bueno

1. CAP. 9 - Fuerzas Internas en Vigas
Pórticos
9.1 ¿A qué llamamos Fuerzas Internas?
Tenemos un elemento que se encuentra en equilibrio sometido a un sistema
de cargas externas como se muestra en la figura.
Si cortamos este elemento con un plano AA como se muestra a continuación,
tendríamos al elemento dividido en dos partes.

2. Como el elemento está en equilibrio, cualquiera de sus partes estaría en
equilibrio. Analizamos el lado izquierdo.
Aparecerían varias fuerzas en el plano de corte AA
Serían las Fuerzas Internas, cuya función es la de mantener unido al elemento
en dicha sección.
F1, F2, F3 y F4 = Fuerzas externas actuantes
Cargas Distribuidas = Fuerzas resistentes internas

3. El sistema de fuerzas internas se puede reducir a un sistema Fuerza - Par

4. El sistema de fuerzas internas se puede reducir a un sistema Fuerza – Par
Como ambas partes están en equilibrio, se puede determinar ഥ
R y M𝑅 haciendo
equilibrio en cualquiera de las partes.
El sistema Fuerza – Par se descomponen en sus componentes en componentes
ortogonales entre sí.

5. El sistema de fuerzas internas se puede reducir a un sistema Fuerza – Par
Como ambas partes están en equilibrio, se puede determinar ഥ
R y M𝑅 haciendo
equilibrio en cualquiera de las partes.
El sistema Fuerza – Par se descomponen en sus componentes en componentes
ortogonales entre sí.
+

6. +
Rx = Fuerza Axial o Fuerza Normal
(Perpendicular al plano AA)
Ry y Rz = Fuerza Cortante
(Tangente al plano AA)
Mx = Momento Torsor
(Perpendicular al plano AA)
My y Mz = Momentos flectores
(Tangente al plano AA)

7. Para calcular estas fuerzas, se desarrollan las ecuaciones de equilibrio
.σ F𝑥 = 0 σ F𝑦 = 0 σ F𝑧 = 0
.σ M𝑥 = 0 σ M𝑦 = 0 σ M𝑧 = 0
Si trabajamos en un plano (2D) tendríamos 3 ecuaciones para máximo 3 incog.
Tenemos el siguiente elemento, donde se aplican un sistema de fuerzas.

8. Para calcular estas fuerzas, se desarrollan las ecuaciones de equilibrio
.σ F𝑥 = 0 σ F𝑦 = 0 σ F𝑧 = 0
.σ M𝑥 = 0 σ M𝑦 = 0 σ M𝑧 = 0
Si trabajamos en un plano (2D) tendríamos 3 ecuaciones para máximo 3 incog.
Tenemos el siguiente elemento, donde se aplican un sistema de fuerzas.
Cortamos al elemento en un punto específico (Corte AA)

9. Para calcular estas fuerzas, se desarrollan las ecuaciones de equilibrio
.σ F𝑥 = 0 σ F𝑦 = 0 σ F𝑧 = 0
.σ M𝑥 = 0 σ M𝑦 = 0 σ M𝑧 = 0
Si trabajamos en un plano (2D) tendríamos 3 ecuaciones para máximo 3 incog.
Tenemos el siguiente elemento, donde se aplican un sistema de fuerzas.
Cortamos al elemento en un punto específico (Corte AA).
Separándolos tendríamos como fuerzas internas N (Normal), V (Cortante) y
M (Momento Flector).

10. Para calcular estas fuerzas, se desarrollan las ecuaciones de equilibrio
.σ F𝑥 = 0 σ F𝑦 = 0 σ F𝑧 = 0
.σ M𝑥 = 0 σ M𝑦 = 0 σ M𝑧 = 0
Si trabajamos en un plano (2D) tendríamos 3 ecuaciones para máximo 3 incog.
Tenemos el siguiente elemento, donde se aplican un sistema de fuerzas.
Cortamos al elemento en un punto específico (Corte AA).
Separándolos tendríamos como fuerzas internas N (Normal), V (Cortante) y
M (Momento Flector).
Ahora veremos como desarrollar estas fuerzas en VIGAS.

11. 9.2 VIGAS
Todo miembro estructural diseñado para soportar cargas en distintos
puntos de su longitud.
Si las cargas externas aplicadas en la vigas tienen únicamente dirección
perpendicular a la viga, solo se producirían Fuerzas Cortantes y Momentos
Flectores

12. +.2 VIGAS
Todo miembro estructural diseñado para soportar cargas en distintos
puntos de su longitud.
Si además existieran cargas en la dirección paralela al eje de la viga, se
producirán adicionalmente Fuerzas Normales

13. 9.2 VIGAS
9.2.1 Tipos de Secciones de Vigas

14. 8.2 VIGAS
El diseño de una viga consta de 2 partes:
1.- Cálculo de las fuerzas internas: - Fuerzas Cortantes
- Momentos Flectores
- Fuerzas Normales
2.- Selección del tipo de sección transversal más adecuada
para que resista las fuerzas internas generadas y halladas
en la primera parte.
Mecánica Estática
Resistencia de
Materiales

15. 9.2 VIGAS
9.2.2 Cargas Aplicadas en una Viga
a) Cargas Concentradas
b) Cargas Distribuidas
Uniformes

16. 9.2 VIGAS
9.2.2 Cargas Aplicadas en una Viga
a) Cargas Concentradas
b) Cargas Distribuidas
Linealmente Variables

17. 9.2 VIGAS
9.2.2 Cargas Aplicadas en una Viga
a) Cargas Concentradas
b) Cargas Distribuidas
Parcialmente Distribuida

18. 9.2 VIGAS
9.2.2 Cargas Aplicadas en una Viga
b) Cargas Distribuidas – Ubicación de su Resultante

19. 9.2 VIGAS
9.2.2 Cargas Aplicadas en una Viga
c) Momentos Concentrados
d) Combinación de los tres tipos

20. 9.2 VIGAS
9.2.3 Clasificación de Vigas: Se pueden clasificar en 2 grupos:
a) Vigas simplemente apoyadas con apoyos simples:
I.- Según el enlace o tipo de apoyo:
b) Viga simplemente apoyada con voladizo:
c) Viga en Voladizo:

21. 9.2 VIGAS
9.2.3 Clasificación de Vigas: Se pueden clasificar en 2 grupos:
a) Vigas estáticamente determinadas (Isostáticas):
Vigas en donde se pueden desarrollar el total de incógnitas (reacciones).
Generalmente #Incógnitas = #Ecuaciones de Equilibrio
II.- Según su determinación estática:
b) Vigas estáticamente indeterminadas (Hiperestáticas):
Vigas en donde no se pueden desarrollar el total de incógnitas
Generalmente #Incógnitas > #Ecuaciones de Equilibrio
Los métodos de la Mecánica Estática no son suficientes para determinar.

22. 9.2 VIGAS
• Rótulas en Vigas:
A veces se conectan dos o más vigas por medio de articulaciones o
Rótulas, generando así una sola estructura.
Ecuaciones totales
.σ 𝐹𝑥 = 0
.σ 𝐹𝑦 = 0
.σ 𝑀𝑧 = 0
.σ 𝑀𝑅ó𝑡𝑢𝑙𝑎 = 0

23. 9.2 VIGAS
• Rótulas en Vigas:
¿Cuáles son las fuerzas internas en la rótula?
Separamos los elementos.
# Incógnitas = 6 : Ax, Ay, MA, Cy, VB, NB.
# Ecuaciones = 3 por cada elemento = 6 Ecuaciones

24. 9.2 VIGAS
9.2.3 Diagramas de Fuerzas Cortantes, Momentos Flectores y Fuerza Normal
DFC DMF DFN
Las fuerzas internas en una viga, varían a lo largo de su longitud.
Tenemos la siguiente Viga.
Queremos evaluar cuales son las fuerzas internas en B y C, tendríamos:

25. 9.2 VIGAS
9.2.3 Diagramas de Fuerzas Cortantes, Momentos Flectores y Fuerza Normal
Los valores de la cortante, normal y momento en el punto C serán distintos
a los del punto B, debido a que existen más cargas en dicho elemento analizado.
Estas variaciones de las fuerzas internas pueden ser representadas por gráficas,
obteniéndose una serie de curvas denominadas:
- Diagrama de Fuerza Normal
- Diagrama de Fuerza Cortante
- Diagrama de Momento Flector
Si se pueden graficar, se pueden obtener ecuaciones de dichas gráficas en
función de la ubicación en la viga.

26. CONVENIO DE SENTIDOS DE LAS FUERZAS INTERNAS

27. 9.2 VIGAS
Ejercicio: Determinar el valor de las fuerzas internas de la viga en los puntos:
A, B, C, D, E.

28. 9.2 VIGAS
9.2.4.- Relaciones entre Carga Distribuida, Fuerza Cortante y Momento Flector
Cuando en una viga existen varias fuerzas y momentos, desarrollar el método
de las secciones sería tedioso.
Consideramos la siguiente viga con una carga externa distribuida:

29. 9.2 VIGAS
9.2.4.- Relaciones entre Carga Distribuida, Fuerza Cortante y Momento Flector
Cuando en una viga existen varias fuerzas y momentos, desarrollar el método
de las secciones sería tedioso.
Consideramos la siguiente viga con una carga externa distribuida:
Sean C y C´ dos puntos de la viga separados por Δx

30. 9.2 VIGAS
9.2.4.- Relaciones entre Carga Distribuida, Fuerza Cortante y Momento Flector
Cuando en una viga existen varias fuerzas y momentos, desarrollar el método
de las secciones sería tedioso.
Consideramos la siguiente viga con una carga externa distribuida:
Sean C y C´ dos puntos de la viga separados por Δx
Separamos el tramo CC´ de la viga y trazamos un DCL

31. 9.2 VIGAS
9.2.4.- Relaciones entre Carga Distribuida, Fuerza Cortante y Momento Flector
a) Relaciones entre Carga y Fuerza Cortante
Hacemos σ 𝐹𝑦 = 0
V - (V+ΔV) – wΔx = 0
ΔV = -wΔx
ΔV
Δx
= -w haciendo que Δx -> 0
dV
dx
= -w
El valor numérico de la pendiente en cualquier punto es igual a la carga por
unidad de longitud en el mismo punto.
dV = -w dx

32. 9.2 VIGAS
9.2.4.- Relaciones entre Carga Distribuida, Fuerza Cortante y Momento Flector
a) Relaciones entre Carga y Fuerza Cortante
Si integramos la ecuación anterior entre dos puntos conocidos de la viga
𝑉𝐷 − 𝑉𝐶= − ‫׬‬
𝑥𝐶
𝑥𝐷
𝑤 dx
𝑉𝐷 − 𝑉𝐶= −(área bajo la curva de carga entre C y D)
Importante!!!
Las anteriores ecuaciones son válidas únicamente en tramos donde solo
exista cargas distribuidas. Cuando existan cargas puntuales habrán cambios
bruscos de valores.

33. 9.2 VIGAS
9.2.4.- Relaciones entre Carga Distribuida, Fuerza Cortante y Momento Flector
b) Relaciones entre Fuerza Cortante y Momento Flector
Hacemos σ 𝑀𝐶´ = 0
(M+ΔM) - M – V(Δx) + wΔx(
Δx
2
) = 0
ΔM - V(Δx) + w
Δx2
2
= 0
ΔM = V(Δx) - w
Δx2
2
Dividimos entre Δx
ΔM
Δx
= V - w
Δx
2
haciendo que Δx -> 0
dM
dx
= V dM = V dx

34. 9.2 VIGAS
9.2.4.- Relaciones entre Carga Distribuida, Fuerza Cortante y Momento Flector
Si integramos la ecuación anterior entre dos puntos conocidos de la viga
𝑀𝐷 − 𝑀𝐶= ‫׬‬
𝑥𝐶
𝑥𝐷
𝑉 dx
𝑀𝐷 − 𝑀𝐶= (área bajo la curva de Fuerza Cortante entre C y D)
b) Relaciones entre Fuerza Cortante y Momento Flector