Este documento explica el método de Cauchy-Euler para resolver ecuaciones diferenciales. Primero define las ecuaciones diferenciales de orden superior que pueden resolverse con este método. Luego describe los pasos para resolver una ecuación diferencial de segundo orden homogénea usando Cauchy-Euler, incluyendo sustituir la función desconocida y con una fórmula auxiliar, resolver la ecuación auxiliar, y expresar la solución general en términos de funciones trigonométricas. Finalmente, agradece al lector por su atención.

1. Ecuaciones Diferenciales
Método: Cauchy Euler .
Por: Jorge A. Frías Hernández.
Prof. Martínez Padilla Cesar Octavio.

2. Cauchy Euler
DEBES DE SABER
Que para resolver un sistema de ecuaciones por el método de
Cauchy Euler.
dny d n −1 y dy
an x n n + an −1 x n −1 n −1 + ... + a1 x + a0 y = g ( x) Dondeson constantes. que acompaña
a la x
los coeficientes
dx dx dx
La solución de ecuaciones de orden superior se análoga.
d2y dy
ax 2 2 + bx + cy = g ( x)
dx dx
Importante: el coeficiente de la máxima derivada es cero cuando x=0

3. Cauchy Euler
• Lo primero que debemos saber es lo siguiente.
y = x m → y ' = mx m −1 → y ' ' = m( m −1) x m −2
• Caso 1: si m1 es diferente m 2 y son reales entonces y = C1 x 1 + C2 x 2
m m
• Caso 2: si m1 es igual a m2 y son reales entonces = C1 x m + C2 x m ln x
y
• Caso 3: si m1 es diferente a m2 y son complejos entonces
y = (C1 cos( β ln x ) + C2 sen( β ln x )

4. Cauchy Euler
Resolución de un problema por el método del anulador en una
ecuación de segundo orden
Sea x 2 y '' + xy '+4 y = 0 Homogénea
Recordemos que estamos buscando
Segundo Orden
y
Paso 1: Sustituir y por la formula auxiliar.
y = x m → y ' = mx m −1 → m(m − 1) x m −2
x 2 m(m − 1) x m − 2 + xmx m −1 + 4 x m = 0

5. Cauchy Euler
Paso 2: Resolvemos la ecuación auxiliar.
x 2 m(m − 1) x m − 2 + xmx m −1 + 4 x m = 0
m(m − 1) x m + mx m + 4 x m = 0 Factorizamos.
x m m(m − 1) + m + 4 = 0 Simpllificamos.
m2 + 4 = 0
m1 = 2i m2 = −2i

6. Cauchy Euler
Paso 3: Respuesta. Recordemos que yG = yc + y p
∴ y = C1 cos(2 ln x) + C2 sen(2 ln x)
Esta es la respuesta de nuestra ecuación diferencial de segundo
Orden por el método de Cauchy Euler.

7. Cauchy Euler
Gracias por su atención.