Este documento presenta un proyecto de ingeniería civil sobre la aplicación de cálculo diferencial para calcular la viga de madera con mayor resistencia que se puede obtener de un tronco. Primero introduce el proyecto y explica la importancia del cálculo diferencial en ingeniería civil. Luego, describe el problema a resolver, los objetivos y el marco teórico, incluyendo conceptos como derivadas, máximos, resistencia de vigas y métodos de cálculo. Finalmente, detalla la metodología y desarrollo del proyecto.

1. UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MACHALA
UNIDAD DE INGENIERÍA CIVIL
CARRERA DE INGENIERÍA CIVIL
PROYECTO INTEGRADOR DE SABERES
TÍTULO
APLICACIÓN DE CALCULO DIFERENCIAL EN LA
INGENIERÍA CIVIL
TEMA:
APLICACIÓN DE MÁXIMOS EN EL CÁLCULO DE UNA VIGA
AUTORES:
GIA OSCAR
ILLESCAS BRUNO
JARA MARÍA ESTHER
PRADO MACÍAS MICHAEL
DOCENTE RESPONSABLE:
ING. GINGER CARRIÓN, MGS
CURSO:
1ER
SEMESTRE “C”, INGENIERÍA CIVIL
MACHALA
2014

2. II
ÍNDICE
1. DATOS INFORMATIVOS........................................................................... III
1.1. Nombre del proyecto. ............................................................................. III
1.2. Responsables......................................................................................... III
1.3. Lugar de realización del proyecto........................................................... III
2. INTRODUCCIÓN .......................................................................................... IV
3. PROBLEMATIZACIÓN .................................................................................. V
3.1 Descripción del problema ......................................................................... V
3.2 Problema General y Secundarios............................................................. V
3.3 Objetivo General y Específicos............................................................... VI
4. MARCO TEÓRICO ........................................................................................ 7
4.1 Aplicación de las Derivadas en los Problemas de Ingeniería Civil ........... 7
4.1.1 Resistencia de Vigas. ............................................................................ 8
4.2. Cálculo de Derivadas............................................................................. 10
4.2.1. Definición............................................................................................ 10
4.2.2. Historia ............................................................................................... 10
4.2.3 La Derivada ......................................................................................... 11
4.2.3.1 Regla General para Derivar.............................................................. 12
4.2.3.2 Funciones Implícitas......................................................................... 12
4.2.3.3. Máximos y Mínimos......................................................................... 14
4.2.3.4. Cálculo de la primera derivada ........................................................ 15
4.2.3.5. Derivada de Orden Superior............................................................ 15
5. MARCO METODOLÓGICO ......................................................................... 16
5.1 Metodología aplicada al proyecto ........................................................... 16
5.2. Desarrollo del Proyecto. ........................................................................ 17
6. CONCLUSIONES ........................................................................................ 20
BIBLIOGRAFÍA ................................................................................................ 22

3. III
1. DATOS INFORMATIVOS
1.1. Nombre del proyecto.
Aplicación de máximos en el cálculo de una viga
1.2. Responsables.
Guía Oscar
Illescas Bruno
Jara María
Prado Michael
1.3. Lugar de realización del proyecto.
Facultad de Ingeniería Civil, Universidad Técnica de Machala, El Oro,
Ecuador.

4. IV
2. INTRODUCCIÓN
La madera ha sido en el pasado el material más utilizado para construir,
hasta que los avances tecnológicos en hormigón y acero la relegaron a un
segundo plano. El uso del cálculo diferencial es muy amplio tanto en los
trabajos de ingeniería civil, al igual que en diversas ramas.
Teniendo en cuenta la importancia de la madera, no solo en el sentido
tradicional o decorativo, sino también como material suplente del hormigón
(tal como se lo hacía hasta unas cuantas décadas atrás en nuestro país), se
ha dedicado un espacio para presentar un ejemplo práctico y muy útil, como
es el cálculo de la máxima resistencia de una viga en función de sus
dimensiones; lo cual es muy útil al momento de cortar una barra a partir de
un tronco, aprovechando completamente su espesor y su anchura. Una
demostración muy sencilla, pero ventajosa al momento de decidir las
medidas de la viga que será extraída. Un problema matemático que, sin el
conocimiento del cálculo de máximos y mínimos a través de la derivada,
sería muy complejode solucionar.
En la ingeniería civil la aplicación del cálculo diferencial, principalmente las
derivadas de puntos máximos y mínimos son de gran relevancia ya que nos
ayudan a identificar la flexibilidad de una viga de madera dependiendo de la
calidad de esta. Los futuros ingenieros civiles debemos tener dominio de
estos conceptos que sustentan los sistemas de la ciencia y usar
adecuadamente modelos matemáticos para analizar y precisar el
comportamiento de dichos sistemas en su carrera profesional.
En este proyecto se detalla la aplicación de máximos y mínimos en una
funciónpara calcular la viga con mayor resistencia que se puede obtener a
partir de un tronco en general.

5. V
3. PROBLEMATIZACIÓN
3.1 Descripción del problema
La resistencia en una viga viene dada por la relación directamente
proporcional entre en el ancho y el cuadrado del espesor de la misma lo
que se obtiene aplicando el cálculo infinitesimal como es el cálculo de
máximos y mínimos a partir de la primera derivada.
3.2 Problema General y Secundarios
Problema General
 ¿Qué importancia tiene el cálculo infinitesimal dentro de los
conocimientos necesarios que debe adquirir un estudiante de la
carrera de Ingeniería civil para aplicarlo en el diseño de obras civiles?
Problemas Secundarios
 ¿Cómo aplicar los conocimientos adquiridos en la asignatura de
cálculo diferencial, en el contexto de la ingeniería civil?
 ¿Cómo determinar y analizar el método científico de cálculo
diferencial aplicado en el ejercicio para encontrar la viga de madera
con mayor resistencia?

6. VI
3.3 Objetivo General y Específicos
Objetivo general
 Identificar la importancia del cálculo infinitesimal en la aplicación de
los diseños de ingeniería civil.
Objetivos específicos
1. Aplicar los conocimientos adquiridos en la signatura de cálculo
diferencial, en el contexto de la ingeniería civil.
2. Determinar y analizar el método aplicado en el ejercicio para
encontrar la viga de madera con mayor resistencia.

7. 7
4. MARCO TEÓRICO
4.1Aplicación de las Derivadas en los Problemas de Ingeniería Civil
La ingeniería civil es la rama de la ingeniería que aplica los conocimientos
de física, química,cálculo y geología a la elaboración de infraestructuras,
obras hidráulicas y de transporte. Ladenominación "civil" se debe a su
origen diferenciado de la ingeniería militar.
Tiene también un fuerte componente organizativo que logra su aplicación
en la administración delambiente urbano principalmente, y
frecuentemente rural; no sólo en lo referente a laconstrucción, sino
también, al mantenimiento, control y operación de lo construido, así como
en laplanificación de la vida humana en el ambiente diseñado desde esta
misma. Esto comprendeplanes de organización territorial tales como
prevención de desastres, control de tráfico ytransporte, manejo de
recursos hídricos, servicios públicos, tratamiento de basuras y
todasaquellas actividades que garantizan el bienestar de la humanidad
que desarrolla su vida sobre lasobras civiles construidas y operadas por
ingenieros.
Apartir del cálculo diferencial se pudieron calcular formulas, como por
ejemplo, la fórmula del área de un triángulo(b)(h)/2, salió apartir de
calcular el área bajo la recta de un triángulo.
Ahora, existe otra cuestión fundamental, que es el hecho de que sirve
para calcular velocidades; no solo de un cuerpo, sino que velocidades de
crecimiento, decrecimiento, enfriamiento, separación, divergentes de
fluidos, etc.
Citamos a continuación uno de los infinitos casos en los que el cálculo
diferencial nos es muy útil en materia de construcción, tal como lo
muestra el libro de (FLORES GALLEGOS & ELIZONDO, 2001, pág. 23)

8. 8
4.1.1 Resistencia de Vigas.
En ingeniería y arquitectura se denomina viga a un elemento estructural
lineal que trabaja principalmente a flexión. En las vigas, la longitud
predomina sobre las otras dos dimensiones y suele ser horizontal.
El esfuerzo de flexión provoca tensiones de tracción y compresión,
produciéndose las máximas en el cordón inferior y en el cordón superior
respectivamente, las cuales se calculan relacionando el momento flector y
el segundo momento de inercia. En las zonas cercanas a los apoyos se
producen esfuerzos cortantes o punzonamiento. También pueden
producirse tensiones por torsión, sobre todo en las vigas que forman el
perímetro exterior de un forjado. Estructuralmente el comportamiento de
una viga se estudia mediante un modelo de prisma mecánico. Figura (3)
Fig. 3
La teoría de vigas es una parte de la resistencia de materiales que
permite el cálculo de esfuerzos y deformaciones en vigas. Si bien las
vigas reales son sólidos deformables, en teoría de vigas se hacen ciertas
simplificaciones gracias a las que se pueden calcular aproximadamente
las tensiones, desplazamientos y esfuerzos en las vigas como si fueran
elementos unidimensionales.
Ecuaciones de equilibrio
Las ecuaciones de equilibrio para una viga son la aplicación de las
ecuaciones de la estática a un tramo de viga en equilibrio. Las fuerzas
que intervienen sobre el tramo serían la carga exterior aplicada sobre la
viga y las fuerzas cortantes actuantes sobre las secciones extremas que
delimitan el tramo. Si el tramo está en equilibrio eso implica que la suma
de fuerzas verticales debe ser cero, y además la suma de momentos de

9. 9
fuerza a la fibra neutra debe ser cero en la dirección tangente a la fibra
neutra. Estas dos condiciones sólo se pueden cumplir si la variación de
esfuerzo cortante y momento flector están relacionada con la carga
vertical por unidad de longitud mediante:
A lo largo de la historia, las vigas se han realizado de diversos materiales;
el más idóneo de los materiales tradicionales ha sido la madera, puesto
que puede soportar grandes esfuerzos de tracción, lo que no sucede con
otros materiales tradicionales pétreos y cerámicos, como el ladrillo.

10. 10
4.2.Cálculo de Derivadas
4.2.1.Definición
Para (RUIZ ZÚÑIGA & BARRANTES CAMPOS, 1997)el Cálculo
Diferencial consiste en el estudio del cambio de las variables
dependientes cuando cambian las variables independientes de las
funciones. El principal objeto de estudio en el cálculo diferencial es la
derivada. En una gran cantidad de procesos donde se relacionan dos o
más variables, frecuentemente el cambio en una de ellas induce un
cambio en el valor de las otras.
4.2.2.Historia
Los grandes creadores del Cálculo diferencial fueron el inglés Isaac
Newton (1642--1727) y el alemán Gottfried Wilhelm Leibniz (1646--
1716). De manera diferente pero independientemente estos grandes
intelectuales de los siglos XVII y XVIII sistematizaron y generalizaron
ideas y procedimientos que habían sido abordados (de diferentes
maneras) y con éxito parcial desde la Antigüedad. Antes de Newton y
Leibniz fueron realizados diversos aportes de importancia asociados al
nombre de grandes personalidades, como por ejemplo: Gilles de
Roberval (1602--1675), Johannes Kepler (1571--1630), René Descartes
(1596--1650), Pierre de Fermat (1601--1665), Galileo Galilei (1564--
1642), Christian Huygens (1629--1695, amigo de Leibniz), John Wallis
(1616--1703, amigo de Newton), BonaventuraCavalieri (1598--1647,
discípulo de Galileo), Evangelista Torricelli (1608--1647, discípulo de
Galileo), Isaac Barrow (1630--1677, maestro de Newton). Para tener la
perspectiva científica e histórica apropiada, debe decirse que una de las
contribuciones previas decisivas para el trabajo de Newton y Leibniz fue
la Geometría Analítica (la expresión de puntos geométricos en
coordenadas y el uso de métodos algebraicos), creado
independientemente por Descartes y Fermat.
A criterio grupal, el cálculo infinitesimal, constituye uno de los más
grandes descubrimientos llevado a cabo por el intelecto humano.

11. 11
4.2.3 La Derivada
Según (PURCELL & RIGDON, 2007, pág. 93)la derivada puede
entenderse geométricamente de la siguiente forma:
“La recta tangente a la curva y= f(x) en P[c,f(c)] es la recta que pasa por
P con pendiente”:
“Siempre y cuando exista el límite y no sea ∞ ó -∞ “
También (PURCELL & RIGDON, 2007, pág. 100) nos presentan la
definición formal de la derivada de la siguiente forma:
La derivadade una función f es otra función (léase “f prima”) cuyo valor
encualquier número x es
Si este límite existe, decimos que f es derivable en x. Determinar una
derivada recibeel nombre de derivación; la parte del cálculo asociada
con la derivada se denomina cálculodiferencial.

12. 12
4.2.3.1 Regla General para Derivar.
Extraemos a continuación del libro de (DOLORES, 2006, pág. 106) la
regla general para derivar:
Regla General para Derivar
1. Se atribuye una f(x) rx+∆x y se calcula el nuevo valor de f(y)+∆y
2. Se resta el valor dado de la función del nuevo valor y se obtiene
∆y(incremento de la función)
3. Se divide ∆y por ∆x(incremento de la variable independiente)
4. Se calcula el límite de este cociente cuando x tiende a 0. El limite hallado
es la derivación buscada, la operación de la derivada de una función se
llama derivación
Ejemplo: x³+2x²-3x-1
1.
Y + ∆y = (x + ∆x)3
+ 2(x + ∆x)2
– 3(x + ∆x) – 1
2.
Y + ∆y = x3
+ 3x2
∆x + 3x∆x2
+ ∆x3
+ 2x2
+ 4x∆x + 2∆x2
– 3x – 3∆x – 1
-Y = -x³-2x²+3x+1
∆y = 3x2
∆x + 3x∆x2
+ ∆x3
+ 4x∆x + 2∆x2
– 3∆x
3.
∆y = 3x2∆x + 3x∆x2 + ∆x3 + 4x∆x + 2∆x2 – 3∆x
∆x
∆y/∆x = 3x2
+ 3x∆x + ∆x2
+ 4x + 2∆x – 3
4.
∆y/∆x = 3x2
+ 3x [0] + [0]2
+ 4x + 2[0] – 3
R= ∆y/∆x = 3x2
+ 4x – 3
4.2.3.2Funciones Implícitas
Una correspondencia o una función está definida en forma implícita
cuando no aparece despejada la y sino que la relación entre x e y viene
dada por una ecuación de dos incógnitas cuyo segundo miembro es
cero.

13. 13
Para hallar la derivada en forma implícita no es necesario despejar y.
Basta derivar miembro a miembro, utilizando las reglas vistas hasta
ahora y teniendo presente que:
x'=1.
En general y'≠1.
Por lo que omitiremos x' y dejaremos y'.
A continuación citaremos un ejemplo tomado del libro de(PURCELL &
RIGDON, 2007, págs. 130-131)
Ejemplo:
Encuentre dy/dx, si 4x2y - 3y = x3 – 1
Método: Derivación implícita.-Igualamos las derivadas de los dos
lados. Después de utilizar la regla para el producto en el primer
término, obtenemos,
Después de utilizar la regla para el producto en el primer
término, obtenemos,

14. 14
4.2.3.3.Máximos y Mínimos
Los máximos o mínimos de una funciónconocidos como extremos de
una función, sonlos valores más grandes (máximos) o máspequeños
(mínimos) que toma una función enun punto situado ya sea dentro de
una regiónen particular de la curva o en el dominio de lafunción en su
totalidad.(PURCELL & RIGDON, 2007, pág. 151)nos brindan la
siguiente definición:
L
a
importancia del cálculo de máximos y mínimos y su practicidad, lo hace
un tema resaltable en el estudio del cálculo diferencial. Su extensión
abarca desde la medicina, hasta la ingeniería en todos sus campos;
desde economía hasta astronomía. Sin contar con sus aplicaciones en la
geometría (VER ANEXO 1)
Por ello, ahondamos más en la materia y explicamos a continuación unos
sencillos pasos a seguir para determinar máximos y mínimos que
 Se encuentra la primera derivada de la función

15. 15
 Se iguala a cero la primera derivada y se encuentran las raíces
de la ecuación resultante.
 Estas raíces son los valores críticos de la variable
 Se consideran los valores críticos uno por uno y se calculan los
signos de la primera derivada en primer lugar para un valor un
poco menor que el valor crítico y después para un valor un poco
mayor que el valor crítico.
 Si el signo de la derivada es primeramente + y después – la
función tiene un máximo para este valor crítico de la variable, en
caso contrario tiene un mínimo. Si el signo no cambia la función
no tiene ni máximo ni mínimo para el valor crítico considerado.
4.2.3.4. Cálculo de la primera derivada
Saber que una función tiene, o no, extremos relativos es de gran ayuda
al trazar su gráfica.
Suponga que f es continua sobre el intervalo cerrado [a,b] y
diferenciable en el intervalo abierto (a,b),excepto tal vez en número
critico c dentro del intervalo si f´(x) > 0 para toda x en (a,c) y f´(x) < 0
para toda x en (b,c) la gráfica de f sobre el intervalo (a,b) puede ser
como la figura 3, es decir f (c) es un máximo relativo.
4.2.3.5.Derivada de Orden Superior
Tal como nos lo presentan (PURCELL & RIGDON, 2007, págs. 125-
127)La operación de derivación toma una función f y produce una
nueva función f`. Si ahora derivamos f´, producimos otra función
denotada por f´´(léase “f biprima”) y denominada segunda derivada de
f.A su vez, puede derivarse, y de ahí producir f```,que se denomina
tercera derivada de f, y así sucesivamente. La cuarta derivada se
denota con f (4), la quinta derivada se denota con f (5), etcétera. Por
ejemplo, si

16. 16
5. MARCO METODOLÓGICO
Para la resolución de nuestro ejercicio, que está basado en un problema
geométrico, haremos uso del método inductivo. Puesto que nos guiaremos
con el uso de las nociones de pre-cálculo y cálculo, la inducción
matemática nos será necesaria para encontrar solución idónea.
Nos apoyamos de los conocimientos fundamentales adquiridos durante el
periódico académico.
5.1 Metodología aplicada al proyecto
Métodos científicos y/o Técnicas de cálculo utilizadas
 Métodos de investigación
 Método inductivo matemático
 Investigación bibliográfica
 Métodos de Calculo
 Derivadas explicitas
 Máximos y mínimos
 Técnicas y Recursos utilizados
 Utilizaremos la geometría tanto al emplear la fórmula de cálculo de
volumen para un ortoedro (ver anexo 1), como para analizar la figura
elíptica estableciendo la ecuación de la misma(ver anexo 2).
 Recurriremos al importantísimo cálculo diferencial para determinar el
máximo de nuestra ecuación planteada.
 Hemos considerado los recursos a disposición para el desarrollo de
ésta investigación (biblioteca, computadora, la internet)

17. 17
5.2. Desarrollo del Proyecto.
Actividades previas al desarrollo del ejercicio.
1. Mediante reunión por parte de todo el grupo, se decidió tomar el ejercicio
24 del libro de (GRANVILLE & SMITH, 1980, pág. 76), por creerlo el más
adecuado para exponer el tema de máximos y mínimos.
2. La elaboración de gráficos fue determinante para la resolución de nuestro
problema.
3. Tuvimos que revisar los apuntes de geometría analítica para obtener la
ecuación de la elipse.
4. Aplicamos el método de derivación explicita, por considerarlo proceso
más rápido para éste determinado ejercicio.
5. Se analiza la aplicación de máximos y mínimosen el siguiente ejercicio.
Enunciado del Ejercicio:
“La resistencia de una viga rectangular es proporcional al producto del
ancho por el cuadrado de su espesor (altura). Calcular las dimensiones
de la viga más resistente que puede cortarse de un tronco cuya sección
transversal es una elipse de semiejes a (mayor) y b (menor)”
Identificamos los datos.
La elaboración de gráficos es fundamental para hallar la solución.
a
b2y
2x
1

18. 18
R= (2x)(2y)²=8xy²
2x= ancho de la viga
2y= espesor de la viga
Una vez obtenidas nuestras ecuaciones, procedemos a despejar ecuaciones
y suplantarlas hasta conocer el valor de nuestras incógnitas.
Cabe destacar que al existir dos ecuaciones con dos incógnitas, el sistema
tiene solución.
Aplicación de algebra en ecuación 1
Multiplicando por a²b² en ecuación 1 b²x²+a²y²=a²b²
Despejando y² de ecuación
Introduciendo ecuación 4 en ecuación 2
R= 8xy²= )
Introduciendo la variable X dentro de los paréntesis R=
k
2y
2x
2
3
4
5
a
b

19. 19
Obteniendo la primera derivada de ecuación 5
dR= 8(b²-
Convirtiendo la primera derivada de ecuación 5 en 0 para obtener su valor
máximo.
0= 8(b²-
Despejando x de ecuación 6 x =
Reemplazando el valor de x en ecuación 4
= b² )
Despejando y de ecuación 7 y= b√(2/3)
Colocando los valores de x e y en ecuaciones a, b
Ancho de la viga= 2x= 2
Espesor de la viga= 2y= 2b√(2/3)
Ver forma resumida de resolución del ejercicio en anexo 3
6
c
7
d

20. 20
6. CONCLUSIONES
 Adquirimos conceptos prácticos sobre el cálculo infinitesimal.
Determinamos que el cálculo diferencial es indispensable para
desarrollar ejercicios del cálculo integral, siendo éste último
fundamental para resolver problemas que se presentan en la ingeniería
civil.
Recomendación: Consultar con profesionales para adquirir de ellos
información más contundente y directa sobre el uso de derivadas en la
ingeniería civil.
 La aplicación de cálculo de máximos y mínimos nos permitió resolver
de una forma rápida y sencilla uno de las tantas interrogantes que se
pueden presentar en ejecución de una obra civil.
Recomendación: Apoyarse en mucho material bibliográfico, tanto de
pre-cálculo como de cálculo. Revisar libros de geometría analítica.
 Identificamos los valores proporcionales que afectaran a las
dimensiones que tendrá la viga con mayor resistencia que se puede
obtener a partir del tronco de un árbol.
Recomendaciones: Elaborar la representación gráfica
correspondiente al problema que nos brinde una visión más amplia y
detallada, permitiéndonos así elegir el camino correcto a
seguirse.Llevar a cabo el proceso de derivación de manera explícita, ya
que de lo contrario dicha operación resultaría inadecuadamente
extensa.
Recomendaciones adicionales:
 Toma de decisiones de forma grupal puesto que el tema, al ser de índole
matemático, necesita un orden secuencial para ser más fácil su
comprensión.
 Revisar las normas INEN a ser empleadas en nuestro documento
investigativo para que no nos cree problemas en lo posterior.
 Consultar periódicamente con el tutor del proyecto, para guiarnos de
forma correcta en desarrollo del mismo.

21. 21

22. 22
BIBLIOGRAFÍA
DOLORES, C. (2006). Matemática Educativa. Capitulo 4: Tratamiento de la
derivada. Ciudad de México: Díaz de Santos.
FLORES GALLEGOS, J., & ELIZONDO, R. (2001). Notas de cálculo diferencial
e Integral I. México: UNAM.
GIL SEVILLA, Jorge Luis & DÍAZ TÉLLEZ, Rebeca. 2013. Cálculo Diferencial
para cursos con enfoque por competencias. Teorema de Rolle.Editorial
PEARSON. Primera Edición. México. ISBN : 978-607-32-1948-8.
GRANVILLE, W. A., & SMITH, P. F. (1980). Cálculo Diferencial e Integral.
Capítulo V: "Aplicaciones de la Derivada". México: Limusa.México. ISBN:
968-18-1178-x.
LARSON, Ron & EDWARDS, Bruce H.& HOSTETLER, Robert. P. 2006.
Cálculo Capítulo 2 "Derivación". Editorial Mc GRAW HILL
Interamericana. Novena Edición. México DF. ISBN : 970-10-5710-4.
PURCELL, E., & RIGDON, S.(2007). Cálculo Diferencial e Integral (9na Ed).
Capítulo 2: "La Derivada", Capítulo 3: "Aplicaciones de la Derivada".
Washington: Pearson Education.
RUIZ ZÚÑIGA, A., & BARRANTES CAMPOS, H. (1997). Elementos de cálculo
diferencial. Capítulo 3 "Derivadas, aplicaciones y temas". San José,
Costa Rica: Universidad de Costa Rica.
ZILL, Dennis G & WRIGHT, Warren S. 2011. Cálculo de Trascendentes
Tempranas.Calculo de la primera Derivada. Editorial Mc GRAW HILL.
Cuarta Edición. México DF. ISBN : 978-607-15-0502-6.

23. ANEXOS

24. ANEXO 1: CÁLCULO DE VOLÚMENES Y ÁREAS EN DISTINTAS
FIGURAS GEOMÉTRICAS
Fórmulas de área y volumen de cuerpos geométricos
Figura Esquema Área Volumen
Cilindro
Esfera
Cono
Cubo A = 6 a2
V = a3
Prisma
A = (perim. base • h) + 2 •
area base
V = área base
h
Pirámid
e

25. POLIEDROS REGULARES
Figura Esquema Nº de caras Área
Tetraedro
4 caras, triángulos
equiláteros
Octaedro
8 caras, triángulos
equiláteros
Cubo 6 caras, cuadrados A = 6 a2
Dodecaedro
12 caras, pentágonos
regulares
A = 30 · a · ap.
Icosaedro
20 caras, triángulos
equiláteros

26. ANEXO 2: ELIPSE
Ecuación reducida de la elipse
Tomamos como centro de la elipse el centro de coordenadas y los ejes de la
elipse como ejes de coordenadas. Las coordenadas de los focos son:
F'(-c,0) y F(c,0)
Cualquier punto de la elipse cumple:
Esta expresión da lugar a:
Realizando las operaciones llegamos a:

27. ELEMENTOS DE LA ELIPSE
1. Focos: Son los puntos fijos F y F'.
2. Eje focal: Es la recta que pasa por los focos.
3. Eje secundario: Es la mediatriz del segmento FF'.
4. Centro: Es el punto de intersección de los ejes.
5. Radios vectores: Son los segmentos que van desde un punto de la
elipse a los focos: PF y PF'.
6. Distancia focal: Es el segmento de longitud 2c, c es el valor de la
semidistancia focal.
7. Vértices: Son los puntos de intersección de la elipse con los ejes: A, A',
B y B'.
8. Eje mayor: Es el segmento de longitud 2a, a es el valor del semieje
mayor.
9. Eje menor: Es el segmento de longitud 2b, b es el valor del semieje
menor.
10.Ejes de simetría: Son las rectas que contienen al eje mayor o al eje
menor.
11.Centro de simetría: Coincide con el centro de la elipse, que es el punto
de intersección de los ejes de simetría.

28. ANEXO 3: EJERCICIO Nº24 DEL LIBRO DE (GRANVILLE &
SMITH, 1980, pág. 76)
Enunciado:
“La resistencia de una viga rectangular es proporcional al producto del ancho
por el cuadrado de su espesor (altura). Calcular las dimensiones de la viga más
resistente que puede cortarse de un tronco cuya sección transversal es una
elipse de semiejes a (mayor) y b (menor)”.
Desarrollo: