Este documento introduce los sistemas de ecuaciones lineales y las matrices. Explica que un sistema de ecuaciones lineales consiste en dos o más ecuaciones lineales, y que una matriz representa un sistema de ecuaciones. Detalla cómo resolver sistemas mediante el método de eliminación y operaciones de renglón en la forma matricial. Finalmente, distingue entre sistemas consistentes que tienen solución única o infinitas soluciones, e inconsistentes sin solución.
Resolviendo problemas de limites de sucesiones al infinitoGuzano Morado
Resolveré 3 ejercicios de limites de sucesiones cuando n tiende al infinito. Son ejercicios básicos ideales para quienes desean comprender estos problemas en 3ro de bachillerato.
Este documento describe el método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Explica que el método transforma la matriz aumentada del sistema a una forma triangular superior resolviendo luego el sistema triangular. También discute la formulación matemática del método, su eficiencia y cómo implementarlo computacionalmente, incluyendo una estrategia de pivoteo para mejorar la precisión.
Este documento presenta el método de eliminación de Gauss-Jordan para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Explica que este método lleva la matriz del sistema a una forma de identidad para mostrar las soluciones. Incluye un ejemplo completo de cómo aplicar el método paso a paso para resolver un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas. Finalmente, muestra cómo usar este método para resolver problemas de aplicación que involucren sistemas de ecuaciones lineales.
Este documento describe las propiedades de las funciones cuadráticas. Explica la forma estándar de una ecuación cuadrática, la forma vértice y cómo encontrar el vértice. Luego detalla varios métodos para resolver ecuaciones cuadráticas, incluida la factorización, raíz cuadrada, completando al cuadrado y la fórmula cuadrática. También cubre el discriminante y cómo determinar el número de raíces reales. Por último, presenta algunos ejemplos de aplicaciones de funciones cuadráticas.
El documento describe varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo el método de reducción, sustitución, igualación y el método gráfico. Explica que los sistemas pueden tener soluciones únicas, infinitas soluciones o no tener solución, y provee ejemplos de cada caso. También provee instrucciones detalladas sobre cómo aplicar el método de reducción paso a paso para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.
Presentación con conceptos básicos de combinación lineal, espacio generado e independencia lineal. También contiene algunos ejemplos de como usar las definiciones al momento de calcular dependencia y combinación lineal.
Este documento presenta conceptos clave sobre ecuaciones de segundo grado, incluyendo la naturaleza de las raíces, propiedades de las raíces como suma y producto, y métodos para formar la ecuación a partir de las raíces. Se proveen ejemplos resueltos para ilustrar estos conceptos y ejercicios de aplicación para la práctica.
Resolviendo problemas de limites de sucesiones al infinitoGuzano Morado
Resolveré 3 ejercicios de limites de sucesiones cuando n tiende al infinito. Son ejercicios básicos ideales para quienes desean comprender estos problemas en 3ro de bachillerato.
Este documento describe el método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Explica que el método transforma la matriz aumentada del sistema a una forma triangular superior resolviendo luego el sistema triangular. También discute la formulación matemática del método, su eficiencia y cómo implementarlo computacionalmente, incluyendo una estrategia de pivoteo para mejorar la precisión.
Este documento presenta el método de eliminación de Gauss-Jordan para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Explica que este método lleva la matriz del sistema a una forma de identidad para mostrar las soluciones. Incluye un ejemplo completo de cómo aplicar el método paso a paso para resolver un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas. Finalmente, muestra cómo usar este método para resolver problemas de aplicación que involucren sistemas de ecuaciones lineales.
Este documento describe las propiedades de las funciones cuadráticas. Explica la forma estándar de una ecuación cuadrática, la forma vértice y cómo encontrar el vértice. Luego detalla varios métodos para resolver ecuaciones cuadráticas, incluida la factorización, raíz cuadrada, completando al cuadrado y la fórmula cuadrática. También cubre el discriminante y cómo determinar el número de raíces reales. Por último, presenta algunos ejemplos de aplicaciones de funciones cuadráticas.
El documento describe varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo el método de reducción, sustitución, igualación y el método gráfico. Explica que los sistemas pueden tener soluciones únicas, infinitas soluciones o no tener solución, y provee ejemplos de cada caso. También provee instrucciones detalladas sobre cómo aplicar el método de reducción paso a paso para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.
Presentación con conceptos básicos de combinación lineal, espacio generado e independencia lineal. También contiene algunos ejemplos de como usar las definiciones al momento de calcular dependencia y combinación lineal.
Este documento presenta conceptos clave sobre ecuaciones de segundo grado, incluyendo la naturaleza de las raíces, propiedades de las raíces como suma y producto, y métodos para formar la ecuación a partir de las raíces. Se proveen ejemplos resueltos para ilustrar estos conceptos y ejercicios de aplicación para la práctica.
1) El documento introduce conceptos sobre límites de funciones como el significado intuitivo de límite y su definición matemática rigurosa. 2) Explica los tipos de límites como límites finitos e infinitos en puntos finitos y en el infinito. 3) Presenta reglas para calcular límites como el uso de límites laterales y resolución de indeterminaciones como el cociente de polinomios.
Este documento describe métodos para descomponer fracciones en una suma de fracciones parciales cuando el denominador es un polinomio factorizable. Explica cómo encontrar los coeficientes cuando las raíces son reales y distintas, reales y repetidas, y provee ejemplos para ilustrar los métodos.
1) María modeló un problema de geometría usando ecuaciones algebraicas para determinar las medidas de un terreno rectangular sabiendo solo su área.
2) Los métodos para resolver sistemas de ecuaciones incluyen gráficos, suma y resta, y otros métodos elementales.
3) La modelización con ecuaciones puede usarse para resolver una variedad de problemas matemáticos.
El documento presenta algoritmos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo métodos de sustitución progresiva y regresiva, eliminación de Gauss simple y con filas permutadas, y métodos iterativos como Richardson, Jacobi y Gauss-Seidel. Se piden implementaciones en Matlab de cada método y se incluyen ejemplos numéricos para probarlos.
El método de Gauss-Seidel es un método iterativo para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Comienza con una aproximación inicial y mejora sucesivamente la aproximación a través de iteraciones. Cada iteración consiste en n subiteraciones que actualizan una variable cada vez manteniendo fijas las demás. El proceso continúa hasta que las sucesivas aproximaciones difieran en menos de un epsilon.
Este documento presenta conceptos básicos sobre desigualdades numéricas. Introduce la relación de orden entre números reales usando símbolos como >, <, ≥, ≤. Explica desigualdades absolutas y relativas. Luego define intervalos numéricos como subconjuntos de números reales comprendidos entre dos extremos, sean finitos o infinitos. Finalmente describe operaciones básicas con intervalos como unión, intersección y diferencia.
El documento explica las inecuaciones, que son desigualdades donde hay una o más cantidades desconocidas. Describe las propiedades de las desigualdades y cómo resolver inecuaciones lineales, cuadráticas, fraccionarias e irracionales. Explica el método de los puntos críticos para resolver inecuaciones polinomiales.
Este documento describe los métodos directos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo el método de Gauss-Jordan. Explica cómo transformar la matriz aumentada del sistema mediante operaciones lineales para reducirla a la forma de la matriz identidad, lo que permite obtener el vector solución. También presenta un ejemplo numérico resuelto paso a paso usando el método de Gauss-Jordan.
Ejercicios limites 3 2º bach. con solucionesMatemolivares1
Este documento presenta ejercicios sobre límites y continuidad de funciones. Incluye cálculos de límites directos e indeterminados, análisis de asíntotas, continuidad y discontinuidad en puntos específicos, y estudio de funciones racionales para determinar si son continuas. El documento contiene 14 secciones con diferentes tipos de ejercicios sobre este tema.
Este documento presenta una introducción a la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales. Define conceptos clave como operadores diferenciales lineales, condiciones iniciales y de frontera. Explica que los espacios de funciones continuas y derivables forman espacios vectoriales. Presenta teoremas de existencia y unicidad de soluciones para ecuaciones diferenciales ordinarias de primer y segundo orden con condiciones iniciales.
Este documento describe varios métodos para generar números aleatorios en computadoras de forma automática. Explica que los números aleatorios generados digitalmente siguen una distribución uniforme entre 0 y 1. Luego describe algunos métodos comunes como las secuencias lineales recursivas, el método de congruencias aditivas y los generadores de congruencias lineales. Estos últimos son los más utilizados actualmente y funcionan generando números enteros que luego se normalizan entre 0 y 1 para simular una distribución uniforme.
Este documento presenta un resumen de los conceptos fundamentales de límites de funciones. Introduce los límites de forma intuitiva a través de ejemplos y tablas de valores. Luego define el límite formalmente como la aproximación del valor de una función cuando la variable independiente se aproxima a un punto. Finalmente, muestra cómo demostrar límites formalmente mediante la desigualdad ε-δ.
El documento presenta ejercicios sobre sistemas de ecuaciones y su resolución gráfica y algebraica. Se explican conceptos como sistemas equivalentes, compatibles e incompatibles. También se muestran métodos para resolver sistemas escalonados como el de Gauss.
Este documento presenta información sobre inecuaciones lineales y cuadráticas con una incógnita, así como ecuaciones exponenciales y logarítmica. Explica cómo resolver este tipo de ecuaciones aplicando propiedades de desigualdades, potencias y logarítmos. También incluye ejemplos resueltos paso a paso para ilustrar los métodos.
Universidad Técnica Particular de Loja
Ciclo Académico Abril Agosto 2011
Carrera:Ciencias de la Computación
Docente: Ing. Ricardo Blacio Maldonado
Ciclo: Segundo
Bimestre: Primero
Este documento explica las ecuaciones de primer y segundo grado. Define una ecuación como una igualdad entre expresiones algebraicas que contienen incógnitas y constantes. Explica que las ecuaciones de primer grado contienen términos de potencia 1, mientras que las de segundo grado contienen términos cuadráticos. Presenta métodos para resolver ecuaciones de primer grado, como la traslación, y de segundo grado, como la factorización, completar el cuadrado y la fórmula cuadrática.
Este documento describe varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales de 2x2, incluyendo sustitución, igualación, reducción y determinantes. Explica que un sistema puede tener una solución única, infinitas soluciones o ninguna solución, y muestra ejemplos resueltos de cada caso usando diferentes métodos. También describe cómo resolver un sistema gráficamente trazando las ecuaciones como rectas y encontrando su punto de intersección.
Este documento define ecuaciones y describe métodos para resolver diferentes tipos de ecuaciones, incluyendo ecuaciones lineales y cuadráticas. Explica que una ecuación es una proposición donde dos expresiones son iguales y que resolver una ecuación significa encontrar el valor de la variable que hace que la igualdad sea verdadera. Describe cómo usar propiedades de igualdad para resolver ecuaciones lineales y dos métodos para resolver ecuaciones cuadráticas: factorización y la fórmula cuadrática. Termina con ejercicios de práctica para resolver diferentes ecuaciones
Este documento introduce el concepto de matrices y sus diferentes tipos. Explica que una matriz es una tabla de números ordenados en filas y columnas y que fueron introducidas en 1850. Describe matrices rectangulares, cuadradas, triangulares, diagonales y escalares, así como ejemplos de cada una. También menciona que las matrices se utilizan en diversas áreas como economía, sociología y física.
Este documento habla sobre las ecuaciones algebraicas. Explica que una ecuación relaciona expresiones algebraicas con letras como x e y que representan incógnitas. Luego clasifica las ecuaciones en varias categorías como racionales vs irracionales, compatibles vs incompatibles, de primer grado vs segundo grado, y numéricas vs literales. Finalmente, explica cómo resolver ecuaciones de primer y segundo grado.
1) El documento introduce conceptos sobre límites de funciones como el significado intuitivo de límite y su definición matemática rigurosa. 2) Explica los tipos de límites como límites finitos e infinitos en puntos finitos y en el infinito. 3) Presenta reglas para calcular límites como el uso de límites laterales y resolución de indeterminaciones como el cociente de polinomios.
Este documento describe métodos para descomponer fracciones en una suma de fracciones parciales cuando el denominador es un polinomio factorizable. Explica cómo encontrar los coeficientes cuando las raíces son reales y distintas, reales y repetidas, y provee ejemplos para ilustrar los métodos.
1) María modeló un problema de geometría usando ecuaciones algebraicas para determinar las medidas de un terreno rectangular sabiendo solo su área.
2) Los métodos para resolver sistemas de ecuaciones incluyen gráficos, suma y resta, y otros métodos elementales.
3) La modelización con ecuaciones puede usarse para resolver una variedad de problemas matemáticos.
El documento presenta algoritmos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo métodos de sustitución progresiva y regresiva, eliminación de Gauss simple y con filas permutadas, y métodos iterativos como Richardson, Jacobi y Gauss-Seidel. Se piden implementaciones en Matlab de cada método y se incluyen ejemplos numéricos para probarlos.
El método de Gauss-Seidel es un método iterativo para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Comienza con una aproximación inicial y mejora sucesivamente la aproximación a través de iteraciones. Cada iteración consiste en n subiteraciones que actualizan una variable cada vez manteniendo fijas las demás. El proceso continúa hasta que las sucesivas aproximaciones difieran en menos de un epsilon.
Este documento presenta conceptos básicos sobre desigualdades numéricas. Introduce la relación de orden entre números reales usando símbolos como >, <, ≥, ≤. Explica desigualdades absolutas y relativas. Luego define intervalos numéricos como subconjuntos de números reales comprendidos entre dos extremos, sean finitos o infinitos. Finalmente describe operaciones básicas con intervalos como unión, intersección y diferencia.
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Ejercicios limites 3 2º bach. con solucionesMatemolivares1
Este documento presenta ejercicios sobre límites y continuidad de funciones. Incluye cálculos de límites directos e indeterminados, análisis de asíntotas, continuidad y discontinuidad en puntos específicos, y estudio de funciones racionales para determinar si son continuas. El documento contiene 14 secciones con diferentes tipos de ejercicios sobre este tema.
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Este documento describe varios métodos para generar números aleatorios en computadoras de forma automática. Explica que los números aleatorios generados digitalmente siguen una distribución uniforme entre 0 y 1. Luego describe algunos métodos comunes como las secuencias lineales recursivas, el método de congruencias aditivas y los generadores de congruencias lineales. Estos últimos son los más utilizados actualmente y funcionan generando números enteros que luego se normalizan entre 0 y 1 para simular una distribución uniforme.
Este documento presenta un resumen de los conceptos fundamentales de límites de funciones. Introduce los límites de forma intuitiva a través de ejemplos y tablas de valores. Luego define el límite formalmente como la aproximación del valor de una función cuando la variable independiente se aproxima a un punto. Finalmente, muestra cómo demostrar límites formalmente mediante la desigualdad ε-δ.
El documento presenta ejercicios sobre sistemas de ecuaciones y su resolución gráfica y algebraica. Se explican conceptos como sistemas equivalentes, compatibles e incompatibles. También se muestran métodos para resolver sistemas escalonados como el de Gauss.
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Universidad Técnica Particular de Loja
Ciclo Académico Abril Agosto 2011
Carrera:Ciencias de la Computación
Docente: Ing. Ricardo Blacio Maldonado
Ciclo: Segundo
Bimestre: Primero
Este documento explica las ecuaciones de primer y segundo grado. Define una ecuación como una igualdad entre expresiones algebraicas que contienen incógnitas y constantes. Explica que las ecuaciones de primer grado contienen términos de potencia 1, mientras que las de segundo grado contienen términos cuadráticos. Presenta métodos para resolver ecuaciones de primer grado, como la traslación, y de segundo grado, como la factorización, completar el cuadrado y la fórmula cuadrática.
Este documento describe varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales de 2x2, incluyendo sustitución, igualación, reducción y determinantes. Explica que un sistema puede tener una solución única, infinitas soluciones o ninguna solución, y muestra ejemplos resueltos de cada caso usando diferentes métodos. También describe cómo resolver un sistema gráficamente trazando las ecuaciones como rectas y encontrando su punto de intersección.
Este documento define ecuaciones y describe métodos para resolver diferentes tipos de ecuaciones, incluyendo ecuaciones lineales y cuadráticas. Explica que una ecuación es una proposición donde dos expresiones son iguales y que resolver una ecuación significa encontrar el valor de la variable que hace que la igualdad sea verdadera. Describe cómo usar propiedades de igualdad para resolver ecuaciones lineales y dos métodos para resolver ecuaciones cuadráticas: factorización y la fórmula cuadrática. Termina con ejercicios de práctica para resolver diferentes ecuaciones
Este documento introduce el concepto de matrices y sus diferentes tipos. Explica que una matriz es una tabla de números ordenados en filas y columnas y que fueron introducidas en 1850. Describe matrices rectangulares, cuadradas, triangulares, diagonales y escalares, así como ejemplos de cada una. También menciona que las matrices se utilizan en diversas áreas como economía, sociología y física.
Este documento habla sobre las ecuaciones algebraicas. Explica que una ecuación relaciona expresiones algebraicas con letras como x e y que representan incógnitas. Luego clasifica las ecuaciones en varias categorías como racionales vs irracionales, compatibles vs incompatibles, de primer grado vs segundo grado, y numéricas vs literales. Finalmente, explica cómo resolver ecuaciones de primer y segundo grado.
Este documento define un sistema de ecuaciones lineales como un conjunto de ecuaciones con incógnitas. Explica cómo expresar un sistema de ecuaciones como una expresión matricial AX=B, donde A es la matriz de coeficientes, X la matriz de incógnitas y B la matriz de términos independientes. También resume métodos para resolver sistemas, como el método de Gauss y el método de Cramer.
contiene una amplia explicacion a temas complicados para algunos estudiates, eniendo ejemplos que ayudan a que se tengauna mejor comprension de los temas asi como de sus aplicaciones
Este documento explica los conceptos básicos de las inecuaciones con una variable, incluyendo inecuaciones lineales, cuadráticas y racionales. Detalla los métodos para resolver estas inecuaciones, como pasar términos de un lado a otro cambiando su signo, y usar la regla de los signos para determinar el conjunto solución basado en los signos de los factores. Proporciona varios ejemplos resueltos para ilustrar estos métodos.
El documento resume los métodos gráficos y analíticos para calcular la intersección de diferentes funciones como rectas, parábolas y una recta con una parábola. Explica cómo resolver sistemas de ecuaciones surgidos de estos problemas de intersección mediante métodos como sustitución, igualación y reducción. También describe los diferentes casos posibles para cada tipo de intersección.
Este documento introduce los sistemas de ecuaciones lineales, definidos como colecciones de ecuaciones lineales en varias variables. Explica que un sistema puede tener cero, una o infinitas soluciones, y describe métodos como sustitución y reducción para resolver sistemas. También introduce la notación matricial para representar sistemas.
Este documento introduce conceptos básicos de álgebra lineal como sistemas de ecuaciones lineales, matrices y operaciones con matrices. Explica que las matrices permiten representar sistemas de ecuaciones lineales de forma compacta y definir operaciones como suma, producto por un escalar y producto de matrices que permiten resolver sistemas. También define conceptos como matriz cuadrada, triangular, nula, diagonal e identidad.
Este documento introduce conceptos básicos de álgebra lineal como sistemas de ecuaciones lineales, matrices y operaciones con matrices. Explica cómo los sistemas de ecuaciones pueden representarse mediante tablas de números llamadas matrices. Define conceptos como suma, producto y transposición de matrices. También introduce tipos especiales de matrices como matrices nulas, diagonales, unitarias y triangulares.
Este documento contiene 33 problemas relacionados con álgebra lineal, incluyendo ecuaciones de rectas y planos en coordenadas paramétricas y cartesianas. Los problemas cubren temas como determinar si puntos pertenecen a rectas o planos, hallar ecuaciones de rectas y planos, y analizar relaciones entre rectas y planos como paralelismo y perpendicularidad.
Este documento presenta un resumen de la programación lineal. Introduce el tema y explica cómo resolver inecuaciones y sistemas de inecuaciones lineales con dos variables, representándolos gráficamente. Luego, explica cómo resolver problemas de optimización de una función sujeta a restricciones mediante el análisis geométrico de la región factible.
El documento habla sobre expresiones algebraicas. Explica que una expresión algebraica contiene letras, números y signos y que se comportan como números. También define conceptos como grado de una expresión, valor numérico, suma, resta, multiplicación y división de expresiones algebraicas. Además, introduce productos notables y la factorización como técnicas para simplificar expresiones.
El documento explica los conceptos básicos de las ecuaciones. Define una ecuación como una igualdad que se cumple para algunos valores determinados de las variables desconocidas. Explica cómo resolver ecuaciones de primer grado mediante la transposición de términos y la división para despejar la variable. También cubre ecuaciones literales y cómo factorizar para resolverlas.
Este documento presenta una lección sobre sistemas de ecuaciones lineales. Explica cuatro métodos para resolver sistemas de ecuaciones: eliminación, sustitución, igualación y gráfico. Proporciona ejemplos detallados de cada método y ejercicios para practicar. El objetivo es introducir a los estudiantes en los sistemas de ecuaciones como una base para el álgebra.
2. SISTEMAS DE ECUACIONES Y MATRICES SISTEMAS DE ECUACIONES
Secci´n 1: SISTEMAS DE ECUACIONES
o
Empezaremos recordando que en el plano cartesiano una ecuaci´n lineal es una ecuaci´n de la forma
o o
a1 x + a2 y = c (1)
y hace referencia a la gr´fica de una funci´n que es una l´
a o ınea recta, La cual tambi´n puede ser vista de la forma
e
a1 c
y=− x+ , S´ a2 = 0
ı
a2 a2
a1 c
La recta con pendiente m=− y con corte b = .
a2 a2
y
y = mx + b
x
En un marco m´s amplio una ecuaci´n lineal puede tener m´s de dos inc´gnitas y en este caso se ver´ as´
a o a o ıa ı:
a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 + · · · + an xn = b (2)
Esta es una ecuaci´n lineal, en la cual se identifican n 1 letras a1 , a2 , . . . , an que representan los coeficientes de las n inc´gnitas
o o
x1 , x2 , . . . , xn cuya suma da como resultado b.
Un sistema lineal es un conjunto de una o m´s ecuaciones lineales; un sistema lineal de n ecuaciones con m inc´gnitas se
a o
ver´ en una forma gen´rica as´
ıa e ı:
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + · · · + a1m xm = b1 (3)
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + · · · + a2m xm = b2
a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 + · · · + a3m xm = b3
.
. = .
.
. .
an1 x1 + an2 x2 + an3 x3 + · · · + anm xm = bn
Donde aij determina el coeficiente de la i−esima ecuaci´n y j−esima inc´gnita.
o o
Note en el sistema de arriba que no necesariamente el n´mero n coincide con el n´mero m, es decir, que el n´mero de
u u u
inc´gnitas no necesariamente coincide con el n´mero de ecuaciones.
o u
Se llama una soluci´n del sistema a un conjunto de n´meros que son asignados a cada una de las inc´gnitas y que reducen
o u o
cada una de las ecuaciones a una igualdad num´rica.
e
Ejemplo. El sistema lineal de dos ecuaciones con tres inc´gnitas que se presenta a continuaci´n
o o
3x1 + 2x2 − x3 = 3
x1 − x2 + 3x3 = 1
1n representa un n´mero arbitrario pero fijo de R
u
1
3. SISTEMAS DE ECUACIONES Y MATRICES SISTEMAS DE ECUACIONES
Tiene como soluci´n la tripla de n´meros (0, 2, 1) donde el significado es que x1 = 0, x2 = 2 y x3 = 1, y verificamos que es
o u
una soluci´n de la siguiente manera, reemplazando el valor de cada una de las inc´gnitas.
o o
3·0+2·2−1=0+4−1 = 3
0−2+3·1=0−2+3 = 1
Pero para este sistema esa no es la unica soluci´n; el estudiante puede verificar que (1, 0, 0) es tambi´n una soluci´n.
´ o e o
Para encontrar soluciones a los sistemas lineales, vamos a resaltar los detalles en el siguiente ejemplo de un sistema de tres
ecuaciones con tres inc´gnitas
o
3x − 2y − z = −1 (1)
2x + 2y − 2z = 0 (2)
x − y + 2z = 4 (3)
La metodolog´ usada se llama eliminaci´n y se trata, como su nombre lo indica, de eliminar inc´gnitas de las ecuaciones.
ıa o o
2
Empezaremos eliminando la inc´gnita x de la ecuaci´n (2); para esto podemos multiplicar la ecuaci´n (1) por − , sumar las
o o o
3
ecuaciones y guardar el resultado en la ecuaci´n (2). As´
o ı:
2 4 2 2
−3× 3x − 2y − z = −1 ≡ −2x + y + z =
3 3 3
haciendo la suma
4 2 2
−2x + y + z =
3 3 3
+
2x + 2y − 2z = 0
10 4 2
0+ y− z =
3 3 3
y as´ el sistema queda
ı
3x − 2y − z = −1 (1)
10 4 2
y− z = (2)
3 3 3
x − y + 2z = 4 (3)
1
Ahora eliminamos la inc´gnita x de la ecuaci´n (3); para esto podemos multiplicar la ecuaci´n (1) por − , sumar las
o o o
3
ecuaciones y guardar el resultado en la ecuaci´n (3). As´
o ı:
3x − 2y − z = −1 (1)
10 4 2
y− z = (2)
3 3 3
1 7 13
− y+ z = (3)
3 3 3
Notamos que la nueva ecuaci´n (3) no tiene ninguna x puesto que la eliminamos, por lo que ahora entre las ecuaciones (2)
o
1
y (3) podemos eliminar la y de la ecuaci´n (3), para esto multiplicamos por
o la ecuaci´n (2), sumamos y guardando el
o
10
resultado en la ecuaci´n (3) obtenemos:
o
3x − 2y − z = −1 (1)
10 4 2
y− z = (2)
3 3 3
66 132
z = (3)
30 30
2
4. SISTEMAS DE ECUACIONES Y MATRICES SISTEMAS DE ECUACIONES
La ultima ecuaci´n se soluciona despejando z de la ecuaci´n (3), obtenemos z = 2.
´ o o
Ahora reemplazamos el valor de z en la ecuaci´n (2) para despejar y, obtenemos y = 1.
o
Y reemplazamos los valores de y y z en la ecuaci´n (1) para finalmente despejar x, obteniendo x = 1.
o
As´ la soluci´n de este sistema es (1, 1, 2), pero seg´n lo visto en el ejemplo pasado un sistema puede tener m´s soluciones
ı o u a
¿Ser´ que este sistema tiene m´s soluciones? y en general ¿podr´ pasar que un sistema no tenga soluci´n?
a a ıa o
Estas preguntas se solucionar´n a continuaci´n, pero para poder explicar esto, debemos adquirir los siguientes conceptos.
a o
Definici´n. Una matriz es un arreglo bidimensional de objetos, en nuestro caso las dimensiones de la matriz son filas y
o
columnas, y los objetos n´meros. La dimensi´n de una matriz de n filas con m columnas es n × m.
u o
A cada sistema de ecuaciones se le puede asignar una matriz que, si incluye los resultados, se llama aumentada. La matriz
asociada a un sistema de ecuaciones es la matriz que tiene los coeficientes de las variables donde cada rengl´n de la matriz
o
representa una ecuaci´n y cada columna una inc´gnita. As´ el sistema (3) tiene representaci´n matricial:
o o ı o
a11 a12 a13 ··· a1m | b1
a21
a22 a23 ··· a2m | b2
a31
a32 a33 ··· a3m | b3
.
. .
. .
.
. . | .
an1 an2 an3 ··· anm | bn
Veamos c´mo se usan las matrices para solucionar los sistemas, para esto vamos a poner unas reglas b´sicas a seguir y estas
o a
son las operaciones de rengl´n:
o
1. Ri → kRi significa que el rengl´n i se multiplica por la constante k = 0
o
2. Ri ↔ Rj Intercambiar los renglones i y j
3. Ri → Ri + kRj Sumar un m´ltiplo del rengl´n j al rengl´n i y guardar el resultado en el rengl´n i
u o o o
Podemos ver que estas operaciones tienen similitud a las que usamos al resolver el anterior sistema por eliminaci´n; estas
o
operaciones son las unicas que pueden efectuarse en el proceso de soluci´n de un sistema en forma matricial.
´ o
Definici´n. Un pivote es la primera entrada diferente de 0 de una fila de la matriz en la que debajo tiene solo ceros y
o
cuya primera entrada diferente de 0 de la fila superior est´ estrictamente a la izquierda.
a
Ejemplo. Consideremos el siguiente sistema
x + 2y − z = −1
3x + 2y + z = 5
x+y+z = 2
tiene forma matricial
1 2 −1 | −1
3 2 1 | 5
1 1 1 | 2
En la primera fila el primer 1 que aparece es un pivote, pero en las otras filas no hay pivote porque en las filas superiores el
primer n´mero diferente de 0 no est´ estrictamente a la izquierda.
u a
Como nuestro objetivo es resolver el sistema lo que vamos a hacer es replicar el m´todo de eliminacion pero con escritura
e
matricial, primero eliminando las inc´gnitas x de la segunda y tercera ecuaci´n.
o o
1 2 −1 | −1 1 2 −1 | −1
3 2 1 | 5 R2 → R2 − 3R1 0 −4 4 | 8
−− − − − −
− − − − −→
1 1 1 | 2 1 1 1 | 2
1 2 −1 | −1
R3 → R3 − R1 0 −4 4 | 8
−− − − −→
−−−−−
0 −1 2 | 3
3
5. SISTEMAS DE ECUACIONES Y MATRICES SISTEMAS DE ECUACIONES
En la ultima matriz vemos que el −4 es un pivote.
´
Ahora eliminemos la variable y de la tercera ecuaci´n.
o
1 2 −1 | −1 1 2 −1 | −1
0 −4 1
4 | 8 R3 → R3 − R1 0 −4 4 | 8
4
0 −1 2 | 3 −− − − − −→ 0
−−−−−− 0 1 | 1
En la ultima matriz tenemos tres pivotes, uno en cada columna.
´
A estas alturas el sistema es muy f´cil de resolver, pues
a
x + 2y − z = −1
−4y + 4z = 8
z = 1
Y reemplazando el valor de z en la segunda ecuaci´n tenemos y = −1 y reemplazando los valores en la primera ecuaci´n
o o
x = 2.
Los sistemas pueden ser consistentes (con soluci´n) o inconsistentes (sin soluci´n), los sistemas consistentes pueden tener
o o
unica soluci´n si el n´mero de pivotes es igual al n´mero de inc´gnitas y pueden tener infinitas soluciones (como se ver´ m´s
´ o u u o a a
adelante) si el n´mero de pivotes es menor que el n´mero de inc´gnitas.
u u o
Ejemplo. (Un sistema sin soluci´n)
o
x − 2y = 5
x − 2y = 1
vemos que la misma expresi´n esta igualada a dos resultados diferentes, lo que genera un error, veamos que si restamos las
o
dos ecuaciones nos queda
0 = 4
(4)
pero 0 no es igual que 4 por eso no se puede solucionar; cualquier pareja de n´meros que solucione una de las ecuaciones no
u
puede solucionar la otra. Este sistema no tiene soluci´n y por eso es inconsistente.
o
Definici´n.
o Una matriz se dice en forma escalonada si
1. Todos los pivotes tienen el n´mero 1.
u
2. Todas las entradas que est´n debajo de un pivote son ceros.
a
3. Si hay filas de ceros, ´stas se encuentran en la parte m´s inferior de la matriz.
e a
Definici´n. Una matriz se dice en forma escalonada reducida si es una matriz escalonada y adem´s todas las entradas
o a
encima de un pivote son ceros.
Ejemplo. La primera matriz representa una matriz escalonada (no escalonada reducida) y la segunda una matriz escalonada
reducida.
0 1 2 6 1 0 5 0
0 0 0 1 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1
M´todo de reducci´n de Gauss.
e o
1. Formar la matriz aumentada.
2. Por medio de operaciones de fila obtener la forma escalonada
3. Resolver el sistema por reemplazo
4
6. SISTEMAS DE ECUACIONES Y MATRICES SISTEMAS DE ECUACIONES
Este m´todo es muy util para conocer el tipo de soluciones que tiene el sistema, es decir, unica soluci´n, infinitas soluciones
e ´ ´ o
o inconsistente.
M´todo de reducci´n de Gauss-Jordan.
e o
1. Formar la matriz aumentada.
2. Por medio de operaciones de fila obtener la forma escalonada reducida
3. Resolver con cada ecuaci´n; y poner como par´metros las inc´gnitas que no tienen pivote en su columna.
o a o
Este m´todo es muy util para conocer con exactitud cu´les son las soluciones de un sistema.
e ´ a
Ejemplo. Resolver el siguiente sistema por el m´todo de Gauss-Jordan
e
3x − 2y + z + w = 1
x+y+z+w = 2
2x − y + 2z − w = −1
5x − 3y + 3z = 0
(5)
Escribimos el sistema en forma de matriz aumentada
3 −2 1 1 | 1
1
1 1 1 | 2
2 −1 2 −1 | −1
5 −3 3 0 | 0
Note que el primer pivote es 3, como yo quiero que sea uno para la matriz en forma escalonada puedo multiplicar la primera
1
fila por o intercambiar las filas 1 y 2. El intercambio lo podemos hacer as´
ı:
3
3 −2 1 1 | 1 1 1 1 1 | 2
1 1 1 1 | 2R ↔ R
3 −2 1 1 | 1
2 −1 | −1 −1 − − 2 2 −1 2 −1
2 −1 − −→
− | −1
5 −3 3 0 | 0 5 −3 3 0 | 0
ahora, si resuelvo el sistema
1 1 1 1 | 2 1 1 1 1 | 2
3 −2 1 1 | 1 0 −5 −2 −2 | −5
R → R2 − 3R
−1 −2− − − − − 1 2 −1
2 −1 2 −1 | − − − − −→ 2 −1 | −1
5 −3 3 0 | 0 5 −3 3 0 | 0
1 1 1 1 | 2 1 1 1 1 | 2
0 −5 −2 −2 | −5 0 −5 −2 −2 | −5
R → R3 − 2R R → R4 − 5R
−3− − − − − 1 0 −3 −5 −4− − − − − 1 0 −3
− − − − −→ 0 −3 | − − − − −→ 0 −3 | −5
5 −3 3 0 | 0 0 −8 −2 −5 | −10
En este punto cabe notar que todos los elementos hasta ahora se eliminaron con el elemento de la primera fila que ahora es
pivote, y contin´o.
u
1 1 1 1 | 2 1 1 1 1 | 2
2 2 2 2
1
0 1 5 5 | 1 0 1 5 5 | 1
R2 → − 5 R2 R3 → − 3− − →
R + 3R2
− − − − → 0 −3
−−−− 0 −3 | −5 − − − − − − 0
−− 0 6
−9 | −2
5 5
−8 −2 −5
0 | −10 0 −8 −2 −5 | −10
1 1 1 1 | 2
2 2
0 1 5 5 | 1
R4 → R4 + 8R2
− − − − − − 0 0 6 − 9
− − − − − → | −2
5 5
6
0 0 5 −9
5 | −2
5
7. SISTEMAS DE ECUACIONES Y MATRICES SISTEMAS DE ECUACIONES
Ya tengo el segundo pivote, y note que elimin´ todos los elementos de esta ronda con el segundo elemento de la segunda fila,
e
contin´o
u
1 1 1 1 | 2 1 1 1 1 | 2
2 2 2 2
0 1 5 | 1 R → R4 − 6 R3 0 1
| 1
R3 → 5 R3
6
5
5 4 5
5 5
− − − − 0 0 1 − 3
− − −→ 2 | − 3 − − − − − − 0 0
− − − − − → 1 3
−2 | −5
3
6
0 0 5 −9
| −2
5 0 0 0 0 | 0
Esta matriz est´ en forma escalonada y puedo observar que tiene 3 pivotes, es decir que la inc´gnita z no tiene pivote en su
a o
columna, lo que quiere decir que el sistema tiene infinitas soluciones; para saber cu´les son debemos terminar el proceso para
a
llegar a una matriz escalonada reducida. Contin´o eliminando los elementos arriba de los pivotes.
u
5 8
1 1 1 1 | 2 1 1 0 2 | 3
2 2
2
0 1 0 1 | 3
0 1 0 1 | 3
R2 = R2 − 5 R3 R → R1 − R3
5 −1− − − − →
− − − − − − 0 0 1 − 2 | − 3
− − − − −→ 3 − − − − − 0 0 1 − 3 | − 5
2 3
0 0 0 0 | 0 0 0 0 0 | 0
3
1 0 0 2 | 2
2
0 1 0 1 | 3
R1 → R1 − R2
− − − − − → 0
−−−−− 0 1 −3 5
| −3
2
0 0 0 0 | 0
En este punto la matriz est´ en la forma escalonada reducida y para solucionar el sistema tenemos que las inc´gnitas x, y, z
a o
tienen pivote pero como la inc´gnita w no la llamaremos par´metro (esto quiere decir que puede tomar cualquier valor); as´
o a ı,
para decir cu´les son las infinitas soluciones de las que hablamos, escribimos el sistema de la ultima matriz.
a ´
3
x+ w = 2
2
2
y+w =
3
3 5
z− w=−
2 3
Ahora la ultima ecuaci´n tiene puros ceros, por lo cual no la escribimos; pero retomando que w es un par´metro, w puede
´ o a
tomar cualquier valor real y lo escribimos as´
ı:
w = t, t ∈ R (6)
3
x=2− t
2
2
y = −t
3
5 3
z=− + t
3 2
y en esta relaci´n se obtienen los resultados para x, y, z, w reemplazando t por un n´mero cualquiera. Por ejemplo si t = 0
o u
2
obtenemos los resultados x = 2, y = 3 , z = − 5 , w = 0 que es una soluci´n, y de la misma forma puedo obtener otra soluci´n.
3 o o
S´ t = 1 obtenemos los resultados x = 1 , y = − 1 , z = − 1 , w = 1 que es otra soluci´n. Por esta raz´n en (6) quedan descritas
ı 2 3 6 o o
todas las soluciones.
Ejemplo. Determinar valores de α para que el sistema
x + 2y + z = 3
x + 3y − z = 4
2
x + 2y + (α − 8)z = α
tenga
6
8. SISTEMAS DE ECUACIONES Y MATRICES SISTEMAS DE ECUACIONES
1. Unica soluci´n
o
2. Infinitas soluciones
3. Ninguna soluci´n
o
´
SOLUCION. Primero escribimos el sistema en forma matricial, con su matriz aumentada y hacemos el proceso eliminaci´n o
de Gauss (solamente hasta matriz escalonada).
1 2 1 | 3 1 2 1 | 3 1 2 1 | 3
1 3 −1 | 4 R2 → R2 − R1 0 1 −2 | 1 R3 → R3 − R1 0 1 −2 | 1
2 −− − − −→
−−−−− 2 −− − − −→
−−−−− 2
1 2 α −8 | α 1 2 α −8 | α 0 0 α −9 | α−3
Hasta este punto el proceso es el mismo para las tres preguntas, ahora vamos a solucionarlas analizando la matriz escalonada
1 2 1 | 3
0 1 −2 | 1
0 0 α2 − 9 | α − 3
1. Para poder concluir que el sistema tiene unica solici´n la matriz debe tener tres pivotes (para tres inc´gnitas) y el valor
´ o o
en la ultima fila α2 − 9 debe ser diferente de 0, es decir
´
α2 − 9 = 0
(α − 3)(α + 3) = 0
α−3=0 y α+3=0
α=3 y α = −3
Si α es diferente de 3 y −3 el sistema tiene unica soluci´n.
´ o
2. Para tener infinitas soluciones debe cumplir dos condiciones, tener menos pivotes que inc´gnitas y ser consistente. Como
o
ya tiene dos pivotes (en x y en y), entonces debe cumplir α2 − 9 = 0 pero a su vez para mantenerse consistente debe
cumplir que α − 3 = 0 para tener 0 0 0 | 0 , entonces si α = 3 el sistema tiene infinitas soluciones.
3. Para que no tenga soluci´n se debe llegar a una inconsistencia, usualmente de tipo 0 = k con k diferente de 0, para
o
lograr esto debemos tener α2 − 9 = 0 y α − 3 = 0, por lo que el sistema no tiene soluci´n s´ α = −3 ya que la ultima
o ı ´
fila se convierte en 0 0 0 | −6 .
5
Ejemplo. Una aplicaci´n del c´lculo, en el cual a veces se requiere partir una expresi´n como lo es
o a o en
(x − 1)(x2 + 4)
Z W
una suma de fracciones sin la multiplicaci´n en el denominador, as´
o ı + 2 . Para hacer esto vamos a usar una
x−1 x +4
t´cnica llamada fracciones parciales, donde en el numerador de cada factor lineal ponemos una constante (no conocida) y en
e
el numerador de cada factor cuadr´tico irreducible ponemos un factor lineal, por la fracci´n vamos a expresar de la siguiente
a o
manera
5 A Bx + C
2 + 4)
= + 2
(x − 1)(x x−1 x +4
Donde A, B, C son las constantes que queremos hallar; resolviendo la suma de fraccionaros tenemos
5 Ax2 + 4A + Bx2 − Bx + Cx − C
=
(x − 1)(x2 + 4) (x − 1)(x2 + 4)
Para que estas fracciones sean iguales los numeradores deben ser iguales y haciendo comparaci´n de polinomios (por potencias
o
de x) tenemos
5 + 0x + 0x2 = (4A − C) + (C − B)x + (A + B)x2
Obteniendo
0=A+B En x2
0=C −B En x
5 = 4A − C En 1
7
9. SISTEMAS DE ECUACIONES Y MATRICES EJERCICIOS PROPUESTOS
Lo que es un sistema de tres ecuaciones con tres inc´gnitas A, B, C, el cual resolvemos con Gauss- Jordan
o
1 1 0 | 0 1 1 0 | 0 1 1 0 | 0
0 −1 1 | 0 R3 → R3 − 4R1 0 −1 1 | 0 R2 → −R2 0 1 −1 | 0 R3 → R3 + 4R2
−− − − − −
− − − − −→ −−−−
−−−→ −− − − − −
− − − − −→
4 0 −1 | 5 0 −4 −1 | 5 0 −4 −1 | 5
1 1 0 | 0 1 1 0 | 0 1 1 0 | 0
0 1 −1 | 0 R3 → −1 R3 0 1 −1 | 0 R2 → R2 + R3 0 1 0 | −1 R1 → R1 − R2
5 −− − − −→
−−−−− −−−−−→
−−−−−
0 0 −5 | 5 − − − − → 0 0
−−−− 1 | −1 0 0 1 | −1
1 0 0 | 1
0 1 0 | −1
0 0 1 | −1
Entonces la soluci´n del sistema es A = 1, B = −1, C = −1 es decir que
o
5 1 x+1
= −
(x − 1)(x2 + 4) x − 1 x2 + 4
Secci´n 2: SISTEMAS HOMOGENEOS
o
Definici´n.
o Un sistema homog´neo es un sistema en el que todos los resultados son 0. Es decir un sistema de la forma
e
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + · · · + a1m xm = 0 (7)
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + · · · + a2m xm = 0
a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 + · · · + a3m xm = 0
.
. = .
.
. .
an1 x1 + an2 x2 + an3 x3 + · · · + anm xm = 0
Los sistemas homog´neos son importantes porque siempre tienen soluci´n y esa soluci´n es poner todas las inc´gnitas iguales
e o o o
a 0.
Ejemplo. el sistema
2x1 + 2x2 + x3 = 0
x1 − 2x2 − x3 = 0
Es un sistema homog´neo de 3 inc´gnitas con dos ecuaciones, como sabemos que no es inconsistente, podemos afirmar que
e o
tiene infinitas soluciones porque m´ximo tiene dos pivotes y son tres inc´gnitas.
a o
Secci´n 3: EJERCICIOS PROPUESTOS
o
1. Solucione el siguiente sistema
3x + 2y + z = 7
x−y−z =5
x + y − 2z = −1
8
10. SISTEMAS DE ECUACIONES Y MATRICES EJERCICIOS PROPUESTOS
2. Solucione el siguiente sistema
x + 2y = 0
x−y =3
x − 2y = 4
3. Determine los valores de α para que el sistema:
αx + y + z = 1
x + αy + z = 1
x + y + αz = 1
Tenga:
(a) Unica soluci´n
o
(b) No tenga soluci´n
o
4. Dadas dos rectas:
λ1 : y = ax + b
λ2 : y = cx + d
Utilice sistemas de ecuaciones para expresar condiciones para que las rectas sean paralelas y diferentes, y para que las
rectas no sean paralelas.
5. Dos obreros trabajan 8 horas diarias en la misma empresa. El primero gana $500 diarios menos que el segundo, pero ha
trabajado durante 30 jornadas mientras que el primero s´lo 24. Si el primero ha ganado $33.000 m´s que el segundo,
o a
calcula el salario diario de cada obrero.
6. Dado el siguiente sistema:
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2
a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 = b3
Determine condiciones sobre los aij para que el sistema tenga unica soluci´n.
´ o
7. Puede un sistema con mas inc´gnitas que ecuaciones tener:
o
´
(a) Unica soluci´n
o
(b) Infinitas soluciones
(c) Ninguna soluci´n
o
Explique claramente y escriba por lo menos un ejemplo
8. Puede un sistema con m´s ecuaciones que inc´gnitas tener:
a o
´
(a) Unica soluci´n
o
(b) Infinitas soluciones
(c) Ninguna soluci´n
o
Explique claramente y escriba por lo menos un ejemplo.
9