Este documento presenta información sobre identidades trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos. El profesor Carlos Torres explica conceptos como simplificación de expresiones, razones trigonométricas de ángulos notables, fórmulas básicas para la suma y diferencia de ángulos, y propone problemas para practicar estas ideas.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de la Teoría de Respuesta al Ítem (TRI). La TRI es un modelo estadístico que relaciona la probabilidad de respuesta a un ítem en función de parámetros específicos del ítem y el nivel de rasgo latente del sujeto. La TRI se centra en los patrones de respuesta a los ítems individuales en lugar del test completo. La TRI ofrece ventajas como estimaciones más precisas de la habilidad de cada sujeto y comparabilidad entre formas de tests sin requerir paralelismo estricto.
El documento explica el orden de las operaciones matemáticas. 1) Se realizan las potencias y raíces, 2) luego las multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha, 3) después las sumas y restas también de izquierda a derecha, y 4) por último las operaciones dentro de signos de agrupación como paréntesis. Incluye ejemplos para ilustrar el orden correcto. También presenta conceptos sobre interpretación de fracciones en diferentes contextos.
Este documento presenta los conceptos de máximo común divisor (MCD) y factorización de polinomios. Explica que el MCD de dos o más números es el número que los divide a todos exactamente. Luego describe el método abreviado para calcular el MCD mediante la división sucesiva por números primos comunes. Finalmente, introduce diferentes casos y métodos para factorizar polinomios, incluyendo factor común monomio, binomio y trinomios cuadrados perfectos. Incluye ejemplos para ilustrar cada concepto.
Este documento resume los orígenes de las series de Fourier y cómo Fourier calculó por primera vez los coeficientes de dichas series. Explica que Fourier se inspiró en el trabajo previo de Daniel Bernoulli sobre la descomposición de ondas para resolver problemas de ecuaciones de ondas y del calor. Fourier propuso representar las soluciones como una superposición de ondas sencillas y dedujo la fórmula para calcular los coeficientes de dicha descomposición, lo que marcó una diferencia significativa con respecto al trabajo anterior de Bernoulli.
Con la información dada, podemos afirmar lo siguiente:
1. La función f es diferenciable en x=3. Esto significa que en este punto existe la derivada f'(3).
2. El valor de la derivada f'(3) es 0.6.
3. El hecho de que f'(3)=0.6 nos indica que cuando x está cerca de 3, f aumenta a una tasa de 0.6 unidades por cada unidad de aumento de x. En otras palabras, f es una función creciente en los valores de x cercanos a 3.
4. No podemos afirmar nada sobre los valores de f
Este documento presenta conceptos básicos de lógica matemática. Introduce las definiciones de constante, variable y término. Explica que las proposiciones pueden ser verdaderas o falsas y define las operaciones lógicas de una y dos proposiciones como la negación, conjunción, disyunción, implicación y equivalencia. Además, introduce las funciones proposicionales y veritativas y da ejemplos de diferentes formas proposicionales como identidades, neutralidades y contradicciones.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de la teoría de conjuntos. Introduce definiciones como conjunto, elemento de un conjunto, conjunto vacío y operaciones básicas entre conjuntos como unión, intersección y diferencia. Explica las relaciones de igualdad, contención e inclusión entre conjuntos y cómo representar conjuntos y sus relaciones mediante diagramas de Venn.
Dados los ángulos A y B, se trazan dos rectas sumando y restando los ángulos. Se construye el ángulo A sobre una recta y se suma el ángulo B a partir de un punto para obtener otro ángulo. Al hacer lo mismo en la otra recta, se obtienen los ángulos solución trazados por las dos rectas.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de la Teoría de Respuesta al Ítem (TRI). La TRI es un modelo estadístico que relaciona la probabilidad de respuesta a un ítem en función de parámetros específicos del ítem y el nivel de rasgo latente del sujeto. La TRI se centra en los patrones de respuesta a los ítems individuales en lugar del test completo. La TRI ofrece ventajas como estimaciones más precisas de la habilidad de cada sujeto y comparabilidad entre formas de tests sin requerir paralelismo estricto.
El documento explica el orden de las operaciones matemáticas. 1) Se realizan las potencias y raíces, 2) luego las multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha, 3) después las sumas y restas también de izquierda a derecha, y 4) por último las operaciones dentro de signos de agrupación como paréntesis. Incluye ejemplos para ilustrar el orden correcto. También presenta conceptos sobre interpretación de fracciones en diferentes contextos.
Este documento presenta los conceptos de máximo común divisor (MCD) y factorización de polinomios. Explica que el MCD de dos o más números es el número que los divide a todos exactamente. Luego describe el método abreviado para calcular el MCD mediante la división sucesiva por números primos comunes. Finalmente, introduce diferentes casos y métodos para factorizar polinomios, incluyendo factor común monomio, binomio y trinomios cuadrados perfectos. Incluye ejemplos para ilustrar cada concepto.
Este documento resume los orígenes de las series de Fourier y cómo Fourier calculó por primera vez los coeficientes de dichas series. Explica que Fourier se inspiró en el trabajo previo de Daniel Bernoulli sobre la descomposición de ondas para resolver problemas de ecuaciones de ondas y del calor. Fourier propuso representar las soluciones como una superposición de ondas sencillas y dedujo la fórmula para calcular los coeficientes de dicha descomposición, lo que marcó una diferencia significativa con respecto al trabajo anterior de Bernoulli.
Con la información dada, podemos afirmar lo siguiente:
1. La función f es diferenciable en x=3. Esto significa que en este punto existe la derivada f'(3).
2. El valor de la derivada f'(3) es 0.6.
3. El hecho de que f'(3)=0.6 nos indica que cuando x está cerca de 3, f aumenta a una tasa de 0.6 unidades por cada unidad de aumento de x. En otras palabras, f es una función creciente en los valores de x cercanos a 3.
4. No podemos afirmar nada sobre los valores de f
Este documento presenta conceptos básicos de lógica matemática. Introduce las definiciones de constante, variable y término. Explica que las proposiciones pueden ser verdaderas o falsas y define las operaciones lógicas de una y dos proposiciones como la negación, conjunción, disyunción, implicación y equivalencia. Además, introduce las funciones proposicionales y veritativas y da ejemplos de diferentes formas proposicionales como identidades, neutralidades y contradicciones.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de la teoría de conjuntos. Introduce definiciones como conjunto, elemento de un conjunto, conjunto vacío y operaciones básicas entre conjuntos como unión, intersección y diferencia. Explica las relaciones de igualdad, contención e inclusión entre conjuntos y cómo representar conjuntos y sus relaciones mediante diagramas de Venn.
Dados los ángulos A y B, se trazan dos rectas sumando y restando los ángulos. Se construye el ángulo A sobre una recta y se suma el ángulo B a partir de un punto para obtener otro ángulo. Al hacer lo mismo en la otra recta, se obtienen los ángulos solución trazados por las dos rectas.
Problemas: Oportunidades de aprender e investigar, para alumnos y maestroscarlos torres
Así se tituló la conferencia del Dr. Uldarico Malaspina (PUCP) en el Congreso Internacional en Educación Matemática organizador por la Ed. Norma de Perú. El tema de exposición se desarrolló dentro de la línea de Resolución de Problemas que es de suma importancia para didáctica de la matemática y, como consecuencia, para la mejora del proceso de enseñanza - aprendizaje.
This document discusses teacher professional development and the theory-practice dichotomy in mathematics education. It provides an overview of the relevant literature on this topic and examines different models that have been proposed to describe the relationship between theory and practice. It then describes an initiative in Germany called "Mathematics Done Differently" which aims to better address teachers' needs through innovative approaches to professional development, such as offering courses tailored to teachers' specific requests. The document concludes by reflecting on the successes and challenges of this approach to bridging theory and practice.
This document discusses research on the use of technology in mathematics education. It explores how technologies can influence conceptualization and the roles of different artifacts. Frameworks for understanding how technologies are used as instruments for learning are presented. Challenges in implementing technologies in the classroom and gaps between potential uses and actual implementation are also examined.
Becoming a researcher in mathematics education requires consideration of several factors. These include determining one's goals in conducting research, theoretical paradigms that may guide the work, appropriate research methods, and ensuring ethical standards are upheld. The document discusses key aspects of developing research questions, collecting and analyzing data, and validating and communicating findings in a way that enhances both knowledge and practice in the field.
This document discusses DNR (Duality, Necessity, Repeated Reasoning)-based instruction in mathematics. It outlines DNR premises related to mathematics, learning, teaching, and ontology. It then describes a classroom lesson where the teacher targets ways of thinking like algebraic representation and problem-solving approaches. Students are presented with a problem and their initial solution is discussed. Through further engagement facilitated by the teacher based on DNR principles, the students refine their understanding and ways of thinking.
The document discusses observing systems and how we perceive things. It notes that unconscious thought shapes most of our conscious thought and that categorization is important for survival. The research project aimed to create a school culture where students see a need for algebra to express their ideas through collaboration between teachers and researchers. Over a year, lessons were observed and teachers and students were interviewed to understand how an "algebraic activity community of inquirers" could develop. The findings looked at patterns over time and contingencies between teacher and student behaviors as creativity and complex structures were supported.
YESS-5 is a summer school taking place from August 18-25, 2010 in Palermo, Sicily, Italy. The summer school will be hosted at Poggio San Francesco, which is located less than 20 km from Palermo and has 115 sleeping accommodations, a 200-seat conference room, and two 60-seat conference rooms. The program includes workshops during the week and trips to nearby locations like Monreale, Piana degli Albanesi, Segesta, and Palermo.
El documento presenta una discusión sobre la astronomía andina y la relación entre los pueblos andinos y el universo. Explica que los andinos crearon su propia astronomía y constelaciones basadas en sus observaciones del cielo del hemisferio sur. También discute cómo la cultura andina entiende la interacción entre el mundo de arriba (los astros), el mundo de aquí (los seres humanos) y el mundo de abajo (los antepasados), y cómo esto influye en su comprensión ecológica.
La Unión Europea ha acordado un embargo petrolero contra Rusia en respuesta a la invasión de Ucrania. El embargo prohibirá las importaciones marítimas de petróleo ruso a la UE y pondrá fin a las entregas a través de oleoductos dentro de seis meses. Esta medida forma parte de un sexto paquete de sanciones de la UE destinadas a aumentar la presión económica sobre el gobierno de Putin.
El documento presenta una serie de problemas de lógica y razonamiento que involucran la manipulación de objetos como palillos, monedas y vasos. Se proporcionan las instrucciones de cada problema y su solución respectiva. Los problemas van desde formar figuras geométricas simples hasta distribuir objetos de manera equitativa.
El documento presenta 50 ilustraciones que contienen elementos visuales ambiguos, imposibles o engañosos diseñados para generar ilusiones ópticas. Cada ilustración viene acompañada de una breve pregunta o comentario que invita al lector a observar detenidamente la imagen y descubrir sus características engañosas. El objetivo es evaluar la capacidad del lector para identificar patrones y perspectivas no evidentes a primera vista.
Este documento describe el objetivo de establecer un laboratorio de matemáticas para desarrollar las capacidades matemáticas de los estudiantes a través del uso de materiales manipulativos y juegos. El laboratorio busca promover el razonamiento, la comunicación matemática y la resolución de problemas mediante actividades prácticas que sean divertidas para los estudiantes.
El documento describe el uso de "maquimedios", recursos educativos manipulables como títeres y organizadores dinámicos hechos de papel, para enseñar matemáticas y otras materias sin necesidad de tecnología costosa. Explica que los maquimedios permiten una presentación secuencial de imágenes que mantiene la atención del público y apoya la comprensión. Finalmente, proporciona detalles sobre talleres y libros disponibles para aprender a hacer y usar maquimedios en el aula.
El documento describe el enfoque conceptual en la enseñanza de las ciencias y la importancia de los laboratorios de física. Propone rediseñar el trabajo en los laboratorios centrándose más en los conceptos. También recomienda actividades como conferencias y talleres interdisciplinarios para promover una mejor comprensión de la física.
Este documento resume la historia de las matemáticas en Perú entre 1930 y 1970, destacando figuras clave como Alfred Rosenblatt, Godofredo García y José Tola. En esta época la matemática peruana empezó a abrirse a las corrientes mundiales gracias a Rosenblatt y a publicaciones extranjeras. También se fundó la Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales de Lima en 1938. Tola formó dos grupos de estudiantes interesados en áreas como topología, análisis funcional y fís
TENDENCIAS ACTUALES EN LA ENSEÑANZA DE LA MATEMATICAcarlos torres
El documento resume siete tendencias actuales en la enseñanza de las matemáticas: 1) Incorporar contenidos de matemática discreta como teoría de grafos y teoría de números; 2) Presentar las matemáticas contextualizadas en situaciones reales; 3) Dar importancia a la enseñanza de procesos matemáticos como la resolución de problemas y la modelización; 4) Usar un enfoque constructivista y activo en la enseñanza; 5) Incorporar tecnologías de la información; 6) Considerar que saber matem
EVALUACION CENSAL A DOCENTES DE EDUCACION BASICA REGULARcarlos torres
El documento describe la evaluación censal de docentes de educación básica regular en Perú. La evaluación busca establecer una línea base para diseñar acciones de capacitación del magisterio y mejorar el sistema educativo. La prueba evalúa habilidades de lectura, razonamiento lógico-matemático y conocimientos del currículo. Los resultados ayudarán al Ministerio de Educación a desarrollar programas de capacitación y mejorar el desempeño docente.
El documento habla sobre el método de proyectos para enseñar matemáticas. Explica que un proyecto es un trabajo práctico de investigación vinculado a un contexto real que involucra conocimientos matemáticos. Los proyectos tienen objetivos como que los estudiantes piensen por sí mismos, planteen preguntas e hipótesis, recolecten datos y comuniquen sus hallazgos. También describe las fases de desarrollo de un proyecto y algunos obstáculos y dificultades en su uso.
1. El documento habla sobre la importancia de la enseñanza de la estadística en la educación básica. 2. Presenta algunas recomendaciones para la didáctica de la estadística como proyectos estadísticos y experimentación con fenómenos aleatorios. 3. También discute algunas dificultades como la falta de capacitación de docentes y materiales didácticos apropiados para la enseñanza de la estadística.
El documento presenta estrategias para enseñar matemáticas usando la astronomía. Propone seleccionar el tema "El Sol y la Vida" y realizar un taller sobre medición de magnitudes longitudinales, comparando los tamaños del Sol y la Tierra y usando unidades como el metro, centímetro y kilómetro. Finalmente, recomienda recursos en internet para que los estudiantes aprendan de forma divertida.
Problemas: Oportunidades de aprender e investigar, para alumnos y maestroscarlos torres
Así se tituló la conferencia del Dr. Uldarico Malaspina (PUCP) en el Congreso Internacional en Educación Matemática organizador por la Ed. Norma de Perú. El tema de exposición se desarrolló dentro de la línea de Resolución de Problemas que es de suma importancia para didáctica de la matemática y, como consecuencia, para la mejora del proceso de enseñanza - aprendizaje.
This document discusses teacher professional development and the theory-practice dichotomy in mathematics education. It provides an overview of the relevant literature on this topic and examines different models that have been proposed to describe the relationship between theory and practice. It then describes an initiative in Germany called "Mathematics Done Differently" which aims to better address teachers' needs through innovative approaches to professional development, such as offering courses tailored to teachers' specific requests. The document concludes by reflecting on the successes and challenges of this approach to bridging theory and practice.
This document discusses research on the use of technology in mathematics education. It explores how technologies can influence conceptualization and the roles of different artifacts. Frameworks for understanding how technologies are used as instruments for learning are presented. Challenges in implementing technologies in the classroom and gaps between potential uses and actual implementation are also examined.
Becoming a researcher in mathematics education requires consideration of several factors. These include determining one's goals in conducting research, theoretical paradigms that may guide the work, appropriate research methods, and ensuring ethical standards are upheld. The document discusses key aspects of developing research questions, collecting and analyzing data, and validating and communicating findings in a way that enhances both knowledge and practice in the field.
This document discusses DNR (Duality, Necessity, Repeated Reasoning)-based instruction in mathematics. It outlines DNR premises related to mathematics, learning, teaching, and ontology. It then describes a classroom lesson where the teacher targets ways of thinking like algebraic representation and problem-solving approaches. Students are presented with a problem and their initial solution is discussed. Through further engagement facilitated by the teacher based on DNR principles, the students refine their understanding and ways of thinking.
The document discusses observing systems and how we perceive things. It notes that unconscious thought shapes most of our conscious thought and that categorization is important for survival. The research project aimed to create a school culture where students see a need for algebra to express their ideas through collaboration between teachers and researchers. Over a year, lessons were observed and teachers and students were interviewed to understand how an "algebraic activity community of inquirers" could develop. The findings looked at patterns over time and contingencies between teacher and student behaviors as creativity and complex structures were supported.
YESS-5 is a summer school taking place from August 18-25, 2010 in Palermo, Sicily, Italy. The summer school will be hosted at Poggio San Francesco, which is located less than 20 km from Palermo and has 115 sleeping accommodations, a 200-seat conference room, and two 60-seat conference rooms. The program includes workshops during the week and trips to nearby locations like Monreale, Piana degli Albanesi, Segesta, and Palermo.
El documento presenta una discusión sobre la astronomía andina y la relación entre los pueblos andinos y el universo. Explica que los andinos crearon su propia astronomía y constelaciones basadas en sus observaciones del cielo del hemisferio sur. También discute cómo la cultura andina entiende la interacción entre el mundo de arriba (los astros), el mundo de aquí (los seres humanos) y el mundo de abajo (los antepasados), y cómo esto influye en su comprensión ecológica.
La Unión Europea ha acordado un embargo petrolero contra Rusia en respuesta a la invasión de Ucrania. El embargo prohibirá las importaciones marítimas de petróleo ruso a la UE y pondrá fin a las entregas a través de oleoductos dentro de seis meses. Esta medida forma parte de un sexto paquete de sanciones de la UE destinadas a aumentar la presión económica sobre el gobierno de Putin.
El documento presenta una serie de problemas de lógica y razonamiento que involucran la manipulación de objetos como palillos, monedas y vasos. Se proporcionan las instrucciones de cada problema y su solución respectiva. Los problemas van desde formar figuras geométricas simples hasta distribuir objetos de manera equitativa.
El documento presenta 50 ilustraciones que contienen elementos visuales ambiguos, imposibles o engañosos diseñados para generar ilusiones ópticas. Cada ilustración viene acompañada de una breve pregunta o comentario que invita al lector a observar detenidamente la imagen y descubrir sus características engañosas. El objetivo es evaluar la capacidad del lector para identificar patrones y perspectivas no evidentes a primera vista.
Este documento describe el objetivo de establecer un laboratorio de matemáticas para desarrollar las capacidades matemáticas de los estudiantes a través del uso de materiales manipulativos y juegos. El laboratorio busca promover el razonamiento, la comunicación matemática y la resolución de problemas mediante actividades prácticas que sean divertidas para los estudiantes.
El documento describe el uso de "maquimedios", recursos educativos manipulables como títeres y organizadores dinámicos hechos de papel, para enseñar matemáticas y otras materias sin necesidad de tecnología costosa. Explica que los maquimedios permiten una presentación secuencial de imágenes que mantiene la atención del público y apoya la comprensión. Finalmente, proporciona detalles sobre talleres y libros disponibles para aprender a hacer y usar maquimedios en el aula.
El documento describe el enfoque conceptual en la enseñanza de las ciencias y la importancia de los laboratorios de física. Propone rediseñar el trabajo en los laboratorios centrándose más en los conceptos. También recomienda actividades como conferencias y talleres interdisciplinarios para promover una mejor comprensión de la física.
Este documento resume la historia de las matemáticas en Perú entre 1930 y 1970, destacando figuras clave como Alfred Rosenblatt, Godofredo García y José Tola. En esta época la matemática peruana empezó a abrirse a las corrientes mundiales gracias a Rosenblatt y a publicaciones extranjeras. También se fundó la Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales de Lima en 1938. Tola formó dos grupos de estudiantes interesados en áreas como topología, análisis funcional y fís
TENDENCIAS ACTUALES EN LA ENSEÑANZA DE LA MATEMATICAcarlos torres
El documento resume siete tendencias actuales en la enseñanza de las matemáticas: 1) Incorporar contenidos de matemática discreta como teoría de grafos y teoría de números; 2) Presentar las matemáticas contextualizadas en situaciones reales; 3) Dar importancia a la enseñanza de procesos matemáticos como la resolución de problemas y la modelización; 4) Usar un enfoque constructivista y activo en la enseñanza; 5) Incorporar tecnologías de la información; 6) Considerar que saber matem
EVALUACION CENSAL A DOCENTES DE EDUCACION BASICA REGULARcarlos torres
El documento describe la evaluación censal de docentes de educación básica regular en Perú. La evaluación busca establecer una línea base para diseñar acciones de capacitación del magisterio y mejorar el sistema educativo. La prueba evalúa habilidades de lectura, razonamiento lógico-matemático y conocimientos del currículo. Los resultados ayudarán al Ministerio de Educación a desarrollar programas de capacitación y mejorar el desempeño docente.
El documento habla sobre el método de proyectos para enseñar matemáticas. Explica que un proyecto es un trabajo práctico de investigación vinculado a un contexto real que involucra conocimientos matemáticos. Los proyectos tienen objetivos como que los estudiantes piensen por sí mismos, planteen preguntas e hipótesis, recolecten datos y comuniquen sus hallazgos. También describe las fases de desarrollo de un proyecto y algunos obstáculos y dificultades en su uso.
1. El documento habla sobre la importancia de la enseñanza de la estadística en la educación básica. 2. Presenta algunas recomendaciones para la didáctica de la estadística como proyectos estadísticos y experimentación con fenómenos aleatorios. 3. También discute algunas dificultades como la falta de capacitación de docentes y materiales didácticos apropiados para la enseñanza de la estadística.
El documento presenta estrategias para enseñar matemáticas usando la astronomía. Propone seleccionar el tema "El Sol y la Vida" y realizar un taller sobre medición de magnitudes longitudinales, comparando los tamaños del Sol y la Tierra y usando unidades como el metro, centímetro y kilómetro. Finalmente, recomienda recursos en internet para que los estudiantes aprendan de forma divertida.
1. Consideraciones Previas
Teor´
ıa
Problemas
Trigonometr´
ıa
Identidades Trigonom´tricas de la
e
´
Suma y Diferencia de Angulos
Prof. Carlos Torres
Colegio
Octubre de 2010
Prof. Carlos Torres Trigonometr´
ıa
2. Consideraciones Previas
Teor´
ıa
Problemas
1 Consideraciones Previas
Simplificaci´n de Expresiones
o
Razones Trigonom´tricas de ´ngulos notables
e a
Prof. Carlos Torres Trigonometr´
ıa
3. Consideraciones Previas
Teor´
ıa
Problemas
1 Consideraciones Previas
Simplificaci´n de Expresiones
o
Razones Trigonom´tricas de ´ngulos notables
e a
2 Teor´
ıa
Prof. Carlos Torres Trigonometr´
ıa
4. Consideraciones Previas
Teor´
ıa
Problemas
1 Consideraciones Previas
Simplificaci´n de Expresiones
o
Razones Trigonom´tricas de ´ngulos notables
e a
2 Teor´
ıa
3 Problemas
Prof. Carlos Torres Trigonometr´
ıa
5. Consideraciones Previas
Simplificaci´n de Expresiones
o
Teor´
ıa
Razones Trigonom´tricas de ´ngulos notables
e a
Problemas
Simplificaci´n de Expresiones
o
Veamos los siguientes ejemplos
1 Para la expresi´n
√ √ o
5xy 5xy
¡
=
y y
¡
Prof. Carlos Torres Trigonometr´
ıa
6. Consideraciones Previas
Simplificaci´n de Expresiones
o
Teor´
ıa
Razones Trigonom´tricas de ´ngulos notables
e a
Problemas
Simplificaci´n de Expresiones
o
Veamos los siguientes ejemplos
1 Para la expresi´n
√ √ o
5xy 5xy
¡
=
y y
¡
2 Para la expresi´n
o
3x − 3y ¡ ¡
3x − 3y x−y
= =
3z ¡
3z z
Prof. Carlos Torres Trigonometr´
ıa
7. Consideraciones Previas
Simplificaci´n de Expresiones
o
Teor´
ıa
Razones Trigonom´tricas de ´ngulos notables
e a
Problemas
Simplificaci´n de Expresiones
o
Veamos los siguientes ejemplos
1 Para la expresi´n
√ √ o
5xy 5xy
¡
=
y y
¡
2 Para la expresi´n
o
3x − 3y ¡ ¡
3x − 3y x−y
= =
3z ¡
3z z
3 Para
x+2y = 4+x ⇒ & x+2y = 4+& ⇒ 2y = 4 ⇒ 2y = 4 ⇒ y = 2
x ¡ ¡
Prof. Carlos Torres Trigonometr´
ıa
8. Consideraciones Previas
Simplificaci´n de Expresiones
o
Teor´
ıa
Razones Trigonom´tricas de ´ngulos notables
e a
Problemas
Simplificaci´n de Expresiones
o
Veamos los siguientes ejemplos
1 Para la expresi´n
√ √ o
5xy 5xy
¡
=
y y
¡
2 Para la expresi´n
o
3x − 3y ¡ ¡
3x − 3y x−y
= =
3z ¡
3z z
3 Para
x+2y = 4+x ⇒ & x+2y = 4+& ⇒ 2y = 4 ⇒ 2y = 4 ⇒ y = 2
x ¡ ¡
72 72
72
4 Para la divisi´n
o 3
5 = ¡ =
3
5 5
3
¡
3
Prof. Carlos Torres Trigonometr´
ıa
9. Consideraciones Previas
Simplificaci´n de Expresiones
o
Teor´
ıa
Razones Trigonom´tricas de ´ngulos notables
e a
Problemas
Errores comunes
Caso I:
a+b a+¡b
= =a
b ¡
b
Prof. Carlos Torres Trigonometr´
ıa
10. Consideraciones Previas
Simplificaci´n de Expresiones
o
Teor´
ıa
Razones Trigonom´tricas de ´ngulos notables
e a
Problemas
Errores comunes
Caso I:
a+b a+¡b
= =a
b ¡
b
Caso II:
16 16¡ 1
= =
64 ¡
64 4
Prof. Carlos Torres Trigonometr´
ıa
11. Consideraciones Previas
Simplificaci´n de Expresiones
o
Teor´
ıa
Razones Trigonom´tricas de ´ngulos notables
e a
Problemas
Razones Trigonom´tricas de ´ngulos notables
e a
Hallar el valor de:
5 sen 30o 4 (tan 37o + sec 53o )
+
cos 60o csc 60o − cot 45o
Prof. Carlos Torres Trigonometr´
ıa
12. Consideraciones Previas
Simplificaci´n de Expresiones
o
Teor´
ıa
Razones Trigonom´tricas de ´ngulos notables
e a
Problemas
Resoluci´n
o
Reemplazando:
1 3 5
5 sen 30o 4 (tan 37o + sec 53o ) 5 2 4 4+4
o
+ o − cot 45o
= 1 +
cos 60 csc 60 2
2−1
Prof. Carlos Torres Trigonometr´
ıa
13. Consideraciones Previas
Simplificaci´n de Expresiones
o
Teor´
ıa
Razones Trigonom´tricas de ´ngulos notables
e a
Problemas
Resoluci´n
o
Reemplazando:
1 3 5
5 sen 30o 4 (tan 37o + sec 53o ) 5 2 4 4+4
o
+ o − cot 45o
= 1 +
cos 60 csc 60 2
2−1
1
5 ¡¡ ¡
4 8
=
2
+ ¡
4
1¡ 1
¡
2
Prof. Carlos Torres Trigonometr´
ıa
14. Consideraciones Previas
Simplificaci´n de Expresiones
o
Teor´
ıa
Razones Trigonom´tricas de ´ngulos notables
e a
Problemas
Resoluci´n
o
Reemplazando:
1 3 5
5 sen 30o 4 (tan 37o + sec 53o ) 5 2 4 4+4
o
+ o − cot 45o
= 1 +
cos 60 csc 60 2
2−1
1
5 ¡¡ ¡
4 8
=
2
+ ¡
4
1¡ 1
¡
2
= 13
Prof. Carlos Torres Trigonometr´
ıa
15. Consideraciones Previas
Teor´
ıa
Problemas
F´rmulas b´sicas
o a
Para la suma de ´ngulos
a
sen (x + y) = sen x. cos y + cos x. sen y (1)
cos (x + y) = cos x. cos y − sen x. sen y (2)
tan x + tan y
tan (x + y) = (3)
1 − tan x. tan y
Para la diferencia de ´ngulos
a
sen (x − y) = sen x. cos y − cos x. sen y (4)
cos (x − y) = cos x. cos y + sen x. sen y (5)
tan x − tan y
tan (x − y) = (6)
1 + tan x. tan y
Prof. Carlos Torres Trigonometr´
ıa
16. Consideraciones Previas
Teor´
ıa
Problemas
Problemas Propuestos I
1 Reducir:
sen (α + β) − sen α cos β
cos α. sen β
2 Reducir:
cos (x + θ) + sen x sen θ
sen x. sen θ
3 Simplificar:
sen (x − y)
L= + tan y
cos x. cos y
4 Siendo: tan x + tan y + tan z = 4, calcular
sen (x + y) sen (y + z) sen (z + x)
C= + +
cos x. cos y cos y. cos z cos z. cos x
Prof. Carlos Torres Trigonometr´
ıa