Este documento describe el método de integración por sustitución y por partes. Explica que la integración por sustitución involucra cambiar la variable de integración para simplificar la integral, mientras que la integración por partes usa la fórmula del producto de funciones para dividir la integral en dos partes más fáciles de integrar. También provee ejemplos para ilustrar cómo aplicar estos métodos a diferentes integrales.

1. Andrea Noemí Villalobos Camacho
Andrea Jerónimo Fraga
María Alejandra Morales Martínez

2. Integración por sustitución
 El método de integración por sustitución o cambio de variable se basa
en la derivada de la función compuesta.
 Para cambiar de variable identificamos una parte de lo que se va a
integrar con una nueva variable t, de modo que se obtenga
una integral más sencilla.

3. Pasos para integrar por cambio de
variable
1º Se hace el cambio de variable y se diferencia en los dos
términos:
Se despeja u y dx, sutituyendo en la integral:
2º Si la integral resultante es más sencilla, integramos:

4. 3º Se vuelve a la variable inical:
Ejemplo:
1.

5. Cambios de variables usuales
1.
2.
3.

6. 4.
5. En las funciones racionales de radicales con distintos índices, de un
mismo radicando lineal ax + b, el cambio de variable es t elevado al
mínimo común múltiplo de los índices.
6. Si es par:

7. 7. Si no es par:
2.

8. 3.

10. 4.

11. 5.

12. Integración por partes
 El método de integración por partes está basado en la derivada de un
producto de funciones como se muestra a continuación
d(u.v) = u dv + v du
por eso es que se usa para integrales que contienen dos funciones
que se multiplican entre si.
∫d(u.v) = ∫u dv + ∫v du (se integra en ambos lados de la fórmula)
(u.v) = ∫u dv + ∫v du (resolviendo la integral)
∫u dv = u v - ∫v du (despejando, queda la fórmula de la integración por
partes)

13.  Se llama integración por partes, porque la integral se divide en dos
partes una u y otra dv. La integral debe estar completa y sin alterar la
operación dentro de ella. Esta selección es lo más importante y se
debe realizar de la siguiente manera
 1.- En la parte que corresponde a dv debe ser la función más fácil de
integrar,
 2.- En u deben ir aquellas funciones que no tienen integral directa
(funciones logarítmicas e inversas), luego se pueden considerar las
funciones algebraicas puesto que la derivada es reductiva. Las
funciones trigonométricas y exponenciales son más sencillas de
trabajar.

14.  Una de las reglas para saber si el procedimiento realizado es correcto
la integral resultante debe ser más sencilla que la original o sino de
igual dificultad.

15.  Ejemplo
 Se aplica la fórmula de la integración por partes, el procedimiento se
puede repetir tantas veces como la integral lo amerite. La constante
de Integración solo debe considerase en la integral principal no en la
que completa la fórmula.

16.  Ejemplo 2
 La siguiente integral no se le puede aplicar la integración por partes
directamente, se tiene que realizar un cambio de variable previo. Al
observar que la función exponencial en su exponente genera una
derivada y que esta debe estar dentro de la integral.

17. El siguiente ejercicio se conoce como integrales cíclicas, puesto
que reaparece la original y debe despejarse como se demuestra
a continuación:

19. 3.

20. 4.

21. 5.