Teoría y problemas de Integrales Indefinidas MA-II ccesa007
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1. El documento describe los conceptos de integral indefinida y antiderivada. 2. Explica cómo la integral indefinida es el proceso inverso de la derivación y permite hallar la función original a partir de su derivada. 3. Proporciona ejemplos de cómo calcular antiderivadas de funciones elementales y aplicar reglas básicas de integración.
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- 1. CÁLCULO DE UNA VARIABLE FORMACIÓN POR COMPETENCIAS INTEGRAL INDEFINIDA (INTEGRACIÓN DIRECTA Y SUSTITUCIÓN)
- 2. Formación Básica Cálculo de una variable ANTIDERIVADA E INTEGRAL INDEFINIDA
- 3. Formación Básica Cálculo de una variable Objetivos 1. Reconocer la antiderivada de funciones elementales 2.- Interpretar la integral y su relación con la derivada 3.- Aplicar el método de integración por sustitución algebraica 4.- Aplicar la antiderivada general a problemas aplicados de contexto real.
- 4. Formación Básica Cálculo de una variable Introducción La integración indefinida es el proceso inverso de la derivación; así, para hallar la función original a partir de su derivada se utiliza el operador integral, Derivación 𝒗 = 𝒔′(𝒕) velocidad 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒈𝒓𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒔 = 𝒔(𝒕) Posición
- 5. Formación Básica Cálculo de una variable Planteamiento del problema El investigador de un laboratorio estima que la velocidad de una partícula que parte del reposo moviéndose en línea recta, en el instante t es: 𝒗 𝒕 = 𝟐𝒔𝒆𝒏 𝒕 + 𝟑𝒕 𝟐 Para hallar la función posición 𝐬 = 𝒔 𝒕 de la partícula en cualquier instante t a partir de la función velocidad 𝒗 𝒕 = 𝒔′(𝒕), es necesario efectuar la operación inversa llamada integración. Para ello es necesario conocer el concepto de integral indefinida y sus reglas básicas.
- 6. Formación Básica Cálculo de una variable Antiderivada (primitiva) de una función Sea 𝒇:𝑰→𝑹 una función definida en un intervalo 𝑰 ⊂𝑹. La función 𝑭 es una antiderivada (o primitiva) de 𝒇, si para cada 𝒙∈𝑰, se cumple: 𝑭′ 𝒙 = 𝒇(𝒙) Observación Si 𝑭 es una antiderivada de 𝒇 en un intervalo 𝑰⊂𝑹 , entonces la antiderivada más general de 𝒇, en 𝑰 es: 𝑭 𝒙 + 𝑪 donde 𝑪 es una constante arbitraria.
- 7. Formación Básica Cálculo de una variable Ejemplo Halle las funciones que son antiderivadas de: 𝑓(𝑥)=2𝑥 𝑭 𝟏 𝒙 = 𝒙 𝟐 + 𝟏 𝑭 𝟐 𝒙 = 𝒙 𝟐 𝑭 𝟑 𝒙 = 𝒙 𝟐 − 𝟏 𝑭 𝒙 = 𝒙 𝟐 + 𝐂, C: constante. Algunas funciones antiderivadas de 𝑓 son: Pues: 𝑭′ 𝟏 𝒙 = 𝟐𝒙 Pues: 𝑭′ 𝟐 𝒙 = 𝟐𝒙 Pues: 𝑭′ 𝟑 𝒙 = 𝟐𝒙 = 𝒇(𝒙) = 𝒇(𝒙) = 𝒇(𝒙) Como las funciones 𝐹1, 𝐹2, 𝐹3, se diferencian en una constante, por lo tanto la antiderivada general de 𝑓 se escribe:
- 8. Formación Básica Cálculo de una variable Representación geométrica 𝑥 𝑦 𝑭 𝟏(𝒙) = 𝒙 𝟐 + 𝟏 𝑭 𝟐(𝒙) = 𝒙 𝟐 𝑭 𝟑(𝒙) = 𝒙 𝟐 − 𝟏 Entonces: 𝑭 𝒙 = 𝒙 𝟐 + 𝐂, 𝑪: constante representa: La Antiderivada general de 𝑓 𝑥 .
- 9. Formación Básica Cálculo de una variable La integral indefinida Sea 𝒚=𝒇(𝒙), 𝒙 ∈ 𝑫𝒐𝒎(𝒇) una función real. La integral indefinida de la función 𝒇, es su antiderivada general en su 𝑫𝒐𝒎(𝒇) y se denota por: 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝑭 𝒙 + 𝐂, 𝐂: constante Ejemplo: 𝒙 𝟒 𝒅𝒙 𝒇 𝒙 = 𝒙 𝟒 Su antiderivada general es: 𝒙 𝟓 𝟓 + 𝑪 Pues: 𝒅 𝒅𝒙 𝒙 𝟓 𝟓 + 𝑪 = 𝒙 𝟒 Calcular la siguiente integral: Solución: 𝒙 𝟒 𝒅𝒙 = 𝒙 𝟓 𝟓 + 𝑪
- 10. Formación Básica Cálculo de una variable OBSERVACIONES 𝒇 𝒙 , es la función integrando y 𝒙 es la variable de integración. El símbolo (una s alargada) se llama integral y la expresión 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 se denomina la integral de 𝒇(𝒙) con respecto a 𝒙. El diferencial de 𝒙 (𝒅𝒙) sirve para identificar a 𝒙 como variable de integración. La constante 𝑪, se denomina constante de integración.
- 11. Formación Básica Cálculo de una variable TEOREMA 𝒌𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒌 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 , 𝒌 constante real. Sean 𝒇 y 𝒈 funciones que admiten antiderivadas en el intervalo 𝑰. Entonces se tiene 𝒅 𝒅𝒙 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒅 𝒅𝒙 𝑭 𝒙 + 𝑪 = 𝑭′ 𝒙 = 𝒇(𝒙) Esta propiedad indica que la derivación es la operación inversa de la integración indefinida. 𝒇(𝒙) ± 𝒈(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 ± 𝒈 𝒙 𝒅𝒙 𝒇′ 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒅(𝒇(𝒙)) = 𝒇(𝒙) En forma similar, la integración es la operación inversa de la derivación.
- 12. Formación Básica Cálculo de una variable Ejercicios 1. En cada caso, determine la integral indefinida, simplificando su resultado: 𝒙𝒇′ 𝒙 + 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 𝟐𝒇 𝒙 𝒇′(𝒙) 𝒙 − 𝒇 𝟐(𝒙) 𝒙 𝟐 𝒅𝒙 Solución: a) b)
- 13. Formación Básica Cálculo de una variable Ejercicios 2. En cada caso, determine la antiderivada más general o la integral indefinida, verifique su respuesta mediante derivación: 𝟏 𝒙 𝟐 − 𝒙 𝟐 − 𝟏 𝟑 𝒅𝒙 𝟐𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 − 𝟑𝒔𝒆𝒏(𝟑𝒙) 𝒅𝒙 a) b) Solución:
- 14. Formación Básica Cálculo de una variable Reglas básicas de integración • Ejemplo: 𝟎 𝒅𝒖 = 𝒄; 𝒅𝒖 = 𝒖 + 𝒄 𝒌 𝒅𝒖 = 𝒌𝒖 + 𝒄; 𝒄: constante de integración • Ejemplo: 𝒙 𝟐 𝒅𝒙 = 𝒙 𝟑 𝟑 + 𝒄 𝒖 𝒏 𝒅𝒖 = 𝒖 𝒏+𝟏 𝒏 + 𝟏 + 𝒄; 𝒏 ≠ −𝟏 • Ejemplo: 𝒅𝒙 𝒙+𝟑 = 𝒅(𝒙+𝟑) 𝒙+𝟑 = 𝐥𝐧(𝒙 + 𝟑) + 𝒄 𝒅𝒖 𝒖 = 𝒍𝒏 𝒖 + 𝒄 • Ejemplo: 𝒆 𝟐𝒙 𝒅𝒙 = 𝒆 𝟐𝒙 𝟏 𝟐 𝒅(𝟐𝒙) = 𝟏 𝟐 𝒆 𝟐𝒙 𝒅 𝟐𝒙 = 𝒆 𝟐𝒙 𝟐 + 𝒄 𝒆 𝒖 𝒅𝒖 = 𝒆 𝒖 + 𝒄 Sea 𝒖 = 𝒖 𝒙 , y además 𝑘; 𝑎 constantes; entonces:
- 15. Formación Básica Cálculo de una variable Reglas básicas de integración • Ejemplo: 𝟑 𝒙 𝒅𝒙 = 𝟑 𝒙 𝒍𝒏𝟑 + 𝐜 𝒂 𝒖 𝒅𝒖 = 𝒂 𝒖 𝒍𝒏𝒂 + 𝒄, 𝒂 > 𝟎 𝐲 𝒂 ≠ 𝟏 𝐜𝐨𝐧𝐬𝐭𝐚𝐧𝐭𝐞. • Ejemplo: 𝐜𝐨𝐬(𝟑𝒙)𝒅𝒙 = 𝐜𝐨𝐬 𝟑𝒙 𝟏 𝟑 𝒅 𝟑𝒙 = 𝟏 𝟑 𝒔𝒆𝒏(𝟑𝒙) + 𝒄 𝐜𝐨𝐬(𝒖) 𝒅𝒖 = 𝒔𝒆𝒏(𝒖) + 𝒄 • Ejemplo: 𝒔𝒆𝒏 𝟒𝒙 𝒅𝒙 = 𝒔𝒆𝒏 𝟒𝒙 𝟏 𝟒 𝒅(𝟒𝒙) = − 𝟏 𝟒 𝐜𝐨𝐬(𝟒𝒙) + 𝒄 𝒔𝒆𝒏(𝒖) 𝒅𝒖 = −𝐜𝐨𝐬(𝒖) + 𝒄 • Ejemplo: 𝒔𝒆𝒄 𝟐(𝒙 + 𝟏)𝒅𝒙 = 𝐭𝐚𝐧(𝒙 + 𝟏) + 𝒄 𝒔𝒆𝒄 𝟐(𝒖) 𝒅𝒖 = 𝐭𝐚𝐧(𝒖) + 𝒄
- 16. Formación Básica Cálculo de una variable Reglas básicas de integración • Ejemplo: 𝒅𝒙 𝒙 𝟐+𝟗 = 𝟏 𝟑 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( 𝒙 𝟑 ) + 𝐜 𝒅𝒖 𝒖 𝟐 + 𝒂 𝟐 = 𝟏 𝒂 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 𝒖 𝒂 + 𝒄 • Ejemplo: 𝒅𝒖 𝒙 𝟐±𝟒 = 𝒍𝒏 𝒙 + 𝒙 𝟐 ± 𝟒 + 𝒄 𝒅𝒖 𝒖 𝟐 ± 𝒂 𝟐 = 𝒍𝒏 𝒖 + 𝒖 𝟐 ± 𝒂 𝟐 + 𝒄 • Ejemplo: 𝒅𝒖 𝟗−𝒙 𝟐 = 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝟑 + 𝒄 𝒅𝒖 𝒂 𝟐 − 𝒖 𝟐 = 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏 𝒖 𝒂 + 𝒄 • Ejemplo: 𝒅𝒖 𝒙 𝟐−𝟒 = 𝟏 𝟐(𝟐) 𝒍𝒏 𝒙−𝟐 𝒙+𝟐 + 𝒄 𝒅𝒖 𝒖 𝟐 − 𝒂 𝟐 = 𝟏 𝟐𝒂 𝒍𝒏 𝒖 − 𝒂 𝒖 + 𝒂 + 𝒄
- 17. Formación Básica Cálculo de una variable Ejemplos 1. Use la tabla de integración para calcular las siguientes integrales: 𝒙 𝟑 − 𝟐𝒔𝒆𝒏𝒙 + 𝟑 𝒙 𝒅𝒙a) Solución: Usando: 𝒇(𝒙) ± 𝒈(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 ± 𝒈 𝒙 𝒅𝒙, entonces: = 𝒙 𝟑 𝒅𝒙 − 𝟐 𝒔𝒆𝒏𝒙𝒅𝒙 + 𝟑 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒙 𝟒 𝟒 + 𝟐𝒄𝒐𝒔𝒙 + 𝟑 𝒙 𝒍𝒏𝟑 + 𝑪
- 18. Formación Básica Cálculo de una variable Ejemplos 𝒆 𝒙 + 𝒙 𝒙𝒆 𝒙 𝒅𝒙b) Solución: = 𝒆 𝒙 𝒙𝒆 𝒙 + 𝒙 𝒙𝒆 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒅𝒙 𝒙 + 𝒆−𝒙 𝒅𝒙 = 𝒍𝒏 𝒙 − 𝒆−𝒙 + 𝑪 Usando: 𝒇(𝒙) ± 𝒈(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 ± 𝒈 𝒙 𝒅𝒙, entonces:
- 19. Formación Básica Cálculo de una variable Ejercicios 𝒆 𝟐𝐥𝐧(−𝟐𝒙+𝟓) 𝟑𝒙 𝒅𝒙 Solución: 1. Use la tabla de integración para calcular la siguiente integral:
- 20. Formación Básica Cálculo de una variable Ejercicios 3. El jefe de un laboratorio de fisicoquímica estima que una partícula se mueve de tal forma que su velocidad en cualquier instante 𝑡 (en segundos) es: 𝒗 𝒕 = 𝒕 𝟑 − 𝟓𝒕 𝟐 + 𝟔𝒕; y su posición inicial es: 𝒔 𝟎 = 𝟓. Halle la función de posición de la partícula. Solución:
- 21. Formación Básica Cálculo de una variable MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN (CAMBIO DE VARIABLE)
- 22. Formación Básica Cálculo de una variable Objetivos 1.- Entender el teorema de sustitución en el cálculo de integrales definidas 2.- Aplicar el método de integración por sustitución algebraica 2.- Utiliza el método de integración por sustitución para calcular integrales definidas.
- 23. Formación Básica Cálculo de una variable Teorema Sea 𝒇 y 𝒈 funciones reales de variable real tales que existe 𝒇𝒐𝒈; 𝒇 es continua y 𝒈 es derivable. Si 𝑭 es una antiderivada de 𝒇, entonces: 𝒇 𝒈 𝒙 . 𝒈′ 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑭 𝒈 𝒙 + 𝑪 Para aplicar esta propiedad se procede de la siguiente manera 1) Se identifica la expresión por sustituir 𝑢 = 𝑔 𝑥 y su diferencial 𝒅𝒖 = 𝒈′ 𝒙 𝒅𝒙. 2) Se efectúa la sustitución 𝒇 𝒈 𝒙 . 𝒈′ 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒇 𝒖 𝒅𝒖 3) Se integra utilizando la fórmulas básicas de integración, luego se expresa en términos de la variable original.
- 24. Formación Básica Cálculo de una variable Ejemplos 1) Calcular la siguiente integral: 𝒙 𝟐 𝒙 𝟑 + 𝟖 𝟑 𝒅𝒙 La sustitución adecuada es: 𝒖 = 𝒙 𝟑 + 𝟖 → 𝒅𝒖 = 𝟑𝒙 𝟐 𝒅𝒙 Luego, se efectúa la sustitución y se integra Solución: → 𝒅𝒖 𝟑 = 𝒙 𝟐 𝒅𝒙 𝒙 𝟐 𝒙 𝟑 + 𝟖 𝟑 𝒅𝒙 = (𝒙 𝟑 + 𝟖) 𝟏 𝟑. 𝒙 𝟐 𝒅𝒙 = 𝒖 𝟏 𝟑 𝟑 𝒅𝒖 = 𝒖 𝟒 𝟑 𝟒 + 𝑪 = (𝒙 𝟑 + 𝟖) 𝟒 𝟑 𝟒 + 𝑪
- 25. Formación Básica Cálculo de una variable Ejemplos 2) Calcular la siguiente integral: 𝒅𝒙 𝟏 − 𝒙 𝟐 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏(𝒙) La sustitución adecuada es: 𝒖 = 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏𝒙 → 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 𝟏−𝒙 𝟐 Luego, se efectúa la sustitución y se integra Solución: 𝒅𝒙 𝟏 − 𝒙 𝟐 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏(𝒙) = (𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛𝑥)− 1 2 𝑑𝑥 1 − 𝑥2 𝒅𝒙 𝟏 − 𝒙 𝟐 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏(𝒙) = 𝑢− 1 2 𝑑𝑢 = 2𝑢 1 2 + 𝐶 = 2(𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛𝑥) 1 2+𝐶
- 26. Formación Básica Cálculo de una variable Ejercicios 1) Calcular las siguientes integrales: 𝒅𝒙 𝒙( 𝒙 + 𝟏) Solución: a) b) 𝒅𝒙 𝒙 (𝟔𝒍𝒏𝒙 + 𝟓) c) 𝒆 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝒙 𝒅𝒙 d) 𝒅𝒙 𝒙 𝟐 − 𝒂 𝟐. 𝒍𝒏(𝒙 + 𝒙 𝟐 − 𝒂 𝟐)
- 27. Formación Básica Cálculo de una variable Ejercicios 2) La pendiente de una curva en cualquier punto (𝒙; 𝒚) de ella es igual a 𝟐𝒙 𝒙 𝟐+𝟏 . Si la curva pasa por el punto 𝟎; 𝟐 , encontrar la ecuación de la curva. Solución: