Este documento presenta varios problemas de sistemas de ecuaciones lineales y matrices. En menos de 3 oraciones: El documento contiene la resolución de varios sistemas de ecuaciones lineales dependientes de parámetros, así como cálculos con matrices como productos y ecuaciones matriciales. Se discuten las soluciones de acuerdo a los valores de los parámetros y se resuelven ejemplos numéricos.

1. PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD
SISTEMAS DE ECUACIONES Y MATRICES.
1998 JUNIO (opción A)
Se da el sistema
x + my + z = 2 

mx + 2 z = 4 
x + y + z = 2 
a) Hállense los valore de m para los que sea compatible.
b) Resuélvase, si es posible, para m=2.
Solución:
a) Para m=2 y m=1 es Compatible Indeterminado.
Para el resto de valores es Compatible Determinado.
b) x =−
2 k y =0 z =k k ∈
ℜ
1998 JUNIO (opción B)
Los estudiantes de cierto curso venden camisetas, gorras y banderines para ayudarse a pagar un viaje.
Cada camiseta se vende a 800 pesetas, cada gorra a 120 pesetas y cada banderín a 200 pesetas. Los costes
de cada prenda son de 300 pesetas por camiseta, 20 pesetas por gorra y 80 pesetas por banderín. El
beneficio neto obtenido es de 67.400 pesetas y el gasto total es de 34.600 pesetas. Sabiendo que se han
vendido un total de 270 unidades en conjunto, calcúlese cuántas se han vendido de cada clase.
Solución:
100 camisetas, 150 gorras y 20 banderines
1998 JUNIO (opción B)
En un colegio se imparten los cursos 1º, 2º y 3º de ciertas enseñanzas. Los profesores tienen asignado un
número de horas de clase, tutorías y guardias a cubrir de acuerdo con la siguiente matriz:
clase guardias tutorías
1º  20 5 3
 
M = 2º  18 6 5
3º  22
 1 2

El colegio paga cada hora de clase a 2.000 pesetas, cada hora de guardia a 500 pesetas y cada hora de
tutoría a 1.000 pesetas, según el vector:
 2.000 
 
C =  500 
1.000 
 
El colegio dispone de 5 profesores para primer curso, 4 para segundo y 6 para tercero, reprensados por el
vector:
(
P =5 4 6)
Calcúlense cada uno de los siguientes productos de matrices e interprétense los resultados.
a) P·M b) M·C c) P·M·C
Solución:

2.  45.500 
 
a) P⋅ (
M =304 55 47 ) b) M ⋅ C =  44.000  c) P ⋅M ⋅C =682.500
 46.500 
 
P ⋅M Indica el nº de horas de clase, de guardías y de tutorías en el colegio.
M ⋅C
Indica lo que el colegio abona a un profesor según imparta en 1º, 2º o 3º.
P ⋅M ⋅C
Indica el gasto total del colegio en los profesores.
1998 SEPTIEMBRE (Opción A)
−2 1 
Sea la matriz A =
 −1 
 −1

a) Halla una matriz B tal que A − B =A
1
 x  my 1
b) Discute según los valores de m, el sistema
A+ =
y2z
c) Resuelve el sistema anterior en aquellos casos en los que sea compatible.
3 −3 
Solución: a) B= 
3 0 
 b) rg(A)=2, para todo valor de m ⇒ Sistema Compatible
 
Indeterminado
7 + ( m +1)t 3 + (m +3)t
c) x= ; y=t ; z= t real
2 4
1998 SEPTIEMBRE (Opción B)
Tres recipientes A, B y C, almacenan un total de 72 litros de disolvente. El recipiente A contiene
la tercera parte de la cantidad que hay en B y C juntos. Si de B se pasan 4 litros a C y 6 litros a A, se
igualan las cantidades que hay en cada recipiente.
a) Plantea el sistema de ecuaciones lineales que proporcionan las cantidades de disolvente que
había inicialmente en cada recipiente.
b) Resuelve el sistema anterior

3. Solución:
b) Recipiente A: 18 litros ; B: 34 litros ; C: 20 litros
1999 JUNIO (opción B)
x −y + z = 6

Se considera el sistema −x −y +(a − 4)z = 7
x +y + 2z = 11

a) Discútase según los valores del parámetro real a.
b) Resuélvase para a = 4
Solución:
a) Para a=2 es Incompatible.
Para el resto de valores es Compatible Determinado.
b) ( x= -5 ; y = -2 ; z=9)
1999 SEPTIEMBRE (Opción )
 1 0 0
 
Sea la matriz A = 1 / 10 1 0 .
1 / 10 0 1
 
a) Calcúlese A + A2.
 x   20 
   
b) Resuélvase el sistema: A  y = 5 
5
z  1 
   
Solución:
 2 0 0
 
a) 3 10 2 0 b) x =20 y =−
5 z =−
9
3 10 0 2
 
2000 JUNIO (opción A)
Siendo a un número real cualquiera, se define el sistema:
x + 2 y − az = 1

− y+ z= 0 
ax + z = a  
a) Discútase dicho sistema en función del valor de a.
b) Encuéntrense todas sus soluciones para a=1.
Solución:
a) Si a ≠1
es Compatible Determinado Si a =1
es Compatible Indeterminado
b) x = k
1− y =
k z =
k ;k ∈
ℜ

4. 2000 SEPTIEMBRE (opción A)
Una empresa desea disponer de dinero en efectivo en euros, dólares y libras esterlinas. El valor total entre
las tres monedas ha de ser igual a 264.000 euros. Se quiere que el valor del dinero disponible en euros sea
el doble del valor del dinero en dólares, y que el valor del dinero en libras esterlinas sea la décima parte
del valor del dinero en euros.
Si se supone que una libra esterlina es igual a 1,5 euros y un dólar es igual a 1,1 euros, se pide determinar
la cantidad de euros, dólares y libras esterlinas que la empresa ha de tener disponible.
Solución:
165.000 Euros, 11.000 libras, 75.000 dólares.
2001 JUNIO (opción A)
Considérese el sistema de ecuaciones dependientes del parámetro real a:
ax + y + z = 1 

x + ay + z = a 
x + y + az = a 2 

a) Discútase el sistema según los valores de a.
b) Resuélvase el sistema para a= −1 .
Solución:
a) Si a ≠1
y es Compatible Determinado,
a ≠ 2
−
si a =1
es Compatible Indeterminado y si a = 2
−
es Incompatible.
b) x =0 y =
1 z =0
2001 SEPTIEMBRE (opción A)
Sean las matrices:
4 −3 −3  3 2 −1 
   
A = 5 −4 −4  B = 1 1 1 
−1 1 0  1 0 −3
   
a) Determínese si A y B son invertibles y, en su caso, calcúlese la matriz inversa.
b) Resuélvase la ecuación matricial XA − = I
B 2 , siendo I la matriz identidad de orden tres.
c) Calcúlese A . 86
Solución:
4 −3 0   27 − 20 3 4 −3 0 
     
a) A −1 = 4 −3 1  B no tiene b) X = 17 −13 2 c) A86 = 4 −3 1 
1 −1 −1 3 −2 1 1 −1 −1
     

5. 2001 SEPTIEMBRE (opción B)
Un hipermercado inicia una campaña de ofertas. En la primera de ellas descuenta un 4% en un
cierto producto A, un 6% en el producto B y un 5% en el producto C. A las dos semanas pone en marcha
la segunda oferta descontando un 8% sobre el precio inicial de A, un 10% sobre el precio inicial de B y
un 6% sobre el precio inicial de C.
Se sabe que si un cliente compra durante la primera oferta un producto A, dos B y tres C se
ahorra 16 euros respecto del precio inicial. Si compra 3 productos A, uno B y cinco C en la segunda
oferta, el ahorro es de 29 euros. Si compra un producto A, uno B y uno C, sin ningún tipo de descuento,
debe abonar 135 euros.
Calcúlese el precio de cada producto antes de las ofertas.
Solución:
Producto A: 25€ ; Producto B: 50 € ; Producto C: 60 €.
2002 JUNIO (opción A)
Dadas las matrices:
 3  x  4 
     
(
A =2 1 −)
1 B =  − 2 X =  y C =  − 2
 1  z  0 
     
a) Calcular las matrices M=A·B y N=B·A.
b) Calcular P , siendo P =N − ) , donde
−1 ( I I
representa la matriz identidad.
c) Resolver el sistema PX =
.
C
Solución:
 6 3 −3   2 1,5 −1,5 
   
a) M =3 N = − 4 −2 2  b) P −1 = −2 −2 1  c) x=5 y=-4 z=3
 2 1 −1   1 0,5 −1,5 
   
2002 SEPTIEMBRE (opción A)
Encontrar todas las matrices X tales que AX = XA, siendo:
1 0
A =
4 
 2

Solución:
k 0 
X = 4k + t  k,t ∈
ℜ
t 
 4 
2003 JUNIO (opción A)
Estudiar y resolver el siguiente sistema lineal de ecuaciones:

6. x + 2 y + z = 0

− x− y = 1 
− y − z = −1  
Solución:
Es Compatible Indeterminado x = + y = k
− k
2 1− z =
k ;k ∈
ℜ
2003 SEPTIEMBRE (opción A)
Calcular los valores de a para los cuales la inversa de la matriz
1 a 4
A=  
5 − 4
 a

coincide con su traspuesta.
Solución:
a = 3
±
2004 JUNIO (opción B)
Hallar todas las matrices
a 0
X =
b  a, b, c ∈ℜ
 c

que satisfacen la ecuación matricial
X 2
=2 X
Solución:
2 0 0 0 0 0 2 0

b 0
 , 
b 2 
 , 
0 0
 , 
0 2
 donde b es cualquier nº real
       
2004 SEPTIEMBRE (opción A)
Se considera el sistema lineal de ecuaciones dependiente del parámetro real m.
 mx + y − 3z = 5

− x+ y+ z = −4
 x + my − mz = 1

a) Discútase el sistema según los diferentes valores del parámetro m.
b) Resuélvase el sistema para m=2.
Solución:
a) Si m ≠2
y m ≠ 1
−
es Compatible Determinado Si m = 1
−
es Incompatible
Si m =2
es Compatible Indeterminado
9 + 4k −3 + k
b) x= y= z =k k ∈ℜ
3 3

7. 2005 JUNIO (opción A)
Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones, dependiente del parámetro real k
 2x − 3y + z = 0

 x − ky − 3x = 0
 5x + 2 y − z = 0

Se pide:
a) Discutir el sistema para los distintos valores de k.
b) Resolver el sistema en los casos en los que sea posible.
Solución:
a) Si k ≠ 8
−
es Compatible Determinado, Si k = 8
−
es Compatible Indeterminado
b) Si k ≠ 8
−
la solución es siempre x = y =z =
0 0 0
a 7a
Si k = 8
−
la soluciones son x= y= z =a ; a ∈ℜ
19 19
2005 SEPTIEMBRE (opción B)
Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones que depende del parámetro real p.
x+ y+ z = 0

 − x + 2 y + pz = − 3
 x − 2y − z = p

a) Discutir el sistema según los distintos valores de p.
b) Resolver el sistema para p = 2.
Solución:
a) Si p ≠1
es Compatible Determinado Si p =1
es Incompatible
b) x = y = z =
1 0 −
1
2006 JUNIO (opción B)
Encontrar todas la matrices X cuadradas 2x2 que satisfacen la igualdad:
XA =AX
en cada uno de los casos siguientes:
1 0
a) A =
0 
 3

0 1
b) 
A = 
3 0

Solución:

8. k 0 k t
a) 
0  k , t ∈ℜ b)   k, t ∈ℜ
 t

3t
 k

2006 SEPTIEMBRE (opción B)
Se considera el sistema lineal de ecuaciones dependiente del parámetro real a.
 x + y + 2z = 2

 − 2x + 3 y + z = 1
 − x + ay + 3z = 3

a) Discutir el sistema según los distintos valores de a.
b) Resolver el sistema para a = 2.
Solución:
a ≠4 a =
a) Si es Compatible Determinado Si es Compatible Indeterminado
4
( x = ; y =; z =
0 0 1)
b)
2007 JUNIO (opción A)
Se considera el sistema lineal de ecuaciones, dependiente del parámetro real a:
 x − 2y + z = 0

 3x + 2 y − 2 z = 3
 2 x + 2 y + az = 8

a) Discutir el sistema para los distintos valores de a
.
b) Resolver el sistema para . a =4
Solución:
7 7
a) para a=− es Incompatible, para a≠− es Compatible Determinado
4 4
b) x =
1 y =
1 z =
1
2007 SEPTIEMBRE (opción A)
Dado el sistema lineal de ecuaciones, dependiente del parámetro real a
:
 x + ay + z = 1

 2 y + az = 2
x+ y+ z = 1

a) Discutir el sistema para los distintos valores de a .
b) Resolver el sistema para y a =3
. a =1

9. Solución:
a) Si a =1
es Compatible Indeterminado; Si a =0
es Incompatible ;
Si a ≠1
y es Compatible Determinado.
a ≠0
1 2
b) Para a =3
; x= y =0 z=
3 3
−k 2 −k
Para a =1
; x= y= z =k k ∈ℜ
2 2