Este documento explica cómo realizar integrales indefinidas mediante el método de cambio de variable. Se define el cambio de variable como igualar parte del integrando a una nueva variable auxiliar y calcular su derivada para eliminar la variable original en el integrando y diferencial. Se proveen tres ejemplos resueltos de integrales donde se aplica este método mediante diferentes cambios de variable como raíces cuadradas, funciones trigonométricas y exponenciales.

1. DEPARTAMENTO DE ESTUDIOS GENERALES
FACULTAD DE CIENCIAS E
INGENIERÍA
E.P. de: INGENIERÍA DE SISTEMAS E
INFORMÁTICA
ÁREA: MATEMÁTICA CURSO: MATEMÁTICA APLICADA A LA INGENIERÍA II CICLO: II
Lic.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo E_MAIL. mtarazona@uch.edu.pe
Web: http://migueltarazonagiraldo.com/ contacto@migueltarazonagiraldo.com 999685938
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TEMA: Integrales por cambio de variable SEMANA: 6
TURNO: NOCHE PABELLÓN: B AULA: 502 SEMESTRE: 2018 - I
INTEGRALES INDEFINIDAS POR CAMBIO DE VARIABLE
Aprenderemos a realizar integrales por cambio de variable. El cambio de variable es un método de gran
utilidad a la hora de resolver integrales, pero tiene la complicación de que requiere "imaginación", en el sentido
de que, normalmente, nos tenemos que inventar el cambio de variable.
Empezaremos por integrales indefinidas con cambio de variable, para luego realizar integrales definidas por
cambio de variable.
El cambio de variable para realizar una integral consiste en igualar una parte del integrando a una nueva
variable, (la podemos llamar 𝑡, 𝑢, o como queramos), llamada variable auxiliar.
Luego, se debe calcular la derivada de la variable auxiliar y realizar las operaciones necesarias, para que ni en
el integrando ni en el diferencial, aparezca alguna expresión en términos de la variable original. A esto se le
denomina cambio de variable. Es decir
dónde se ha hecho el cambio de variable ( ) .t x 
Después de hacer el cambio de variable, por lo general, se obtienen integrales más sencillas.
Formulario
Cambios de variable típicos:

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Procedimiento a seguir
1. Decidir el cambio de variable a usar (𝑡 una función de 𝑥).
2. Calcular 𝑑𝑡 en función de 𝑥 y de 𝑑𝑥.
3. Sustituir 𝑡 y 𝑑𝑡 en la integral, para que desaparezcan las 𝑥.
4. Calcular la integral indefinida en función de 𝑡. Si no sabemos cómo calcularla, probar con otro cambio
de variable u otro método de integración.
5. Volver a sustituir las 𝑡 por las 𝑥 para que el resultado sea en función de 𝑥.
Ejemplo 01: Calcular la siguiente integral por el método del cambio de variable
5 2
2
x
dx
x 

Realizaremos el cambio de variable
2 2
2.t x 
dt se calcula derivando la expresión de 𝑡 en función de 𝑥. Pero teniendo en cuenta que al derivar 𝑥, nos queda
𝑑𝑥.
y por lo tanto

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Así obtenemos:
Hay que tener en cuenta que esta integral podía realizarse como una integral casi-inmediata. Muchas integrales
pueden resolverse de diversas formas distintas.
Ejemplo 02: Calcular la siguiente integral por el método del cambio de variable:
Mirando la integral, vemos que la raíz tiene un cierto parecido con la integral del arco coseno, por lo que
intentaremos orientarla en este sentido. Realizaremos primero el cambio de variable.
para eliminar el 4 de dentro de la integral.
Para calcular la integral resultante, realizaremos otro cambio de variable. Tomaremos ahora arccos ,z t
por lo que cost z y 0 ,dt sinz dz  quedando la integral:

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Deshacemos primero el cambio arccosz t y luego 2 :x t
Así obtenemos:
Ejemplo 03: Calcular la siguiente integral por el método del cambio de variable:
Solución
Realizaremos el cambio de variable 2
.t x
Tenemos que 𝑑𝑡 = 2𝑥𝑑𝑥, y por lo tanto,
2
dt
x dx 
2 21 1 1
2 2 2 2
x t t t xdt
xe dx e x e dt e C e C
x
       
Entonces:
2 21
2
x x
xe dx e C 
Referencias:
https://www.aprendematematicas.org.mx/unit/integracion-sustitucion-trigonometrica/
https://www.sangakoo.com/es/temas/integrales-por-cambio-de-variable