El documento trata sobre la aplicación del cálculo diferencial en la vida profesional de un ingeniero. Explica las nociones básicas del cálculo diferencial como la derivada y su uso para calcular pendientes e velocidades. Además, presenta los resultados de una encuesta realizada sobre la percepción que tienen los estudiantes sobre la utilidad del cálculo diferencial y sus aplicaciones en campos como la ingeniería.
El documento presenta una introducción a la resolución de ecuaciones diferenciales de primer orden, segundo orden y de orden superior. Explica métodos como separables, coeficientes indeterminados y variación de parámetros para resolver diferentes tipos de ecuaciones diferenciales. También aborda la resolución de ecuaciones diferenciales alrededor de puntos ordinarios usando series de Taylor.
Aplicacion del calculo diferencial en la vida diariaJulio René
El documento describe varias aplicaciones del cálculo diferencial en campos como la ingeniería, contabilidad, estadística, química y física. Se usa para encontrar máximos y mínimos, calcular probabilidades, reducir costos, modelar crecimiento poblacional y partes mecánicas, y en el desarrollo de chips y circuitos integrados. También se aplica para calcular velocidad, aceleración y variación de funciones.
La investigación describe los conceptos básicos de la cinemática y sus diferentes tipos de movimiento, como el movimiento rectilíneo uniforme, movimiento circular uniforme, y movimiento parabólico. Explica cómo la cinemática beneficia a los seres humanos al permitir entender y analizar los movimientos en la vida diaria. La conclusión es que la cinemática ha contribuido al desarrollo humano a través del estudio de los fenómenos de movimiento.
Aplicaciones de las series de fourier en el área de la ingeníeriaelen mora
La serie de Fourier se originó del trabajo de Jean-Baptiste Joseph Fourier para resolver la ecuación del calor. Se aplica a funciones periódicas y las descompone en la suma de senos y cosenos. Tiene muchas aplicaciones importantes como el análisis de señales en electrónica, procesamiento digital de señales, y diagnóstico médico automático mediante el análisis de ondas cardíacas.
El documento trata sobre las matemáticas en la ingeniería. Explica que el cálculo se deriva de la geometría griega y fue utilizado por Demócrito, Eudoxo y Arquímedes. Luego introduce conceptos como las derivadas parciales, que son útiles para determinar la velocidad de cambio de una función de varias variables con respecto a una variable en particular. Finalmente, detalla algunas aplicaciones de las derivadas parciales y las integrales múltiples en ingeniería, física y otras áreas.
APLICACION DE LA INTEGRAL DEFINIDA EN AREAS Y VOLUMENESfer123asdzxc
Este documento presenta diferentes métodos para calcular áreas y volúmenes utilizando la integración de funciones. Introduce el cálculo de áreas planas y volúmenes de revolución mediante los métodos de discos, arandelas y capas. Luego, presenta ejemplos para aplicar estos métodos al cálculo de áreas y volúmenes de funciones específicas.
Método de arandelas (Volumen de sólidos de revolución)Deigoz Fernändoz
Pequeña introducción al método de arandelas para el cálculo de volumen en un sólido de revolución, se presenta la teoría, la fórmula para el cálculo y la aplicación de esta en algunos ejericios.
Este documento presenta los resultados de un experimento realizado por un equipo de 6 estudiantes para determinar la constante elástica de un resorte. Colocaron masas individuales en el resorte y midieron las elongaciones resultantes, graficando luego los datos para encontrar la pendiente y así la constante elástica. Comprobaron que la deformación del resorte es proporcional a la fuerza aplicada, verificando la ley de Hooke.
El documento presenta una introducción a la resolución de ecuaciones diferenciales de primer orden, segundo orden y de orden superior. Explica métodos como separables, coeficientes indeterminados y variación de parámetros para resolver diferentes tipos de ecuaciones diferenciales. También aborda la resolución de ecuaciones diferenciales alrededor de puntos ordinarios usando series de Taylor.
Aplicacion del calculo diferencial en la vida diariaJulio René
El documento describe varias aplicaciones del cálculo diferencial en campos como la ingeniería, contabilidad, estadística, química y física. Se usa para encontrar máximos y mínimos, calcular probabilidades, reducir costos, modelar crecimiento poblacional y partes mecánicas, y en el desarrollo de chips y circuitos integrados. También se aplica para calcular velocidad, aceleración y variación de funciones.
La investigación describe los conceptos básicos de la cinemática y sus diferentes tipos de movimiento, como el movimiento rectilíneo uniforme, movimiento circular uniforme, y movimiento parabólico. Explica cómo la cinemática beneficia a los seres humanos al permitir entender y analizar los movimientos en la vida diaria. La conclusión es que la cinemática ha contribuido al desarrollo humano a través del estudio de los fenómenos de movimiento.
Aplicaciones de las series de fourier en el área de la ingeníeriaelen mora
La serie de Fourier se originó del trabajo de Jean-Baptiste Joseph Fourier para resolver la ecuación del calor. Se aplica a funciones periódicas y las descompone en la suma de senos y cosenos. Tiene muchas aplicaciones importantes como el análisis de señales en electrónica, procesamiento digital de señales, y diagnóstico médico automático mediante el análisis de ondas cardíacas.
El documento trata sobre las matemáticas en la ingeniería. Explica que el cálculo se deriva de la geometría griega y fue utilizado por Demócrito, Eudoxo y Arquímedes. Luego introduce conceptos como las derivadas parciales, que son útiles para determinar la velocidad de cambio de una función de varias variables con respecto a una variable en particular. Finalmente, detalla algunas aplicaciones de las derivadas parciales y las integrales múltiples en ingeniería, física y otras áreas.
APLICACION DE LA INTEGRAL DEFINIDA EN AREAS Y VOLUMENESfer123asdzxc
Este documento presenta diferentes métodos para calcular áreas y volúmenes utilizando la integración de funciones. Introduce el cálculo de áreas planas y volúmenes de revolución mediante los métodos de discos, arandelas y capas. Luego, presenta ejemplos para aplicar estos métodos al cálculo de áreas y volúmenes de funciones específicas.
Método de arandelas (Volumen de sólidos de revolución)Deigoz Fernändoz
Pequeña introducción al método de arandelas para el cálculo de volumen en un sólido de revolución, se presenta la teoría, la fórmula para el cálculo y la aplicación de esta en algunos ejericios.
Este documento presenta los resultados de un experimento realizado por un equipo de 6 estudiantes para determinar la constante elástica de un resorte. Colocaron masas individuales en el resorte y midieron las elongaciones resultantes, graficando luego los datos para encontrar la pendiente y así la constante elástica. Comprobaron que la deformación del resorte es proporcional a la fuerza aplicada, verificando la ley de Hooke.
1. Se calculan las fuerzas electrostática y gravitatoria entre dos partículas alfa separadas 10-11 m, resultando que la fuerza electrostática es mucho más intensa.
2. Se calcula la fuerza entre dos cargas A y B a 3 cm y 9 cm de separación utilizando la ley de Coulomb.
3. Se calcula el potencial eléctrico creado por una carga puntual q1=12 x 10-9 C en un punto a 10 cm de distancia, obteniendo un valor de +1,080 V.
Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden y aplicaciones(tema 1)Yerikson Huz
Este documento introduce conceptos básicos sobre ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden y sus aplicaciones. Explica que una ecuación diferencial contiene derivadas de funciones incógnitas, y el objetivo es encontrar las funciones que satisfacen la ecuación. También define términos como orden, grado, variable dependiente e independiente, y distingue entre ecuaciones diferenciales lineales y no lineales.
Este documento presenta un modelo matemático para predecir la evolución del número de estudiantes en la Escuela de Ciencias de la Computación usando el modelo de crecimiento poblacional de Malthus. Se recolectan datos de matrículas pasadas y se aplica el modelo para calcular el número de estudiantes en los próximos dos períodos, mostrando un decrecimiento.
Este documento presenta varios temas relacionados con la resolución de ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden. Explica métodos como el de los coeficientes indeterminados y la variación de parámetros para resolver ecuaciones homogéneas y no homogéneas. También cubre temas como ecuaciones diferenciales separables, lineales y alrededor de puntos ordinarios.
El documento describe los sistemas de control y la transformada de Laplace. Los sistemas de control son importantes en diversos sectores como la industria, el transporte y el hogar para lograr objetivos de manera segura y exacta. La transformada de Laplace es una herramienta matemática útil para analizar sistemas dinámicos lineales mediante la conversión de ecuaciones diferenciales en ecuaciones algebraicas.
APLICACIONES DE LA SERIE DE FOURIER EN EL AREA DE LA INGENIERIAwendybejarano02
Una serie de Fourier es una herramienta matemática que descompone funciones periódicas en una suma infinita de funciones sinusoidales más simples. Fue desarrollada por Jean-Baptiste Joseph Fourier y se usa en muchas áreas de ingeniería como análisis vibratorio, acústica, procesamiento de señales y telecomunicaciones.
Este documento presenta un proyecto de ingeniería civil sobre la aplicación de cálculo diferencial para calcular la viga de madera con mayor resistencia que se puede obtener de un tronco. Primero introduce el proyecto y explica la importancia del cálculo diferencial en ingeniería civil. Luego, describe el problema a resolver, los objetivos y el marco teórico, incluyendo conceptos como derivadas, máximos, resistencia de vigas y métodos de cálculo. Finalmente, detalla la metodología y desarrollo del proyecto.
Problemas de campo eléctrico entre placas metálicasJuan Ramírez
El documento presenta dos problemas de física sobre campos eléctricos. El primero involucra una partícula cargada que pasa a través de dos placas paralelas con carga. La fuerza sobre la partícula se calcula como 1.28 x 10-14 N. El segundo problema determina la carga sobre una esfera suspendida entre placas cargadas como 4.24 x 10-9 C.
Este documento trata sobre problemas de electroestática relacionados con cargas puntuales, lineales y superficiales. Incluye 7 problemas resueltos sobre cargas puntuales, como determinar la carga de dos esferas separadas por hilos o el campo eléctrico creado por dos cargas. También cubre 4 problemas sobre cargas lineales como calcular el campo creado por una distribución de carga rectilínea o mantener en equilibrio un cable con carga. Finalmente, presenta un problema sobre una distribución de carga con densidad variable.
Este documento presenta información sobre el movimiento armónico simple (MAS) y su aplicación a péndulos. Explica que para que el movimiento de un péndulo se describa con las ecuaciones del MAS, el ángulo debe ser pequeño. También presenta ecuaciones para calcular el periodo de un péndulo simple y ejemplos numéricos de cálculos relacionados con péndulos.
Una transformación lineal es una función entre espacios vectoriales que transforma vectores de un espacio en otro de forma lineal. El núcleo de una transformación lineal es el subespacio de vectores cuyas imágenes son el vector cero en el espacio vectorial de llegada.
La integral definida representa el área delimitada por una curva, los ejes y los límites del intervalo. Se denota como la suma de la función entre los límites. Posee propiedades como que la suma de integrales es igual a la suma de áreas, y que al cambiar los límites, cambia el signo. La función integral representa el área acumulada y su derivada es igual a la función original, según el teorema fundamental del cálculo.
Este documento describe las matrices, incluyendo su origen e historia, definición, tipos y usos. Las matrices se introdujeron en 1858 y ahora se usan en campos como control de inventario, física, análisis de costos, estrategia militar y análisis de datos. Una matriz es un arreglo rectangular de números entre paréntesis o corchetes. Existen diferentes tipos de matrices como fila, columna, rectangular, cuadrada y sus variaciones.
Aplicaciones de calculo de integrales dobles y tripleswalterabel03
2
0
2
∫
−2 x + 20
4x
2
dydx
x) dx + ∫ (20 − 2x) dx = 36
Este documento presenta aplicaciones de las integrales múltiples, incluyendo el cálculo del área de figuras planas mediante integrales dobles. Se explica que el área de una región D se obtiene como la integral doble de la función constante 1 sobre D. Además, se resuelven dos ejemplos de cálculo de áreas de regiones mediante integrales dob
La fuerza eléctrica se produce cuando un cuerpo se carga y se rige por la Ley de Coulomb. Según esta ley, la fuerza eléctrica entre dos cargas es directamente proporcional a las cargas y inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa. Charles Coulomb estableció esta ley tras estudiar las fuerzas entre polos magnéticos. Un campo eléctrico es un campo de fuerza creado por cargas eléctricas que se mide en voltios por metro y decrece con la distancia a la fu
Transformaciones lineales de la reflexión y rotación en forma matricial en 2DJlm Udal
Las diapositivas muestran ejemplos sobre transformaciones lineales en 2D, en específico, la reflexión y la rotación. Estas representaciones matriciales tienen una gran aplicabilidad en las matemáticas y su entendimiento facilita la comprensión para otros espacios vectoriales.
Aplicación de física en la carrera de ingenieríafrancisco2030
El documento discute la importancia de la física en la carrera de ingeniería en sistemas. Explica que la física describe los fenómenos naturales con precisión y ayuda a desarrollar la lógica y la creatividad, importantes para cualquier ingeniería. También señala que sin conocimientos básicos de física no se podrían realizar tareas como animaciones por computadora que involucran efectos físicos. Finalmente, destaca que la física está presente en todas las actividades humanas y tecnologías y que las ci
Este documento introduce el concepto de derivada en matemáticas. Explica que la derivada mide la tasa de cambio de una función y es una herramienta fundamental en física, química y biología. El objetivo general es familiarizar a los estudiantes con el cálculo de derivadas, la regla de la cadena y la derivación implícita.
El documento trata sobre las funciones de varias variables. Introduce varios ejemplos de funciones de varias variables comunes en ingeniería como la media aritmética, la media geométrica y la temperatura de una placa metálica. Explica conceptos básicos relacionados con las funciones de varias variables como entornos, continuidad y diferenciabilidad.
Este documento presenta un resumen de varios temas matemáticos. En el Capítulo 1, introduce conceptos sobre funciones como gráficos de funciones, funciones biyectivas e inversas. Luego, analiza transformaciones elementales del plano como traslaciones y homotecias. El Capítulo 2 cubre desigualdades y posiciones relativas de curvas en el plano. Los Capítulos 3 y 4 tratan sobre inducción completa, polinomios, factoriales de números enteros y sus factores primos. Finalmente, el Capítulo 5 examina construcciones
1. Se calculan las fuerzas electrostática y gravitatoria entre dos partículas alfa separadas 10-11 m, resultando que la fuerza electrostática es mucho más intensa.
2. Se calcula la fuerza entre dos cargas A y B a 3 cm y 9 cm de separación utilizando la ley de Coulomb.
3. Se calcula el potencial eléctrico creado por una carga puntual q1=12 x 10-9 C en un punto a 10 cm de distancia, obteniendo un valor de +1,080 V.
Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden y aplicaciones(tema 1)Yerikson Huz
Este documento introduce conceptos básicos sobre ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden y sus aplicaciones. Explica que una ecuación diferencial contiene derivadas de funciones incógnitas, y el objetivo es encontrar las funciones que satisfacen la ecuación. También define términos como orden, grado, variable dependiente e independiente, y distingue entre ecuaciones diferenciales lineales y no lineales.
Este documento presenta un modelo matemático para predecir la evolución del número de estudiantes en la Escuela de Ciencias de la Computación usando el modelo de crecimiento poblacional de Malthus. Se recolectan datos de matrículas pasadas y se aplica el modelo para calcular el número de estudiantes en los próximos dos períodos, mostrando un decrecimiento.
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El documento describe los sistemas de control y la transformada de Laplace. Los sistemas de control son importantes en diversos sectores como la industria, el transporte y el hogar para lograr objetivos de manera segura y exacta. La transformada de Laplace es una herramienta matemática útil para analizar sistemas dinámicos lineales mediante la conversión de ecuaciones diferenciales en ecuaciones algebraicas.
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Una serie de Fourier es una herramienta matemática que descompone funciones periódicas en una suma infinita de funciones sinusoidales más simples. Fue desarrollada por Jean-Baptiste Joseph Fourier y se usa en muchas áreas de ingeniería como análisis vibratorio, acústica, procesamiento de señales y telecomunicaciones.
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2
0
2
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−2 x + 20
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2
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x) dx + ∫ (20 − 2x) dx = 36
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1) La derivada mide el cambio en una función y es fundamental en cálculo diferencial, análisis matemático y aplicaciones prácticas como física, química y economía. 2) Se usa para encontrar velocidad, aceleración y propiedades geométricas como concavidad. 3) Los ejemplos incluyen derivar la ecuación de posición de un objeto para encontrar su velocidad y aceleración.
Similar a Calculo diferencial en la vida de un Ingeniero(Proyecto Final) (20)
2. Objetivos del proyecto
1
Contenido
RESUMEN................................................................................................................................. 4
INTRODUCCIÓN:...................................................................................................................... 5
CAPÍTULO 1.............................................................................................................................. 7
1. Planteamiento del Problema............................................................................................... 7
1.1. Situación y Conflicto .................................................................................................... 7
1.2. Causas y Consecuencias............................................................................................. 7
1.3. Delimitación del problema............................................................................................ 7
1.4. Formulación del problema............................................................................................ 8
1.5. Objetivos...................................................................................................................... 8
Objetivo general.................................................................................................................... 8
Objetivos específicos ............................................................................................................. 8
1.6. Justificación e Importancia........................................................................................... 9
CAPÍTULO 2.............................................................................................................................10
MARCO TEÓRICO................................................................................................................10
Nociones básicas del cálculo diferencial ..................................................................................10
Noción de derivada...............................................................................................................11
Derivación implícita............................................................................................................12
Derivada logarítmica ..........................................................................................................13
Cálculo de derivadas ordinarias utilizando derivadas logarítmicas.....................................14
Derivadas en polares .........................................................................................................15
CAPÍTULO 3.............................................................................................................................17
3.1. LA METODOLOGÍA....................................................................................................17
3.2. Diseño de la Investigación ..........................................................................................18
3.3. Modalidad de la Investigación.....................................................................................18
3.4. Tipos de Investigación ................................................................................................18
3.5. Resultados de la encuesta..........................................................................................19
Edad ..................................................................................................................................19
Estudios.............................................................................................................................19
¿Piensa usted que el estudio del cálculo diferencial es útil en la vida profesional de un
ingeniero?..........................................................................................................................20
3. Objetivos del proyecto
2
¿Cree usted que la baja autoestima de los estudiantes influye en su desempeño y
aprendizaje del Cálculo diferencial?...................................................................................20
¿Cuántas horas por día le dedica a esta materia?.............................................................21
¿En el transcurso de sus estudios ha recibido nociones básicas sobre el cálculo
diferencial? ........................................................................................................................21
En caso de responder SI a la pregunta anterior usted ¿Qué nivel de dificultad le asignaría?
..........................................................................................................................................21
Elaboración de Helados [¿El cálculo diferencial tiene un importante campo de aplicación
en?]....................................................................................................................................22
Fabricación de Chips [¿El cálculo diferencial tiene un importante campo de aplicación en?]
..........................................................................................................................................22
Una reacción Oxido - Reducción [¿El cálculo diferencial tiene un importante campo de
aplicación en?]...................................................................................................................22
Administración de las compuertas de los circuitos integrados [¿El cálculo diferencial tiene
un importante campo de aplicación en?]............................................................................22
Digitalización de imágenes, sonidos y vídeos [¿El cálculo diferencial tiene un importante
campo de aplicación en?] ..................................................................................................22
¿Piensa usted que un Politécnico recién graduado Puede identificar un Problema Existente
en una Maquinaria y Pueda resolverlo por Métodos de Cálculo Diferencial? .....................22
Bibliografía ............................................................................................................................23
ANEXOS ...............................................................................................................................23
Ilustraciones
Ilustración 1.- Isaac Barrow........................................................................................................ 4
Ilustración 2.- Pendiente de una gráfica en un punto.................................................................. 5
Ilustración 3.- Elaboración de Herramientas............................................................................... 6
Ilustración 4.- Análisis de Ondas con el Cálculo Diferencial ......................................................17
Ecuaciones
Ecuación 1.- Problema de la convergencia de la serie............................................................... 7
Ecuación 3: derivación implícita................................................................................................12
Ecuación 4: Ejemplo 1 ..............................................................................................................12
Ecuación 5: Ejemplo 2 ..............................................................................................................12
Ecuación 2.- Definición de la derivada ......................................................................................12
Ecuación 6: Derivada logarítmica..............................................................................................13
4. Objetivos del proyecto
3
Ecuación 7: Propiedad 1 de DL.................................................................................................13
Ecuación 8: Propiedad 2...........................................................................................................13
Ecuación 9: Propiedad 3...........................................................................................................13
Ecuación 10; Propiedad 4 .........................................................................................................14
Ecuación 11: Propiedad 5 .........................................................................................................14
Ecuación 12: Ejemplo 3.1 .........................................................................................................14
Ecuación 13:Ejemplo 3.2 ..........................................................................................................14
Tablas
Tabla 1.- Tabla de derivadas.....................................................................................................11
Tabla 2.- Cambio de dirección de una función según el orden de la derivada...........................18
5. Objetivos del proyecto
4
RESUMEN
El maestro de Newton, Isaac Barrow, conocía ya la existencia de la relación entre la
tangente en un punto a una curva (derivada) y el área de una región limitada de una
curva (Integral Definida), pero fueron Newton y Leibniz los que comprendieron la
importancia de esa relación.
La derivada se utilizó, en principio, para el cálculo de la tangente en un punto, y pronto
se vió que también servía para el cálculo de velocidades, y en consecuencia para el
estudio de la variación de una función.
Desde los primeros pasos en el cálculo diferencial, de todos es conocido que dada una
función y = f(x), su derivada, en forma de diferencial de una función de una sola
variable, es también una función que se puede encontrar mediante ciertas reglas como
el Teorema Fundamental del Cálculo Integral, que nos muestra la vinculación entre la
derivada de una función y la integral de dicha función; si F(x) es la función integral que
debe ser integrable en el intervalo.
Ilustración 1.- Isaac Barrow
6. Objetivos del proyecto
5
INTRODUCCIÓN:
CÁLCULO DIFERENCIAL:
El cálculo diferencial es un método universal, se puede aplicar en física, química,
biología, contabilidad, etc. En cualquier proceso que puede ser traducido a una
ecuación, ahí puedes aplicarlo.
Su aplicación más conocida es la determinación de los máximos y mínimos de una
función (variable dependiente en una ecuación), en otras palabras sirve para
determinar: las coordenadas del punto más alto o más bajo de una curva (o ambos), es
decir, donde la pendiente es cero.
Ilustración 2.- Pendiente de una gráfica en un punto
En Ingeniería:
Se puede crear un modelo de ecuaciones diferenciales para proponer un modelo de
crecimiento poblacional, crecimiento de activos de empresas, comportamiento de
partes mecánicas de un automóvil, y muchas aplicaciones más en ingeniería y física.
El cálculo diferencial tiene un importante campo de aplicación en esta área:
● Fabricación de chips (obleas de microprocesadores)
● Miniaturización de componentes internos.
● Administración de las compuertas de los circuitos integrados.
● Compresión y digitalización de imágenes, sonidos y videos.
● Han coadyuvado a aumentar la inteligencia artificial.
El cálculo diferencial se aplica a todo, por comenzar a dar ejemplos, se aplica a la
velocidad de los coches ya que la velocidad es la derivada del espacio con respecto al
tiempo, la aceleración es el cambio de velocidad .
7. Objetivos del proyecto
6
Es común en todas las ramas de la ingeniería el uso del cálculo integral y diferencial,
ya que su uso facilita la comprensión de fenómenos que necesitan una determinación
numérica, ya sea para el cálculo de áreas, velocidades, resistencia y fuerzas
distribuidas
Ilustración 3.- Elaboración de Herramientas
8. Nociones Básicas del Cálculo Diferencial
CAPÍTULO 1
1. Planteamiento del Problema
En la sociedad la mayoría de la población piensa que el estudio del cálculo diferencial
es una pérdida de tiempo, creando cierto tipo de rechazo a esta materia por el
estudiante universitario, motivo el cual es necesario mostrar las diversas aplicaciones
que tiene para la vida profesional de un ingeniero y así hacer más amena la materia
para el estudiante
1.1. Situación y Conflicto
El cálculo diferencial fue desarrollado por los trabajos de Fermat, Barrow, Wallis y
Newton entre otros. Así en 1711 Newton introdujo la fórmula de interpolación de
diferencias finitas de una función f(x); fórmula extendida por Taylor al caso de infinitos
términos bajo ciertas restricciones, utilizando de forma paralela el cálculo diferencial y
el cálculo en diferencias finitas. El aparato fundamental del cálculo diferencial era el
desarrollo de funciones en series de potencias, especialmente a partir del teorema de
Taylor, desarrollándose casi todas las funciones conocidas por los matemáticos de la
época. Pero pronto surgió el problema de la convergencia de la serie, que se resolvió
en parte con la introducción de términos residuales, así como con la transformación de
series en otras que fuesen convergentes. Junto a las series de potencias se incluyeron
nuevos tipos de desarrollos de funciones, como son los desarrollos en series
asintóticas introducidos por Stirling y Euler. La acumulación de resultados del cálculo
diferencial transcurrió rápidamente, acumulando casi todos los resultados que
caracterizan su estructura actual
Ecuación 1.- Problema de la convergencia de la serie
1.2. Causas y Consecuencias
Con frecuencia los padres y docentes no confían en su juicio cuando tratan de evaluar
el desarrollo y aprendizaje de su hijo, ni saben a quién preguntar o a dónde acudir
cuando ven que la conducta del niño es notablemente diferente a la que manifiestan la
mayoría de los niños de su edad.
1.3. Delimitación del problema
Definir las dificultades o problemas de aprendizaje es adentrarse en un terreno
altamente debatido, esto es debido a que los especialistas no han logrado llegar a un
acuerdo universal, sin embargo, en términos generales: "este concepto se utiliza para
9. Objetivos del proyecto
8
describir la condición que padece la persona e interfiere con su habilidad para
almacenar, procesar o producir la información deseada, traduciéndose en dificultades
significativas para escuchar, hablar, leer, escribir, razonar, realizar con éxito tareas
matemáticas o relacionarse con los demás
1.4. Formulación del problema
¿El ingeniero utilizará el Cálculo Diferencial en su vida profesional?
1.5. Objetivos
Objetivo general
* Dar a conocer la importancia de la aplicación del cálculo diferencial en la vida
profesional de un ingeniero y los efectos que esto tiene en el desarrollo de la sociedad
Objetivos específicos
* Demostrar con datos históricos y cuantitativos del porqué el cálculo diferencial ha sido
un factor de evolución científica en nuestra sociedad estos últimos años
* Mostrar las aplicaciones más comunes del cálculo en la vida diaria
* Explicar las nociones básicas teóricas en las que se sustenta.
* Evaluar a través de una encuesta la opinión que tiene determinada población sobre la
utilidad del cálculo
* Presentar los datos cuantitativos obtenidos de las encuestas en gráficos estadísticos
10. Objetivos del proyecto
9
1.6. Justificación e Importancia
n la actualidad, y desde hace siglo, las matemáticas han sido algo esencial para
la vida, y así mismo el desarrollo del ser humano, y de la sociedad en conjunto.
Las matemáticas se van jerarquizando, dependiendo su grado de dificultad
Por lo que se dividen en ramas, como lo son, la geometría, el álgebra, la trigonometría,
la estadística, las matemáticas en general, y algo muy peculiar llamado calculo, tanto
integral como diferencial.
Al escuchar esta última rama de las matemáticas, se piensa que es algo muy complejo,
lo cual no tiene ninguna aplicación en la vida diaria, pero al profundizar más en el tema,
se encontrara que es todo lo contrario.
El cálculo diferencial, se puede aplicar en la economía, la administración, la física, etc.
Los principales elementos que se utilizan en esta rama de las matemáticas, son las
funciones, las derivadas, los sistemas de ecuaciones, la pendiente, entre otros; que
estos a su vez en conjunto ayudan a realizar grandes calculo en importantes empresas,
o simples operaciones en la economía familiar.
E
11. Objetivos del proyecto
10
CAPÍTULO 2
MARCO TEÓRICO
Nociones básicas del cálculo diferencial
El cálculo diferencial es una parte del análisis matemático que consiste en el estudio de
cómo cambian las funciones cuando sus variables cambian. El principal objeto de
estudio en el cálculo diferencial es la derivada. Una noción estrechamente relacionada
es la de diferencial de una función.
Desde el punto de vista matemático de las funciones y la geometría, la derivada de una
función en un cierto punto es una medida de la tasa en la cual una función cambia
conforme un argumento se modifica. Esto es, una derivada involucra, en términos
matemáticos, una tasa de cambio. Una derivada es el cálculo de las pendientes
instantáneas de en cada punto . Esto se corresponde a las pendientes de las
tangentes de la gráfica de dicha función en sus puntos (una tangente por punto); Las
derivadas pueden ser utilizadas para conocer la concavidad de una función, sus
intervalos de crecimiento, sus máximos y mínimos.
12. Tipos de Derivada
11
Noción de derivada
Las derivadas se definen tomando el límite de la pendiente de las rectas secantes
conforme se van aproximando a la recta tangente.
Es difícil hallar directamente la pendiente de la recta tangente de una función porque
sólo conocemos un punto de ésta, el punto donde ha de ser tangente a la función. Por
ello, aproximamos la recta tangente por rectas secantes. Cuando tomemos el límite de
las pendientes de las secantes próximas, obtendremos la pendiente de la recta
tangente.
Tabla 1.- Tabla de derivadas
Para obtener estas pendientes, tomemos un número arbitrariamente pequeño que
llamaremos h. h representa una pequeña variación en x, y puede ser tanto positivo
como negativo. La pendiente de la recta entre los puntos
13. Tipos de Derivada
12
Derivación implícita
Funciones explícitas y funciones implícitas
En los cursos de cálculo la mayor parte de las funciones con que trabajamos están
expresadas en forma explícita, como en la ecuación
Dónde la variable y está escrita explícitamente como función de x. Sin embargo,
muchas funciones, por el contrario, están implícitas en una ecuación. La función y = 1 /
x, viene definida implícitamente por la ecuación
Si queremos hallar la derivada para esta última ecuación, lo hacemos despejando y,
así, y = 1 / x = x -1, obteniendo su derivada fácilmente:
Ecuación 3: derivación implícita
El método de regla de la cadena para funciones implícitas
Ya sabemos que cuando se derivan términos que solo contienen a x, la derivación será
la habitual. Sin embargo, cuando tengamos que derivar un término donde aparezca la
y, será necesario aplicar la regla de la cadena.
Ejemplo 1:
Aquí las variables coinciden: se deriva normalmente.
Ecuación 4: Ejemplo 1
Ejemplo 2:
Aquí las variables 𝐧𝐨 coinciden: se usa regla de la cadena
Ecuación 5: Ejemplo 2
Ecuación 2.- Definición de la derivada
14. Tipos de Derivada
13
.
Derivada logarítmica
En el ámbito de las matemáticas, específicamente en el cálculo y el análisis complejo,
la derivada logarítmica de una función f queda definida por la fórmula
Ecuación 6: Derivada logarítmica
Donde f ′ es la derivada de f.
Cuando f es una función f(x) de una variable real x, y toma valores reales,
estrictamente positivos, esta es entonces la fórmula para (log f)′, o sea, la derivada del
logaritmo natural de f, como se deduce aplicando directamente la regla de la
Propiedades básicas
Muchas propiedades del logaritmo real también son válidas para la derivada
logarítmica, aún cuando la función no toma valores de reales positivos. Por ejemplo,
dado que el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores, se
tiene que
Ecuación 7: Propiedad 1 de DL
Por lo que para funciones reales positivas, la derivada logarítmica de un producto es la
suma de la derivada logarítmica de los factores. También es posible aplicar la regla de
Leibniz para la derivada del producto y así obtener
Ecuación 8: Propiedad 2
Por lo tanto, es cierto que para toda función que la derivada logarítmica de un producto
es la suma de las derivadas logarítmicas de los factores (cuando las mismas están
definidas).
En forma similar (de hecho es una consecuencia), la derivada logarítmica de de la
función recíproca de una función es el negado de la derivada logarítmica de la función:
Ecuación 9: Propiedad 3
15. Tipos de Derivada
14
En la misma forma que el logaritmo de la recíproca de un número real positivo es la
negación del logaritmo del número.
En forma general, la derivada logarítmica de un cociente es la diferencia de las
derivadas logarítmicas del dividendo y del divisor:
Ecuación 10; Propiedad 4
En la misma forma que el logaritmo de un cociente es la diferencia de los logaritmos del
dividendo y del divisor.
Con respecto a la derivada logarítmica de una potencia (con exponente real constante),
la misma es el producto del exponente y de la derivada logarítmica de la base:
Ecuación 11: Propiedad 5
En forma análoga a que el logaritmo de una potencia es el producto entre el exponente
y el logaritmo de la base.
En resumen, tanto las derivadas como los logaritmos poseen una regla del producto,
una regla recíproca, una regla del cociente, y una regla de la potencia (comparar con la
lista de identidades logarítmicas); cada par de reglas se encuentran relacionadas
mediante la derivada logarítmica.
Cálculo de derivadas ordinarias utilizando derivadas logarítmicas
Las derivadas logarítmicas pueden ayudar a simplificar el cálculo de derivadas que
requieren la regla del producto. El procedimiento es el siguiente: Supongamos que
ƒ(x) = u(x)v(x) y que se desea calcular ƒ'(x). En vez de realizar el cálculo en forma
directa, calculamos su derivada logarítmica. O sea, se calcula:
Ecuación 12: Ejemplo 3.1
Multiplicando por ƒ se calcula ƒ':
Ecuación 13:Ejemplo 3.2
16. Tipos de Derivada
15
Esta técnica es especialmente útil cuando ƒ es el producto de una gran cantidad de
factores. La técnica descripta hace posible calcular ƒ' mediante el cálculo de la
derivada logarítmica de cada factor, sumando, y multiplicando por ƒ.
Derivadas en polares
Partiendo de las ecuaciones de
conversión entre coordenadas
rectangulares y polares, y tomando
derivadas parciales se obtiene
Para encontrar la pendiente en
cartesianas de la recta tangente a una
curva polar r(θ) en un punto dado, la
curva debe expresarse primero como un
sistema de ecuaciones paramétricas
Diferenciando ambas ecuaciones
respecto a θ resulta
Dividiendo la segunda ecuación por la
primera se obtiene la pendiente
cartesiana de la recta tangente a la
curva en el punto (r, r(θ)):
La derivada se utilizó, en principio, para el cálculo de la tangente en un punto, y pronto
se vió que también servía para el cálculo de velocidades, y en consecuencia para el
estudio de la variación de una función.
Desde los primeros pasos en el cálculo diferencial, de todos es conocido que dada una
función y = f(x), su derivada, en forma de diferencial de una función de una sola
variable, es también una función que se puede encontrar mediante ciertas reglas como
el Teorema Fundamental del Cálculo Integral, que nos muestra la vinculación entre la
17. Tipos de Derivada
16
derivada de una función y la integral de dicha función ; si F(x) es la función integral que
debe ser integrable en el intervalo.
Se puede crear un modelo de ecuaciones diferenciales para proponer un modelo de
crecimiento poblacional, crecimiento de activos de empresas, comportamiento de
partes mecánicas de un automóvil, y muchas aplicaciones más en ingeniería y física.
El cálculo diferencial tiene un importante campo de aplicación en esta área:
Fabricación de chips (obleas de microprocesadores)
Miniaturización de componentes internos.
Administración de las compuertas de los circuitos integrados.
Compresión y digitalización de imágenes, sonidos y videos.
Han coadyuvado a aumentar la inteligencia artificial.
El cálculo diferencial se aplica a todo, por comenzar a dar ejemplos, se aplica a la
velocidad de los coches ya que la velocidad es la derivada del espacio con respecto al
tiempo, la aceleración es el cambio de velocidad.
18. Tipos de Derivada
17
CAPÍTULO 3
3.1. LA METODOLOGÍA
Las derivadas son una útil herramienta para examinar las gráficas de funciones. En
particular, los puntos en el interior de un dominio de una función de valores reales que
llevan a dicha función a un extremo local tendrán una primera derivada de cero. Sin
embargo, no todos los puntos críticos son extremos locales. Por ejemplo, f(x)=x³ tiene
un punto crítico en x=0, pero en ese punto no hay un máximo ni un mínimo. El criterio
de la primera derivada y el criterio permiten determinar si los puntos críticos son
máximos, mínimos o ninguno.
Ilustración 4.- Análisis de Ondas con el Cálculo Diferencial
En el caso de dominios multidimensionales, la función tendrá una derivada parcial de
cero con respecto a cada dimensión en un extremo local. En este caso, la prueba de la
segunda derivada se puede seguir utilizando para caracterizar a los puntos críticos,
considerando el valor de la matriz Hessiana de las segundas derivadas parciales de la
función en el punto crítico. Si todos los valores son positivos, entonces el punto es un
mínimo local; si todos son negativos es un máximo local. Si hay algunos valores
positivos y algunos negativos, entonces el punto crítico es un punto silla, y si no se
cumple ninguno de estos casos, la prueba es no concluyente (e.g., los valores son 0 y
3).
19. Tipos de investigación
18
3.2. Diseño de la Investigación
Una función de una variable es diferenciable en un punto x si su derivada existe en ese
punto; una función es diferenciable en un intervalo si lo es en cada punto x
perteneciente al intervalo. Si una función no es continua en c, entonces no puede ser
diferenciable en c; sin embargo, aunque una función sea continua en c, puede no ser
diferenciable. Es decir, toda función diferenciable en un punto c es continua en c, pero
no toda función continua en c es diferenciable en c (como f(x) = |x| es continua pero no
diferenciable en x = 0).
3.3. Modalidad de la Investigación
Desde el siglo XVII, muchos matemáticos han contribuido al cálculo diferencial. En el
siglo XIX, el cálculo tomó un estilo más riguroso, debido a matemáticos
como Augustin Louis Cauchy (1789–1857), Bernhard Riemann (1826–1866),
y Karl Weierstrass (1815–1897). Fue también durante este periodo que el
cálculo diferencial fue generalizado al espacio euclídeo y el plano complejo.
Tabla 2.- Cambio de dirección de una función según el orden de la derivada
3.4. Tipos de Investigación
uando una función depende de
más de una variable, se utiliza el
concepto de derivada parcial. Las
derivadas parciales se pueden pensar
informalmente como tomar la derivada
de una función con respecto a una de
ellas, manteniendo las demás variables
constantes. Las derivadas parciales se
representan como (en donde ; es
una 'd' redondeada conocida como
'símbolo de la derivada parcial').
C
20. Tipos de investigación
19
El concepto de derivada puede ser
extendido de forma más general. El hilo
común es que la derivada en un punto
sirve como una aproximación lineal a la
función en dicho punto. Quizá la
situación más natural es que las
funciones sean diferenciables en
las variedades. La derivada en un cierto
punto entonces se convierte en
una transformación lineal entre los
correspondientes espacios tangentes y
la derivada de la función se convierte en
un mapeo entre los grupos.
3.5. Resultados de la encuesta
Edad
entre 16 y 18 años 1 5%
entre 18 y 20 años 15 71%
mayor a 20 años 5 24%
Estudios
Primaria 0 0%
secundaria 7 35%
Universidad 12 60%
Universidad + Maestría 0 0%
Universidad + PhD 1 5%
21. Tipos de investigación
20
¿Piensa usted que el estudio del cálculo diferencial es útil en la vida profesional
de un ingeniero?
1 0 0%
2 1 5%
3 4 20%
4 5 25%
5 10 50%
¿Cree usted que la baja autoestima de los estudiantes influye en su desempeño y
aprendizaje del Cálculo diferencial?
1 4 21%
2 2 11%
3 4 21%
4 2 11%
5 7 37%
22. Tipos de investigación
21
¿Cuántas horas por día le dedica a esta materia?
1/2 Hora 2 11%
1 hora 5 26%
2 horas 3 16%
3 horas 6 32%
no estudia todos los días 1 5%
Otro 2 11%
¿En el transcurso de sus estudios ha recibido nociones básicas sobre el cálculo
diferencial?
Si 15 71%
No 6 29%
En caso de responder SI a la pregunta anterior usted ¿Qué nivel de dificultad le
asignaría?
1 1 5%
2 2 10%
23. Tipos de investigación
22
3 9 45%
4 4 20%
5 4 20%
Elaboración de Helados [¿El cálculo diferencial tiene un importante campo de
aplicación en?]
Definitivamente Sí 7 37%
Por supuesto que No 12 63%
Fabricación de Chips [¿El cálculo diferencial tiene un importante campo de
aplicación en?]
Definitivamente Sí 15 79%
Por supuesto que No 4 21%
Una reacción Oxido - Reducción [¿El cálculo diferencial tiene un importante campo
de aplicación en?]
Definitivamente Sí 11 58%
Por supuesto que No 8 42%
Administración de las compuertas de los circuitos integrados [¿El cálculo
diferencial tiene un importante campo de aplicación en?]
Definitivamente Sí 18 95%
Por supuesto que No 1 5%
Digitalización de imágenes, sonidos y vídeos [¿El cálculo diferencial tiene un
importante campo de aplicación en?]
Definitivamente Sí 9 47%
Por supuesto que No 10 53%
¿Piensa usted que un Politécnico recién graduado Puede identificar un Problema
Existente en una Maquinaria y Pueda resolverlo por Métodos de Cálculo
Diferencial?
Obviamente que si 6 29%
Si y sólo si es que repasa sus apuntes de Cálculo 4 19%
tal vez pero con ayuda de alguien más 3 14%
24. Tipos de investigación
23
Tendría la solución pero por falta de experiencia no confiaría en sus Cálculos 7 33%
No lo lograría 1 5%
Otro 0 0
Bibliografía
http://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_diferencial. (s.f.).
http://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_polares#C.C3.A1lculo_diferencial. (s.f.).
http://es.wikipedia.org/wiki/Derivada_logar%C3%ADtmica. (s.f.).
http://www.dervor.com/derivadas/derivacion_implicita.html. (s.f.).
http://www.julioprofe.net/p/calculo.html. (s.f.).
ANEXOS
http://clubensayos.com/Temas-Variados/Aplicacion-De-Calculo-Diferencial-En/1395604.html
http://www.monografias.com/trabajos10/historix/historix.shtml#ixzz37Bjx6B5i