calculo

1. Introducción
La Facultad Regional Multidisciplinaria Carazo de la UNAN Managua, a través del
Departamento de Educación y Humanidades presenta el libro de texto titulado
“CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL”
El propósito fundamental de esta obra es dotar a los estudiantes y docentes con un
instrumento pedagógico que facilite al aprendizaje del CALCULO DIFERENCIAL E
INTEGRAL , introduciendo al estudiante en la dinámica de la adquisición de
habilidades imprescindibles que aparecen registradas en el perfil profesional y que se
refieren a la interiorización de técnicas innovadoras que permitan administrar en las
aulas escolares procedimientos que propicien el desarrollo de saberes conceptuales,
procedimentales y actitudinales útiles para la vida cotidiana, la atmósfera laboral y el
desarrollo sostenible de nuestro país.
Los estudiantes tienen la oportunidad de seguir descubriendo y reafirmando la
cientificidad de los conceptos del CALCULO, el lenguaje simbólico, privilegiando
muchos aspectos que son necesarios en su vida laboral como docente de secundaria,
dedicando un especial cuidado a la formulación exacta de los enunciados matemáticos
y sus aplicaciones en los diferentes campos de la ciencia y la ingeniería .
La primera unidad CALCULO DIFERENCIAL EN UNA VARIABLE REAL se aborda
contenidos como Definición de derivada, Derivabilidad y continuidad de funciones,
Propiedades de la derivabilidad de funciones algebraicas, Derivada de una función
compuesta , Regla de la Cadena, Derivada implícita, Derivada de orden superior,
Notación de las derivadas de orden superior, Derivadas de funciones exponenciales y
logarítmicas, Derivadas de funciones trigonométricas, Derivadas de funciones
trigonométricas inversas, Aplicaciones de la derivada, Interpretación física y
geométrica de la derivada, Determinación de valores máximos y mínimo de una
función.
Máximo y mínimo absoluto de funciones en un intervalo cerrado, Criterio de la
primera derivada, Criterio de la segunda derivada, Concavidad y punto de inflexión,
Construcción de gráficas de funciones,Aplicaciones de los máximos y mínimos de una
función.
La primera segunda Unidad CALCULO INTEGRAL se aborda contenidos como
integral indefinida y los métodos de integración, la integral definida y las Aplicaciones
de la integral definida.

2. La Tercera unidad CÁLCULO DIFERENCIAL se aborda los contenidos de derivadas
parciales en dos y más variables, diferenciales y sus aplicaciones.
La cuarta unidad ECUACIONES DIFERENCIALES en esta unidad se aborda los
contenidos básicos sobre ecuaciones diferenciales sus métodos de solución y sus
aplicaciones.
Esta guía presenta la teoría y ejemplos diversos de las temáticas que se abordaran en
el curso de nivelación sobre conocimientos básicos de cálculo así como también una
serie de ejercicios propuestos que permitirán al estudiante afianzar sus
conocimientos adquiridos en cada encuentro.
I. La Integral Indefinida
Hasta ahora en nuestro estudio del cálculo, nos hemos ocupado de derivación,
denominado calculo diferencial.
En este tema abordaremos una segunda e importantísima área de estudio del cálculo.
Antiderivadas
En los dos temas anteriores enunciamos algunos problemas en la forma “dada una
función f, encuentre la derivada f ′. En este tema nos ocupamos del problema inverso,
es decir, “dada la derivada f ′, encuentre la función f”.
Recordemos de las siguientes funciones, sus respectivas derivadas..
Función Derivada
𝑓 (𝑥) = 𝑥3
𝑓′(𝑥) = 3𝑥2
𝑓 (𝑥) = 𝑒2𝑥
𝑓′(𝑥) = 2𝑒2𝑥
𝑓 (𝑥) = 𝐿 𝑛 𝑥 𝑓′(𝑥) =
1
2
Efectuemos ahora la operación inversa de la derivación, es decir la antiderivación.

3. Función f’ (x) Antiderivada f(x)
3𝑥2
𝑥3
2𝑒2𝑥
𝑒2𝑥
1
𝑥
L n x
En los ejercicios, puede observarse que la Antiderivada deshizo lo que la derivación
hizo, por lo tanto:
El proceso de determinar la función cuando se conoce su derivada, se llama
antiderivación.
Ejemplo 1:
Encontramos la antiderivada de:
𝑓′(𝑥) = 3𝑥2
Solución:
Se trata de encontrar la función original f, que al derivarla nos de 3𝑥2
.
Esta función es 𝑓 (𝑥) = 𝑥3
.
Algunas Antiderivadas de 𝑓′ (𝑥) = 3𝑥2
son 𝑥3
, 𝑥3
+ 1, 𝑥3
− 7 o sea 𝑥3
± 𝐶 puesto
que al derivar cualquiera de estas obtenemos 3𝑥2
.
Por lo tanto, la antiderivada más general de 𝑓 (𝑥) = 3𝑥2
es 𝑥3
+ 𝐶 , donde C es
cualquier constante.
Notación:
La antiderivada recibe también el nombre de integral indefinida.
Para indicas la antiderivada o integral indefinida de 𝑓 (𝑥) usamos la notación.
: Se lee antiderivada de 𝑓 (𝑥)o integral
indefinida de 𝑓 (𝑥) con respecto a 𝑥.
: Se llama signo integral
: Se llama integrando.
∫ 𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥
∫
𝑓 (𝑥)

4. : Denota la variable respecto a la cual se realiza el
proceso de integración.
INTEGRAL INDEFINIDA
Definición:
Sea F una función continua:
∫ 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝐶 𝑆𝑖 𝐹′ (𝑥) = 𝑓(𝑥)
“C” se denomina constante de integración, refleja la naturaleza indefinida de la
obtención de la antiderivada o integral indefinida.
En el ejemplo 1 observemos que la antiderivada de 3𝑥2
es 𝑥3
. Usando la notación
integral, denotamos:
∫ 3𝑥2
𝑑𝑥 = 𝑥3
+ 𝐶
NOTA: Recordemos que calcular una integral indefinida es lo mismo que obtener una
antiderivada. Por lo tanto una comprobación fácil de la antiderivada consiste en
diferenciar la función y determinar f’. La aplicación de este mecanismo de verificación
requiere unos cuantos segundos y con él podemos evitar errores atribuibles al
descuido.
REGLAS DE INTEGRACIÓN
Reglas 1: Integración de funciones constantes.
∫ 𝑘 𝑑𝑥 = 𝑘𝑥 + 𝐶 ; 𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑘 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑟𝑒𝑎𝑙
Ejemplos: Calculemos las integrales que se indican:
1. ∫(−2) 𝑑𝑥 = −2𝑥 + 𝐶
2. ∫ √2 𝑑𝑥 = √2 𝑥 + 𝐶
3. ∫
(3)
2
𝑑𝑥 =
3
2
𝑥 + 𝐶
4. ∫ 𝑜 𝑑𝑥 = 𝑜 𝑥 + 𝐶 = 𝐶
Reglas 2: Integración de funciones potenciales.
∫ ….d x

5. ∫ 𝑥𝑛
𝑑𝑥 =
𝑥𝑛+1
𝑛+1
+ 𝐶 ; 𝑛 ≠ −1
Ejemplos ilustrativos:
Usando la regla de la potencia, evaluemos cada integral.
1. ∫ 𝑥3
𝑑𝑥 =
𝑥3+1
3+1
+ 𝐶 =
𝑥4
4
+ 𝐶
2. ∫
1
√𝑡
𝑑𝑡 = ∫ 𝑡
−1/2
𝑑𝑡 =
𝑡
−
1
2
+1
−
1
2
+1
+ 𝐶 = 2√𝑡 + 𝐶
3. ∫ 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑥1+1
1+1
+ 𝐶 =
𝑥2
2
+ 𝐶
Reglas 3: Integración de una constante K por una función.
∫ 𝑘 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐾 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ; donde 𝐾 es constante arbitraria.
Ejemplos: Encontremos:
1. ∫ −5𝑥 𝑑𝑥𝑥𝑥 = −5 ∫ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑛 − 5 (
𝑥1+1
1+1
+ 𝐶) aplicando las reglas 3 y 2.
=−
5
2
𝑥2
− 5𝐶
= -
5
2
𝑥2
− 𝐶 porque “C” y 5 son constantes y el
producto de dos constantes es otra constante
2. ∫
𝑥2
2
𝑑𝑥 = ∫
1
2
𝑥2
𝑑𝑥 =
1
2
∫ 𝑥2
𝑑𝑥
=
1
2
(
𝑥2+1
2+1
+ 𝐶)
=
1
2
(
𝑥2+1
2+1
+ 𝐶)
=
𝑥3
6
+
1
2
𝐶
=
𝑥3
6
+ 𝐶
3. ∫
3
√𝑥
𝑑𝑥 = ∫ 3𝑥−1/2
𝑑𝑥 = 3 ∫ 𝑥−1/2
𝑑𝑥
= 3 (
𝑥
−
1
2
+ 1
−
1
2
+ 1
+ 𝐶)
= 3
𝑥
1
2
1
2
+ 3𝐶 = 6𝑥1/2
+ 𝐶

6. = 6√𝑥 + 𝐶
Reglas 4: Integración de Suma o Resta de funciones.
Si ∫ 𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥 y ∫ 𝑔 (𝑥) 𝑑𝑥 existen entonces
∫[𝑓 (𝑥) ± 𝑔 (𝑥)]𝑑𝑥 = ∫ 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 ± ∫ 𝑔 (𝑥)𝑑𝑥
Calculemos:
1. ∫(4𝑥 − 6)𝑑𝑥 = ∫ 4𝑥𝑑𝑥 − ∫ 6𝑑𝑥 = 4 ∫ 𝑥𝑑𝑥 − 6 ∫ 𝑑𝑥 Aplicando las reglas 4 y 3.
= 4 [
𝑥1+1
1+1
+ 𝐶] − 6[𝑥 + 𝐶2] Según la regla 2
= 4.
𝑥2
2
+ 4𝐶1 − 6𝑥 − 6𝐶2
= 2𝑥2
− 6𝑥 + 4𝑐1 − 6𝐶2
= 2𝑥2
− 6𝑥 + 𝐶
En el ejemplo notamos que tanto 4𝐶1como −6𝐶2 son constantes por lo que se
puede considerar como una sola.
2. ∫(1 + √𝑥 + 𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 1𝑑𝑥 + ∫ √𝑥𝑑𝑥 + ∫ 𝑥 𝑑𝑥
= ∫ 𝑑𝑥 + ∫ 𝑥1/2
𝑑𝑥 + ∫ 𝑥 𝑑𝑥
= 𝑥 + 𝐶1 +
𝑥
1
2
+1
1
2
+ 1
+ 𝐶2 +
𝑥1+1
1 + 1
+ 𝐶3
= 𝑥 +
𝑥
3
2
3
2
+
𝑥2
2
+ 𝐶1 + 𝐶2 + 𝐶3
Por ser la suma de constantes igual a otra constante obtenemos:
∫(1 + √𝑥 + 𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑥 +
2
3
𝑥3/2
+
𝑥2
2
+ 𝐶
3. ∫
𝑥 2+ 3𝑥−2
√𝑥
3 𝑑𝑥
Solución:
∫
𝑥2+3𝑥−2
√𝑥
3 = 𝑑𝑥 ∫
𝑥2+3𝑥−2
𝑥
1
3
𝑑𝑥

7. ∫
1
𝑥
𝑑𝑥 = ∫ 𝑥−1
𝑑𝑥 = 𝐿𝑛 𝑥 + 𝐶
∫ 𝑒𝑎𝑥
𝑑𝑥 =
𝑒𝑎𝑥
𝑎
+ 𝑐
𝑎𝑥
𝑑𝑥 =
𝑎𝑥
𝑙𝑛𝑎
+c
= ∫
𝑥2
𝑥1/3
𝑑𝑥 + 3 ∫
𝑥
𝑥1/3
𝑑𝑥 − 2 ∫
1
𝑥1/3
𝑑𝑥
= ∫ 𝑥2−1/3
𝑑𝑥 + 3 ∫ 𝑥1−1/3
𝑑𝑥 − 2 ∫ 𝑥−1/3
𝑑𝑥
= ∫ 𝑥5/3
𝑑𝑥 + 3 ∫ 𝑥2/3
𝑑𝑥 − 2 ∫ 𝑥−1/3
𝑑𝑥
Integrando cada término resulta:
=
𝑥
5
3
+1
5
3
+ 1
+ 3
𝑥
2
3
+1
2
3
+ 1
− 2
𝑥−
1
3
+1
−
1
3
+ 1
+ 𝐶
=
𝑥
8
3
8
3
+ 3
𝑥
5
3
5
3
− 2
𝑥
2
3
2
3
+ 𝐶
=
3
8
𝑥
8
3 +
9
5
𝑥
5
3 − 3𝑥
2
3 + 𝐶
Veamos a continuación algunas formulas básicas para la integración.
Sabemos que la derivación y la integración son operaciones inversas, por tanto se
cumple que:
a). 𝐷𝑥 [∫ 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥] = 𝑓 (𝑥)
b). ∫[𝑑𝑥 𝑓 (𝑥)]𝑑𝑥 = 𝑓 (𝑥) + 𝐶
Usando los resultados anteriores podemos enunciar a continuación algunas reglas
adicionales de integración.
Regla 5:
Esta regla es un excepción de la regla2 (regla de la potencia), donde n =-1 para xn.
Regla 6:
Regla7:

8. Ejemplos: Apliquemos las reglas adicionales para calcular integrales indefinidas.
1. ∫
𝑥2+5
𝑥
𝑑𝑥 = ∫
𝑥2
𝑥
𝑑𝑥 + ∫
5
𝑥
𝑑𝑥
= ∫ 𝑥𝑑𝑥 + 5 ∫
1
𝑥
𝑑𝑥 =
𝑥2
2
+ 5𝑙𝑛|𝑥| + 𝑐
2. ∫ 4𝑒𝑥
𝑑𝑥 = 4 ∫ 𝑒𝑥
𝑑𝑥 = 4𝑒𝑥
+ 𝑐
3. ∫ 5𝑥
𝑑𝑥 =
5𝑥
𝑙𝑛5
+ 𝑐
4. ∫ 6𝑒3𝑥
𝑑𝑥 = 6 ∫ 𝑒3𝑥
𝑑𝑥
= 6 ∗
𝑒3𝑥
3
+ 𝑐 = 2𝑒3𝑥
+ 𝑐
5. ∫ (
𝑒𝑥
7
−
5
𝑥
+ 3𝑥
) 𝑑𝑥 = ∫
𝑒𝑥
7
𝑑𝑥 − ∫
5
𝑥
𝑑𝑥 + ∫ 3𝑥
𝑑𝑥
=
1
7
∫ 𝑒𝑥
𝑑𝑥 − 5 ∫
1
𝑥
𝑑𝑥 + ∫ 3𝑥
𝑑𝑥
=
𝑒𝑥
7
− 5𝑙𝑛|𝑥| +
3𝑥
𝑙𝑛3
+ 𝑐
Ejercicios de fijación de reglas. Evalúen las integrales.
1) ∫ 80𝑑𝑥
2) ∫ (
𝑥
4
) 𝑑𝑥
3) ∫ (
1
𝑥
+
1
𝑥2
+
1
𝑥3
) 𝑑𝑥
4) ∫(𝑥2
+ 1)2
𝑑𝑥
5) ∫ (√𝑦
5
+
1
√𝑦
5 ) 𝑑𝑦
6) ∫(2𝑥 + 1)(𝑥 − 3)𝑑𝑥
7) ∫
(√𝑥+3)
2
√𝑥
𝑑𝑥
8) ∫
𝑑𝑥
4
9) ∫ 𝑥10
𝑑𝑥
10) ∫(5𝑥3
+ 2𝑥2
− 3𝑥 + 1)𝑑𝑥
11) ∫ (
−5
√𝑥
5 ) 𝑑𝑥
12) ∫ √𝑦 (√𝑦 +
1
√𝑦
) 𝑑𝑦

9. ∫ 𝑓[𝑔(𝑥)]𝑔′(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑢)𝑑𝑢
13) ∫ 𝑥2
(√𝑥 + 𝑥)𝑑𝑥
14) ∫ (1 +
1
𝑥
)
2 1
𝑥2
𝑑𝑥
15) ∫
𝑥3+1
𝑥3
𝑑𝑥
16) ∫
(𝑥−𝑥2)
2
𝑥3
𝑑𝑥
17) ∫
𝑥2+3𝑥+5
𝑥2
𝑑𝑥
18) ∫ 𝑒2𝑥
𝑑𝑥
19) ∫(𝑥 + 3)3
𝑑𝑥
Métodos de integración
No todas las integrales pueden obtenerse de maneras directas usando las reglas
expuestas anteriormente. La integración de algunas funciones puede resultar una
operación complicada. Para facilitar estos cálculos se han ideado algunos métodos de
integración, entre los que conoceremos los siguientes: cambio de variable, por parte,
fracciones parciales y otros.
Método de sustitución o cambio de variable
Este método lo utilizaremos para calcular el integral indefinido de una función
compuesta.
Por ejemplo: ∫ 𝑓[𝑔(𝑥)]𝑔′(𝑥)𝑑𝑥
Simplificaremos el cálculo, haciendo las siguientes sustituciones
𝑢 = 𝑔(𝑥)
𝑑𝑢 = 𝑔′(𝑥)𝑑𝑥
Resultando
Extendiendo este método a la regla de las potencias, obtenemos
El verdadero matemático no es un malabarista de los números sino de los conceptos.
I.Stewart (1975)

10. ∫ 𝑓[𝑔(𝑥)]𝑛
𝑔′(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑢𝑛
𝑑𝑢 =
𝑢𝑛+1
𝑛 + 1
+ 𝑐 =
[𝑔(𝑥)]𝑛+1
𝑛 + 1
Si 𝑢 = 𝑔(𝑥) 𝑦 𝑑𝑢 = 𝑔′(𝑥)𝑑𝑥
Ejemplos ilustrativos.
Evaluemos las siguientes integrales indefinidas.
1. ∫(5𝑥 − 3)3
5𝑑𝑥
Solución
Hacemos 𝑢 la función interior y calculamos la derivada de 𝑢 respecto a 𝑥.
𝑢 = 5𝑥 − 3
𝑑𝑢 = 5𝑑𝑥
Luego hacemos la sustitución y resolviendo el integral resultante obtenemos
∫ 𝑢3
𝑑𝑢 =
𝑢
4
4
+ 𝑐.
Luego regresando a las variable inicial
∫(5𝑥 − 3)3
𝑑𝑥 =
(5𝑥−3)
4
4
+ 𝑐
2. ∫
3𝑑𝑥
(3𝑥+2)3
𝑑𝑥
Solución.
Sea 𝑢 = 3𝑥 + 2 entonces 𝑑𝑢 = 3𝑑𝑥 sustituyendo e integrando obtenemos
∫
3𝑑𝑥
(3𝑥 + 2)3
𝑑𝑥 = ∫
𝑑𝑢
𝑢3
= ∫ 𝑢−3
𝑑𝑢
=
𝑢−3+1
−3 + 1
+ 𝑐
=
𝑢−2
−2
+ 𝑐
= −
1
2𝑢2
+c
=−
1
2(3𝑥+2)2
+ 𝑐

11. 3. ∫ 𝑥√7 − 6𝑥2
3
𝑑𝑥
Solución. Sea 𝑢 = 7 − 6𝑥2
entonces 𝑑𝑢 = −12𝑥𝑑𝑥 despejando 𝑥𝑑𝑥 obtenemos
𝑥𝑑𝑥 = −
𝑑𝑢
12
, sustituyendo e integrando.
∫ √𝑢
3
( −
𝑑𝑢
12
) =
−1
12
∫ 𝑢
1
3
⁄
𝑑𝑢
= (
−1
12
) (
𝑢
1
3
+1
1
3
+ 1
) + 𝑐
= −
1
16
𝑢
4
3 + 𝑐
= −
1
16
(7 − 6𝑥2)
4
3 + 𝑐
4. ∫ 𝑥3
√𝑥2 − 4𝑑𝑥
Solución.
Sea 𝑢 = 𝑥2
− 4 despejando 𝑥2
= 𝑢 + 4
𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥 . Despejando 𝑥𝑑𝑥 obtenemos 𝑥𝑑𝑥 =
𝑑𝑢
2
Nota. Cuando en un integral la función interior que hacemos igual a 𝑢 su
derivada no da la parte restante de mi integral entonces hay que hacer una
doble sustitución expresando todo el integral siempre en términos de 𝑢.
Rescribiendo el integral, sustituyendo e integrando, nos resulta;
∫ 𝑥3√𝑥2 − 4𝑑𝑥 = ∫ 𝑥2√𝑥2 − 4 𝑥𝑑𝑥
= ∫(𝑢 + 4)√𝑢
𝑑𝑢
2
∫
(𝑢 + 4)𝑢
1
2
2
𝑑𝑢 =
1
2
∫ (𝑢
3
2 + 4𝑢
1
2) 𝑑𝑢 =
1
2
∫ 𝑢
3
2𝑑𝑢 +
1
2
∫ 4𝑢
1
2𝑑𝑢
=
1
2
∫ 𝑢
3
2𝑑𝑢 + (
1
2
) 4 ∫ 𝑢
1
2𝑑𝑢 =
1
2
∫ 𝑢
3
2𝑑𝑢 + 2 ∫ 𝑢
1
2𝑑𝑢
=
2
5
𝑢
5
2 +
4
3
𝑢
3
2 + 𝑐 =
2
5
(𝑥2
− 4)
5
2 +
4
3
(𝑥2
− 4)
3
2 + 𝑐
Ejercicios.

12. Para adquirir dominio del método de sustitución se pide encontrar las
siguientes integrales indefinidas.
1) ∫ √3 + 9𝑥 𝑑𝑥
2) ∫ 𝑥2(6 − 2𝑥3)
2
3𝑑𝑥
3) ∫ 𝑥4(𝑥5
− 4)5
𝑑𝑥
4) ∫
𝑦𝑑𝑦
√𝑦2+1
5) ∫ 5√8𝑥 + 5
3
𝑑𝑥
6) ∫
1
√𝑥(√𝑥+1)
3 𝑑𝑥
7) ∫
𝑥3+2
𝑥4+8𝑥+1
𝑑𝑥
8) ∫
(√𝑢+3)
4
√𝑢
𝑑𝑢
9) ∫ 𝑧3(5 − 𝑧2)7
𝑑𝑧
10) ∫ (1 +
1
𝑥
)
2
.
1
𝑥2
𝑑𝑥
11) ∫(3 − 𝑥4)3
𝑥3
𝑑𝑥
12) ∫
𝑣2
(𝑣3−2)2
𝑑𝑣
13) ∫
𝑥2+𝑥
(4−3𝑥2−2𝑥3)4
𝑑𝑥
14) ∫
𝑥2−1
√2𝑥−1
𝑑𝑥
15) ∫ 𝑥√𝑥 + 2 𝑑𝑥
16) ∫(𝑥 + 1) √2 − 𝑥𝑑𝑥
17) ∫ 𝑡√𝑡 − 4
3
𝑑𝑡
18) ∫
2𝑥+1
√𝑥+4
𝑑𝑥
19) ∫ 𝑡𝑎𝑛4
𝑥𝑠𝑒𝑐2
𝑥 𝑑𝑥
20) ∫
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠3𝑥
𝑑𝑥

13. Método de integración Por parte.
Recordando
𝐷𝑥[𝑓(𝑥) ∗ 𝑔(𝑥)] = 𝑓(𝑥) ∗ 𝑔′(𝑥) + 𝑔(𝑥) ∗ 𝑓′
(𝑥)
Integrando ambos miembros de la igualdad anterior y el hecho de que la integración y la
derivación son operaciones inversas, resulta:
∫ 𝐷𝑥[𝑓(𝑥) ∗ 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥) ∗ 𝑔′(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑔(𝑥) ∗ 𝑓′
(𝑥)𝑑𝑥
𝑓(𝑥) ∗ 𝑔(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑥) ∗ 𝑔′(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑔(𝑥) ∗ 𝑓′
(𝑥)𝑑𝑥
O bien
Esta es la fórmula para la integración por parte y se utiliza generalmente cuando en el
integrando puede distinguirse el producto de dos funciones.
Para facilitar los cálculos haremos la siguiente sustitución:
𝑢 = 𝑓(𝑥) ⇒ 𝑑𝑢 = 𝑓′(𝑥)𝑑𝑥
𝑣 = 𝑔(𝑥) ⇒ 𝑑𝑣 = 𝑔′(𝑥)𝑑𝑥
Luego fórmula para la integración por parte.
La correcta utilización del método de integración por partes consiste saber
Identificar cual de los elementos del integrando será "𝑢" y cual será "𝑑𝑣".
Existe una técnica que nos ayudará a identificar las funciones a las que de manera
prioritaria le asignaremos la letra "𝑢".
La primera prioridad será para las funciones inversas siguen en el orden las
funciones logarítmicas, luego las algebraicas y la ultima prioridad corresponde a las
funciones exponenciales.
Ilustremos este método a través de los siguientes ejercicios.
1) Encontremos ∫ 𝑥 𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑥
∫ 𝑓(𝑥) ∗ 𝑔′(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥) ∗ 𝑔(𝑥) − ∫ 𝑔(𝑥) ∗ 𝑓′
(𝑥)𝑑𝑥
∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢 ∗ 𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢

14. Solución:
Siguiendo el orden de prioridad
Hacemos 𝑢 = 𝑙𝑛𝑥 ⇒ 𝑑𝑢 =
1
𝑥
𝑑𝑥 diferenciando "𝑢"
𝑑𝑣 = 𝑥𝑑𝑥 ⇒ 𝑣 =
𝑥2
2
Integrando ambos miembros.
Sustituyendo las expresiones anteriores en la fórmula de integración por partes,
obtenemos:
∫ 𝑥 𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑥 =
𝑥2
2
𝑙𝑛𝑥 − ∫
𝑥2
2
.
1
𝑥
𝑑𝑥
=
𝑥2
2
𝑙𝑛𝑥 −
1
2
∫ 𝑥𝑑𝑥 =
𝑥2
2
𝑙𝑛𝑥 −
𝑥2
4
+ 𝑐
Nota. El método de integración por parte nos facilito los cálculos, sin embargo
debemos tener mucho cuidado cuando se asignen 𝑢 y 𝑑𝑣. Una asignación
equivocada puede complicar los cálculos en vez de facilitarlos.
Ejercicios Propuestos
1) ∫ 𝑥𝑒−𝑥
𝑑𝑥
2) ∫ √𝑥 𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥
3) ∫ 𝑥2
𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥
4) ∫ 𝑥5
𝑙𝑛 (3𝑥)𝑑𝑥
5) ∫ 𝑥4
𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥
6) ∫ 𝑥3
𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑥
Método de integración para funciones trigonométricas.

15. FRACCIONES PARCIALES
Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones
racionales y obtener sumas de expresiones más simples.
Hay cuatro casos:
1) Descomposición en fracciones parciales en la cual cada denominador es
lineal.
2) Descomposición en fracciones parciales con un factor lineal repetido.
3) Descomposición en fracciones parciales con un factor cuadrático irreducible.
4) Descomposición en fracciones parciales con factor cuadrático repetido.
Procedimiento para:
Descomposición en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal.
Paso 1:
Siempre me debo de fijar si el grado de la función del numerador es menor que la
del denominador. Si es mayor debo realizar una división larga para bajar el
grado de la función del numerador.
Paso 2:
Debo factorizar el denominador para obtener un producto de factores lineales,
px +q, o factores cuadráticos irreductibles, c
bx
ax 

2
, y agrupar los factores
repetidos para que la función del denominador sea un producto de factores
diferentes de la forma  m
q
px , donde 1

m o  n
c
bx
ax 

2
los números m y n
no pueden ser negativos.
Paso 3:
Si son Descomposición en fracciones parciales en la cual cada denominador es
lineal o fracciones parciales con un factor lineal repetido.

16. ...
factor
factor


segundo
B
primer
A
Ejemplo 1:
Determinar la descomposición en fracciones parciales de:
x
x
x
x
x
3
2
9
13
4
2
3
2




Primero observo que el numerador tiene grado 2 y el denominador grado 3 por
lo tanto no tengo que hacer una división larga.
Segundo: factorizo el denominador
    
1
3
3
2
3
2 2
2
3







 x
x
x
x
x
x
x
x
x
Tercero: coloco cada factor obtenido de la siguiente forma
1
3
3
2
9
13
4
2
3
2









x
C
x
B
x
A
x
x
x
x
x
Obtengo el mínimo común denominador, lo opero y lo igualo al numerador.
        
3
1
1
3
9
13
4 2








 x
x
C
x
x
B
x
x
A
x
x
Podemos resolverlo por matrices o por el método que más nos convenga:

17. Opero los paréntesis
     
x
x
C
x
x
B
x
x
A
x
x 3
3
2
9
13
4 2
2
2
2









Ahora formo mi primera ecuación con los términos al cuadrado asi
     
     
    A
C
B
A
x
C
B
A
x
x
x
A
Cx
Bx
Ax
Cx
Bx
Ax
x
x
Cx
Cx
Bx
Bx
A
Ax
Ax
x
x
Cx
Cx
Bx
Bx
A
Ax
Ax
x
x
x
x
C
x
x
B
x
x
A
x
x
3
3
2
9
13
4
3
3
2
9
13
4
3
3
2
9
13
4
3
3
2
9
13
4
3
3
2
9
13
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2













































Mis tres ecuaciones son:
4
1
1
1 


 C
B
A
13
3
1
2 


 C
B
A
A
3
9 


Tomo la tercera ecuación y encuentro el valor de A
A
3
9 


A
A




3
3
9
Sustituyo los valores de A en las otras dos ecuaciones
Multiplico las letras en los paréntesis
Quito los paréntesis
Los ordeno
Factorizo asi

18.   
1
3
4
4
3
4
1
3
4
1
1
1















C
B
C
B
C
B
C
B
C
B
A
  
7
3
6
13
3
13
3
6
13
3
3
2
13
3
1
2

















C
B
C
B
C
B
C
B
C
B
A
Resuelvo las dos ecuaciones obteniendo asi los valores de B y C
7
3
1





C
B
C
B
2
C
8
4


C
1
2
1
1
2
1








B
B
B
C
B
Coloco las respuestas en la letra correspondiente
1
2
3
1
3
1
3
3
2
9
13
4
2
3
2














x
x
x
x
C
x
B
x
A
x
x
x
x
x

19. Hay otro sistema que se puede usar únicamente cuando los términos son lineales y
no repetidos que es mucho mas fácil.
1
3
3
2
9
13
4
2
3
2









x
C
x
B
x
A
x
x
x
x
x
Obtengo el mínimo común denominador, lo opero y lo igualo al numerador.
        
3
1
1
3
9
13
4 2








 x
x
C
x
x
B
x
x
A
x
x
Igualo a cero cada uno de los factores del denominador de la fracción parcial
0

x
3
0
3




x
x
1
0
1



x
x
Ahora sustituyo los valores de x
x = 0
        
3
1
1
3
9
13
4 2








 x
x
C
x
x
B
x
x
A
x
x
            
  
A
A
C
B
A
C
B
A



















3
3
9
0
0
1
3
9
0
0
3
0
0
1
0
0
1
0
3
0
9
0
13
0
4
2
x = -3

20.         
3
1
1
3
9
13
4 2








 x
x
C
x
x
B
x
x
A
x
x
            
        
B
B
C
B
A
C
B
A






























1
12
12
0
3
4
3
4
0
9
39
36
3
3
3
1
3
3
1
3
3
3
9
3
13
3
4
2
x = 1
        
3
1
1
3
9
13
4 2








 x
x
C
x
x
B
x
x
A
x
x
            
        
C
C
C
B
A
C
B
A
















2
4
8
4
1
0
1
0
4
9
13
4
3
1
1
1
1
1
1
1
3
1
9
1
13
1
4
2
Respuesta:
1
2
3
1
3
1
3
3
2
9
13
4
2
3
2














x
x
x
x
C
x
B
x
A
x
x
x
x
x
EJERCICIOS
1)
  
3
2
1
8



x
x
x
2)
  
1
4
29



x
x
x
3)
12
4
34
2



x
x
x
4)
x
x
x
4
12
5
2


5)
   
3
2
1
1
15
4 2





x
x
x
x
x
6)
  
5
2
20
19
2




x
x
x
x
x
7)
x
x
x
x
x
5
4
15
5
4
2
3
2




8)
  
6
5
1
11
37
2




x
x
x

21. Descomposición en fracciones parciales con un factor lineal repetido.
Ejemplo:
 2
2
3
36
10



x
x
x
x
Notamos en el ejercicio que hay un término lineal repetido que es  2
3

x
Entonces lo colocamos asi:
 2
3
3 



x
C
x
B
x
A
Si fuera al cubo el término repetido  3
3

x lo pondríamos:
   3
2
3
3
3 





x
D
x
C
x
B
x
A
Ejemplo resuelto por pasos:
 2
2
3
36
10



x
x
x
x
Primero escribimos en el denominador del término lineal x, luego escribimos en el
denominador el término repetido elevado a la 1 y por último escribimos en el
denominador el término repetido elevado al cuadrado así:

22.    2
2
2
3
3
3
36
10








x
C
x
B
x
A
x
x
x
x
Como tenemos término repetido ya no podemos usar la forma fácil de resolver
únicamente por sistemas de ecuaciones.
Pasos operamos el mínimo común denominador y lo igualamos al numerador.
      
x
C
x
x
B
x
A
x
x 





 3
3
36
10
2
2
Operamos los paréntesis
     
x
C
x
x
B
x
x
A
x
x 






 3
9
6
36
10 2
2
2
     
    A
C
B
A
x
B
A
x
x
x
A
Cx
Bx
Ax
Bx
Ax
x
x
Cx
Bx
Bx
A
Ax
Ax
x
x
Cx
Bx
Bx
A
Ax
Ax
x
x
9
3
6
36
10
9
3
6
36
10
3
9
6
36
10
3
9
6
36
10
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2

































Formo mis 3 ecuaciones
36
9
10
3
6
1








A
C
B
A
B
A
Multiplico las letras en los paréntesis
Quito los paréntesis
Los ordeno
Factorizo asi

23. Resolviendo me queda:
4
36
9




A
A
Sustituyo valores en la primera ecuación:
5
1
4
1
4
1








B
B
B
B
A
Sustituyo valores en la segunda ecuación
1
9
10
10
9
10
15
24
10
3
6












C
C
C
C
C
B
A
respuesta
   2
2
2
3
1
3
5
4
3
36
10









x
x
x
x
x
x
x
EJERCICIOS
9)
 2
1
3
2


x
x
10)
 
2
4
5
2
2


x
x
x
11) 2
3
2
5
3
25
50
19
x
x
x
x




24. 12)
25
10
10
2



x
x
x
13)
  
1
2
2
6
2



x
x
x
14)
   2
2
2
1
1
2



x
x
x
x

25. Descomposición de una fracción parcial que contiene un factor
cuadrático irreducible.
4
8
2
29
15
4
2
3
2
3






x
x
x
x
x
x
Primero observo que el grado del numerador y denominador son iguales por lo que tengo que
realizar una división larga.
2
4
8
2 2
3


 x
x
x 29
15
4 2
3


 x
x
x
8
16
2
4 2
3



 x
x
x
2
x x
 21

4
8
2
21
2
4
8
2
29
15
4
2
3
2
2
3
2
3













x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Factorizo el denominador:
      
1
2
4
1
2
4
1
2
4
8
2 2
2
2
3









 x
x
x
x
x
x
x
x

26. 4
2

x es un término cuadrático irreducible por lo que ahora opero asi:
1
2
4
4
8
2
21
2
2
3
2










x
C
x
B
Ax
x
x
x
x
x
Operamos el mínimo común denominador
    
     
C
B
B
A
x
C
A
x
x
x
C
B
Bx
Ax
Cx
Ax
x
x
C
Cx
B
Bx
Ax
Ax
x
x
x
C
x
B
Ax
x
x
4
2
2
21
4
2
2
21
4
2
2
21
4
1
2
21
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2

































Formar las ecuaciones:
21
4
1
2
1
2










C
B
B
A
C
A
Puedes resolverlo por el método que quieras, en este caso seguiremos practicando la resolución
por matices
21
4
1
0
1
0
2
1
1
1
0
2








Multiplico las letras en los paréntesis
Quito los paréntesis
Los ordeno
Factorizo asi

27. 1
1
0
2
21
4
1
0
1
0
2
1









1
1
4
0
21
4
1
0
1
0
2
1









85
17
0
0
21
4
1
0
1
0
2
1









5
85
17




C
C
1
20
21
21
4









B
B
C
B
3
2
1
2
1
1
2







A
A
B
A
B
A
RESPUESTA:
1
2
5
4
1
3
2
1
2
4
2
4
8
2
21
2
4
8
2
29
15
4
2
2
2
3
2
2
3
2
3


























x
x
x
x
C
x
B
Ax
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
1
1 R
R 

3
3
1
2 R
R
R 


1
1
4
0
1
1
0
2
2
0
4
2









3
3
2
4 R
R
R 

85
17
0
0
1
1
4
0
84
16
4
0






