Este documento introduce conceptos básicos de álgebra lineal como sistemas de ecuaciones lineales, matrices y operaciones con matrices. Explica cómo los sistemas de ecuaciones pueden representarse mediante tablas de números llamadas matrices. Define conceptos como suma, producto y transposición de matrices. También introduce tipos especiales de matrices como matrices nulas, diagonales, unitarias y triangulares.

1. 1
´
Tema 1. Algebra lineal. Matrices
0.1 Introducci´n
o
Los sistemas de ecuaciones lineales aparecen en un gran n´mero de situaciones. Son
u
conocidos los m´todos de resoluci´n de los mismos cuando tienen dos ecuaciones y dos
e o
inc´gnitas que se estudian en la ense˜anza secundaria: los de reducci´n, sustituci´n e
o n o o
igualaci´n. Ahora se trata de ver c´mo puede procederse cuando hay mayor n´mero de
o o u
ecuaciones y de inc´gnitas simplificando lo m´s posible la escritura.
o a
La forma de resolver un sistema consiste en realidad en ir sustituyendo el sistema por
otro equivalente (es decir, que tenga las mismas soluciones) pero que vaya siendo cada vez
m´s sencillo, hasta llegar a uno que sepamos resolver. Las operaciones que transforman
a
un sistema en otro equivalente son esencialmente dos:
1. Multiplicar una ecuacion por un n´mero distinto de 0.
u
2. Sumar una ecuaci´n a otra.
o
Consideremos el siguiente ejemplo:

 3x +2y = 8
(0.1)
 2x +4y = 5
Se puede proceder as´ se multiplica la primera ecuaci´n por 2 y la segunda por −3. Se
ı: o
obtiene as´ el sistema equivalente
ı

 6x +4y = 16
; (0.2)
 −6x −12y = −15
sustituimos la segunda ecuaci´n por la suma de las dos, y resulta
o

 6x +4y = 16
(0.3)
 −8y = 1
Este sistema se llama triangular y ya se sabe resolver: se despeja la y en la segunda
ecuaci´n, se sustituye en la primera y en ´sta se despeja la x; resulta
o e

 y = −1

8 (0.4)
 6x + 4 − 1 = 16 =⇒ 6x = 33 =⇒ x = 11

8 2 4

2. 2
Obs´rvese que puede evitarse modificar la primera ecuaci´n y actuar s´lo sobre la segunda:
e o o
  
 3x +2y = 8  3x +2y = 8  3x +2y = 8
=⇒ =⇒ (0.5)
 2x +4y = 5  −3x −6y = − 15 (− 3 )  −4y = 1
2 2 2
N´tese tambi´n que todo se simplifica si se omite la escritura de las inc´gnitas y se escriben
o e o
s´lo los coeficientes. As´ (0.5) puede escribirse
o ı,
     
3 2 8 3 2 8 3 2 8
  =⇒   =⇒   (0.6)
2 4 5 −3 −6 − 15 2
1
0 −4 2
con el convenio de que la primera columna representa los coeficientes de x, la segunda los
coeficientes de y y la tercera los t´rminos independientes. De esta manera llegamos a las
e
tablas de n´meros que reciben el nombre gen´rico de matrices.
u e
0.2 Matrices.
Definici´n 0.1 Una matriz es una estructura
o rectangular de n´meros
u
 
a a12 . . . a1n
 11 
 
 a21 a22 . . . a2n 
A= 

 (0.7)
 ... ... ... ... 
 
am1 am2 . . . amn
Los valores aij se llaman los elementos de la matriz. La matriz completa se representa
por (aij ). Si la matriz tiene m filas y n columnas, se dice que tienen dimensi´n m × n.
o
Definici´n 0.2 Dos matrices son iguales si tienen la misma dimensi´n y los elementos
o o
que ocupan el mismo lugar en ambas son iguales.
Otros nombres que deben conocerse:
• Si el n´mero de filas es igual que el n´mero de columnas, la matriz se llama cuadrada.
u u
A ese n´mero (el de filas o el de columnas) se le llama el orden de la matriz cuadrada.
u
• Se llama matriz fila aqu´lla que tiene una sola fila, por ejemplo
e
A= 3 −1 2 0 5

3. 3
• Se llama matriz columna aqu´lla que tiene una sola columna, por ejemplo
e
 
3
 
 
 −1 
 
 
A= 2 
 
 
 0 
 
5
• En una matriz cuadrada se llama diagonal principal al conjunto de los elementos de
la forma aii .
• Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A, y se representa por At , a la
que se obtiene cambiando las filas y las columnas, por ejemplo
 
3 −1
 
   
 −1 −1 
3 −1 2 0 5  
A=   =⇒ At =  2
 2


−1 −1 2 3 4  
 
 0 3 
 
5 4
Si la dimensi´n de A es m × n, la de At es n × m.
o
• Una matriz cuadrada se llama sim´trica si
e es igual a su traspuesta, por ejemplo
 
3 −1 3
 
 
A =  −1 −1 2 
 
3 2 0
• Se llama matriz nula aqu´lla cuyos elementos son 0; por ejemplo
e
 
0 0 0
A= 
0 0 0
es la matriz nula de dimensi´n 2 × 3.
o
• Se llama matriz diagonal a la matriz cuadrada que tiene nulos todos los t´rminos
e
que no est´n en la diagonal principal, por ejemplo
a
   
3 0 0 3 0 0
   
   
A =  0 −1 0  o A= 0 0 0 
   
0 0 5 0 0 5

4. 4
• Se llama matriz unidad o matriz identidad a la matriz diagonal que tiene todos los
elementos de la diagonal principal igual a 1; por ejemplo
 
1 0 0
 
 
A= 0 1 0 
 
0 0 1
es la matriz unidad de orden 3.
• Se llama matriz triangular superior (inferior) a toda matriz cuadrada que tiene
nulos todos los t´rminos que est´n por debajo (encima) de la diagonal principal,
e a
por ejemplo
   
3 1 −2 3 0 0
   
   
A =  0 −1 3  o A =  2 −1 0 
   
0 0 5 5 3 1
0.3 Operaciones con matrices: suma, producto por
un n´ mero y diferencia.
u
Definici´n 0.3 Sean A = (aij ) y B = (bij ) dos matrices de la misma dimensi´n. Se
o o
define la suma de A y B, C = A + B, como aquella matriz C de la misma dimensi´n tal
o
que
cij = aij + bij 1≤i≤m 1≤j≤n
Si las matrices no tienen la misma dimensi´n, no se pueden sumar.
o
Ejemplo 0.4
     
3 1 −2 −2 1 1 1 2 −1
 + = 
0 −1 3 3 −2 3 3 −3 6
Definici´n 0.5 Sea A = (aij ) una matriz de dimensi´n m × n cualquiera y λ un n´mero
o o u
real. Se define el producto de λA, C = λA, como aquella matriz C de la misma dimensi´n
o
tal que
cij = λaij 1≤i≤m 1≤j≤n
En particular, cuando λ = −1, se obtiene la matriz opuesta de A, −A.

5. 5
Ejemplo 0.6    
3 1 −2 −6 −2 4
−2  = 
0 −1 3 0 2 −6
Definici´n 0.7 Se define la diferencia entre A y B, A − B = A + (−B).
o
0.4 Producto de matrices.
Vamos a definir el producto de matrices de una forma aparentemente extra˜a, pero que
n
se revela luego que es la m´s util para las aplicaciones. Este producto no va a permitir
a ´
multiplicar dos matrices cualesquiera. Se necesitar´ que el n´mero de columnas del primer
a u
factor coincida con el n´mero de filas del segundo; y la matriz producto tendr´ tantas
u a
filas como ten´ el primer factor y tantas columnas como ten´ el segundo. La definici´n
ıa ıa o
es la siguiente:
Definici´n 0.8 Sean A = (aij ) una matriz de dimensi´n m × n y B = (bij ) una matriz
o o
de dimensi´n n × p. Se define el producto C = AB como la matriz C = (cij ) de dimensi´n
o o
m × p definida por
cij = ai1 b1j + ai2 b2j + · · · + ain bnj 1≤i≤m 1≤j≤p
Ejemplo 0.9  
  −2 1
3 1 −2  
  3


−2  =
0 −1 3  
1 0
   
3(−2) + 1 · 3 + (−2)1 3 · 1 + 1(−2) + (−2)0 −5 1
 = 
0(−2) + (−1)3 + 3 · 1 0 · 1 + (−1)(−2) + 3 · 0 0 2
El siguiente ejemplo muestra la utilidad del producto de matrices y la raz´n por la
o
que se define de esta manera. Supongamos que deseamos hallar los n´meros x1 , x2 que
u
verifican  
 3x −2x = y  5y −y2 =6
1 2 1 1
siendo (0.8)
 4x +x = y  −y +3y2 = 7
1 2 2 1
Una forma de atacar el problema es, por supuesto, resolver el segundo sistema, sustituir
en el primero los valores de y1 y2 hallados y resolver el primer sistema tambi´n. Pero m´s
e a

6. 6
directo es sustituir en el segundo sistema las expresiones de y1 y2 dadas por el primer
sistema y as´ obtener lo siguiente
ı

 5(3x − 2x ) − (4x + x ) = 6
1 2 1 2
=⇒
 −(3x − 2x ) + 3(4x + x ) = 7
1 2 1 2
 
 (5 · 3 + (−1)4)x +(5(−2) + (−1)1)x2 = 6  11x −11x = 6
1 1 2
=⇒
 ((−1)3 + 3 · 4)x +((−1)(−2) + 3 · 1)x = 7  9x +5x2 = 7
1 2 1
De este modo hay que resolver un solo sistema. Pues bien, con el c´lculo matricial se
a
simplifica la escritura. El problema (0.8) se escribe:
         
3 −2 x1 y1 5 −1 y1 6
  =  siendo    =   (0.9)
4 1 x2 y2 −1 3 y2 7
Sustituyendo el t´rmino independiente del primer sistema en el segundo, resulta
e
          
5 −1 3 −2 x1 6 11 −11 x1 6
    =   =⇒   = 
−1 3 4 1 x2 7 9 5 x2 7
Se comprobar´ en los diversos ejercicios que la multiplicaci´n de matrices no es conmu-
a o
tativa; por ejemplo, el producto de las dos matrices del ultimo ejemplo en orden contrario,
´
da una matriz cuadrada de orden 3. Sin embargo, el producto de matrices s´ es asociativo,
ı
es decir, para multiplicar tres matrices (que se puedan multiplicar, es decir, de manera
que el n´mero de columnas de la primera coincida con el n´mero de filas de la segunda
u u
y el n´mero de columnas de la segunda coincida con el n´mero de filas de la tercera) se
u u
puede hacer
ABC = (AB)C = A(BC).
0.5 Sistemas de ecuaciones lineales.
Un sistema de m ecuaciones lineales con n inc´gnitas se puede escribir
o

 a11 x1 +a12 x2 + . . . +a1n xn = b1





 a x +a22 x2 + . . . +a2n xn = b2
21 1
(0.10)
 ...
 ... +... ... ...




 a x +a x + . . . +a x = b
m1 1 m2 2 mn n m

7. 7
Los n´meros aij son los coeficientes del sistema, Los n´meros b1 , ..., bm son los t´rminos
u u e
independientes y x1 , ..., xn son las inc´gnitas del sistema. Cuando todos los t´rminos
o e
independientes son nulos, el sistema se llama homog´neo.
e
Definici´n 0.10 Una soluci´n del sistema es un conjunto ordenado de n´meros {s1 , ..., sn }
o o u
tal que si se sustituye la letra x1 por el n´mero s1 , la letra x2 por el n´mero s2 , ..., la
u u
letra xn por el n´mero sn , se verifican las m igualdades.
u
Si un sistema no tiene soluci´n, se llama incompatible; por ejemplo,
o

 x +x = 1
1 2
 x +x = 2
1 2
es incompatible, porque dos n´meros no pueden sumar a la vez 1 y 2. Si un sistema tiene
u
al menos una soluci´n, se llama compatible. Y dentro de ´stos, se llamar´ compat-
o e a
ible determinado, si tiene una sola soluci´n (como por ejemplo (0.1)) o compatible
o
indeterminado, si tiene m´s de una soluci´n (como por ejemplo el sistema formado por
a o
la ecuaci´n x + y = 1). De hecho todo sistema compatible indeterminado tiene infinitas
o
soluciones, como se ver´ despu´s.
a e
Utilizando la notaci´n matricial que conocemos, el sistema lineal puede escribirse del
o
modo siguiente. Llamamos matriz del sistema a la matriz
 
a a12 . . . a1n
 11 
 
 a21 a22 . . . a2n 
A= 


 ... ... ... ... 
 
am1 am2 . . . amn
formada por los coeficientes y matriz ampliada a la matriz
 
a a12 . . . a1n b1
 11 
 
 a21 a22 . . . a2n b2 
A = 


 ... ... ... ... ... 
 
am1 am2 . . . amn bm
Entonces (0.10) puede escribirse :
    
a a12 ... a1n x b1
 11   1   
     
 a21 a22 ... a2n   x2   b2 
   =  (0.11)
     
 ... ... ... ...   ...   ... 
     
am1 am2 ... amn xn bm

8. 8
Las transformaciones de las que habl´bamos en la Introducci´n que convierten los
a o
sistemas en equivalentes son las que se llaman transformaciones de filas, que son tres:
1. Multiplicar una fila por un n´mero no nulo. Si la fila i se multiplica por k, escribire-
u
mos Fi → kFi .
2. Sumarle a una fila otra u otra multiplicada por un n´mero no nulo. Si la fila i se
u
sustituye por la suma de ella misma y de la fila j multiplicada por k, escribiremos
Fi → Fi + kFj .
3. Cambiar de orden dos filas. Si intercambiamos las filas i y j, escribiremos Fi ↔ Fj .
Estas transformaciones aplicadas a la matriz ampliada de un sistema, lo transforman en
otro equivalente. As´ por ejemplo, las transformaciones de (0.1), (0.2) y (0.3), se pueden
ı
expresar brevemente
     
3 2 8 6 4 16 6 4 16
  ∼  ∼  (0.12)
2 4 5 F1 →2F1 −6 −12 −15 0 −8 1
F2 →−3F2 F2 →F2 +F1
0.6 El m´todo de Gauss para la resoluci´n de sis-
e o
temas lineales.
El m´todo de Gauss es un m´todo que permite conocer si un sistema lineal es compatible
e e
o incompatible y resolverlo en el primer caso. Lo hace transformando el sistema propuesto
en otro que sea equivalente y triangular, que se sabe resolver de forma an´loga a como
a
hicimos en la Introducci´n. Explicamos el m´todo sobre un ejemplo. Supongamos que
o e
pretendemos resolver 
 x +y −2z = 9



2x −y +4z = 4 (0.13)



 2x −y +6z = −1
cuya matriz ampliada es  
1 1 −2 9
 
 
 2 −1 4 4 .
 
2 −1 6 −1

9. 9
Utilizando el t´rmino a11 , transformamos el sistema en uno equivalente que tenga nulos
e
los elementos de la primera columna que est´n por debajo de ´l:
a e
   
1 1 −2 9 1 1 −2 9
   
   
 2 −1 4 4  ∼  0 −3 8 −14 .
   
2 −1 6 −1 F2 →F2 −2F1 0 −3 10 −19
F3 →F3 −2F1
Utilizando ahora el t´rmino a22 , transformamos el sistema en uno equivalente que tenga
e
nulos los elementos de la segunda columna que est´n por debajo de ´l:
a e
   
1 1 −2 9 1 1 −2 9
   
   
 0 −3 8 −14  ∼  0 −3 8 −14  .
   
0 −3 10 −19 0 0 2 −5
F3 →F3 −F2
El sistema es, pues, equivalente a

 x
 +y −2z =9


−3y +8z = −14 , (0.14)



 2z = −5
que se resuelve de abajo a arriba obteni´ndose la soluci´n unica
e o ´
5
z=− y = −2 x = 6.
2
El sistema es compatible determinado.
Aplicamos el m´todo al ejemplo siguiente
e

 2x −y +z
 =3


4x −4y +3z = 2 (0.15)



 2x −3y +2z = 1
Quedar´
ıa:
     
2 −1 1 3 2 −1 1 3 2 −1 1 3
     
     
 4 −4 3 2  ∼  0 −2 1 −4  ∼  0 −2 1 −4 
     
2 −3 2 1 F2 →F2 −2F1 0 −2 1 −2 0 0 0 2
F3 →F3 −F1 F3 →F3 −F2
El sistema es equivalente a 
 2x
 −y +z =3


−2y +z = −4 . (0.16)



 0z =2

10. 10
La ultima ecuaci´n es claramente imposible de verificar. El sistema es incompatible.
´ o
Apliquemos por ultimo el m´todo
´ e al sistema

 x
 −3y +z =4


x −2y +3z =6 (0.17)



 2x −5y +4z = 10
Resultar´
ıa:
     
1 −3 1 4 1 −3 1 4 1 −3 1 4
     
     
 1 −2 3 6  ∼ 0 1 2 2  ∼ 0 1 2 2 
     
2 −5 4 10 F2 →F2 −F1 0 1 2 2 0 0 0 0
F3 →F3 −2F1 F3 →F3 −F2
La ultima ecuaci´n se verifica de forma trivial de modo que el sistema es equivalente a
´ o

 x −3y +z = 4
(0.18)
 y +2z = 2
Para resolver este sistema, se introduce el par´metro λ = z y se resuelve el sistema
a

 x −3y = 4 − λ
(0.19)
 y = 2 − 2λ
cuya soluci´n es
o
z = λ, y = 2 − 2λ, x = 10 − 7λ ∀λ ∈ R
El sistema es compatible indeterminado.
El t´rmino de la diagonal que se utiliza para anular los t´rminos de la columna que
e e
est´n por debajo de ´l, recibe el nombre de pivote.
a e
0.7 Determinantes.
A las matrices cuadradas se les asocia un n´mero, llamado determinante de la matriz,
u
que resulta muy util para bastantes cuestiones. Este n´mero se representa escribiendo
´ u
los elementos de la matriz entre dos barras verticales (en vez de entre par´ntesis). Lo
e
definiremos para las matrices cuadradas de orden 2 y 3 e indicaremos c´mo se calcula
o
para matrices de mayor orden.

11. 11
Si A es una matriz cuadrada de orden 2, se define
a11 a12
= a11 a22 − a12 a21 (0.20)
a21 a22
Si A es una matriz cuadrada de orden 3, se define
a11 a12 a13
a21 a22 a23 = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − a13 a22 a31 − a12 a21 a33 − a11 a23 a32
a31 a32 a33
(0.21)
Si A es una matriz cuadrada de cualquier orden triangular, su determinante es el
producto de los t´rminos de la diagonal. Para calcular el determinante de una matriz
e
cuadrada cualquiera, se aplican las transformaciones de filas Fi → Fi + kFj hasta con-
vertirla en una matriz triangular; entonces, el determinante de la matriz triangular es el
determinante de la matriz original.
Cuando un sistema lineal tiene el mismo n´mero de ecuaciones que de inc´gnitas, la
u o
matriz de ese sistema es cuadrada. Pues bien, si su determinante es distinto de 0, el sistema
es compatible determinado independientemente de c´mo sean los t´rminos independientes;
o e
estos sistemas se llaman sistemas de Cramer. Si el determinante es 0, entonces el sistema
es compatible indeterminado o incompatible seg´n sean los t´rminos independientes; en
u e
particular, en el caso del sistema homog´neo, resulta ser compatible indeterminado. El
e
resultado exacto que detalla todo lo que sucede es el Teorema de Rouch´-Frobenius que
e
se estudia en Bachillerato.