cambio de variable

1. Cambio de variable
SARA LIZETH MUÑOZ MARTINEZ

2. CALCULAR DERIVADA
 Para calcular la derivada de una función, en general, el problema es muy sencillo,
pues solamente se requiere que identifiquemos el tipo de función para saber qué
regla (fórmula) vamos a utilizar para derivarla.

3.  Cuando queremos calcular una integral no siempre existe una fórmula con la que
podamos calcular la integral inmediatamente. Debido a esto se han creado
algunos métodos para calcular las integrales de funciones
que aparecen frecuentemente. De estos métodos, los más frecuentemente
usados son:
• 1. Cambio de variable
• 2. Integración por partes
• 3. Integración de potencias trigonométricas
• 4. Sustitución trigonométrica
• 5. Fracciones parciales

4. Algunas veces para poder integrar una función conviene utilizar un cambio de
variable. Este método tiene su justificación en la regla de la cadena que utilizamos en
cálculo diferencial:
En palabras, si tenemos una función compuesta que queremos integrar, debemos verificar
que la diferencial incluye a la derivada de la función para que podamos integrar.
Observa que el término solamente sirve para completar la diferencial. No es parte
de la función que vamos a integrar, de manera que no aparece en el resultado final. Sin
embargo, no debes olvidar verificar que este término se encuentre en el integrando como
un factor, de otra manera, la integral estará incorrecta.

5. EJEMPLOS:
Calcula la siguiente integral indefinida:
Empezamos definiendo: , de donde: .
Sustituyendo estos valores en la integral:
Observa que hemos completado el diferencial multiplicando por en el integrando. Ahora
solamente aplicamos la regla (iv) de integración, y obtenemos::
Obtenemos:

6. RESULTADO:

7. EJEMPLO 2
Calcula la integral:
Factorizando el término común, podemos representar esta integral como::
Ahora definimos:
Entonces, la diferencial está completa, y podemos
integrar haciendo el cambio de variable como se
acaba de definir:

8. EJEMPLO 3
Calcula la integral indefinida:
Podemos calcular esta integral utilizando la regla (iv) de integración:
Pero para eso, debemos hacer las definiciones:
Sustituyendo estos valores en la regla de sustitución obtenemos:

9. EJEMPLO 4
Calcula la siguiente integral:
Observa que el integrando se puede reescribir como:
Y si definimos:
que es precisamente el factor que tenemos en el numerador del integrando.
Entonces, la diferencial está completa.
Ahora podemos reescribir la integral como:

10.  Y la podemos integrar inmediatamente:
Este método será muy útil cuando tengamos una expresión irracional en el denominador del
integrando que no se puede simplificar usando solamente las leyes de los exponentes. Para
esto, nosotros vamos a definir una variable de manera que nos permita simplificar el
integrando, pero siempre teniendo en cuenta la regla para integrar por el método de cambio
de variable.
El truco para este tipo de integrales es definir elevado a una potencia que sea igual al
índice de la raíz e igualar esta potencia al radicando (que debe estar en función de ). Los
siguientes ejemplos muestran dos casos.