El documento presenta varios métodos para calcular integrales indefinidas, incluyendo integración por partes, integración de funciones racionales, integración por cambio de variable e integrales trigonométricas. Explica cómo aplicar estos métodos para reducir integrales a formas más simples mediante el uso de igualdades, derivadas y propiedades de las integrales. También incluye ejemplos resueltos para ilustrar cada método.

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular Para la Educación
Instituto Universitario de Tecnología Antonio José de Sucre
Extensión- Barcelona / Puerto la Cruz
Cátedra: “Matemática II
Tutor: Ing Ranielina Rondón Mejías
Bachiller: KaterinYende C.I: 19.717.568
Escuela (71)Administración
Puerto la Cruz, 18 de Mayo de 2016

2. REGLAS DE INTEGRACIÓN
Se entiende por métodos de integración cualquiera de las diferentes técnicas
elementales usadas para calcular una anti derivada o integral indefinida de una
función.
A continuación se indican algunas técnicas de Integración que nos permitirán
encontrar las integrales de una clase muy amplia de funciones.
Todas las técnicas tienen como objetivo reducir la integral buscada a una integral
ya conocida o inmediata, ó bien reducirla a una integral más sencilla.
INTEGRACIÓN POR CAMBIO DE VARIABLE.
Nos proporciona un proceso que permite reconocer cuándo un integrando es el
resultado de una derivada en la que se ha usado la regla de la cadena.
Sea f(x) la función que deseamos integrar, entonces hacemos el siguiente cambio
de variable: x = g(t), d(x) = g'(t)dt, con lo que:
Para que la fórmula de cambio de variable tenga posibilidades de éxito, debemos
identificar en el integrando a una función u y a u' (su derivada).
Ejemplo
Cambio de variable:
u = cos(x)
du = -sen(x) dx -> sen(x) dx = -du

3. INTEGRACIÓN POR PARTES.
Este método nos permitirá resolver integrales de funciones que pueden
expresarse como un producto de una función por la derivada de otra.
Sean u y v dos funciones continuas, derivables y sus derivadas du y dv son
integrables, entonces:
u=f(x), v=g(x), luego du=f'(x)dx, dv=g'(x)dx:
Ejemplo
u = x2 v = ex
du = 2x dx dv = ex dx
INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES:
Vamos a integrar funciones racionales (cociente de polinomios), que siguen la
forma:
a) Si el grado de P(x) es mayor o igual que el grado de Q(x).
En este caso se divide P(x) entre Q(x), pasando la integral a:

4. Se reduce a calcular la integral de un polinomio c(x) y la integral de una función
racional en la cual el numerador tiene grado menor que el denominador (está
última integral es la que nos queda por calcular).
A continuación describiremos varios casos de descomposición de fracciones
racionales (en las que el polinomio del numerador tiene grado menor que el
denominador) como una suma de fracciones parciales, fáciles de integrar.
b) Si el grado de P(x) es menor que el grado de Q(x).
Una fracción simple es cualquier fracción propia de polinomios (el grado del
numerador es estrictamente menor que el grado del denominador), cuyo
denominador es de la forma (ax + b)n
ó (ax2
+ bx + c)n
b.1) Q(x) tiene todas sus raíces reales y distintas:
La factorización del polinomio Q(x) es en factores lineales y distintos:
Q(x) = (x-a1)(x-a2)(x-a3)…(x-an), hacemos la siguiente descomposición:
con A1, ...An constantes reales.
Ejemplo
Q(x) = x2-16 = (x-4)(x+4), la descomposición en fracciones parciales sería:

5. ; en la bastará encontrar los valores de A y B
Resolviéndolo queda A = -B = -1/8
b.2) Q(x) tiene todas sus raíces reales, pero puede haber repetidas:
La factorización del polinomio Q(x) es en factores lineales no necesariamente
distintos, es decir:
Q(x) = (x-a1)m1
(x-a2)m2
(x-a3)m3
…(x-an)mn
De nuevo como en el caso anterior la integración de las fracciones parciales es
sencilla y se reduce a calcular integrales de la forma:
las cuales, para n > 1, se resuelven por un sencillo cambio de variable.
Ejemplo
Q(x) = x3 - 4x2 + 4x = x (x-2)2, la descomposición en fracciones parciales sería:

6. Resolviéndolo queda A = 2, B = -2 y C = 7.
b.3) Q(x) tiene raíces complejas distintas:
Cuando en la factorización del polinomio Q(x) aparecen factores cuadráticos de la
forma:
ax2
+ bx + c con b2
- 4ac < 0
a cada uno de estos factores le corresponde una fracción parcial de la forma:
donde A y B son constantes reales.
b.4) Q(x) tiene raíces complejas repetidas:
Cuando en la factorización del polinomio Q(x) aparecen factores cuadráticos de la
forma:
(ax2
+ bx + c)n
con b2
- 4ac < 0
a cada uno de estos factores le corresponden n fracciones parciales de la forma:
con Ak, Bk constantes reales (k=1, ..n).

7. INTEGRACIÓN POR CAMBIO DE VARIABLE
Consiste en igualar una parte del integrando a una nueva variable, por
ejemplo u, llamada variable auxiliar. Luego de esto, se debe calcular la derivada
de la variable auxiliar y realizar las operaciones necesarias, para que ni en el
integrando ni en el diferencial, aparezca alguna expresión en términos de la
variable original. A esto se le denomina cambio de variable (CDV).
Luego de hacer efectivo el CDV, por lo general, se obtienen integrales más
sencillas que la original, las cuales se resuelven aplicando lo aprendido en el
método anterior. Por esta razón, es necesario que el lector haya estudiado
detalladamente dicho método puesto que en la solución de los ejemplos de esta
parte de la obra, no se incluye una explicación específica de este contenido que ya
debe ser parte de sus redes conceptuales.
Es importante señalar que el resultado de la integración, debe estar en
función de las variables originales por lo que se acostumbra a emplear el término
“devolviendo el cambio de variable” para reseñar el proceso mediante el cual la
variable auxiliar desaparece de la respuesta definitiva.
A continuación se presenta un conjunto de ejemplos, cuya función es
introducir este segundo método de integración.
Ejemplo 1
Resolver la siguiente integral:
Solución
 Método a emplear: Integración por cambio de variable.
 Regla de integración: Ecuación 1.1
Desarrollo:
- En atención a la teoría expuesta, construir la siguiente igualdad:
u= 2x+6 (1)
- Debido a (1), la integral original se transforma momentáneamente
en:
= (2)

8. - Como la integral a resolver no debe quedar en función de la
variable original, se debe expresar adx, en función de du y para ello se:
· Deriva ambos miembros de (1) para obtener:
du=2dx
· Divide la expresión anterior entre 2, obteniéndose:
(3)
- Si en (2), se reemplaza a dx por la expresión obtenida en (3) y
además se aplica la propiedad 1de los O.L , se obtiene:
= =
- Efectuado el CDV se obtiene una integral inmediata. Para su
solución basta con aplicar la Ecuación 1.1. Así:
=
- Devolviendo el CDV, u=2x+6 , se obtiene la respuesta final. Por
tanto:
Ejemplo 2
Resolver la siguiente integral:
Solución
 Método a emplear: Integración por CDV.
 Regla de integración: Ecuación 1.1
Desarrollo:
v En atención a la teoría expuesta, construir la siguiente igualdad:
u= 4x -1 (1)
v Debido a (1), la integral original se transforma,
momentáneamente en:
= (2)
v Como la integral a resolver no debe quedar en función de la
variable original, se debe expresar adx, en función de du y para

9. ello se:
· Deriva ambos miembros de (1) para obtener:
du=4dx
· Divide la expresión anterior entre 4, obteniéndose:
(3)
v Si en (2), se reemplaza a dx por la expresión obtenida en (3) y
además se aplica la propiedad 1de los O.L , se obtiene:
= =
v Efectuado el CDV se obtiene una integral inmediata. Aplicando
exponente fraccionario y la Ecuación 1.1., se obtiene:
=
v Devolviendo el CDV, u= 4x -1, se obtiene la respuesta final. Por
tanto:
Ejemplo 3
Resolver la siguiente integral:
Solución
 Método a emplear: Integración por CDV.
 Regla de integración: Ecuación 1.3
Desarrollo:
v En atención a la teoría expuesta, construir la siguiente igualdad:
u= 1-x (1)
v Debido a (1), la integral original se transforma,
momentáneamente en:
= (2)
v Como la integral a resolver no debe quedar en función de la

10. variable original, se debe reemplazar a dx, en función du y para ello
se:
· Deriva ambos miembros de (1) para obtener:
du=-1dx
· Divide la expresión anterior entre -1, obteniéndose:
-1du=dx (3)
v Si en (2), se reemplaza a dx por la expresión obtenida en (3) y
además se aplica la propiedad 1de los O.L , se obtiene:
= =
v Efectuado el CDV se obtiene una integral inmediata. Recuerde
que para su solución basta con aplicar la Ecuación 1.3. Así:
=
v Devolviendo el CDV, u = 1-x, se obtiene la respuesta final. Por
tanto:
Ejemplo 4
Resolver la siguiente integral:
Solución
 Método a emplear: Integración por CDV.
 Regla de integración: Ecuación 1.3
Desarrollo:
v En atención a la teoría expuesta, construir la siguiente igualdad:
u = x2 (1)
v Debido a (1), la integral original se transforma,
momentáneamente en:
= = (2)
Obsérvese la agrupación de términos, que se hizo en la última
integral.
v Como la integral a resolver no debe quedar en función de la
variable original, se debe expresar axdx, en función du y para

11. ello se:
· Deriva ambos miembros de (1) para obtener:
du=2xdx
· Divide la expresión anterior entre 2, obteniéndose:
(3)
v Si en (2), se reemplaza a xdx por la expresión obtenida en (3) y
además se aplica la propiedad 1 de los O.L , se obtiene:
= = =
v Efectuado el CDV se obtiene una integral inmediata. Recuerde
que para su solución basta con aplicar la Ecuación 1.3. Así:
=
v Devolviendo el CDV, u = 1-x, se obtiene la respuesta final. Por
tanto:
INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS
Se trata de integrales en la que aparecen las funciones trigonométricas: sen x,
cos x, tan x. Estas funciones pueden aparecer dentro de una expresión racional
P/Q, para este caso hay un cambio siempre válido, es el llamado cambio
general que las transforma en integrales racionales.
CAMBIO GENERAL:
Según esto para expresar el seno y el coseno como funciones de t, podemos
considerar:
Expresiones que se obtienen de: sen 2A = 2 sen A cos A; cos 2A = cos²A - sen²A,
haciendo 2A = x. Con lo cual, podemos poner:

12. Ejemplo1: Hallemos la integral,
Solución: Haciendo el cambio general, tan x/2 = t, no tenemos más que sustituir
directamente,
Para transformarla en racional:
Finalmente debemos sustituir el valor de t:
Las integrales trigonométricas que estamos viendo suelen ser expresadas en los
libros como: , donde por R nos referimos a una
expresión racional. Ahora vamos a ver que ciertas integrales de la
forma: , en las que aparece
sen x ó cos x multiplicando a dx aunque pueden ser hechas por el método
general, suele ser más fácil realizarla por una simple
sustitución: sen x = t ó cos x = t. Como en el siguiente ejemplo:

13. Ejemplo 2: Hallemos la integral,
Solución: Realizamos el cambio indicado,
con lo que nos queda:
una integral racional cuyo resultado es:
CAMBIO ALTERNATIVO:
En ocasiones nos aparecen integrales en las que (1) aparece la función tangente
y/o (2) aparecen las funciones seno y coseno elevadas a potencias pares, en
estos casos conviene realizar un cambio que llamaremos "trigonométrico
alternativo":
Apoyándonos en una circunferencia
trigonométrica, cuyo radio es 1, hacemos el
cambio:
Por la gráfica, observamos un triángulo
rectángulo cuyos catetos miden 1 y t (el
segmento rojo es la tangente de x), entonces la
hipotenusa es la raíz de estos valores al cuadrado. Entonces podemos poner:

14. con este cambio las integrales trigonométricas se convierten a racionales, pero se
exige que en ellas el seno y al coseno estén elevados a potencias pares para que
al sustituir desaparezcan los radicales del denominador.
Ejemplo 3: Hallemos la integral,
Solución: Como aparece sólo la función tangente hacemos este cambio
alternativo: tg x = t
Finalmente en t sustituimos tg x.
Ejemplo 4: Hallemos la integral,
Solución: En esta integral aparece tg x y la función sen x elevada a una
potencia par, por tanto puede ser adecuado este cambio, tg x = t, x = arc tg t:

15. Sustituyendo la convertimos en racional:
Finalmente sustituimos la t por tg x.