Este documento presenta los temas de matemáticas para ciencias biológicas que se cubrirán en el segundo bimestre. Incluye exponentes, radicales, expresiones algebraicas, fraccionarias y notación científica. También cubre sistemas de ecuaciones lineales y sus métodos de solución, así como sucesiones aritméticas y geométricas. Finalmente, introduce conceptos de geometría analítica como parábolas, elipses e hipérbolas.

1. MATEMÁTICAS PARA LAS
CIENCIAS BIOLÓGICAS
II Bimestre
II Bimestre
ESCUELA DE GESTIÓN AMBIENTAL
NOMBRES: Ing. Natalí Solano Cueva
FECHA: OCTUBRE 2010 – FEBRERO 2011
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2. 2.Exponentes y radicales
3.Expresiones algebraicas
4.Expresiones fraccionarias
5.Notación científica
6.Sistema internacional (SI)
Ejercicios
Unidad 5: Sistema de
ecuaciones lineales
Sistema de ecuaciones lineales. Métodos de
solución
Álgebra de matrices

3. Sistema de ecuaciones lineales (S.E.L)
Es una colección de dos o más ecuaciones lineales,
cada una con d o más variables (i ó it )
d dos á i bl (incógnitas).
Una solución de un S.E.L. consta de valores de las
variables para l
i bl los cuales cada ecuación d l
l d ió del
sistema se verifica.
Al conjunto d t d l soluciones se l ll
j t de todas las l i le llama
Conjunto Solución del S.E.L.
3

4. Ejemplos de sistemas de ecuaciones
⎧2 x + y = 6 ⎧ x 2 − y = −5
1) ⎨ 2) ⎨
⎩3x − y = 4 ⎩2x + y = 4
⎧1 3
⎧ x3 − y = 0
⎪ 2 x + 4 y = 10
⎪ 4) ⎨
3) ⎨
⎩x − y = 0
⎪3 x − y = 4
⎪4
⎩
4

5. Existen varios métodos para resolver sistemas de
ecuaciones, entre ellos:
1. Método gráfico
2.
2 Método de sustitución
3. Método de eliminación por adición
4.
4 Regla de Cramer
5. Método de la matriz aumentada
6.
6 Método d matrices
é d de
5

6. MÉTODO GRÁFICO PARA SISTEMAS 2X2
Procedimiento
1. Las soluciones del sistema de ecuaciones
serán los puntos de intersección entre las
dos gráficas.
2. Construya la g
y gráfica de cada ecuación.
6

7. Ejemplos: Sistema de ecuaciones por el método gráfico
y
4
x+ y = 2 3
2
Solución : ( 1 , 1)
⎧x + y = 2
1
2) ⎨
)
⎩x − y = 0
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 x5
-1
-2
-3
x− y =0 -4
7

8. Ejemplo:
Ejemplo: Verifica si el par ordenado es una solución del
sistema de ecuaciones.
⎧2 x + y = 6
1) ⎨ Par Ordenado : (1 , 2 )
⎩3x − y = 4
Verificación :
2 (1) + 2 ≠ 6
3 (1) − 2 ≠ 4
Por lo tanto el par ordenado (1 , 2 ) no es solución
solución.
8

9. ⎧ x 2 − y = −5 Par Ordenado: ( −1 , 6 )
2) ⎨
⎩2x + y = 4
Verificación :
(−1) − 6 = −5
2
2(− 1) + 6 = 4
Por lo tanto el par ordenado ( −1 , 6 ) es solución.
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10. MÉTODO DE SUSTITUCIÓN PARA SISTEMAS 2X2
PROCEDIMIENTO
1. Despeja una de las variables en cualquiera de las
ecuaciones.
2. Sustituye el resultado obtenido en la otra ecuación.
Esto producirá el valor de una de las variables.
3. Sustituye el valor de la variable del paso anterior en
cualquiera de las ecuaciones originales para encontrar
el valor d l otra variable.
l l de la i bl
10

11. ⎧2 x + y = 6
Ejemplo: Método de sustitución. 1) ⎨
⎩3 x − y = 4
Escogiendo la ecuación, 2 x + y = 6 , tenemos
y = 6 − 2x
Sustituyendo en la otra ecuación tenemos,
3 x − (6 − 2 x ) = 4
3x − 6 + 2 x = 4
x=2
Sustituyendo el valor obtenido en la primera ecuación
tenemos
t
y = 6 − 2(2) = 2 Conjunto Solución = {( 2 , 2 )}11

12. Método de Eliminación por Adición
Este método consiste en sumar o restar las ecuaciones con el
objetivo que se elimine una de las variables.
Procedimiento:
1. Iguala los coeficientes de una de las variables multiplicando
g p
las ecuaciones por los números correspondientes.
2. Suma o resta l ecuaciones para eliminar l variable.
2 S t las i li i la i bl
3.
3 Repite el proceso para la otra variable Este paso se puede
variable.
reemplazar por una sustitución.
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13. Álgebra de Matrices
Se llama matriz de orden m×n a todo conjunto rectangular de elementos aij
dispuestos en m líneas horizontales (filas) y n verticales (columnas) de la forma:
Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, el primero
denota l fil ( i ) y el segundo l columna ( j ) P ejemplo el elemento a25 será
d t la fila l d la l ). Por j l l l t á
el elemento de la fila 2 y columna 5.

14. Operaciones con matrices
Trasposición de matrices
Suma y diferencia de matrices
Producto de una matriz por un número
Propiedades simplificativas
Producto de matrices
Matrices inversibles

15. Trasposición de matrices
Dada una matriz de orden m x n, se llama matriz traspuesta de A, y se representa por At, a
la matriz que se obtiene cambiando las filas por las columnas (o viceversa) en la matriz A.
Es decir:

16. Suma y diferencia de matrices
La suma de dos matrices de la misma dimensión, es otra matriz del mismo
tamaño que l sumandos. P tanto, para poder sumar d matrices estas h d
ñ los d Por d dos i han de
tener la misma dimensión.
La suma de las matrices A y B se denota por A B
A+B.
Ejemplo:
Sin embargo, no se pueden sumar.
La diferencia de matrices A y B se representa por A–B, y se define como: A–B = A + (–B)

17. Producto de una matriz por un número
El producto de una matriz A por un número real k es otra matriz B de la misma dimensión que
A y tal q cada elemento bij de B se obtiene multiplicando aij por k, es decir, bij = k·aij.
que j p jp j j
Ejemplo:
El producto de la matriz A por el número real k se designa por k·A. Al número real k se le
llama también escalar, y a este producto producto de escalares por matrices
escalar producto,

18. Producto de matrices
Dadas dos matrices A y B, su producto es otra matriz P cuyos elementos se obtienen
multiplicando las filas de A por las columnas de B.
Pij = aik bkj
Es evidente que el número de columnas de A debe coincidir con el número de filas de B Es
B.
más, si A tiene dimensión m x n y B dimensión n x p, la matriz P será de orden m x p, Es
decir:
Ejemplo:
no se pueden multiplicar

19. Unidad 6: Sucesiones
Sucesiones aritméticas
Sucesiones geométricas

20. Sucesiones Aritméticas
Una Sucesión Aritmética, es una sucesión de números reales
tales que cada término es igual al anterior más un número
constante, llamado “diferencia”.
Ejemplo:
5 7 9 11 13 15 17
+2 +2 +2 +2 +2 +2

21. TÉRMINO GENERAL:
a1 → 1er. término
a 2 = a1 + d → 2do término
a 3 = a 2 + d = a1 + d + d → 3er. término
a4 = a3 + d = a2 + d + d = a1 + 3d → 4to. término
an = a1 + (n –1) d → término general
De la
D l expresión anterior hallamos:
ió i h ll
an − a1 an − a1
a1 = an − (n − 1) d d = n= +1
n −1 d +1
Sugerencia: Es necesario tener en cuenta la importancia que el estudiante
maneje con mucha destreza las expresiones anteriores

22. Sucesiones Geométricas
Es una sucesión en la cual cualquier término es igual al anterior
multiplicado por una constante, r , llamada RAZÓN .
an = a1 , a2 , a3 , a4 , .... , ak , ..., an-1 , an
Deducimos la fórmula principal:
a1 = a 1
a2 = a 1 . r
2
a3 = a2 . r = a1 . r
3
@ a4 =Prieto Benito 1
Angel a3 . r = a .r Apuntes de Matemáticas 3º ESO 22

23. • ……………...
n-1
• an = a n-1 . r = a1 . r
O sea:
n-1
an = a1 . r
De ella se despeja en caso necesario a1, d o n.
Apuntes de Matemáticas 3º ESO

24. Unidad 7: Geometría
Analítica
Parábolas
Elipses
Hipérbolas

25. Parábola
Es el conjunto de todos los puntos del plano que se
encuentra en la misma distancia de un punto fijo
llamado FOCO y de una recta fija llamada
DIRECTRIZ.
La Parábola en Matemática se define como:
f(x) = a. x2 + b. x + c

26. Abierta hacia arriba Abierta hacia abajo
(x-h)2 = 4p(y-k) (x-h)2 = -4p(y-k)
Abierta hacia la derecha Abierta hacia la izquierda
(y-k)2 = 4p(x-h) (y-k)2 = -4p(x-h)

27. Elipse
La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que
la suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es
constante.
P constante
suuur suur
F ' P + FP =
F' F

28. Ecuación d la Elipse con centro (h , k)
de l l
( X-H )* + ( Y-K ) = 1
XH) Y K )*
A* B*

29. Hipérbola
Es el lugar geométrico de los puntos en un plano, para los que la
diferencia d sus di t
dif i de distancias a d
i dos puntos fij
t fijos (d
(denominados
i d
focos) es una constante.
y y
x x
Eje transverso
Eje transverso
Una hipérbola tiene dos ejes; el eje que corta a la hipérbola es su eje
transverso; el punto en el que se cortan los ejes es el centro de la curva.

30. La ecuación de una hipérbola puede escribirse como:
(x−h)2 −( y−k)2 =1
a2 b2
(h,k) es el centro de la hipérbola.
El eje transverso es paralelo al eje x.
y
x
Eje transverso

31. ( y−k) −(x−h)
2 2
=1
2 2
a b
(h,k) es el centro de la hipérbola.
El eje transverso es paralelo al eje y.
y
x
Eje transverso

32. 32