Este documento presenta un resumen de la programación lineal. Introduce el tema y explica cómo resolver inecuaciones y sistemas de inecuaciones lineales con dos variables, representándolos gráficamente. Luego, explica cómo resolver problemas de optimización de una función sujeta a restricciones mediante el análisis geométrico de la región factible.
Este documento describe el método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Explica que este método utiliza transformaciones elementales sobre la matriz del sistema para obtener un sistema equivalente en forma escalonada, el cual puede resolverse fácilmente mediante sustitución regresiva. También clasifica los sistemas en determinados, indeterminados e incompatibles dependiendo del número de soluciones.
Este documento introduce conceptos básicos de álgebra lineal como sistemas de ecuaciones lineales, matrices y operaciones con matrices. Explica cómo los sistemas de ecuaciones pueden representarse mediante tablas de números llamadas matrices. Define conceptos como suma, producto y transposición de matrices. También introduce tipos especiales de matrices como matrices nulas, diagonales, unitarias y triangulares.
Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales Analisis numericolmpd124
Este documento presenta varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo el método de eliminación de Gauss, descomposición LU, factorización de Cholesky, y métodos iterativos como Gauss-Seidel y Jacobi. Explica los pasos matemáticos involucrados en cada método y cuándo cada uno es más adecuado para ciertos tipos de sistemas.
Sistemas de Ecuaciones Lineales por Gauss simple. Presentación diseñada por ...JAVIER SOLIS NOYOLA
Este documento explica el método de eliminación Gaussiana para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Introduce el método, muestra un ejemplo completo del proceso de escalonamiento de una matriz aumentada, y explica las operaciones fundamentales como intercambiar, sumar y multiplicar renglones para obtener la forma escalonada equivalente. El objetivo final es hallar las soluciones de las incógnitas mediante sustitución hacia atrás.
Este documento describe el método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Explica que el método transforma la matriz aumentada del sistema a una forma triangular superior resolviendo luego el sistema triangular. También discute la formulación matemática del método, su eficiencia y cómo implementarlo computacionalmente, incluyendo una estrategia de pivoteo para mejorar la precisión.
El método de Gauss consiste en transformar un sistema de ecuaciones en otro equivalente escalonado mediante la eliminación de términos para simplificar la solución. El método de Gauss-Seidel es un método iterativo para resolver sistemas de ecuaciones lineales que utiliza los valores calculados en la iteración actual para calcular los valores en la siguiente iteración.
El documento describe varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo el método de reducción, sustitución, igualación y el método gráfico. Explica que los sistemas pueden tener soluciones únicas, infinitas soluciones o no tener solución, y provee ejemplos de cada caso. También provee instrucciones detalladas sobre cómo aplicar el método de reducción paso a paso para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.
Este documento presenta un proyecto final sobre álgebra lineal realizado por tres estudiantes. Resume varios temas clave como matrices, determinantes, sistemas de ecuaciones lineales y métodos para resolverlos. El proyecto explica conceptos matemáticos importantes y cómo aplicarlos para resolver problemas de la vida real.
Este documento describe el método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Explica que este método utiliza transformaciones elementales sobre la matriz del sistema para obtener un sistema equivalente en forma escalonada, el cual puede resolverse fácilmente mediante sustitución regresiva. También clasifica los sistemas en determinados, indeterminados e incompatibles dependiendo del número de soluciones.
Este documento introduce conceptos básicos de álgebra lineal como sistemas de ecuaciones lineales, matrices y operaciones con matrices. Explica cómo los sistemas de ecuaciones pueden representarse mediante tablas de números llamadas matrices. Define conceptos como suma, producto y transposición de matrices. También introduce tipos especiales de matrices como matrices nulas, diagonales, unitarias y triangulares.
Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales Analisis numericolmpd124
Este documento presenta varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo el método de eliminación de Gauss, descomposición LU, factorización de Cholesky, y métodos iterativos como Gauss-Seidel y Jacobi. Explica los pasos matemáticos involucrados en cada método y cuándo cada uno es más adecuado para ciertos tipos de sistemas.
Sistemas de Ecuaciones Lineales por Gauss simple. Presentación diseñada por ...JAVIER SOLIS NOYOLA
Este documento explica el método de eliminación Gaussiana para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Introduce el método, muestra un ejemplo completo del proceso de escalonamiento de una matriz aumentada, y explica las operaciones fundamentales como intercambiar, sumar y multiplicar renglones para obtener la forma escalonada equivalente. El objetivo final es hallar las soluciones de las incógnitas mediante sustitución hacia atrás.
Este documento describe el método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Explica que el método transforma la matriz aumentada del sistema a una forma triangular superior resolviendo luego el sistema triangular. También discute la formulación matemática del método, su eficiencia y cómo implementarlo computacionalmente, incluyendo una estrategia de pivoteo para mejorar la precisión.
El método de Gauss consiste en transformar un sistema de ecuaciones en otro equivalente escalonado mediante la eliminación de términos para simplificar la solución. El método de Gauss-Seidel es un método iterativo para resolver sistemas de ecuaciones lineales que utiliza los valores calculados en la iteración actual para calcular los valores en la siguiente iteración.
El documento describe varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo el método de reducción, sustitución, igualación y el método gráfico. Explica que los sistemas pueden tener soluciones únicas, infinitas soluciones o no tener solución, y provee ejemplos de cada caso. También provee instrucciones detalladas sobre cómo aplicar el método de reducción paso a paso para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.
Este documento presenta un proyecto final sobre álgebra lineal realizado por tres estudiantes. Resume varios temas clave como matrices, determinantes, sistemas de ecuaciones lineales y métodos para resolverlos. El proyecto explica conceptos matemáticos importantes y cómo aplicarlos para resolver problemas de la vida real.
Ensayo de la unidad iii. analisis numericodeivys pinto
El documento describe varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales y no lineales, incluyendo el método de Jacobi, el método de Gauss-Seidel, y el método de Newton-Raphson. También describe la descomposición LU para factorizar una matriz como el producto de una matriz triangular inferior y una superior con el fin de resolver sistemas de ecuaciones de manera más eficiente.
Este documento describe varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo el método de eliminación de Gauss, la descomposición LU, la factorización de Cholesky, la factorización QR y los métodos iterativos de Gauss-Seidel y Jacobi. También explica cómo aplicar estos métodos para resolver sistemas con solución única, infinitas soluciones, sin solución, y sistemas homogéneos.
El documento describe diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo descomposición LU, el algoritmo de Thomas, descomposición de Cholesky, el método de Jacobi y el método de Gauss-Seidel. Estos métodos utilizan iteraciones para aproximar la solución de manera numérica.
El documento describe cómo resolver un problema de geometría utilizando el método de Gauss para sistemas de ecuaciones. Se trata de calcular los radios de tres circunferencias tangentes entre sí dibujadas desde los vértices de un triángulo de lados 26, 28 y 34 cm. El método de Gauss se aplica al sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas derivado del problema para obtener las soluciones x=16cm, y=10cm, z=18cm.
Este documento introduce los sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo su definición, representación matricial y tipos posibles de sistemas (incompatible, determinado, compatible e indeterminado). Explica cómo resolver sistemas con dos incógnitas y da ejemplos. También cubre sistemas con parámetros y con tres ecuaciones y dos incógnitas.
Este documento introduce los sistemas de ecuaciones lineales, definidos como colecciones de ecuaciones lineales en varias variables. Explica que un sistema puede tener cero, una o infinitas soluciones, y describe métodos como sustitución y reducción para resolver sistemas. También introduce la notación matricial para representar sistemas.
Este documento resume varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo el método de eliminación de Gauss, la descomposición LU, la factorización de Cholesky, la factorización QR y los métodos iterativos de Gauss-Seidel y Jacobi. También discute sistemas con solución única, infinitas soluciones, sin solución y sistemas homogéneos.
Resumen de la unidad iii (analisis numerico) Mirian Rodriguezthaiz050681
El documento describe varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo el método de eliminación de Gauss, descomposición LU, factorización de Cholesky, factorización QR, métodos iterativos como Gauss-Seidel y Jacobi. Explica cada método con ejemplos para ilustrar los pasos de cada uno.
Este documento describe varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo el método de Gauss-Jordan, la descomposición LU, la factorización de Cholesky y los métodos iterativos como Gauss-Seidel y Jacobi. Explica los pasos involucrados en cada método y cuándo es apropiado usar cada uno.
Este documento describe el método iterativo de Jacobi para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Explica que el método convierte el sistema en un proceso iterativo que genera una secuencia de vectores que convergen a la solución. Luego, detalla los pasos del algoritmo de Jacobi y presenta un ejemplo numérico. Finalmente, establece condiciones suficientes para la convergencia del método, como que la matriz sea estrictamente dominante por filas.
Este documento describe el método de Gauss-Jordan para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Explica que la matriz del sistema se transforma en una matriz identidad aplicando operaciones a las filas y columnas, lo que permite obtener los valores de las variables. Incluye un ejemplo completo del proceso para resolver un sistema de 3 ecuaciones con 3 variables usando el método de Gauss-Jordan.
Este documento describe varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo la eliminación de Gauss, el método de Gauss-Jordan, la descomposición LU, la factorización de Cholesky, la factorización QR y los métodos iterativos de Gauss-Seidel y Jacobi. Explica los pasos involucrados en cada método y provee ejemplos numéricos para ilustrarlos.
Este documento resume varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo la eliminación de Gauss, Gauss-Jordán, descomposición LU, factorización de Cholesky, QR y métodos iterativos como Gauss-Seidel y Jacobi. Explica cómo cada método transforma la matriz inicial para determinar la solución del sistema de ecuaciones de manera eficiente.
El documento describe varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo el método de eliminación de Gauss, el método de Gauss-Jordan, la descomposición LU, la factorización de Cholesky, la factorización QR y los métodos iterativos de Jacobi y Gauss-Seidel. Explica cada método y provee un ejemplo numérico para ilustrar su aplicación.
Este documento presenta un resumen de los conceptos fundamentales del álgebra lineal. Explica que el álgebra lineal estudia los sistemas de ecuaciones lineales y sus soluciones, así como también los espacios vectoriales y las transformaciones lineales. Describe el método de eliminación de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones lineales, el cual consiste en simplificar el sistema hasta obtener su solución. Finalmente, introduce algunos ejemplos para ilustrar cómo aplicar este método.
Sistemas de ecuaciones lineales y matricesCrissLobo
Una descripcion mas detallada sobre el sistema de ecuaiones lineales y Matrices, la cual servira como guia para la comprencion de la materia a estudiar
Este documento describe el algoritmo de criba cuadrática, un método para factorizar números enteros compuestos. Explica que intenta encontrar dos números x e y tales que x2 ≡ y2 (mod n), lo que implicaría que n divide a (x - y)(x + y). También presenta un ejemplo paso a paso de cómo aplicar el algoritmo para factorizar el número 24961 en sus factores primos 109 y 229.
The document provides a name: Humberto Roberto Bravo Zambrano. No other details are given about this person in the short document. In just one sentence, the document only lists a full name without any other context or background information provided about the individual named.
La Unión Europea ha propuesto un nuevo paquete de sanciones contra Rusia que incluye un embargo al petróleo. El embargo prohibiría la importación de petróleo ruso a la UE y también impediría el acceso de buques rusos a puertos europeos. Sin embargo, Hungría se opone firmemente al embargo al petróleo, argumentando que su economía depende en gran medida de las importaciones de energía rusa.
El documento presenta una definición de los sistemas y normas internacionales de calidad. Estos sistemas aseguran la satisfacción del cliente y bajos costos para la organización mediante el uso de recursos, procedimientos, documentos y una estructura organizacional coordinada. Los sistemas de calidad tienen como objetivo mejorar los procesos internos y la capacidad de rendimiento de una organización.
Este documento trata sobre el término "fruta" y su definición, clasificación y composición. Define la fruta como frutos comestibles obtenidos de plantas cultivadas o silvestres que se utilizan principalmente como postre debido a su sabor dulce-ácido y propiedades nutritivas. Clasifica las frutas según su tipo, forma de recolección y proceso de maduración. Describe la composición típica de las frutas, que contienen principalmente agua, carbohidratos, fibra, vitaminas, sales miner
La película Perfume de mujer tiene una escena memorable en la que Al Pacino invita a una mujer joven a bailar un tango a pesar de que su novio llegará pronto. En su respuesta, él dice que "en un momento, ¡se vive una vida!", resaltando que se debe vivir en el presente en lugar de esperar el futuro, ya que el tiempo presente es lo único que realmente existe.
Ensayo de la unidad iii. analisis numericodeivys pinto
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El documento presenta una discusión sobre la cosmovisión en el cuidado de sí mismo y el cuidado de los demás desde la perspectiva de la enfermería. Argumenta que el cuidado es una parte fundamental de la naturaleza humana y que cuidar de uno mismo implica necesariamente cuidar de los demás. Define el cuidado de sí mismo como un proceso continuo de aprendizaje que involucra acciones para cuidar el cuerpo, la mente y el espíritu de una manera integral. Explica que el autoconcepto, la autoestima y el autoconocimiento son
Boletin de prensa rendición pública de cuentasDiana Patricia
La alcaldesa Adriana María Maya Gallego y su equipo de trabajo "Desarrollo con Equidad" realizaron con éxito la rendición pública de cuentas de su administración municipal. Durante el evento, la alcaldesa y los secretarios presentaron un informe detallado de los proyectos físicos y sociales implementados durante los últimos cuatro años para beneficiar a la población de Liborina. Cada dependencia municipal preparó videos que muestran las obras de infraestructura y programas sociales ejecutados para reconstruir el tejido social
El ARN es un ácido nucleico formado por una cadena de ribonucleótidos que está presente tanto en células procariotas como eucariotas. En los virus, el ARN dirige los procesos de producción de proteínas y replicación viral, mientras que en organismos celulares el ARN trabaja junto con el ADN para transferir información genética y producir proteínas durante la transcripción y traducción. Existen tres tipos principales de ARN: el ARN mensajero, el ARN de transferencia, y el ARN ribosómico.
El documento presenta una serie de viñetas cortas de una revista de los años 60 que muestran diferentes situaciones cotidianas como una pareja discutiendo sobre acercarse demasiado, alguien que pierde sus anteojos, una mujer posando para un artista, y una conversación sobre divorcio.
El documento habla sobre Terminal Services en Windows Server 2008. Terminal Services permite a los usuarios acceder a programas y al escritorio completo de Windows instalados en un servidor Terminal desde una red o Internet. Esto facilita la implementación centralizada y actualización de aplicaciones. Los usuarios solo ven su propia sesión aislada, mientras que el programa se ejecuta en el servidor.
Primera circular xxviii congreso de religion sociedad y politica 2013Rodolfo Moran
Este documento anuncia el XXVIII Congreso de Religión, Sociedad y Política que se llevará a cabo del 14 al 18 de octubre de 2013 en la Universidad Autónoma Benito Juárez de Oaxaca. El congreso explorará temas relacionados con la religión, política, derechos humanos y cambios paradigmáticos en el México actual a través de ponencias académicas. Los organizadores invitan a investigadores y académicos interesados a presentar propuestas sobre una variedad de temas relacionados con la relig
El documento ofrece consejos para reducir el estrés, como consentirse, escuchar música, escribir en un diario, controlar la respiración y practicar deporte al menos 3 veces por semana para disminuir el riesgo de sufrir estrés.
Este documento trata sobre el origen e historia de Internet. Explica que Internet surgió en la década de 1960 en Estados Unidos como una red de comunicaciones entre universidades y laboratorios de investigación. También habla sobre el origen de Internet en Guatemala en la década de 1990 y las empresas pioneras que ofrecieron servicios. Por último, define conceptos clave relacionados con Internet como motores de búsqueda, navegadores y correo electrónico.
El documento presenta información sobre el baloncesto, incluyendo su nombre en diferentes idiomas, el número de jugadores por equipo, el objetivo de anotar puntos introduciendo un balón en un aro colocado a 3,05 metros del suelo, y que se puede jugar tanto en pista cubierta como descubierta.
Este documento describe la situación actual de la enseñanza de la música en las escuelas primarias y secundarias de México. En la primaria, los maestros generalistas enseñan la educación artística, incluida la música, debido a la falta de maestros de música. El programa de música sugiere actividades flexibles sin contenido o secuencias preestablecidas. En la secundaria, el programa se centra demasiado en aspectos teóricos y deja poco tiempo para la práctica musical. Además, Mé
El documento describe varios métodos anticonceptivos, incluyendo métodos hormonales como la píldora y el parche anticonceptivo, métodos barrera como el condón y el diafragma, y métodos naturales como el método del ritmo y el método del moco cervical. Explica cómo funcionan cada uno de estos métodos para prevenir el embarazo.
Familly Killer 2, ya íbamos entrenando y las grapas casi se ponían solas.
Sin cubiertas, claro. Creado con motivo de la celebración del Reto Fancine 2010.
El documento lista varias instituciones educativas incluyendo colegios normales superiores, universidades y colegios donde la autora recibió su formación académica y laboral. Describe que su educación se enfocó en valores religiosos y éticos y cómo esto la ha ayudado a convertirse en una mujer de bien para la sociedad.
Formación humana y social (sexualidad responsable)Marieth Lara
Este documento discute la importancia de la sexualidad responsable y los hábitos saludables como el deporte y la dieta. Argumenta que la sexualidad responsable requiere educación sexual y un cambio sociocultural para superar mitos dañinos. También enfatiza que los jóvenes deben practicar valores como el respeto y la responsabilidad en todas sus interacciones. Por otro lado, explica cómo el sistema capitalista induce hábitos perjudiciales para la salud al crear necesidades falsas y estilos de vida estresantes, y cómo el deporte y actividades de ocio
Biografía de Joe Barcala
Originario del bello puerto de Veracruz, el escritor José Luis García Barcala, Comunicador de Profesión y con maestría en Lengua y Literatura Hispanoamericana, desde muy joven, a la edad de 15 años, ya había escrito dos.
Apenas se estaba formando la pluma de uno de los más interesantes narradores de este siglo en el idioma español. El estilo que mejor le va es el de intriga, según explica él mismo, porque siempre imagina la reacción de sus lectores cual espectadores en una butaca de cine, que les hace saltar y sorprenderse de algunas maravillosas contradicciones de la vida. Su exquisita imaginación recorre el mundo, los rincones de la inteligencia y las infinitas posibilidades del universo mismo.
Su tesis de la Maestría en Lengua y Literatura Hispanoamericana es una fenomenal amalgama de personajes histórico-literarios de gran calibre. El análisis de Las Lanzas Coloradas de Arturo Úslar Pietri en combinación con El General en su Laberinto de Gabriel García Márquez. Dos obras fabulosas sobre el ícono histórico Simón Bolívar. En su argumento, el maestro García Barcala nos demuestra su sorprendente hallazgo sobre la creación de los personajes en la literatura: la proyección del autor y de su ideología literaria en la construcción de un héroe que nada se asemeja con la realidad del personaje histórico. El resultado quizá no es lo mejor, sino el desarrollo de cada uno de los argumentos de su disertación; investigación finamente guiada por el Dr. Pablo Sánchez, uno de los mejores expertos de la literatura hispanoamericana, filólogo de la Universidad de Barcelona y Doctor en Filología Hispánica, invitado a la Universidad de las Américas donde el Maestro García Barcala obtuvo su título.
Docente de la Licenciatura de Comunicación y Coordinador de la Maestría de Comunicación Corporativa, el Maestro García Barcala laboró por tres años en la Universidad Anáhuac-Mayab en la Ciudad de Mérida, Yucatán, México. Para no variar en sus costumbres periodísticas, creó, junto con el Dr. Vicente López Rocher, la revista de investigación en línea denominada Códice; publicando en ella numerosos artículos de temas sumamente interesantes como: Acceso a la información, sobre las Ley Federal de Acceso a la Información Pública; ¿Para qué me ha servido la Comunicación?, El mensaje implícito, entre otros poemas y notas curiosas. Publicó artículos en las revistas digitales de la UNAM y en el prestigiado medio de divulgación científica: Razón y Palabra.
Escribió y publicó el libro Parábolas del Servicio al Cliente, como un rescate a la investigación que hizo en su tesis de la licenciatura de comunicación y para promover, en las empresas que posee, una cultura de servicio y ¿Por qué no? Darles el tip a otros empresarios.
También escribió La Cofradía, la impactante historia de un hombre que se adueñó del mundo, novela de corte realista, enigmática y de gran suspenso que no dejará que cierres el libro hasta que la hayas terminado.
Este documento presenta un resumen de tres capítulos sobre programación lineal. En el primer capítulo, introduce la programación lineal como una técnica matemática para resolver problemas de optimización, especialmente en ciencias sociales. El segundo capítulo explica cómo resolver inecuaciones lineales con dos variables mediante representación gráfica. El tercer capítulo trata sobre sistemas de inecuaciones lineales y cómo encontrar la región de solución común. Finalmente, el cuarto capítulo describe cómo resolver problemas de optimización de una función sujeta a restricciones mediante en
Este documento trata sobre programación lineal. Explica que la programación lineal es una técnica matemática para resolver problemas de optimización mediante métodos lineales. Se centra en problemas con dos variables, resolviéndolos gráficamente mediante sistemas de inecuaciones lineales. Finalmente, explica cómo resolver problemas de optimización de una función objetivo sujeta a restricciones mediante métodos geométricos y algebraicos.
Este documento explica cómo resolver inecuaciones lineales con dos variables. Primero define las inecuaciones lineales y sus componentes. Luego indica que para resolverlas se debe representar gráficamente la recta correspondiente a la ecuación lineal y marcar la región que satisfaga la desigualdad. También cubre casos especiales de rectas horizontales y verticales.
Este documento presenta una introducción a la programación lineal. Explica que la programación lineal busca optimizar (maximizar o minimizar) una función objetivo sujeta a restricciones lineales. Se desarrolló originalmente para resolver problemas económicos durante la Segunda Guerra Mundial y ahora se usa ampliamente en la toma de decisiones económicas. A continuación, introduce los conceptos básicos de inecuaciones lineales y sistemas de inecuaciones lineales necesarios para comprender la programación lineal. Finalmente, explica cómo aplicar la program
Este documento explica los conceptos básicos de la programación lineal, incluyendo inecuaciones lineales, sistemas de inecuaciones lineales, y la estructura básica de un problema de programación lineal. Un problema de programación lineal consiste en optimizar una función objetivo lineal sujeta a restricciones lineales. El documento también presenta un ejemplo de cómo aplicar estos conceptos para resolver un problema de optimización.
Este documento introduce conceptos básicos de álgebra lineal como sistemas de ecuaciones lineales, matrices y operaciones con matrices. Explica que las matrices permiten representar sistemas de ecuaciones lineales de forma compacta y definir operaciones como suma, producto por un escalar y producto de matrices que permiten resolver sistemas. También define conceptos como matriz cuadrada, triangular, nula, diagonal e identidad.
El documento presenta diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones de 2x2, incluyendo reducción, igualación, sustitución y graficación. Luego presenta ejemplos de sistemas compatibles e incompatibles y ejercicios para que los estudiantes practiquen los diferentes métodos.
Este documento trata sobre desigualdades lineales en una variable. Explica cómo resolver desigualdades lineales mediante el uso de reglas como mover términos entre lados de la desigualdad sin cambiar el sentido, o cambiar el sentido al mover un término negativo. Proporciona ejemplos detallados de cómo aplicar estas reglas para encontrar el conjunto de soluciones de varias desigualdades lineales.
Este documento explica cómo resolver inecuaciones lineales con dos variables. Primero, se grafica la recta dada por la ecuación lineal correspondiente en el plano. La recta divide el plano en dos regiones, y la región que cumple la desigualdad es la solución de la inecuación. Para determinar cuál región es la solución, se sustituye un punto en la inecuación inicial y se comprueba si cumple la desigualdad.
Este documento explica conceptos básicos sobre ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales. Define ecuaciones, soluciones, ecuaciones algebraicas e identidades. Luego describe métodos para resolver ecuaciones de primer grado y sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, incluyendo el uso de determinantes. Finalmente, introduce determinantes de tercer orden y la resolución de sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas.
Este documento describe diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo el método de igualación, sustitución, y reducción. Explica cómo cada método involucra encontrar ecuaciones con una sola incógnita y luego sustituir valores para resolver el sistema original. También cubre sistemas de segundo grado y diferentes tipos de soluciones posibles como determinada, inconsistente o dependiente.
Este documento presenta una lección sobre sistemas de ecuaciones lineales. Explica cuatro métodos para resolver sistemas de ecuaciones: eliminación, sustitución, igualación y gráfico. Proporciona ejemplos detallados de cada método y ejercicios para practicar. El objetivo es introducir a los estudiantes en los sistemas de ecuaciones como una base para el álgebra.
Este documento resume diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo la regla de Cramer, la eliminación de Gauss y el pivoteo. Explica cómo representar sistemas de ecuaciones como matrices y cómo graficar dos ecuaciones para encontrar su punto de intersección. Además, detalla los pasos de la eliminación de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones lineales.
Este documento introduce los sistemas de ecuaciones lineales. Explica que un sistema de ecuaciones lineales consiste en un conjunto de ecuaciones lineales con las mismas incógnitas. El objetivo es calcular los valores de las incógnitas que satisfacen simultáneamente todas las ecuaciones. También describe cómo expresar un sistema de ecuaciones lineales en forma matricial y los diferentes tipos de sistemas que pueden darse (incompatible, compatible determinado e indeterminado).
Este documento presenta un capítulo sobre sistemas de ecuaciones lineales. Introduce los conceptos básicos de ecuación lineal y sistema de ecuaciones lineales, explicando que un sistema consiste en un conjunto de ecuaciones lineales. Explica cómo resolver un sistema implica calcular los valores de las incógnitas que satisfacen simultáneamente todas las ecuaciones. Además, describe la representación matricial de los sistemas y los diferentes tipos de sistemas que pueden darse (incompatible, compatible determinado e indeterminado).
Tema 4 Inecuaciones y sistemas de inecuaciones Antonio Moreno
Este documento trata sobre inecuaciones y sistemas de inecuaciones. Explica qué son las inecuaciones, cómo resolver inecuaciones de primer grado, sistemas de inecuaciones de primer grado con una incógnita, inecuaciones polinómicas de segundo grado o superior e inecuaciones racionales. También cubre cómo resolver inecuaciones lineales con dos incógnitas y sistemas de inecuaciones lineales de dos incógnitas.
Este documento resume diferentes temas de matemáticas como ecuaciones de primer y segundo grado, sistemas de ecuaciones y de inecuaciones lineales con dos incógnitas. Explica cómo resolver ecuaciones lineales ax+by=0, sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas mediante métodos como sustitución e igualación, y clasifica los tipos de sistemas en base a la relación entre sus coeficientes. También describe cómo representar gráficamente inecuaciones lineales y sistemas de inecuaciones, así como la forma general de resolver
Sistemas de ecuaciones lineales (álgebra)mathsgosanti
Este documento describe los sistemas de ecuaciones lineales y sus métodos de resolución. Explica que un sistema está formado por dos ecuaciones lineales con dos incógnitas y que su solución es el valor de las incógnitas que satisfacen ambas ecuaciones simultáneamente. Luego, detalla tres métodos algebraicos para resolver sistemas - sustitución, igualación y reducción - y el método geométrico, que involucra graficar las ecuaciones y analizar la intersección de las rectas.
Este documento presenta una introducción a los sistemas de ecuaciones lineales. Explica qué son las ecuaciones con dos incógnitas y los sistemas de ecuaciones, y define conceptos como solución de un sistema y sistemas equivalentes. Luego describe los diferentes tipos de sistemas según el número de soluciones, como sistemas sin solución, con infinitas soluciones o con una solución única. Finalmente, introduce tres métodos para resolver sistemas - sustitución, igualación y reducción - ilustrándolos con ejemplos resuelt
Este documento presenta diferentes temas de matemáticas como ecuaciones de primer y segundo grado, sistemas de ecuaciones y de inecuaciones lineales con dos incógnitas. Explica cómo resolver ecuaciones lineales ax+by=0, sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas usando métodos como sustitución e igualación, y clasifica los tipos de sistemas en base a la relación entre sus coeficientes. También describe cómo representar gráficamente inecuaciones lineales y sistemas de inecuaciones.
1. Cap´
ıtulo 8
´
PROGRAMACION LINEAL
8.1. Introducci´n
o
La programaci´n lineal es una t´cnica matem´tica relativamente reciente (siglo XX), que consiste
o e a
en una serie de m´todos y procedimientos que permiten resolver problemas de optimizaci´n en el
e o
a
´mbito, sobre todo, de las Ciencias Sociales.
Nos centraremos en este tema en aquellos problemas simples de programaci´n lineal, los que tienen
o
s´lamente 2 variables, problemas bidimensionales.
o
Para sistemas de m´s variables, el procedimiento no es tan sencillo y se resuelven por el llamado
a
m´todo Simplex (ideado por G.B.Danzig, matem´tico estadounidense en 1951).
e a
Recientemente (1984) el matem´tico indio establecido en Estados Unidos, Narenda Karmarkar,
a
ha encontrado un algoritmo, llamado algoritmo de Karmarkar, que es m´s r´pido que el m´todo
a a e
simplex en ciertos casos. Los problemas de este tipo, en el que intervienen gran n´mero de variables,
u
se implementan en ordenadores.
8.2. Inecuaciones lineales con 2 variables
Una inecuaci´n lineal con 2 variables es una expresi´n de la forma:
o o
ax + by ≤ c
(donde el s´ımbolo ≤ puede ser tambi´n ≥ , < o bien >), donde a, b y c son n´meros reales y x e y las
e u
inc´gnitas.
o
Para resolver estas inecuaciones, se recordar´ de otros cursos, hay que representar gr´ficamente en
a a
el plano la recta dada por la correspondiente ecuaci´n lineal y marcar una de las dos regiones en que
o
dicha recta divide al plano.
Ejemplo: Si queremos resolver la inecuaci´n: 2x + 3y ≥ −3, representamos en primer lugar la recta
o
2x + 3y = −3:
127
2. CAP´ ´
ITULO 8. PROGRAMACION LINEAL 128
La recta divide al plano en dos regiones, una de las cuales es la soluci´n de la inecuaci´n. Para
o o
saber qu´ parte es, hay dos procedimientos:
e
1. Se despeja la y de la inecuaci´n, poniendo cuidado en que si en una inecuaci´n multiplicamos o
o o
dividimos por un n´mero negativo, la desigualdad cambia de sentido.
u
En este caso tend´
ıamos que:
−3 − 2x
y≥
3
Observando el dibujo vemos que la recta divide al eje de ordenadas (y) en dos partes.
La soluci´n de la inecuaci´n ser´ aquella parte en la que la y sea mayor que la recta, es decir, la
o o a
parte superior.
Figura 8.1: Soluci´n de la inecuaci´n lineal
o o
2. Se toma un punto cualquiera que no pertenezca a la recta, por ejemplo el (1,2).
Para que dicho punto sea soluci´n, se tendr´ que cumplir la desigualdad, por lo que sustituimos
o a
en la inecuaci´n inicial el (1,2):
o
2 · 1 + 3 · 2 ≥ −3, es decir, 8 ≥ −3.
Como esta ultima desigualdad es evidentemente cierta, concluimos que el (1,2) es soluci´n y
´ o
por tanto el semiplano que contiene al (1,2) es la soluci´n, es decir el semiplano superior, como
o
hab´
ıamos obtenido antes.
Cualquiera de los procedimientos es v´lido si se realiza con correcci´n.
a o
8.3. Sistemas de inecuaciones lineales con dos variables
Un sistema de inecuaciones lineales, por tanto, es un conjunto de inecuaciones del tipo anterior, y
resolverlo consistir´ en resolver gr´ficamente cada inecuaci´n (como en el caso anterior), representar
a a o
la soluci´n en un mismo gr´fico y la soluci´n total ser´ la parte com´n a todas las soluciones.
o a o a u
3. CAP´ ´
ITULO 8. PROGRAMACION LINEAL 129
Ejemplo: Resolver el sistema de inecuaciones siguiente:
2x + 3y ≥ −3
2x − y − 9 ≤ 0
2x − 5y − 5 ≥ 0
Si representamos las rectas:
2x + 3y = −3 (recta r)
2x − y − 9 = 0 (recta s)
2x − 5y − 5 = 0 (recta t)
Figura 8.2: Soluci´n del sistema de inecuaciones lineales
o
El tri´ngulo rayado es la soluci´n del sistema.
a o
Adem´s, para los problemas de programaci´n lineal es necesario el c´lculo de los v´rtices de la
a o a e
regi´n soluci´n. Es sencillo su c´lculo, pues se reduce a resolver sistemas de ecuaciones lineales son
o o a
dos inc´gnitas, que provienen de igualar las ecuaciones de las rectas correspondientes.
o
Por ejemplo, en este caso, si queremos el punto intersecci´n de las rectas r y t tendremos que
o
resolver el sistema formado por:
2x + 3y = −3 −2x − 3y = 3
=⇒
2x − y − 9 = 0 2x − y − 9 = 0
Sumando −4y = 12 =⇒ y = −3.
Y sustituyendo que da 2x + 3(−3) = −3, es decir 2x − 9 = −3, y entonces x = 3.
Luego r y t se cortan en el punto (3,-3).
Ejercicios:
1. Calcular los otros dos v´rtices.
e
2. Resolver los sistemas de inecuaciones lineales siguientes encontrando los v´rtices de las regiones
e
que sean soluci´n:
o
x + 2y ≤ 12
3x + 6y ≥ 420 3x + 5y ≤ 150 2x + y ≥ 4
a) b) c)
4x + 2y ≥ 290 3x + 3y ≤ 120 x − 2y ≤ 6
x−y ≥0
4. CAP´ ´
ITULO 8. PROGRAMACION LINEAL 130
Nota: Rectas horizontales y verticales.
En ocasiones, en estos sistemas, aparecen inecuaciones del tipo x ≥ k o bien y ≥ k, donde falta
alguna de las dos inc´gnitas.
o
Estas inecuaciones en realidad corresponden a rectas horizontales y verticales, y su representaci´n
o
es bien sencilla.
Por ejemplo, la inecuaci´n x ≤ −2 no es m´s que el conjunto de puntos a la izquierda de la recta
o a
vertical que pasa por el punto x = −2, gr´ficamente:
a
Lo mismo ocurre con y ≤ 1, que ser´ en este caso la parte inferior a la recta horizontal y = 1, es
a
decir:
En el caso particular de que sea x ≥ 0 o y ≥ 0, las rectas coincidir´n con los ejes de coordenadas.
a
Ejercicios: Resolver los sistemas de inecuaciones lineales siguientes, encontrando los v´rtices de las
e
regiones que sean soluci´n:
o
x + 3y ≥ 50
5x + 15y ≤ 150
9x − 8y ≥ 0
2x + y ≤ 10
6x + 8y ≤ 120 x + 3y ≤ 12
a) b) 3x + 4y ≥ 60 c)
x≥0
0≤x≤8
x≥0
y≥0 0≤y≤2
y≥0
Nota: Las dobles desigualdades como 0 ≤ x ≤ 8 se pueden desdobler en otras dos, x ≥ 0 y x ≤ 8.
5. CAP´ ´
ITULO 8. PROGRAMACION LINEAL 131
8.4. Problemas de optimizaci´n de una funci´n sujeta a restricciones
o o
En un problema de programaci´n lineal de dos variables x e y, se trata de optimizar (hacer m´xima
o a
o m´
ınima, seg´n los casos) una funci´n (llamada funci´n objetivo) de la forma:
u o o
F (x, y) = A · x + B · y
sujeta a una serie de restricciones dadas mediante un sistema de inecuaciones lineales del tipo:
a1 x + b1 y ≤ c1
a2 x + b2 y ≤ c2
.
.
.
am x + bm y ≤ cm
Los puntos del plano que cumplen el sistema de desigualdades forman un recinto convexo acotado
(poligonal) o no acotado, llamado regi´n factible del problema.
o
Todos los puntos de dicha regi´n cumplen el sistema de desigualdades. Se trata de buscar, entre
o
todos esos puntos, aquel o aquellos que hagan el valor de F(x,y) m´ximo o m´
a ınimo, seg´n sea el
u
problema.
Los puntos de la regi´n factible se denominan soluciones factibles.
o
De todas esas soluciones factibles, aquellas que hacen ´ptima (m´xima o m´
o a ınima) la funci´n obje-
o
tivo se llaman soluciones optimas.
´
En general,un problema de programaci´n lineal puede tener una, infinitas o ninguna soluci´n.
o o
Lo que si se verifica es la siguiente propiedad:
Propiedad:
Si hay una unica soluci´n optima, ´sta se encuentra en un v´rtice de la regi´n factible, y si hay
´ o ´ e e o
infinitas soluciones optimas, se encontrar´n en un lado de la regi´n factible.
´ a o
Es posible que no haya soluci´n optima, pues cuando el recinto es no acotado, la funci´n objetivo
o ´ o
puede crecer o decrecer indefinidamente.
Para resolver el problema, podemos abordarlo de dos formas, pero antes a aplicar cualquiera
de ellas siempre hay que dibujar la regi´n factible, resolviendo el sistema de inecuaciones lineales
o
correspondiente, como se ha visto en los ep´ ıgrafes anteriores (la regi´n factible puede estar acotada o
o
no), y se calculan los v´rtices de dicha regi´n.
e o
8.4.1. Forma geom´trica
e
En este caso se representa el vector director de la recta que viene dada por la ecuaci´n de la funci´n
o o
objetivo,F (x, y) = A · x + B · y , que hay que maximizar o minimizar.
El vector director de la recta A · x + B · y viene dado por v = (−B, A). Adem´s, como lo unico que
a ´
nos importa es la direcci´n del vector y no su m´dulo (longitud), podemos dividir a las coordenadas
o o
del vector si los n´meros son muy grandes, puesto que vectores con coordenadas proporcionales tienen
u
la misma direcci´n.
o
Posteriormente, se trazan rectas paralelas a este vector que pasen por los v´rtices de la regi´n
e o
factible (si es acotada) , o por todo el borde de la regi´n factible (cu´ndo no es acotada) y se observa
o a
en qu´ v´rtice la funci´n F se hace m´xima (o m´
e e o a ınima) sin m´s que tener en cuenta cu´l de las rectas
a a
tiene mayor (o menor) ordenada en el origen, es decir, qu´ recta corta en un punto mayor o menor al
e
eje y.
Ejemplo: Maximizar la funci´n F (x, y) = 2000x + 5000y sujeta a las restricciones:
o
2x + 3y ≥ −3
2x − y − 9 ≤ 0
2x − 5y − 5 ≥ 0
6. CAP´ ´
ITULO 8. PROGRAMACION LINEAL 132
La regi´n factible en este caso es:
o
Los v´rtices eran los puntos (0,-1), (5,1) y (3,-3).
e
Como la funci´n es F (x, y) = 2000x + 5000y, el vector director es v = (−5000, 2000), que tiene la
o
misma direcci´n que el v = (−5, 2) y represent´ndolo queda:
o a
Figura 8.3: Regi´n factible y vector de la funci´n objetivo
o o
7. CAP´ ´
ITULO 8. PROGRAMACION LINEAL 133
Se trata ahora de trazar paralelas al vector que pasen por los v´rtices anteriores, es decir:
e
Figura 8.4: Soluci´n gr´fica. Paralelas al vector por los v´rtices.
o a e
Se observa gr´ficamente que de las tres paralelas trazadas, la que corta al eje y en un punto mayor
a
es la que pasa por el punto (5,1), que por tanto ser´ la soluci´n optima al problema de m´ximos
a o ´ a
planteado.
Para saber cu´l es este valor ,m´ximo sustituimos en la funci´n:
a a o
F (5, 1) = 2000 · 5 + 5000 · 1 = 10000 + 5000 = 15000
Luego la funci´n tiene su soluci´n optima en (5,1) donde toma el valor 15000.
o o ´
8.4.2. Forma algebraica
Consiste, simplemente, en susituir cada uno de los v´rtices de la regi´n en la funci´n objetivo. La
e o o
soluci´n optima vendr´ dada por aquel que tome el mayor (o menor) valor.
o ´ a
Ejemplo: Maximizar la funci´n F (x, y) = 2000x + 5000y sujeta a las restricciones:
o
2x + 3y ≥ −3
2x − y − 9 ≤ 0
2x − 5y − 5 ≥ 0
Con la misma regi´n factible que en el caso anterior.
o
Los v´rtices eran los puntos (0,-1), (5,1) y (3,-3).
e
De esta forma sustituyendo:
F (5, 1) = 2000 · 5 + 5000 · 1 = 10000 + 5000 = 15000
F (0, −1) = 2000 · 0 + 5000 · (−1) = 0 − 5000 = −5000
F (3, −3) = 2000 · 3 + 5000 · (−3) = 6000 − 15000 = −9000
Vemos que el valor m´ximo se alcanza para el v´rtice (5,1) y que dicho valor es 15. La misma soluci´n
a e o
que se obten´ antes.
ıa
Ejercicio: Resolver los problemas de programaci´n lineal:
o
8. CAP´ ´
ITULO 8. PROGRAMACION LINEAL 134
2x + y ≤ 10
x + 3y ≤ 12
1. Maximizar F (x, y) = 4x + 5y sujeto a: .
0≤x≤8
0≤y≤2
3x + 2y ≥ 12
4x + 5y ≥ 29
2. Minimizar F (x, y) = 12x + 10y sujeto a: .
x≥0
y≥0
4x + 2y ≤ 6
7x + 8y ≤ 28
3. Maximizar F (x, y) = 120x + 80y sujeto a: .
x≥0
y≥0
4x + 5y ≥ 20
4. Minimizar F (x, y) = 12x + 8y sujeto a: 7x + 2y ≥ 14 .
x≤y
8.5. Algunos ejemplos de casos extremos
Puede ocurrir que la soluci´n optima no sea unica, e incluso que no exista, como en los ejemplos
o ´ ´
siguientes:
Ejemplo 1:
x + y ≥ 14
2x + 3y ≥ 36
Maximizar g(x, y) = 3x + 4y sujeta a las rectricciones: .
4x + y ≥ 16
x − 3y ≥ 0
Si representamos la regi´n factible:
o
Los v´rtices ser´n:
e a
2 40
A= , , B = (6, 8), C = (12, 4)
3 3
Observemos que la regi´n factible es NO acotada superiormente.
o
9. CAP´ ´
ITULO 8. PROGRAMACION LINEAL 135
Si aplicamos el m´todo geom´trico, deber´ trazar paralelas al vector director por los v´rtices, pero
e e ıa e
como la regi´n en no acotada, dichas rectas son cada vez mayores al trazarlas sobre los puntos de la
o
recta t, que son soluciones factibles. Por tanto el problema no tiene soluci´n.
o
Figura 8.5: Las paralelas cortan cada vez en un punto mayor.
En general, un problema de m´ximos no tiene soluci´n si la regi´n factible no est´ acotada supe-
a o o a
riormente, y un problema de m´ınimos no tiene soluci´n si la regi´n no est´ acotada inferiormente.
o o a
Tambi´n puede tener el problema infinitas soluciones:
e
Ejemplo 2:
x+y ≥5
y ≤ x+3
Minimizar g(x, y) = 3x + 3y sujeta a las restricciones 3y − x ≥ −1 .
y + 2x ≤ 16
4y − x ≤ 22
La regi´n es, en este caso:
o
10. CAP´ ´
ITULO 8. PROGRAMACION LINEAL 136
Los v´rtices respectivos son: A=(1,4), B=(2,5), C=(6,4), D=(7,2) y E=(4,1).
e
Si utilizamos el m´todo gr´fico, obtenemos:
e a
Es decir, como buscamos el valor m´ ınimo, todos los puntos comprendidos entre A y E sirven, es
decir, hay infinitas soluciones.
Si utilizamos el m´todo algebraico: g(x, y) = 3x + 3y, luego:
e
A : g(1, 4) = 3 + 12 = 15
B : g(2, 5) = 6 + 15 = 21
C : g(6, 4) = 18 + 12 = 30
D : g(7, 2) = 21 + 6 = 27
E : g(4, 1) = 12 + 3 = 15
Observamos que el valor m´ ınimo se toma en A y en E, y por tanto en todos los puntos comprendidos
entre ellos, es decir, hay infinitas soluciones.
8.6. Aplicaci´n a problemas concretos
o
El verdadero valor de las t´cnicas de la programaci´n lineal consiste en poder aplicarlas a problemas
e o
reales.
Para resolver estos problemas se deben seguir los siguientes pasos, a la vez que vemos como se
aplicar´ a un ejemplo concreto.
ıa
Ejemplo:
Una f´brica de muebles fabrica dos tipos de sillones, S1 y S2. La f´brica cuenta con dos secciones;
a a
carpinter´ y tapicer´
ıa ıa.
Hacer un sill´n de tipo S1 requiere 1 hora de carpinter´ y 2 de tapicer´ mientras que uno de tipo
o ıa ıa,
S2 requiere 3 horas de carpinter´ y 1 de tapicer´
ıa ıa.
El personal de tapicer´ trabaja un total de 80 horas, y el de carpinter´ 90.
ıa ıa
Las ganancias por las ventas de S1 y S2 (unidad) son, respectivamente 60 y 30 euros. Calcular
cu´ntos sillones de cada tipo hay que hacer para maximizar las ganancias.
a
11. CAP´ ´
ITULO 8. PROGRAMACION LINEAL 137
Este es un problema t´ ıpico en el que hay que usar las t´cnicas de programaci´n lineal. Intentaremos
e o
seguir el siguiente esquema:
1. Leer el enunciado , determinar la funci´n objetivo y definir las variables.
o
En este caso, queremos hacer m´ximo el beneficio, es decir, queremos maximizar una funci´n.
a o
Como queremos determinar las cantidades de sillones S1 y S2 respectivamente, llamemos x=nö
de unidades de S1 e y=nö de unidades de S2.
La funci´n beneficio a maximizar ser´: B(x, y) = 60 · x + 30 · y, que es la funci´n objetivo.
o a o
2. Reordenar los datos del problema y escribir las inecuaciones correspondientes.
En este paso es conveniente el uso de tablas:
Tiempo(horas) Carpinter´
ıa Tapicer´
ıa
S1 1 2
S2 3 1
Disponible 90 80
Tiempo(horas) Cantidad Carpinter´
ıa Tapicer´
ıa
S1 x x 2x
S2 y 3y y
Necesario x + 3y 2x + y
Disponible 90 80
De aqu´ se deduce que:
ı
x + 3y ≤ 90
2x + y ≤ 80
y adem´s
a
x≥0
y≥0
pues el nö de unidades producidas no puede ser negativo.
Ya tenemos por tanto las restricciones.
3. Representar gr´ficamente la regi´n factible, calcular sus v´rtices y el vector si usamos el m´todo
a o e e
geom´trico.
e
En este caso, representando la regi´n factible:
o
12. CAP´ ´
ITULO 8. PROGRAMACION LINEAL 138
Siendo los v´rtices A=(0,0), B=(0,30), C=(30,20), D=(40,0).
e
El vector ser´ (−30, 60), equivalente a (−10, 20).
a
Gr´ficamente se observa que la soluci´n no es unica, sino que se encuentran infinitas soluciones
a o ´
en el lado correspondiente CD, sobre la recta 2x + y = 80, desde que x vale 30 hasta que vale
40, todas las soluciones son v´lidas.
a
4. Sustituir las coordenadas en la funci´n objetivo y dar la soluci´n correcta.
o o
En este caso se obtiene:
B(0, 0) = 0
B(0, 30) = 900
B(30, 20) = 2400
B(40, 0) = 2400
con lo cu´l hay infinitas soluciones y el beneficio que se obtiene es 2400 euros.
a
5. Analizar la soluci´n obtenida en el contexto del problema: ¿tiene sentido?.
o
Debemos interpretar que en el contexto del problema no todas las soluciones son v´lidas, sino
a
que s´lo sirven soluciones enteras, es decir, no se pueden fabricar, por ejemplo 3’8 sillones del
o
tipo S1. Las soluciones con sentido vendr´ dadas por:
ıan
S1 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
S2 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0
Encontramos por tanto s´lo 11 soluciones que son las de la tabla
o
En cualquiera de estas soluciones el beneficio es de 2400 euros, que es el m´ximo bajo las
a
condiciones del problema.
13. CAP´ ´
ITULO 8. PROGRAMACION LINEAL 139
8.7. El problema del transporte
Es uno de los problemas que dieron lugar a la programaci´n lineal.
o
Un ejemplo t´ıpico ser´ el siguiente:
ıa
Ejemplo:
Una empresa tiene 2 plantas de producci´n (P1 y P2) de cierto art´
o ıculo que vende en 3 ciudades
(C1,C2 y C3). En P1 produce 5000 unidades, y en P2 7000 unidades. De estas 12000 unidades las
vende as´ 3500 es C1, 4000 en C2 y 4500 en C3. Los costes de transporte, en euros por unidad de
ı:
producto, desde las plantas de producci´n a las ciudades son:
o
Env´
ıos Hasta C1 Hasta C2 Hasta C3
Desde P1 3 2’5 3’5
Desde P2 2’25 3’75 4
Determina el nö de art´ıculos que debe enviar la empresa desde cada planta a cada ciudad para que los
costes de transporte sean m´ ınimos.
Para problemas de este tipo necesitamos una nueva variable.
Sea x=unidades de P1 a C1, y=unidades de P1 a C2 y z=unidades de P1 a C3.
Tiene que verificarse entonces que x + y + z = 5000.
Si desde P1 a C1 se env´ x unidades, como en C1 necesitan 3500, desde P2 se mandar´n a C1
ıan a
3500 − x. Razonando del mismo modo con y y z, se obtiene la tabla:
Env´
ıos Hasta C1 Hasta C2 Hasta C3
Desde P1 x y z = 5000 − x − y
Desde P2 3500 − x 4000 − y 4500 − z = 4500 − (5000 − x − y)
Hemos sustituido z por 5000 − y − x, porque x + y + z = 5000 y as´ transformamos las 3 inc´gnitas
ı o
en s´lo 2.
o
Para obtener las restricciones imponemos que cada cantidad ha de ser mayor o igual que cero, es
decir:
x≥0
3500 − x ≥ 0
y≥0
4000 − y ≥ 0
5000 − x − y ≥ 0
−500 + x + y ≥ 0
Por tanto el sistema de inecuaciones es:
x≥0
x ≤ 3500
y≥0
y ≤ 4000
x + y ≤ 5000
x + y ≥ 500
Como se trata de minimizar costes, la funci´n objetivo es:
o
C(x, y) = 3 · x + 2 5 · y + 3 5 · (5000 − x − y) + 2 25 · (3500 − x) + 3 75 · (4000 − y) + 4 · (−500 + x + y)
C(x, y) = 1 25 · x − 0 75 · y + 22625
14. CAP´ ´
ITULO 8. PROGRAMACION LINEAL 140
Dibujando la regi´n factible:
o
Resulta que A=(0,500), B=(0,4000), C=(1000,4000), D=(3500,1500), E= (3500,0) y F=(500,0).
Sustituyendo es:
C(0, 500) = 22250
C(0, 4000) = 19625
C(1000, 4000) = 20875
C(3500, 1500) = 25875
C(3500, 0) = 27000
C(500, 0) = 23250
El m´
ınimo se da en B, cuando x = 0 e y = 4000.
Es decir, las unidades a distribuir son:
Env´
ıos Hasta C1 Hasta C2 Hasta C3
Desde P1 0 4000 1000
Desde P2 3500 0 3500
Ejercicio:
Dos f´bricas de cemento, F1 y F2, producen respectivamente 3000 y 4000 sacos de cemento al d´
a ıa.
Hay que enviar ese cemento a tres centros de ventas C1, C2 y C3 en cantidades de 3000, 2500 y
1500 sacos respectivamente.
Los costes de transporte de cada f´brica a los puntos de venta vienen dados, en euros por cada
a
saco, por:
Env´
ıos Hasta C1 Hasta C2 Hasta C3
Desde F1 2 2’5 2
Desde F2 1’5 3 1
Determina c´mo hay que distribuir la producci´n para que el transporte resulte lo m´s econ´mico
o o a o
posible.