det(A−1
) =
1
det(A)
y A−1
=
1
det(A)
adj(A).
Demostración. Como A es invertible, entonces existe A−1
∈ Mn×n(R) tal que AA−1
= In =
A−1
A, y por el teorema 1.39
det(A) det(A−1
) = det(AA−1
) = det(In) = 1.
Luego
det(A−1
) =
1
det(A)
.
Por otro lado, usando el teorema 1.40, se tiene que
A
1
det(A)
adj(A) =
1
det(A)
A adj(A) =
1
det(A)
det(A)In = In.
De donde
A−1
=
1
det(A)
adj(A).
Ejercicio 1.9. Sea A ∈ Mn×n(R) una matriz invertible. Pruebe que adj(A) también es invertible
y además (adj(A))−1
= adj(A−1
).

Consideremos la ecuación matricial Ax = b, donde A ∈ Mn×n(R). Si A es invertible, entonces
la única solución de dicha ecuación está dada por x = A−1
b, as´ı que, una forma de hallar la
solución de la ecuación en cuestión, es calcular la inversa de A y multiplicarla por b, pero quizás
esto es mucho más complicado y costoso (en términos de cálculos) que hallar la FERF de la
matriz [A|b].
En el siguiente teorema presentaremos una herramienta que permite resolver la ecuación an-
terior usando determinantes, sin necesidad de hallar la inversa de A ni la FERF de [A|b], dicha
herramienta se conoce con el nombre de la regla de Cramer.
Teorema 1.42 (Regla de Cramer). Sea A ∈ Mn×n(R) una matriz invertible y b ∈ Mn×1(R). Si
x =







x1
x2
...
xn







es la solución de la ecuación Ax = b, entonces, para cada j ∈ {1, . . ., n}, xj =
det(Ab
j)
det(A)
,
donde Ab
j es la matriz que se obtiene de A al reemplazar A(j)
(la columna j) por b, esto es,
Ab
j = A(1)
· · · A(j−1)
b A(j+1)
· · · A(n)
Demostración. Como A = (aij)n×n es invertible, entonces la única solución del sistema Ax = b
es x = A−1
b, pero A−1
=
1
det(A)
adj(A), as´ı que x =
1
det(A)
adj(A)b, por lo tanto, si b =







b1
b2
...
bn







,
entonces xj =
1
det(A)
n
i=1
CA
ij bi para cada j ∈ {1, . . . , n}.
Por otro lado, para cada j ∈ {1, . . ., n}, se tiene que
Ab
j =















a11 · · · a1(j−1) b1 a1(j+1) · · · a1n
...
...
...
...
...
a(i−1)1 · · · a(i−1)(j−1) bi−1 a(i−1)(j+1) · · · a(i−1)n
ai1 · · · ai(j−1) bi ai(j+1) · · · ain
a(i+1)1 · · · a(i+1)(j−1) bi+1 a(i+1)(j+1) · · · a(i+1)n
...
...
...
...
...
an1 · · · an(j−1) bn an(j+1) · · · ann















Por lo tanto, para cada i ∈ {1, . . ., n}, tenemos que M
Ab
j
ij = MA
ij y as´ı
C
Ab
j
ij = (−1)i+j
det M
Ab
j
ij = (−1)i+j
det MA
ij = CA
ij

Luego, al desarrollar el determinante de Ab
j por medio de la j-ésima columna, obtenemos
det(Ab
j) =
n
i=1
C
Ab
j
ij bi =
n
i=1
CA
ij bi
En consecuencia, para cada j ∈ {1, . . . , n} tenemos que
xj =
det(Ab
j)
det(A)
Ejemplo 1.38. Verificar que la matriz del sistema



x +2z −w = 3
x +y +2z +w = 2
4x +2y +2z −3w = 1
2y +z +4w = 1
es invertible y usar la regla de Cramer para hallar la solución del sistema.
Solución. La matriz del sistema es
A =







1 0 2 −1
1 1 2 1
4 2 2 −3
0 2 1 4







hallemos su determinante
det(A) =
1 0 2 −1
1 1 2 1
4 2 2 −3
0 2 1 4
=
1 0 2 −1
0 1 0 2
0 2 −6 1
0 2 1 4
=
1 0 2
2 −6 1
2 1 4
=
1 0 0
2 −6 −3
2 1 0
=
−6 −3
1 0
= 3 = 0.
Por lo tanto la matriz del sistema es invertible, as´ı que podemos aplicar la regla de Cramer para
resolverlo. En este caso la matriz de términos independientes es
b =







3
2
1
1








Luego
det Ab
1 =
3 0 2 −1
2 1 2 1
1 2 2 −3
1 2 1 4
=
0 −6 −1 −13
0 −3 0 −7
0 0 1 −7
1 2 1 4
= −
−6 −1 −13
−3 0 −7
0 1 −7
= −
−6 0 −20
−3 0 −7
0 1 −7
=
−6 −20
−3 −7
= 42 − 60 = −18.
det Ab
2 =
1 3 2 −1
1 2 2 1
4 1 2 −3
0 1 1 4
=
1 3 2 −1
0 −1 0 2
0 −11 −6 1
0 1 1 4
=
−1 0 2
−11 −6 1
1 1 4
=
−1 0 0
−11 −6 −21
1 1 6
= −
−6 −21
1 6
= −(−36 + 21) = 15.
det Ab
3 =
1 0 3 −1
1 1 2 1
4 2 1 −3
0 2 1 4
=
1 0 2 −1
0 1 −1 2
0 2 −11 1
0 2 1 4
=
1 −1 2
2 −11 1
2 1 4
=
1 −1 2
0 −9 −3
0 3 0
=
−9 −3
3 0
= 9.
det Ab
4 =
1 0 2 3
1 1 2 2
4 2 2 1
0 2 1 1
=
1 0 2 3
0 1 0 −1
0 2 −6 −11
0 2 1 1
=
1 0 −1
2 −6 −11
2 1 1
=
1 0 0
2 −6 −9
2 1 3
=
−6 −9
1 3
= −18 + 9 = −9.

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