Este documento introduce conceptos básicos de álgebra lineal como sistemas de ecuaciones lineales, matrices y operaciones con matrices. Explica que las matrices permiten representar sistemas de ecuaciones lineales de forma compacta y definir operaciones como suma, producto por un escalar y producto de matrices que permiten resolver sistemas. También define conceptos como matriz cuadrada, triangular, nula, diagonal e identidad.
Sistemas de ecuaciones diferenciales de primer ordencesar91
Este documento introduce los sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. Explica que un sistema de este tipo consta de dos ecuaciones que relacionan las derivadas de dos variables dependientes respecto a una variable independiente. Además, describe métodos para resolver sistemas lineales y homogéneos, e introduce la interpretación geométrica de las soluciones a través de órbitas en un plano de fase.
Este documento describe el método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Explica que este método utiliza transformaciones elementales sobre la matriz del sistema para obtener un sistema equivalente en forma escalonada, el cual puede resolverse fácilmente mediante sustitución regresiva. También clasifica los sistemas en determinados, indeterminados e incompatibles dependiendo del número de soluciones.
Solucion numerica de ecuaciones diferenciales ordinarias 2cesar91
Este documento describe el método numérico de diferencias finitas para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias unidimensionales. Explica cómo aproximar las derivadas primeras y segundas mediante desarrollos de Taylor y cómo transformar la ecuación diferencial en un sistema de ecuaciones algebraicas que puede resolverse numéricamente. Aplica el método a dos ecuaciones, una con coeficientes constantes proveniente de un sistema resorte-masa y otra con coeficientes variables.
Este documento describe tres métodos para resolver sistemas de ecuaciones: el método gráfico para sistemas 2x2, el método de suma y resta para sistemas 3x3, y el método de igualación para sistemas 3x3. Se proveen ejemplos detallados de cada método con pasos explicados.
Este documento resume los conceptos clave de las ecuaciones diferenciales y los sistemas de ecuaciones diferenciales. Explica cómo resolver este tipo de ecuaciones mediante diferentes softwares como Maple, Mathematica, Matlab, Gauss y Excel. Además, proporciona códigos de programación para implementar las soluciones en cada software.
Sistemas de ecuaciones lineales y matricesCrissLobo
Una descripcion mas detallada sobre el sistema de ecuaiones lineales y Matrices, la cual servira como guia para la comprencion de la materia a estudiar
El documento presenta una introducción a las ecuaciones diferenciales parciales. Explica que las edp son relaciones que involucran una función desconocida y sus derivadas parciales, y que modelan una amplia variedad de fenómenos físicos y matemáticos. Además, describe brevemente los capítulos que componen el libro, los cuales cubren temas como la clasificación de edp, los métodos de solución para edp lineales y no lineales, y las funciones de Green. El objetivo general es proveer una panor
Este documento describe diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo el método de igualación, sustitución, y reducción. Explica cómo cada método involucra encontrar ecuaciones con una sola incógnita y luego sustituir valores para resolver el sistema original. También cubre sistemas de segundo grado y diferentes tipos de soluciones posibles como determinada, inconsistente o dependiente.
Sistemas de ecuaciones diferenciales de primer ordencesar91
Este documento introduce los sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. Explica que un sistema de este tipo consta de dos ecuaciones que relacionan las derivadas de dos variables dependientes respecto a una variable independiente. Además, describe métodos para resolver sistemas lineales y homogéneos, e introduce la interpretación geométrica de las soluciones a través de órbitas en un plano de fase.
Este documento describe el método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Explica que este método utiliza transformaciones elementales sobre la matriz del sistema para obtener un sistema equivalente en forma escalonada, el cual puede resolverse fácilmente mediante sustitución regresiva. También clasifica los sistemas en determinados, indeterminados e incompatibles dependiendo del número de soluciones.
Solucion numerica de ecuaciones diferenciales ordinarias 2cesar91
Este documento describe el método numérico de diferencias finitas para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias unidimensionales. Explica cómo aproximar las derivadas primeras y segundas mediante desarrollos de Taylor y cómo transformar la ecuación diferencial en un sistema de ecuaciones algebraicas que puede resolverse numéricamente. Aplica el método a dos ecuaciones, una con coeficientes constantes proveniente de un sistema resorte-masa y otra con coeficientes variables.
Este documento describe tres métodos para resolver sistemas de ecuaciones: el método gráfico para sistemas 2x2, el método de suma y resta para sistemas 3x3, y el método de igualación para sistemas 3x3. Se proveen ejemplos detallados de cada método con pasos explicados.
Este documento resume los conceptos clave de las ecuaciones diferenciales y los sistemas de ecuaciones diferenciales. Explica cómo resolver este tipo de ecuaciones mediante diferentes softwares como Maple, Mathematica, Matlab, Gauss y Excel. Además, proporciona códigos de programación para implementar las soluciones en cada software.
Sistemas de ecuaciones lineales y matricesCrissLobo
Una descripcion mas detallada sobre el sistema de ecuaiones lineales y Matrices, la cual servira como guia para la comprencion de la materia a estudiar
El documento presenta una introducción a las ecuaciones diferenciales parciales. Explica que las edp son relaciones que involucran una función desconocida y sus derivadas parciales, y que modelan una amplia variedad de fenómenos físicos y matemáticos. Además, describe brevemente los capítulos que componen el libro, los cuales cubren temas como la clasificación de edp, los métodos de solución para edp lineales y no lineales, y las funciones de Green. El objetivo general es proveer una panor
Este documento describe diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo el método de igualación, sustitución, y reducción. Explica cómo cada método involucra encontrar ecuaciones con una sola incógnita y luego sustituir valores para resolver el sistema original. También cubre sistemas de segundo grado y diferentes tipos de soluciones posibles como determinada, inconsistente o dependiente.
Este documento trata sobre sistemas de inecuaciones lineales. Explica que los sistemas de inecuaciones lineales son conjuntos de dos o más inecuaciones simultáneas cuya solución son los valores de la variable que satisfacen todas las desigualdades. Para resolver un sistema, se determina el intervalo solución de cada inecuación y se encuentra la intersección de esos intervalos. Proporciona dos ejemplos resueltos paso a paso para ilustrar el procedimiento.
Tema 2 ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN SUPERIORfederico paniagua
Este documento trata sobre ecuaciones diferenciales lineales de orden superior. Define ecuaciones diferenciales de orden n como aquellas que contienen un diferencial de orden n. Explica que los problemas de valor inicial involucran una ecuación diferencial y condiciones iniciales que ayudan a determinar una solución particular. También cubre teoremas sobre la existencia y unicidad de soluciones, ecuaciones diferenciales homogéneas y el principio de superposición.
Este documento explica los sistemas de ecuaciones lineales y los principales métodos para resolverlos: reducción, igualación y sustitución. Define un sistema de ecuaciones como un conjunto de ecuaciones que tienen las mismas soluciones. Explica que para resolver un sistema se necesitan tantas ecuaciones como incógnitas y describe los pasos para aplicar cada método.
Este documento describe sistemas lineales de primer orden. Introduce la notación matricial para representar estos sistemas y define conceptos como valores y vectores propios, conjuntos fundamentales de soluciones, y wronskiano. Explica cómo resolver este tipo de sistemas mediante el método de los valores y vectores propios.
Estructuras algebraicas, vectores y espacios vectoriales(4)Jorge Garcia
Este documento presenta un resumen de tres oraciones de los principales temas sobre estructuras algebraicas y sistemas de ecuaciones lineales tratados en el curso de Métodos Matemáticos I. Introduce conceptos como conjuntos de operaciones binarias, vectores, espacios vectoriales, ecuaciones lineales y sistemas de ecuaciones lineales, así como métodos para resolver sistemas como la eliminación y la forma escalonada.
Ejercicios limites 3 2º bach. con solucionesMatemolivares1
Este documento presenta ejercicios sobre límites y continuidad de funciones. Incluye cálculos de límites directos e indeterminados, análisis de asíntotas, continuidad y discontinuidad en puntos específicos, y estudio de funciones racionales para determinar si son continuas. El documento contiene 14 secciones con diferentes tipos de ejercicios sobre este tema.
Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden y aplicaciones(tema 1)Yerikson Huz
Este documento introduce conceptos básicos sobre ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden y sus aplicaciones. Explica que una ecuación diferencial contiene derivadas de funciones incógnitas, y el objetivo es encontrar las funciones que satisfacen la ecuación. También define términos como orden, grado, variable dependiente e independiente, y distingue entre ecuaciones diferenciales lineales y no lineales.
Este documento explica el método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Primero se introduce el concepto de sistemas de ecuaciones lineales y su clasificación. Luego, se explica cómo convertir un sistema en una matriz y las reglas para transformar la matriz en una escalonada a través de operaciones elementales de filas. Finalmente, se ilustra el método con un ejemplo resuelto paso a paso para encontrar la solución del sistema.
Este documento presenta un índice general de un libro sobre ecuaciones diferenciales ordinarias. El libro contiene cuatro capítulos principales que introducen las ecuaciones diferenciales, presentan métodos para resolver ecuaciones de primer orden y de orden superior, y aplicaciones de ecuaciones diferenciales a diferentes problemas. El documento también incluye presentación, índice de contenidos detallado y bibliografía.
Este documento presenta un cuaderno de ejercicios de ecuaciones diferenciales elaborado por Margarita Ramírez Galindo y Enrique Arenas Sánchez para apoyar la enseñanza de esta asignatura. Consta de 180 ejercicios organizados en 6 temas siguiendo el programa de la materia. El objetivo es que los estudiantes practiquen y reafirmen los conceptos teóricos mediante la resolución de problemas.
Este documento describe varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo el método de eliminación de Gauss, la descomposición LU, la factorización de Cholesky, la factorización QR y los métodos iterativos de Gauss-Seidel y Jacobi. También explica cómo aplicar estos métodos para resolver sistemas con solución única, infinitas soluciones, sin solución, y sistemas homogéneos.
Este documento describe varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo el método de Gauss-Jordan, la descomposición LU, la factorización de Cholesky y los métodos iterativos como Gauss-Seidel y Jacobi. Explica los pasos involucrados en cada método y cuándo es apropiado usar cada uno.
Este documento explica los sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo definiciones de términos como solución de sistema, sistemas equivalentes, sistemas compatibles e incompatibles. Describe tres métodos para resolver sistemas - sustitución, igualación y reducción - y ofrece ejemplos resueltos. Finalmente, proporciona ejercicios prácticos para que el lector aplique los conceptos.
Este documento presenta un resumen de la programación lineal. Introduce el tema y explica cómo resolver inecuaciones y sistemas de inecuaciones lineales con dos variables, representándolos gráficamente. Luego, explica cómo resolver problemas de optimización de una función sujeta a restricciones mediante el análisis geométrico de la región factible.
Este documento describe el contenido del curso de Matemática III del segundo semestre de 2010. El curso cubrirá ecuaciones diferenciales de orden superior, incluyendo teoría básica, ecuaciones homogéneas, el wronskiano, ecuaciones de segundo orden homogéneas, métodos para encontrar soluciones particulares como los coeficientes indeterminados y variación de parámetros, y la ecuación de Euler.
El documento describe varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo el método de reducción, sustitución, igualación y el método gráfico. Explica que los sistemas pueden tener soluciones únicas, infinitas soluciones o no tener solución, y provee ejemplos de cada caso. También provee instrucciones detalladas sobre cómo aplicar el método de reducción paso a paso para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.
Este documento describe el método de reducción de orden para encontrar la solución general de una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden. El método involucra sustituir una segunda solución y2 en términos de una solución conocida y1, reduciendo así la ecuación a una de primer orden. Se presenta la fórmula para hallar y2 y se resuelven ejemplos para ilustrar el método.
Este documento introduce los sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo su definición, representación matricial y tipos posibles de sistemas (incompatible, determinado, compatible e indeterminado). Explica cómo resolver sistemas con dos incógnitas y da ejemplos. También cubre sistemas con parámetros y con tres ecuaciones y dos incógnitas.
Este documento presenta un resumen de los conceptos y métodos fundamentales para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de primer y segundo orden. Introduce las definiciones básicas de ecuación diferencial ordinaria, orden y solución general. Luego describe los métodos para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden separables, homogéneas, lineales y exactas. Finalmente, cubre los métodos para resolver ecuaciones lineales de segundo orden homogéneas y no homogéneas con coeficientes constantes.
Este documento presenta una lección sobre sistemas de ecuaciones lineales. Explica cuatro métodos para resolver sistemas de ecuaciones: eliminación, sustitución, igualación y gráfico. Proporciona ejemplos detallados de cada método y ejercicios para practicar. El objetivo es introducir a los estudiantes en los sistemas de ecuaciones como una base para el álgebra.
Este documento presenta los temas de matemáticas para ciencias biológicas que se cubrirán en el segundo bimestre. Incluye exponentes, radicales, expresiones algebraicas, fraccionarias y notación científica. También cubre sistemas de ecuaciones lineales y sus métodos de solución, así como sucesiones aritméticas y geométricas. Finalmente, introduce conceptos de geometría analítica como parábolas, elipses e hipérbolas.
El documento explica el significado y uso de las literales y ecuaciones. Brevemente describe que una ecuación es una igualdad entre expresiones algebraicas donde las literales son incógnitas cuyo valor hace cierta la ecuación. También presenta un ejemplo de resolución de un sistema de ecuaciones usando el método de igualación.
Este documento trata sobre sistemas de inecuaciones lineales. Explica que los sistemas de inecuaciones lineales son conjuntos de dos o más inecuaciones simultáneas cuya solución son los valores de la variable que satisfacen todas las desigualdades. Para resolver un sistema, se determina el intervalo solución de cada inecuación y se encuentra la intersección de esos intervalos. Proporciona dos ejemplos resueltos paso a paso para ilustrar el procedimiento.
Tema 2 ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN SUPERIORfederico paniagua
Este documento trata sobre ecuaciones diferenciales lineales de orden superior. Define ecuaciones diferenciales de orden n como aquellas que contienen un diferencial de orden n. Explica que los problemas de valor inicial involucran una ecuación diferencial y condiciones iniciales que ayudan a determinar una solución particular. También cubre teoremas sobre la existencia y unicidad de soluciones, ecuaciones diferenciales homogéneas y el principio de superposición.
Este documento explica los sistemas de ecuaciones lineales y los principales métodos para resolverlos: reducción, igualación y sustitución. Define un sistema de ecuaciones como un conjunto de ecuaciones que tienen las mismas soluciones. Explica que para resolver un sistema se necesitan tantas ecuaciones como incógnitas y describe los pasos para aplicar cada método.
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Estructuras algebraicas, vectores y espacios vectoriales(4)Jorge Garcia
Este documento presenta un resumen de tres oraciones de los principales temas sobre estructuras algebraicas y sistemas de ecuaciones lineales tratados en el curso de Métodos Matemáticos I. Introduce conceptos como conjuntos de operaciones binarias, vectores, espacios vectoriales, ecuaciones lineales y sistemas de ecuaciones lineales, así como métodos para resolver sistemas como la eliminación y la forma escalonada.
Ejercicios limites 3 2º bach. con solucionesMatemolivares1
Este documento presenta ejercicios sobre límites y continuidad de funciones. Incluye cálculos de límites directos e indeterminados, análisis de asíntotas, continuidad y discontinuidad en puntos específicos, y estudio de funciones racionales para determinar si son continuas. El documento contiene 14 secciones con diferentes tipos de ejercicios sobre este tema.
Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden y aplicaciones(tema 1)Yerikson Huz
Este documento introduce conceptos básicos sobre ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden y sus aplicaciones. Explica que una ecuación diferencial contiene derivadas de funciones incógnitas, y el objetivo es encontrar las funciones que satisfacen la ecuación. También define términos como orden, grado, variable dependiente e independiente, y distingue entre ecuaciones diferenciales lineales y no lineales.
Este documento explica el método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Primero se introduce el concepto de sistemas de ecuaciones lineales y su clasificación. Luego, se explica cómo convertir un sistema en una matriz y las reglas para transformar la matriz en una escalonada a través de operaciones elementales de filas. Finalmente, se ilustra el método con un ejemplo resuelto paso a paso para encontrar la solución del sistema.
Este documento presenta un índice general de un libro sobre ecuaciones diferenciales ordinarias. El libro contiene cuatro capítulos principales que introducen las ecuaciones diferenciales, presentan métodos para resolver ecuaciones de primer orden y de orden superior, y aplicaciones de ecuaciones diferenciales a diferentes problemas. El documento también incluye presentación, índice de contenidos detallado y bibliografía.
Este documento presenta un cuaderno de ejercicios de ecuaciones diferenciales elaborado por Margarita Ramírez Galindo y Enrique Arenas Sánchez para apoyar la enseñanza de esta asignatura. Consta de 180 ejercicios organizados en 6 temas siguiendo el programa de la materia. El objetivo es que los estudiantes practiquen y reafirmen los conceptos teóricos mediante la resolución de problemas.
Este documento describe varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo el método de eliminación de Gauss, la descomposición LU, la factorización de Cholesky, la factorización QR y los métodos iterativos de Gauss-Seidel y Jacobi. También explica cómo aplicar estos métodos para resolver sistemas con solución única, infinitas soluciones, sin solución, y sistemas homogéneos.
Este documento describe varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo el método de Gauss-Jordan, la descomposición LU, la factorización de Cholesky y los métodos iterativos como Gauss-Seidel y Jacobi. Explica los pasos involucrados en cada método y cuándo es apropiado usar cada uno.
Este documento explica los sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo definiciones de términos como solución de sistema, sistemas equivalentes, sistemas compatibles e incompatibles. Describe tres métodos para resolver sistemas - sustitución, igualación y reducción - y ofrece ejemplos resueltos. Finalmente, proporciona ejercicios prácticos para que el lector aplique los conceptos.
Este documento presenta un resumen de la programación lineal. Introduce el tema y explica cómo resolver inecuaciones y sistemas de inecuaciones lineales con dos variables, representándolos gráficamente. Luego, explica cómo resolver problemas de optimización de una función sujeta a restricciones mediante el análisis geométrico de la región factible.
Este documento describe el contenido del curso de Matemática III del segundo semestre de 2010. El curso cubrirá ecuaciones diferenciales de orden superior, incluyendo teoría básica, ecuaciones homogéneas, el wronskiano, ecuaciones de segundo orden homogéneas, métodos para encontrar soluciones particulares como los coeficientes indeterminados y variación de parámetros, y la ecuación de Euler.
El documento describe varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo el método de reducción, sustitución, igualación y el método gráfico. Explica que los sistemas pueden tener soluciones únicas, infinitas soluciones o no tener solución, y provee ejemplos de cada caso. También provee instrucciones detalladas sobre cómo aplicar el método de reducción paso a paso para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.
Este documento describe el método de reducción de orden para encontrar la solución general de una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden. El método involucra sustituir una segunda solución y2 en términos de una solución conocida y1, reduciendo así la ecuación a una de primer orden. Se presenta la fórmula para hallar y2 y se resuelven ejemplos para ilustrar el método.
Este documento introduce los sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo su definición, representación matricial y tipos posibles de sistemas (incompatible, determinado, compatible e indeterminado). Explica cómo resolver sistemas con dos incógnitas y da ejemplos. También cubre sistemas con parámetros y con tres ecuaciones y dos incógnitas.
Este documento presenta un resumen de los conceptos y métodos fundamentales para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de primer y segundo orden. Introduce las definiciones básicas de ecuación diferencial ordinaria, orden y solución general. Luego describe los métodos para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden separables, homogéneas, lineales y exactas. Finalmente, cubre los métodos para resolver ecuaciones lineales de segundo orden homogéneas y no homogéneas con coeficientes constantes.
Este documento presenta una lección sobre sistemas de ecuaciones lineales. Explica cuatro métodos para resolver sistemas de ecuaciones: eliminación, sustitución, igualación y gráfico. Proporciona ejemplos detallados de cada método y ejercicios para practicar. El objetivo es introducir a los estudiantes en los sistemas de ecuaciones como una base para el álgebra.
Este documento presenta los temas de matemáticas para ciencias biológicas que se cubrirán en el segundo bimestre. Incluye exponentes, radicales, expresiones algebraicas, fraccionarias y notación científica. También cubre sistemas de ecuaciones lineales y sus métodos de solución, así como sucesiones aritméticas y geométricas. Finalmente, introduce conceptos de geometría analítica como parábolas, elipses e hipérbolas.
El documento explica el significado y uso de las literales y ecuaciones. Brevemente describe que una ecuación es una igualdad entre expresiones algebraicas donde las literales son incógnitas cuyo valor hace cierta la ecuación. También presenta un ejemplo de resolución de un sistema de ecuaciones usando el método de igualación.
Este documento presenta un módulo sobre sistemas de ecuaciones. Explica que los sistemas de ecuaciones son herramientas útiles en matemáticas y otras áreas. Luego, proporciona ejercicios de práctica y resume diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones de 2 variables, como el método de sustitución y el método de eliminación.
El documento describe conceptos básicos sobre ecuaciones como identidades, ecuaciones, soluciones de ecuaciones, ecuaciones equivalentes y métodos para resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones. Explica que una identidad siempre es verdadera mientras que una ecuación sólo lo es para ciertos valores de las incógnitas, y cómo usar reglas algebraicas para transformar ecuaciones en formas equivalentes y así poder resolverlas.
Este documento trata sobre sistemas de ecuaciones lineales. Explica qué son las ecuaciones con dos incógnitas y sus soluciones, así como los sistemas de ecuaciones y sus soluciones comunes. Además, describe los diferentes tipos de sistemas (sin solución, con infinitas soluciones y con solución única) y los métodos para resolver sistemas como la sustitución, igualación y reducción. Finalmente, proporciona ejemplos y ejercicios sobre sistemas de ecuaciones lineales.
Este documento explica diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones con dos incógnitas, incluyendo el método gráfico, el método de igualación, el método de sustitución y el método de reducción. Se proporcionan ejemplos detallados de cada método y cómo aplicarlos para encontrar las soluciones del sistema.
Este documento explica las ecuaciones de primer y segundo grado. Define una ecuación como una igualdad entre expresiones algebraicas que contienen incógnitas y constantes. Explica que las ecuaciones de primer grado contienen términos de potencia 1, mientras que las de segundo grado contienen términos cuadráticos. Presenta métodos para resolver ecuaciones de primer grado, como la traslación, y de segundo grado, como la factorización, completar el cuadrado y la fórmula cuadrática.
Este documento explica conceptos básicos sobre ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales. Define ecuaciones, soluciones, ecuaciones algebraicas e identidades. Luego describe métodos para resolver ecuaciones de primer grado y sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, incluyendo el uso de determinantes. Finalmente, introduce determinantes de tercer orden y la resolución de sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas.
El documento presenta un resumen sobre sistemas de ecuaciones lineales de 2x2. Explica que estos sistemas consisten en dos ecuaciones con dos variables y pueden tener una solución única, infinitas soluciones o ninguna solución. También describe gráficamente cada uno de estos casos y presenta algunos ejemplos resueltos. Finalmente, explica cuatro métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales: el método gráfico, el método de igualación, el método de sustitución y el método de reducción o suma y
El documento habla sobre los sistemas de ecuaciones lineales de 2 variables. Explica que un sistema 2x2 consiste en dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Presenta diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones como igualación, sustitución, reducción por suma y resta y método gráfico. Como ejemplo, explica cómo resolver un sistema usando el método de sustitución.
Este documento presenta una introducción a los sistemas de ecuaciones lineales. Explica qué son las ecuaciones con dos incógnitas y los sistemas de ecuaciones, y define conceptos como solución de un sistema y sistemas equivalentes. Luego describe los diferentes tipos de sistemas según el número de soluciones, como sistemas sin solución, con infinitas soluciones o con una solución única. Finalmente, introduce tres métodos para resolver sistemas - sustitución, igualación y reducción - ilustrándolos con ejemplos resuelt
Este documento describe métodos numéricos para resolver sistemas de ecuaciones lineales y diagonalizar matrices. Explica que el método de Gauss transforma una matriz en una forma triangular resolviendo el sistema, mientras que la descomposición LU representa una matriz como el producto de una matriz triangular inferior y superior para resolver sistemas de forma eficiente. También cubre técnicas como el pivoteo para mejorar la estabilidad numérica.
El documento explica los conceptos básicos de las ecuaciones. Define una ecuación como una igualdad que se cumple para algunos valores determinados de las variables desconocidas. Explica cómo resolver ecuaciones de primer grado mediante la transposición de términos y la división para despejar la variable. También cubre ecuaciones literales y cómo factorizar para resolverlas.
Este documento presenta conceptos básicos sobre ecuaciones y sistemas de ecuaciones, incluyendo igualdades, identidades, ecuaciones de primer y segundo grado, ecuaciones equivalentes, ecuaciones incompletas, resolución de ecuaciones y aplicaciones de ecuaciones de segundo grado.
Este documento presenta conceptos básicos sobre ecuaciones y sistemas de ecuaciones. Introduce las nociones de igualdad, identidad y ecuación, y explica cómo resolver ecuaciones de primer y segundo grado, incluyendo ecuaciones completas, incompletas e irracionales. También cubre temas como ecuaciones equivalentes, descomposición de trinomios cuadrados perfectos y aplicaciones de ecuaciones de segundo grado.
Este documento presenta una introducción a la programación lineal. Explica que la programación lineal busca optimizar (maximizar o minimizar) una función objetivo sujeta a restricciones lineales. Se desarrolló originalmente para resolver problemas económicos durante la Segunda Guerra Mundial y ahora se usa ampliamente en la toma de decisiones económicas. A continuación, introduce los conceptos básicos de inecuaciones lineales y sistemas de inecuaciones lineales necesarios para comprender la programación lineal. Finalmente, explica cómo aplicar la program
Este documento trata sobre el álgebra lineal y sistemas de ecuaciones. Explica conceptos clave como vectores, matrices y sistemas de ecuaciones lineales. Luego clasifica diferentes tipos de matrices como matrices cuadradas, triangulares, nulas y más. Finalmente, describe métodos para resolver sistemas de ecuaciones como igualación, reducción y sustitución.
1. 1
´
Tema 1. Algebra lineal. Matrices
0.1 Introducci´n
o
Los sistemas de ecuaciones lineales aparecen en un gran n´mero de situaciones. Son
u
conocidos los m´todos de resoluci´n de los mismos cuando tienen dos ecuaciones y dos
e o
inc´gnitas que se estudian en la ense˜anza secundaria: los de reducci´n, sustituci´n e
o n o o
igualaci´n. Ahora se trata de ver c´mo puede procederse cuando hay mayor n´mero de
o o u
ecuaciones y de inc´gnitas simplificando lo m´s posible la escritura.
o a
La forma de resolver un sistema consiste en realidad en ir sustituyendo el sistema por
otro equivalente (es decir, que tenga las mismas soluciones) pero que vaya siendo cada vez
m´s sencillo, hasta llegar a uno que sepamos resolver. Las operaciones que transforman
a
un sistema en otro equivalente son esencialmente dos:
1. Multiplicar una ecuacion por un n´mero distinto de 0.
u
2. Sumar una ecuaci´n a otra.
o
Consideremos el siguiente ejemplo:
3x +2y = 8
(0.1)
2x +4y = 5
Se puede proceder as´ se multiplica la primera ecuaci´n por 2 y la segunda por −3. Se
ı: o
obtiene as´ el sistema equivalente
ı
6x +4y = 16
; (0.2)
−6x −12y = −15
sustituimos la segunda ecuaci´n por la suma de las dos, y resulta
o
6x +4y = 16
(0.3)
−8y = 1
Este sistema se llama triangular y ya se sabe resolver: se despeja la y en la segunda
ecuaci´n, se sustituye en la primera y en ´sta se despeja la x; resulta
o e
y = −1
8 (0.4)
6x + 4 − 1 = 16 =⇒ 6x = 33 =⇒ x = 11
8 2 4
2. 2
Obs´rvese que puede evitarse modificar la primera ecuaci´n y actuar s´lo sobre la segunda:
e o o
3x +2y = 8 3x +2y = 8 3x +2y = 8
=⇒ =⇒ (0.5)
2x +4y = 5 −3x −6y = − 15 (− 3 ) −4y = 1
2 2 2
N´tese tambi´n que todo se simplifica si se omite la escritura de las inc´gnitas y se escriben
o e o
s´lo los coeficientes. As´ (0.5) puede escribirse
o ı,
3 2 8 3 2 8 3 2 8
=⇒ =⇒ (0.6)
2 4 5 −3 −6 − 15 2
1
0 −4 2
con el convenio de que la primera columna representa los coeficientes de x, la segunda los
coeficientes de y y la tercera los t´rminos independientes. De esta manera llegamos a las
e
tablas de n´meros que reciben el nombre gen´rico de matrices.
u e
0.2 Matrices.
Definici´n 0.1 Una matriz es una estructura
o rectangular de n´meros
u
a a12 . . . a1n
11
a21 a22 . . . a2n
A=
(0.7)
... ... ... ...
am1 am2 . . . amn
Los valores aij se llaman los elementos de la matriz. La matriz completa se representa
por (aij ). Si la matriz tiene m filas y n columnas, se dice que tienen dimensi´n m × n.
o
Definici´n 0.2 Dos matrices son iguales si tienen la misma dimensi´n y los elementos
o o
que ocupan el mismo lugar en ambas son iguales.
Otros nombres que deben conocerse:
• Si el n´mero de filas es igual que el n´mero de columnas, la matriz se llama cuadrada.
u u
A ese n´mero (el de filas o el de columnas) se le llama el orden de la matriz cuadrada.
u
• Se llama matriz fila aqu´lla que tiene una sola fila, por ejemplo
e
A= 3 −1 2 0 5
3. 3
• Se llama matriz columna aqu´lla que tiene una sola columna, por ejemplo
e
3
−1
A= 2
0
5
• En una matriz cuadrada se llama diagonal principal al conjunto de los elementos de
la forma aii .
• Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A, y se representa por At , a la
que se obtiene cambiando las filas y las columnas, por ejemplo
3 −1
−1 −1
3 −1 2 0 5
A= =⇒ At = 2
2
−1 −1 2 3 4
0 3
5 4
Si la dimensi´n de A es m × n, la de At es n × m.
o
• Una matriz cuadrada se llama sim´trica si
e es igual a su traspuesta, por ejemplo
3 −1 3
A = −1 −1 2
3 2 0
• Se llama matriz nula aqu´lla cuyos elementos son 0; por ejemplo
e
0 0 0
A=
0 0 0
es la matriz nula de dimensi´n 2 × 3.
o
• Se llama matriz diagonal a la matriz cuadrada que tiene nulos todos los t´rminos
e
que no est´n en la diagonal principal, por ejemplo
a
3 0 0 3 0 0
A = 0 −1 0 o A= 0 0 0
0 0 5 0 0 5
4. 4
• Se llama matriz unidad o matriz identidad a la matriz diagonal que tiene todos los
elementos de la diagonal principal igual a 1; por ejemplo
1 0 0
A= 0 1 0
0 0 1
es la matriz unidad de orden 3.
• Se llama matriz triangular superior (inferior) a toda matriz cuadrada que tiene
nulos todos los t´rminos que est´n por debajo (encima) de la diagonal principal,
e a
por ejemplo
3 1 −2 3 0 0
A = 0 −1 3 o A = 2 −1 0
0 0 5 5 3 1
0.3 Operaciones con matrices: suma, producto por
un n´ mero y diferencia.
u
Definici´n 0.3 Sean A = (aij ) y B = (bij ) dos matrices de la misma dimensi´n. Se
o o
define la suma de A y B, C = A + B, como aquella matriz C de la misma dimensi´n tal
o
que
cij = aij + bij 1≤i≤m 1≤j≤n
Si las matrices no tienen la misma dimensi´n, no se pueden sumar.
o
Ejemplo 0.4
3 1 −2 −2 1 1 1 2 −1
+ =
0 −1 3 3 −2 3 3 −3 6
Definici´n 0.5 Sea A = (aij ) una matriz de dimensi´n m × n cualquiera y λ un n´mero
o o u
real. Se define el producto de λA, C = λA, como aquella matriz C de la misma dimensi´n
o
tal que
cij = λaij 1≤i≤m 1≤j≤n
En particular, cuando λ = −1, se obtiene la matriz opuesta de A, −A.
5. 5
Ejemplo 0.6
3 1 −2 −6 −2 4
−2 =
0 −1 3 0 2 −6
Definici´n 0.7 Se define la diferencia entre A y B, A − B = A + (−B).
o
0.4 Producto de matrices.
Vamos a definir el producto de matrices de una forma aparentemente extra˜a, pero que
n
se revela luego que es la m´s util para las aplicaciones. Este producto no va a permitir
a ´
multiplicar dos matrices cualesquiera. Se necesitar´ que el n´mero de columnas del primer
a u
factor coincida con el n´mero de filas del segundo; y la matriz producto tendr´ tantas
u a
filas como ten´ el primer factor y tantas columnas como ten´ el segundo. La definici´n
ıa ıa o
es la siguiente:
Definici´n 0.8 Sean A = (aij ) una matriz de dimensi´n m × n y B = (bij ) una matriz
o o
de dimensi´n n × p. Se define el producto C = AB como la matriz C = (cij ) de dimensi´n
o o
m × p definida por
cij = ai1 b1j + ai2 b2j + · · · + ain bnj 1≤i≤m 1≤j≤p
Ejemplo 0.9
−2 1
3 1 −2
3
−2 =
0 −1 3
1 0
3(−2) + 1 · 3 + (−2)1 3 · 1 + 1(−2) + (−2)0 −5 1
=
0(−2) + (−1)3 + 3 · 1 0 · 1 + (−1)(−2) + 3 · 0 0 2
El siguiente ejemplo muestra la utilidad del producto de matrices y la raz´n por la
o
que se define de esta manera. Supongamos que deseamos hallar los n´meros x1 , x2 que
u
verifican
3x −2x = y 5y −y2 =6
1 2 1 1
siendo (0.8)
4x +x = y −y +3y2 = 7
1 2 2 1
Una forma de atacar el problema es, por supuesto, resolver el segundo sistema, sustituir
en el primero los valores de y1 y2 hallados y resolver el primer sistema tambi´n. Pero m´s
e a
6. 6
directo es sustituir en el segundo sistema las expresiones de y1 y2 dadas por el primer
sistema y as´ obtener lo siguiente
ı
5(3x − 2x ) − (4x + x ) = 6
1 2 1 2
=⇒
−(3x − 2x ) + 3(4x + x ) = 7
1 2 1 2
(5 · 3 + (−1)4)x +(5(−2) + (−1)1)x2 = 6 11x −11x = 6
1 1 2
=⇒
((−1)3 + 3 · 4)x +((−1)(−2) + 3 · 1)x = 7 9x +5x2 = 7
1 2 1
De este modo hay que resolver un solo sistema. Pues bien, con el c´lculo matricial se
a
simplifica la escritura. El problema (0.8) se escribe:
3 −2 x1 y1 5 −1 y1 6
= siendo = (0.9)
4 1 x2 y2 −1 3 y2 7
Sustituyendo el t´rmino independiente del primer sistema en el segundo, resulta
e
5 −1 3 −2 x1 6 11 −11 x1 6
= =⇒ =
−1 3 4 1 x2 7 9 5 x2 7
Se comprobar´ en los diversos ejercicios que la multiplicaci´n de matrices no es conmu-
a o
tativa; por ejemplo, el producto de las dos matrices del ultimo ejemplo en orden contrario,
´
da una matriz cuadrada de orden 3. Sin embargo, el producto de matrices s´ es asociativo,
ı
es decir, para multiplicar tres matrices (que se puedan multiplicar, es decir, de manera
que el n´mero de columnas de la primera coincida con el n´mero de filas de la segunda
u u
y el n´mero de columnas de la segunda coincida con el n´mero de filas de la tercera) se
u u
puede hacer
ABC = (AB)C = A(BC).
0.5 Sistemas de ecuaciones lineales.
Un sistema de m ecuaciones lineales con n inc´gnitas se puede escribir
o
a11 x1 +a12 x2 + . . . +a1n xn = b1
a x +a22 x2 + . . . +a2n xn = b2
21 1
(0.10)
...
... +... ... ...
a x +a x + . . . +a x = b
m1 1 m2 2 mn n m
7. 7
Los n´meros aij son los coeficientes del sistema, Los n´meros b1 , ..., bm son los t´rminos
u u e
independientes y x1 , ..., xn son las inc´gnitas del sistema. Cuando todos los t´rminos
o e
independientes son nulos, el sistema se llama homog´neo.
e
Definici´n 0.10 Una soluci´n del sistema es un conjunto ordenado de n´meros {s1 , ..., sn }
o o u
tal que si se sustituye la letra x1 por el n´mero s1 , la letra x2 por el n´mero s2 , ..., la
u u
letra xn por el n´mero sn , se verifican las m igualdades.
u
Si un sistema no tiene soluci´n, se llama incompatible; por ejemplo,
o
x +x = 1
1 2
x +x = 2
1 2
es incompatible, porque dos n´meros no pueden sumar a la vez 1 y 2. Si un sistema tiene
u
al menos una soluci´n, se llama compatible. Y dentro de ´stos, se llamar´ compat-
o e a
ible determinado, si tiene una sola soluci´n (como por ejemplo (0.1)) o compatible
o
indeterminado, si tiene m´s de una soluci´n (como por ejemplo el sistema formado por
a o
la ecuaci´n x + y = 1). De hecho todo sistema compatible indeterminado tiene infinitas
o
soluciones, como se ver´ despu´s.
a e
Utilizando la notaci´n matricial que conocemos, el sistema lineal puede escribirse del
o
modo siguiente. Llamamos matriz del sistema a la matriz
a a12 . . . a1n
11
a21 a22 . . . a2n
A=
... ... ... ...
am1 am2 . . . amn
formada por los coeficientes y matriz ampliada a la matriz
a a12 . . . a1n b1
11
a21 a22 . . . a2n b2
A =
... ... ... ... ...
am1 am2 . . . amn bm
Entonces (0.10) puede escribirse :
a a12 ... a1n x b1
11 1
a21 a22 ... a2n x2 b2
= (0.11)
... ... ... ... ... ...
am1 am2 ... amn xn bm
8. 8
Las transformaciones de las que habl´bamos en la Introducci´n que convierten los
a o
sistemas en equivalentes son las que se llaman transformaciones de filas, que son tres:
1. Multiplicar una fila por un n´mero no nulo. Si la fila i se multiplica por k, escribire-
u
mos Fi → kFi .
2. Sumarle a una fila otra u otra multiplicada por un n´mero no nulo. Si la fila i se
u
sustituye por la suma de ella misma y de la fila j multiplicada por k, escribiremos
Fi → Fi + kFj .
3. Cambiar de orden dos filas. Si intercambiamos las filas i y j, escribiremos Fi ↔ Fj .
Estas transformaciones aplicadas a la matriz ampliada de un sistema, lo transforman en
otro equivalente. As´ por ejemplo, las transformaciones de (0.1), (0.2) y (0.3), se pueden
ı
expresar brevemente
3 2 8 6 4 16 6 4 16
∼ ∼ (0.12)
2 4 5 F1 →2F1 −6 −12 −15 0 −8 1
F2 →−3F2 F2 →F2 +F1
0.6 El m´todo de Gauss para la resoluci´n de sis-
e o
temas lineales.
El m´todo de Gauss es un m´todo que permite conocer si un sistema lineal es compatible
e e
o incompatible y resolverlo en el primer caso. Lo hace transformando el sistema propuesto
en otro que sea equivalente y triangular, que se sabe resolver de forma an´loga a como
a
hicimos en la Introducci´n. Explicamos el m´todo sobre un ejemplo. Supongamos que
o e
pretendemos resolver
x +y −2z = 9
2x −y +4z = 4 (0.13)
2x −y +6z = −1
cuya matriz ampliada es
1 1 −2 9
2 −1 4 4 .
2 −1 6 −1
9. 9
Utilizando el t´rmino a11 , transformamos el sistema en uno equivalente que tenga nulos
e
los elementos de la primera columna que est´n por debajo de ´l:
a e
1 1 −2 9 1 1 −2 9
2 −1 4 4 ∼ 0 −3 8 −14 .
2 −1 6 −1 F2 →F2 −2F1 0 −3 10 −19
F3 →F3 −2F1
Utilizando ahora el t´rmino a22 , transformamos el sistema en uno equivalente que tenga
e
nulos los elementos de la segunda columna que est´n por debajo de ´l:
a e
1 1 −2 9 1 1 −2 9
0 −3 8 −14 ∼ 0 −3 8 −14 .
0 −3 10 −19 0 0 2 −5
F3 →F3 −F2
El sistema es, pues, equivalente a
x
+y −2z =9
−3y +8z = −14 , (0.14)
2z = −5
que se resuelve de abajo a arriba obteni´ndose la soluci´n unica
e o ´
5
z=− y = −2 x = 6.
2
El sistema es compatible determinado.
Aplicamos el m´todo al ejemplo siguiente
e
2x −y +z
=3
4x −4y +3z = 2 (0.15)
2x −3y +2z = 1
Quedar´
ıa:
2 −1 1 3 2 −1 1 3 2 −1 1 3
4 −4 3 2 ∼ 0 −2 1 −4 ∼ 0 −2 1 −4
2 −3 2 1 F2 →F2 −2F1 0 −2 1 −2 0 0 0 2
F3 →F3 −F1 F3 →F3 −F2
El sistema es equivalente a
2x
−y +z =3
−2y +z = −4 . (0.16)
0z =2
10. 10
La ultima ecuaci´n es claramente imposible de verificar. El sistema es incompatible.
´ o
Apliquemos por ultimo el m´todo
´ e al sistema
x
−3y +z =4
x −2y +3z =6 (0.17)
2x −5y +4z = 10
Resultar´
ıa:
1 −3 1 4 1 −3 1 4 1 −3 1 4
1 −2 3 6 ∼ 0 1 2 2 ∼ 0 1 2 2
2 −5 4 10 F2 →F2 −F1 0 1 2 2 0 0 0 0
F3 →F3 −2F1 F3 →F3 −F2
La ultima ecuaci´n se verifica de forma trivial de modo que el sistema es equivalente a
´ o
x −3y +z = 4
(0.18)
y +2z = 2
Para resolver este sistema, se introduce el par´metro λ = z y se resuelve el sistema
a
x −3y = 4 − λ
(0.19)
y = 2 − 2λ
cuya soluci´n es
o
z = λ, y = 2 − 2λ, x = 10 − 7λ ∀λ ∈ R
El sistema es compatible indeterminado.
El t´rmino de la diagonal que se utiliza para anular los t´rminos de la columna que
e e
est´n por debajo de ´l, recibe el nombre de pivote.
a e
0.7 Determinantes.
A las matrices cuadradas se les asocia un n´mero, llamado determinante de la matriz,
u
que resulta muy util para bastantes cuestiones. Este n´mero se representa escribiendo
´ u
los elementos de la matriz entre dos barras verticales (en vez de entre par´ntesis). Lo
e
definiremos para las matrices cuadradas de orden 2 y 3 e indicaremos c´mo se calcula
o
para matrices de mayor orden.
11. 11
Si A es una matriz cuadrada de orden 2, se define
a11 a12
= a11 a22 − a12 a21 (0.20)
a21 a22
Si A es una matriz cuadrada de orden 3, se define
a11 a12 a13
a21 a22 a23 = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − a13 a22 a31 − a12 a21 a33 − a11 a23 a32
a31 a32 a33
(0.21)
Si A es una matriz cuadrada de cualquier orden triangular, su determinante es el
producto de los t´rminos de la diagonal. Para calcular el determinante de una matriz
e
cuadrada cualquiera, se aplican las transformaciones de filas Fi → Fi + kFj hasta con-
vertirla en una matriz triangular; entonces, el determinante de la matriz triangular es el
determinante de la matriz original.
Cuando un sistema lineal tiene el mismo n´mero de ecuaciones que de inc´gnitas, la
u o
matriz de ese sistema es cuadrada. Pues bien, si su determinante es distinto de 0, el sistema
es compatible determinado independientemente de c´mo sean los t´rminos independientes;
o e
estos sistemas se llaman sistemas de Cramer. Si el determinante es 0, entonces el sistema
es compatible indeterminado o incompatible seg´n sean los t´rminos independientes; en
u e
particular, en el caso del sistema homog´neo, resulta ser compatible indeterminado. El
e
resultado exacto que detalla todo lo que sucede es el Teorema de Rouch´-Frobenius que
e
se estudia en Bachillerato.